Portfolio som aflevering

I min 1g er vi så småt ved at afslutte arbejdet med chi²-test og de tilhørende funktioner.
Vi har lavet chi²-test i Excel, har lavet små videoer hvor principperne ved chi²-test forklares, har arbejdet med chi²-funktionerne, har simuleret stikprøver og sammenlignet med chi²-funktionerne samt har regnet opgaver i Maple.
Vi har altså arbejdet med chi²-test ud fra en række forskellige indgangsvinkler.
I denne uges hjemmeopgave har jeg besluttet mig for, at eleverne skal aflevere en form for portfolio, der indeholder de mest centrale ting, vi har arbejdet med knyttet til chi².
Jeg har derfor bedt eleverne om at samle følgende til en aflevering:
- deres video om chi²-test
- beskrivelse af chi²-funktionerne set i relation til chi²-test (hvordan bestemmes f.eks. kritisk værdi og p-værdi)
- sammenhæng mellem chi²-funktioner og chi²-test
- eksemplarisk besvarelse af opgave med henholdsvis uafhængighedstest og goodness of fit.

Jeg har omlagt et undervisningsmodul, så eleverne i par kan arbejde sammen om opgaven. Det er vigtigt for mig, at eleverne får diskuteret opgaverne, og at jeg får mulighed for at hjælpe elever, hvor det stadig kniber med forståelsen. Derfor vil jeg også i løbet af modulet tjekke, hvad eleverne har tænkt sig at aflevere. Det er også med til at reducere mit rettearbejde.
Som lektie til timen har jeg bedt eleverne løse en lille diktatopgave (link).

Simulering af chi2-test

Hvorfor ligger den kritiske værdi, hvor den ligger, når vi laver en chi2-test? Det er uhyre svært at få forklaret eleverne.
Jeg har forsøgt at gøre det synligt for mine 1g-elever ved hjælp af to typer simulationer:
- en i Geogebra, der viser histogram af mange chi2-simuleringer med 1 frihedsgrad, hvor nulhypotesen er sand.
- en i Maple, der viser histogram af mange chi2-simuleringer med valgfrit antal frihedsgrader, hvor nulhypotesen er sand..
I Geogebra-dokumentet vises foretages en chi2-simulation af gangen, hvor hele metoden er synlig i Geogebras regneark. Teststørrelserne for hver chi2-simulation indtegnes løbende i et histogram.
Denne simulation skulle gerne give eleverne en fornemmelse af fordelingen af teststørrelserne, når nulhypotesen er sand - specielt at der kan være store variationer. Grafisk skal eleverne give et bud på placeringen og betydningen af den kritiske værdi.
På nedenstående skærmbilleder har jeg simuleret 500 chi2-test, hvor det vides at 25% i populationen svarer Ja, mens populationen består af 60% mænd og 40% kvinder.

Vejledningen til elevernes arbejde med Geogebra-dokumentet er beskrevet i dette dokument (Link) og Geogebra-dokumentet ligger her (Link).
Efter gennemgangen af/arbejdet med ovenstående ark, inddeler jeg eleverne i par, som så skal lave de samme simulationer dog med nye procenter for Ja/Nej og Mænd/Kvinder. Forhåbentlig kan vi konkludere, at den kritiske værdi ikke afhænger af procenterne.
I Maple er det muligt at lav langt flere simuleringer af gangen (kommandoen Sample). Nedenstående Maple-dokument skal eleverne benytte til at få en fornemmelse af histogrammerne over teststørrelsernes fordeling ved forskellige chi2-simulation igen under forudsætningen af at nulhypotesen er korrekt..
Eksperimenterne med forskellige frihedsgrader skulle også gerne resultere i, at eleverne konstaterer, at den kritiske værdi afhænger af frihedsgraden.
Maple-figuren nedenfor viser 10000 simuleringer af chi2-test med 4 frihedsgrader.

Maple-dokumentet som også indeholder vejledning til eleverne ligger her (Link).
Fortsættelsen på arbejdet med chi2 er, at vi vil arbejde med funktionerne hørende til de forskellige frihedsgrader og i den forbindelse undersøge krav til sådanne funktioner (sandsynlighedsfordelinger).

