Ferietid

Så blev det ferietid...
Der er brug for at få ladet batterierne op og måske også behov for lidt tid til at tænke lidt over næste års undervisning. Hvad kan gøres bedre end i år?
Mine erfaringer som skriftlig censor og fra mine egne elevers resultater fra de skriftlige matematikeksamener har endnu en gang fået mig til at spekulere over, hvordan jeg gør eleverne endnu bedre til at tænke og forstå matematik.
Det var noget overraskende, at når de skriftlige opgaver har en lille variation i forhold til "standardopgaver", så volder det eleverne problemer.
Det er rigtig godt, at opgavekommissionen stiller "skæve opgaver", så skabelonbesvarelser ikke bliver så brugbare, men så skal der skæres i mængden af svære spørgsmål. Det tager tid for eleverne at afkode anderledes spørgsmål og den tid mener jeg ikke, eleverne i tilstrækkelig omfang har haft til rådighed ved dette års skriftlige eksamen.
Ikke nok med at man skal tænke over selve opgaven og mulige løsningsmetoder - man skal også gøre det hurtigt.
Hvordan lærer vi eleverne det?
Det vil jeg nok tænke noget over i løbet af sommerferien.
God ferie

Eksamenstræning - delen uden hjælpemidler

Med mit 3g-hold har vi i den seneste tid startet hvert modul med at tale om prøven uden hjælpemidler i relation til et givet emne.
Eleverne brainstormer på centrale formler og mulige spørgsmålstyper. Hvis jeg finder det nødvendigt, regner vi også enkelte opgaver.
Det er mit indtryk, at eleverne er glade for at få diskuteret mulige spørgsmål - det afdramatiserer lidt prøven uden hjælpemidler.
Nogle elever er noget forskrækkede over alle de formler det forventes, de kan huske uden ad. Jeg fokuserer på, at eleverne ikke nødvendigvis skal huske alle formlerne på "formelsprog". Ofte er det nok at kunne metoden. Der er f.eks. ingen grund til at huske formlen for differentiation/integration af sammensatte funktoner - det er nok, at man ved, hvordan man skal gøre.
Ligeledes er nogle formler slet ikke nødvendige. Der er f.eks. ingen grund til at huske tangentligningen, når man ved, hvordan forskrift for en linje bestemmes. Og hvorfor huske toppunktsformlen, når toppunkt kan bestemmes ved hjælp af differentiation.
Her kort tid før eksamen tror jeg, det vigtigste er, at eleverne får trænet en masse opgaver, og at de får struktur på mulige opgavetyper (se evt. "Forberedelse til skriftlig eksamen - fra skolestart"). Jeg sætter desuden min lid til, at eleverne nu er helt med på, hvordan man "overholder" reglerne for korrekt løsning af eksamensopgaver (de 5 pinde - se evt. "Skriftlig eksamen - opgaveregning"). Derfor har jeg besluttet at omlægge elevtiden for de sidste par afleveringer, så vi har nogle ekstra timer, hvor vi kan fokusere på udvalgte dele af det skriftlige pensum.
Vi har en sådan time i dag, hvor fokus netop er delen uden hjælpemidler. Jeg har taget et print af delen uden hjælpemidler fra alle eksamenssæt siden 2008. Planen er nu at eleverne i par skal arbejde med disse opgaver. I første omgang skal opgaverne sorteres i emner (alle medbringer saks).
Samtidig har jeg oprettet et fælles dokument (Office 365), som alle kan skrive i. Her er det meningen at spørgsmålstyperne hørende til de enkelte opgavetyper indskrives. Til hver type spørgsmål angives det desuden få stikord til, hvordan opgaver af denne type løses, samt hvor man kan finde en opgave omhandlende spørgsmålet. Dermed får eleverne et godt dokument, de kan bruge, når de hjemme skal forbedrede sig til delen uden hjælpemidler til den skriftlige eksamen.

