Træning af ræsonnement og problemløsning

Vi kender sikkert alle til problemer med, at eleverne har svært ved at løse opgaver, som adskiller sig (lidt) fra standardopgaver. Den bedste måde at træne eleverne i sådanne opgaver er efter min mening at udfordre eleverne med netop sådanne lidt skæve opgaver.
Jeg bruger selv sådanne opgaver som afveksling i undervisningen ((pauseopgaver"), som (ekstra-)opgaver ved afleveringer samt til at illustrere vigtigheden af kendskab til basale matematiske færdigheder.
Specielt de gode elever gerne vil have denne type opgaver i hjemmeopgaver. De er ofte trætte af at løse de samme typeopgaver uge efter uge, nu hvor de har forstået metoden. Men de svagere elever synes også det er lidt sjovt med "anderledes matematik"
Når jeg vælger opgaver, sørger jeg for at blande i forhold til den matematik, der skal anvendes. Opgaverne kan f.eks. dreje sig om:

• skjulte ligninger
• geometriske argumenter
• genkende systemer
• forklare og argumentere for, hvad der sker (f.eks. ved animationer)
• simpel talteori

Af og til får eleverne en opgave, som ikke kan løses eller hvor der ikke er et entydigt svar - jeg siger det dog ikke til eleverne. Her er jeg selvsagt mere interesseret i argumentation og ræsonnement.
Hvilken figur mangler f.eks. nedenfor?

Jeg kender ikke svaret, men det gør heller ikke så meget. Så må eleverne overbevise hinanden. Er der nogen af jer læsere, som i kommentarfeltet tør komme med et bud på løsningen?

Der findes mange sådanne opgaver rundt omkring. Jeg bruger ofte opgaver fra Georg Mohr's 1 runde (Link).

I dag er jeg lige faldet over et dokument med 100 opgaver til kompetencetræning fra matematikbanken.dk (opgaver til folkeskolen), Der er mange sjove opgaver, som også kan bruges på STX og HF (Link).

Endelig har jeg i det vedhæftede dokument angivet 9 små opgaver af forskellig type. Løsningerne står på sidste side (Link).

Sådanne opgaver mener jeg er gode til at træne elevernes innovative kompetencer, idet de netop ikke får en opgave, hvor løsningsmetoden ikke er givet på forhånd. Det skal helst ikke være sådan, at eleven uden videre kan gå i gang med løsningen. Opgaverne bør fordre ofte eksperimenter, eksempler, afprøvning af løsningsstrategier, udelukke svar, grafisk illustration ...

Det er vigtigt, at eleverne trænes i ikke at give op, selvom de ikke umiddelbart har noget bud på løsningsmetoden. Det er disse skæve opgaver også med til at fremme.



Læsning af matematiktekster

"Der er ingen idé i at lade eleverne læse i matematik: Det kan de alligevel ikke finde ud af!"
Sådanne og lignende bemærkninger synes jeg tit, man hører. Og ja eleverne er ikke gode til at læse matematik, men så må vi da lære dem det.
Og løsningen er efter min mening ikke at droppe læselektier. Specielt ikke for hold, hvor der er mulighed for at eleverne vælger at skrive SRP i blandt andet matematik.
Vi er nødt til at træne eleverne i læsning af matematiske tekster. Vi skal starte med små simple tekster med megen hjælp og langsomt introducere mere og mere komplekse tekster med mindre og mindre hjælp. Vi kan ikke forvente at eleverne ved hvordan de læser og bearbejder en matematisk tekst.
I min 2g-klasse er vi netop begyndt på plangeometri. Det er en klasse, som gerne vil arbejde selvstændigt med stoffet, så i dette forløb har jeg besluttet, at den enkelte elev kan vælge, om de vil arbejde med stoffet selv ud fra en overordnet plan, jeg har lavet, eller de vil være knapt så frit stillet, hvor jeg styrer stofgennemgangen noget mere.
Vektorer er ikke specielt svært matematik (selvom abstraktionsniveauet kan drille eleverne lidt), så jeg tør godt kaste eleverne ud i selv at sætte sig ind i stoffet.
Eleverne, som arbejder selv, vil jeg give en del frirum men samtidig selvfølgelig også indlægge nogle perioder i timerne, hvor de skal holde mindre oplæg for mig. De skal selv sørge for at sætte sig ind i stof, som er relevant til den mundlige henholdsvis skriftlige eksamen.
Jeg har opdelt arbejdsplanen i mindre områder, hvortil jeg har knyttet centrale nøgleord. Det har jeg gjort for at gøre stoffet mere overskueligt at gå til og for at vise eleverne, hvilke elementer der er specielt centrale i hvert område.
Til hvert område er der tilknyttet valgfrie dokumenter samt relevante sider fra matematikbogen. Starten på arbejdsarket ser således ud:

