Gange to tal - sjov egenskab...

Jeg kan godt lide at give eleverne opgaver, hvor de selv skal komme med teorier/påstande, som vi så kan undersøge rigtigheden af.

En sådan lille opgave kunne f.eks. være:
1) Tegn f.eks. i Geogebra funktionen f(x)=x².
2) Placer to punkter på parablen, hvor det ene skal have negativ x-værdi og det andet skal have positiv x-værdi. Vælg i første omgang hele tal som x-værdier.
3) Forbind de to punkter med en ret linje.
4) Hvilken sammenhæng er der mellem de to punkter på parablen og linjens skæring med y-aksen? Prøv forskellige ”pæne” punkter, som nedskrives i en tabel.
5) Kan du bevise din påstand? Start med udregning for to konkrete punkter og prøv så med x-værdierne x₁ og x₂.

En anden måske lidt sværere opgave er:
1) Afsæt 4 tilfældige punkter og forbind dem til en firkant.
2) Konstruer midtpunkterne på de 4 sider og forbind disse punkter til en ny firkant.
3) Hvad ser du? Er det altid sådan? Kan du bevise det?

Mundtlig eksamen - kan det gøres bedre ?

Diskussionen om vores mundtlige eksamen i matematik på rimelig vis afspejler undervisningen dukker jævnligt op.
Vi skal i undervisningen træne elevernes problemløsningskompetence, men ved eksamen (skriftlig såvel som mundtlig) har denne kompetence en meget lille plads. Det synes jeg er synd.
Ved mundtlig eksamen i fysik (B- og A-niveau) haves en model, hvor eleverne først i grupper udfører eksperimenter (ca. 5 grupper arbejder samtidig), mens lærer og censor går rundt mellem grupperne og hører om deres eksperiment. Efterfølgende er eleverne til en traditionel individuel mundtlig eksamen.
Kan vi gøre noget lignende i matematik?
Jeg havde besluttet mig for at lade mine 3g'ere afprøve modellen med pararbejde omkring et projekt som deres første hjemmeopgave.
Jeg inddelte eleverne i to hold, hvor eleverne skulle danne grupper på 2 personer. Jeg havde så omlagt dele af den skriftlige opgave, således at hvert hold skulle være 90 min på skolen sammen med mig.
Som forberedelse til det omlagte modul skulle eleverne læse opgaveformuleringen igennem og tænke lidt over løsningsmetoder. Det var forbudt at starte på selve løsningen.
Opgaven gik ud på at designe et dige, hvor der var en nogle forskellige design krav. Det betød, at eleverne kom rundt om lineære funktioner, parabler, differentialregning samt integralregning.

Opgaven har jeg "hugget" fra en kollega - tak for ideen. Det ser således ud (Link).
I de 90 minutter var det planen, at eleverne i par arbejdede med opgaven, som skulle afleveres. Der var sat tid af til at få skrevet teksten ordentlig efterfølgende. Der skulle fokuseres på opgaveløsningerne i de 90 minutter.
De 90 minutter gik rigtig godt og jeg fik snakket en masse matematik med eleverne. I og med at mange emner kommer i spil i opgaven, så havde jeg også mulighed for at tale med de enkelte elever på deres niveau. Måske manglede der lidt ekstra udfordringer til de gode elever.
Det er selvfølgelig en balancegang, hvor meget man skal hjælpe eleverne, hvis det er i en eksamenssituation, men med små vink var det muligt også at få de svagere elever gennem opgaven. Specielt bestemmelsen af parablens konstanter drillede. Vi har nu heller ikke brugt megen tid på løsning af flere ligninger med flere ubekendte.
Jeg fik nok hjulpet mere end man bør gøre i en eksamenssituation, men nu var det første gang med en sådan "eksamen" for både mig og mine elever.
Jeg spurgte eleverne på første hold, om de kunne forestille sig en sådan eksamensform. Det var de meget positive over - de syntes det var sjovt at arbejde mere praktisk med matematikken. Så man også kan se det kan bruges til noget.
Jeg er ret sikker på, at jeg vil prøve denne form for aflevering flere gange i løbet af skoleåret. Det kræver blot at man finder nogle gode tværfaglige projekter.
I morgen møder hold 2 :-).

2. grads polynomier

Jeg har netop som årets sidste emne i 2.g gennemgået andengradspolynomier.
Forløbet har så vidt muligt været tilrettelagt eksperimenterende bl.a. ved hjælp af Geogebra, hvor eleverne skulle eksperimentere sig frem til karakteristika, som så efterfølgende skulle bevises.
Ud over de sædvanlige beviser for konstanternes betydning, toppunktsformlen og formlen til løsning af andengradsligningen har vi også kigget på symmetri, faktorisering, forskydning af ax² samt hvad der sker med toppunktet, når der kun varieres på henholdsvis a og b.
Alle har selvfølgelig arbejdet grundigt med de "obligatoriske dele", mens de bedre elever har haft mulighed for at fordybe sig i nogle af de lidt mere specielle karakteristika.
Eleverne har 2 og 2 arbejdet med dokumentet Andengradspolynomier. Undervejs har eleverne erfaringsudvekslet og arbejdet med beviser på tværs af grupperne.
Vi afsluttede forløbet med at lave en hjemmeside om andengradspolynomier, hvor eleverne valgte sig ind på emnerne karakteristika, toppunkt og monotoni, rødder, faktorisering og specielle egenskaber.
Desværre er eleverne ikke helt så aktive/deltagende i timerne her sidst på året, så hjemmesiden blev ikke helt så god som forventet. Måske jeg skal starte her til i 3g.