Eksamensopgaver - anderledes aflevering

Når eksamen nærmer sig, regner vores hold typisk rigtig mange eksamensopgaver. Jeg tror godt, vi kan få mere ud af elevtiden ved ikke kun at bede eleverne regne en masse eksamensopgaver, som de skal kunne ved den skriftlige eksemen.
Nedenfor er lidt forskellige ideer til, hvordan man kan arbejde lidt anderledes med f.eks. eksamensopgaver (nogle af ideerne har jeg beskrevet tidligere) :
1) Fokus på kommentarer i besvarelsen
Jeg har regnet alle opgaver. Elevernes opgave er nu at skrive de ledsagende kommentarer, så besvarelsen opfylder de "5 pinde" til layout.
En lille sidegevinst er, at jeg f.eks. kan vise eleverne smarte løsningsmetoder i matematikprogrammet.
2) Fokus på udregninger
Jeg har skrevet de ledsagende kommentarer og eleverne skal så udfylde med beregninger. Alternativt kan man bede eleverne alene fokusere på beregninger, så de ikke behøver bruge så meget tid på skrivning af tekst.
3) Specielt fokus i besvarelsen
Jeg angiver en række fokuspunkter, som eleverne skal væres specielt opmærksomme på i besvarelse. Det kunne f.eks. være at medtage ledsagende grafer og at markere beregnede løsninger på grafen. Eller det kunne være at der skal opstilles og argumenteres for ligninger, inden der indsættes i solve.
Man kunne også bede eleverne selv finde 5 fokuspunkter fra feedback, de har fået i tidligere hjemmeopgaver.
Bed altid eleverne angive fokuspunkterne i starten af deres besvarelse. Det skærper forhåbentlig deres opmærksomhed på punkterne.
4) Fokus på metoden
I stedet for at regne alle opgaver i et eksamenssæt, så kunne man i nogle af opgaverne bede eleverne forklare den metode, der skal benyttes til at løse opgaven.
5) Flere om et eksamenssæt
Lad eleverne være sammen 2 og 2 om at regne et eksamenssæt. I et modul med omlagt undervisning gennemgår eleverne i par alle opgaver og nedskriver metoder. Herefter uddeler eleverne opgaverne og regner individuelt.
Lige før aflevering (f.eks. i en matematiktime) får parrene tid til at sammensætte deres besvarelse og til at gennemgå hele besvarelsen, så begge synes hele besvarelsen er tilfredsstillende.
Alternativt kan eleverne indledningsvis blot fordele opgaverne som de hver i sær skal regne. Der er så afsat et modul med omlagt skriftlighed lige inden aflevering, hvor eleverne finpudser den samlede besvarelse. Det er vigtigt her, at eleverne bruger tid på at gennemgå alle opgaveløsninger.
6) Hele klassen indleder i fællesskab
Alle elever i klassen har et blankt stykke papir og en blyant.
Første spørgsmål i hjemmeopgaven vises på storskærm og eleverne har nu 1 minut til at nedskrive ideer/løsningsmetode til spørgsmålet.
Efter 1 minut rækkes papir til sidemanden og alle har nu 1 minut til at kommentere 2. spørgsmål.
Processen fortsætter gennem hele opgavesættet.
Dermed får alle stikord, der kan bruges ved løsning af hjemmeopgaven.
Det er nok de svageste elever, som får mest ud af stikordene, men de gode elever får fin træning i hurtigt at spotte løsningmetoder.
7) Fokus på tjek af løsninger
Find en gammel hjemmeopgave frem - evt. den eleverne lige har fået tilbage. Elevernes skal nu finde på måder at tjekke resultaterne på.

Arbejde med eksamensopgaver

Jeg starter meget tidligt med at lade mine elever løse eksamensopgaver fra tidligere skriftlige eksamener.
Mange eksamensspørgsmål er formuleret på et relativt højt taksonomisk niveau, hvis man f.eks. prøver at placere spørgsmålene i relation til SOLO-taksonomien. Eksempler på sådanne spørgsmål kunne være bestemmelse af tangent, monotoniforhold, areal mellem to funktioner, sidelængde/vinkel i trekanter, regression, optimering, ... 
Spørgsmål som disse er typisk formuleret på multi-strukturelt niveau eller højere.

Når eleverne ikke har en dybdeforståelse af et emne, kræves en bearbejdning af de oprindelige eksamensspørgsmål. Jeg udvider således opgaven med flere delspørgsmål (stilladsering), der fungerer som en guide for eleverne.
Udvidelsen kan have flere forskellige formål:
1) Hjælpespørgsmål til løsning af spørgsmålet
2) Synliggøre metoden der skal benyttes
2) Tvinge eleverne til at benytte en specifik løsningsmetode (beregning, konstruktion, grafisk, eksperimenterende, uden hjælpemidler)

En typisk opgave kunne være følgende:

Eksempel på brug af ekstra hjælpespørgsmål:
1) Bestem f(2) - forklar betydningen
2) Bestem f '(x) - forklar betydningen
3) Bestem f '(2) - forklar betydningen
4) Angiv formlen for tangentligningen (hvad betyder x₀?)
5) Indsæt de kendte værdier i tangentligning og forkort

Eksempel på metodeløsning:
1) Du skal benytte tangentligningen - hvordan ser den ud?
2) Hvilke oplysninger benyttes i tangentligningen? Hvordan bestemmes de?
3) Bestem de manglende værdier, der skal indsættes i tangentligningen?
4) Bestem tangentens ligning.

Eksempel på krav til given løsningsmetode (grafisk):
1) Indtegn funktionen
2) Afsæt punktet (2, f(2))
3) Indsæt tangent i punktet (2, f(2))
4) Beskriv den metode du har benyttet
5) Placer værdier for indtastede og bestemte oplysninger i grafvinduet og juster akserne, så de interessante dele af grafen er tydelige.
6) Angiv en passende konklusion.

Jo bedre eleverne er til løsning af en given type opgave, jo mindre behøver man at stilladsere opgaven. Ovenstående eksempel benyttes f.eks. første gang eleverne afleverer opgave med tangentbestemmelse. Opgaverne kan evt. stilladseres mere eller mindre (differentieres), så eleverne kan vælge opgaver hørende til deres faglige niveau.
I de tilfælde er det nemmeste at lave stilladsering til de svageste elever først. Oftest skal der blot slettes nogle stilladseringspunkter, når dokumentet til de bedre elever udarbejdes.
Alternativt kan hjælp til opgaverne placeres i et særskilt dokument, hvori eleverne kan søge hjælp, hvis de har brug for det.