Godt nytår

Så er der atter gået et år - og dermed er også min blog blevet et år ældre.
Det har været et travlt år, hvilket også kan ses på specielt antallet af indlæg, jeg har fået skrevet her i efteråret. Det er desværre ikke blevet til så mange indlæg, som jeg havde håbet på.
Som en lille nytårshilsen har jeg dog ud over dette indlæg skrevet to faglige indlæg i dag.
Jeg kan desværre ikke love, at der bliver mere tid til at skrive indlæg i foråret. Jeg synes allerede, jeg er booket godt op. Hvis det kommer til at knibe for meget med tiden, vil jeg overveje at nedlægge bloggen.
Godt nytår til alle

M.v.h..
Jes

Kvadratsætninger - klip et bevis

Hvordan får man lært sine elever kvadratsætningerne?
Efter mange års forsøg er det ikke rigtig lykkedes mig særligt godt. Når jeg taler med eleverne om kvadratsætningerne, så er de helt med på, at de skal huske det dobbelte produkt, men når jeg så spørger eleverne i den efterfølgende time, er det dobbelte produkt på forunderlig vis forsvundet ud af elevernes hukommelse igen.
I år har jeg forsøgt at synliggøre nødvendigheden af det dobbelte produkt ved at lade eleverne "klippe kvadratsætningerne". Eleverne arbejdede med dette arbejdsark (link).
Vi har således arbejdet med at forstå at to tal ganget med hinanden kan opfattes som et areal.
Efter eleverne havde fået konstrueret og forstået beviset, skulle de som en del af deres hjemmeopgave lave en videooptagelse (deres første), hvor de forklarer sætningen.
Et eksempel på elevernes video kan ses nedenfor:

Flipped learning - med forpligtende lektie

Jeg har tidligere skrevet et indlæg om flipped learning, hvor jeg lidt diskuterer fordele og ulemper ved flipped classroom (se mit indlæg her). Jeg kommenterede bl.a. at det ikke er nok at bede eleverne se et videoklip igennem hjemme. Der skal stilles krav til, hvordan der skal arbejdes med videoklippet.
Jeg er nu faldet over et program, der gør det muligt at indsætte spørgsmål løbende i allerede eksisterende videoer. Det smarte er, at svarene gemmes, så jeg kan se, hvem der har svaret hvad. Altså fuldstændig som en online quiz. Systemet har også en facilitet, som registrerer, hvis eleven overspringer dele af videoklippet.
Hjemmesiden hedder Zaption.
For at oprette en video med spørgsmål på Zaption skal man logge ind (kan f.eks. bruge gmail eller Facebook). Efter login oprettes en Lesson, hvortil man kan indlæse videoklip. Man kan derefter løbende i videoen indsætte tekst, mulitple choice, checkbokxe, tekstfelter mm. Når disse elementer indsættes kan videoen stoppes, indtil der er svaret.
Design-vinduet ser således ud;

 

Til mine 1g-ere har jeg lavet en video knyttet til en læselektie, hvor jeg beder dem læse teksten i mindre dele, hvor der så er nogle spørgsmål efter hver del.

Jeg tænker, at man måske også kan benytte metoden til at indlægge pauser ved f.eks. beviser optaget på video. der findes jo mange beviser på Youtube, man bare kan benytte. Jeg har dog ikke fået afprøvet det endnu.

Jeg har dog lavet et lille eksempel, som blot bruges til at vise forskellige elementer. Der er ikke rigtig nogen sammenhæng mellem video og spørgsmålene - jeg ville blot teste mulighederne. Du skal være velkommen til at prøve eksemplet. Det ligger på http://zapt.io/tffstfae.

Når der er svaret på spørgsmålene kan jeg udtrække en del statistik:

- hvem har svaret hvad?

- hvad er der svaret på de enkelte spørgsmål?

- hvor lang tid har det taget at svare på spørgsmålene?

- hvor mange af spørgsmålene er der svaret på?

- Er der sprunget noget at videoen over?

- ...

I første omgang tester jeg kun freeware-versionen, men der findes også en Pro-version som selvfølgelig har nogle ekstra elementer. F.eks. download af csv-fil med alle svar.



Lineære funktioner

Jeg lader mine 1g-elever arbejde i grupper, når vi skal have gennemgået de teoretiske dele knyttet til lineære funktioner.
Eleverne skal skrive en lille lærebog (temarapport) om lineære funktioner med 9.klasses elever som målgruppe, så de kan vise, hvor meget de har lært her i starten af gymnasiet.
Lærebogen skal laves som en hjemmeside, hvor der er krav om at egen video af f.eks. et bevis og dynamisk Geogebra-animation skal indgå.
Formålet er selvfølgelig at få eleverne til at få trænet små beviser og arbejde med ræsonnement.
Selve oplægget til opgaven består af
 - eksperimentelle øvelser
 - opgaver
 - beviser
Alle tre dele supplerer hinanden og er med til at give eleverne en større forståelse for emnet lineære funktioner. Det er dog ikke nogen tvungen rækkefølge i, hvordan eleverne skal arbejde med emnet.
Vedhæftet det opgaveark som eleverne får udleveret (Link).

Differentialregning - opsamling

Vi er så småt ved at afslutte differentialregning på mit 2g matematik-A hold. Vi har lavet en hel del beviser og også brugt en del energi på at italesætte de matematiske metoder, som anvendes ved opbygning af en matematisk teori.
Ofte har fokus i beviserne været at forstå de enkelte reduktioner og så har der ikke været lagt så meget vægt på bevisstrukturer mm.
Jeg valgte derfor i samråd med eleverne at lave en opsamling på differentialregning, hvor vi repeterer beviserne og i den repetition specielt fokuserer på de mere overordnede argumenter. Hvorfor har vi f.eks. bestemt differentialkvotienten til en given funktion, når vi benytter tretrinsreglen?
Da alle ikke kan nå alle beviser, optages beviserne på video og bliver efterfølgende samlet på en hjemmeside, som alle i klassen kan benytte. Jeg har på forhånd opdelt hjemmesiden i følgende emner:

Introduktion:

Indledende ting omkring differentialregning bl.a. om sekant-tangent, definition på differentiabel funktion

Bevisteknikker:

Beskrivelse af overordnede bevisteknikker, som er blevet anvendt i de forskellige beviser (tretrinsreglen, induktionsbevis samt matematikkens indre struktur)

Basale funktioner:

Beviser for en række af de mere basale funktioner (f.eks. x², ax+b, konstant, ...

Regneregler:

Beviser for hvordan man differentierer funktioner, som er kombinationer af basale funktioner
Tangentligningen

Her bevises formlen for tangentligningen.

Eleverne vælger sig selv ind på beviser efter fagligt niveau - dog stiller jeg krav til at alle elever er med til forskellige typer beviser. Jeg sikrer desuden, at der laves mindst to videoer med hvert bevis, så eleverne kan se forskellige fremstillinger af beviserne.

Eleverne er fortrolige med at arbejde med disse hjemmesider (Google sites), så de lægger selv deres videoer ind på hjemmesiden.
Ud over videoerne stiller jeg krav om at hver hjemmeside også skal indeholder:
- præcis beskrivelse af sætningens ordlyd
- overordnet beskrivelse som forklarer, hvordan beviset er opbygget 
- evt. andre relevante oplysninger.
Der stilles også krav til de elementer som videoerne skal indeholder. Bl.a. er definitionen på differentiabilitet obligatorisk i videoen.