Enkeltlogaritmisk papir

Selvom enkeltlogaritmisk papir ikke længere optræder til den skriftlige eksamen, så er dette papir godt til at forklare karakteristika ved eksponentielle funktioner.
Efter juleferien har jeg derfor i min 1g-klasse indledt med et lille forløb om konstruktion og brug af enkeltlogaritmisk papir. Det hænger fint sammen med konstruktion af regnestok, som vi afsluttede med inden juleferien (Se indlægget Historisk matematik - logaritmer).
Eleverne arbejdede 2 og 2, hvor halvdelen af grupperne fik et arbejdsark hørende til en voksende eksponentiel funktion, men den anden halvdel arbejdede med en aftagende eksponentiel funktion.
Jeg opdeler i to hold for i løbet af forløbet at lade eleverne sammenligne principperne i det, de har gjort. De skulle gerne konkludere, at metoderne gælder for alle typer eksponentielle funktioner og ikke kun deres eksempel. Derfor lader jeg også eleverne selv vælge en passende funktion, som de skal benytte som eksempel.
Først konstruerede eleverne en logaritmisk akse på et almindeligt millimeterpapir. Herpå skulle efterfølgende afsættes punkter hørende til en given funktion. Heldigvis lykkedes det de fleste af eleverne at få punkterne til at følge en ret linje.
Vi undersøgte nu på det autoriserede enkeltlogaritmiske papir og eleverne sammenlignede med deres eget papir.
Vi kiggede på logaritmiske akser i Maple og sluttede af med at argumentere for, hvorfor en logaritmisk y-akse gør, at eksponentielle funktioner får en lineær graf. Og hvorfor må vi gerne puste log-aksen op til p*log + q for at opnå større spredning mellem værdierne. Hvad sker der med en ret linje, hvis y-værdierne ganges med et tal og derefter adderes med et tal?
Arbejdsarket til den voksende eksponentielle ligger her (Link). Opgave 2. blev til en lektie, hvorfor jeg konstruerede dette lille hjælpeark (Link), så jeg var sikker på alle kunne forstå lektien.
At logaritmisk skala har stor betydning vil senere blive illustreret med en projektrapport om jordskælv.

Linjeelementer - Differentialligninger

Jeg har sidste år (4/2 2014 og 23/3 2014) skrevet om de udfordringer, som differentialligninger giver i matematikundervisningen. Mange elever har rigtig svært ved at forstå, hvad en differentialligning er for noget.
Med min 3g-hold i år har jeg brugt en del tid på at forstå begrebet differentialligning. Vi har kigget på de forskellige opgaver med differentialligninger, der optræder til eksamen. Og så har vi arbejdet en del med forståelsen af disse ligninger.
I den forbindelse har linjeelementer og plots af disse haft en fremtrædende position. Vi benytter Maple og her er det nemt med kommandoen DEplot at få tegnet figurer med linjeelementer. Det er endog muligt at tilføje specifikke løsningsfunktioner til figurerne ved at tilføje et punkt som løsningsfunktionen skal gå gennem. Et eksempel ses nedenfor (differentialligningen y' = y + e^x med 3 specifikke løsningsfunktioner indtegnet):

 

Eleverne har i grupper på 3-5 arbejdet med det vedhæftede dokument (Link), hvor jeg har så har gået rundt og assisteret/testet gruppernes læring om differentialligninger. Det har været vigtigt at have tid til at få snakket grundigt med grupperne, så de både får testet/opdateret deres viden og samtidig træner i at tale om differentialligninger (begreberne). Specielt vellykket var det at vise et plot med linjeelementer på projekter og så lade eleverne i gruppen på skift  "gætte" løsningsfunktion gennem et givent punkt. Det virkede som om det hjalp voldsomt på forståelsen. Så selvom linjeelementer ikke er en del af kernestoffet, så synes jeg de er svære at undvære i forståelsen af differentialligninger. De bidrager med rigtig meget forståelsesmæssigt.

Det beskrevne dokument er forholdsvis detaljeret og mest rettet mod de knapt så gode matematikelever. For at udfordre de gode elever, som også typisk fanger emnet differentialligninger hurtigt, havde jeg lavet et arbejdsark (Link), der lagde op til langt flere selvstændige eksperimenter. Selvom der var flere udfordringer i dette dokument, blev de gode elever alligevel først færdige.

Når vi skal behandle teorien bag differentialligninger, vil jeg beholde denne opdeling af klassen. De gode elever skal udfordres med lidt flere beviser og arbejdsark, som er ikke er så opskriftsagtige.

Historisk matematik - logaritmer

Logaritmernes historie og anvendelsesmåder er interessant, så hvorfor ikke prøve at give eleverne et indblik i disse. Og så får jeg samtidig tvunget eleverne til at træne logaritmeregnereglerne.
Jeg har her i december med min 1g brugt lidt tid på at præsentere:
- hvorfor logaritmerne er fantastiske til at foretage multiplikation
- hvordan man konstruerer logaritmetabeller
- hvordan en regnestok fungerer

Det klart mit indtryk, at eleverne bliver lidt imponeret af, hvad logaritmerne kan bruges til. Og fascinationen af matematikernes utrættelige arbejde med konstruktion af logaritmetabeller er også lidt svær at skjulte.
At matematiklæreren desuden medbringer en bog fra 1849 næsten udelukkende fyldt med diverse tabeller, hjælper også med at høre historiens vingesus.

Vi startede forløbet med at undersøge logaritmernes egenskaber med at ændre multiplikation til addition, hvor vi foretog opslag i tabel og løste forskellige opgaver.
Efterfølgende arbejdede vi lidt med de principper, som ligger bag konstruktionen af logaritmetabellerne. Hvilke logaritmeværdier kan bestemmes ud fra allerede kendte logaritmeværdier? Her blev logaritmeregnereglerne flittigt brugt.
I anden del af forløbet lavede vi vores egen regnestok. Lidt smart at man nu kan gange blot ved at forskyde to logaritmisk akser i forhold til hinanden.
Jeg tror eleverne syntes det var en sjov lidt anderledes form for matematik.
Efter juleferien er det planen, at vi laver vores eget logaritmepapir og får eftervist, at grafen for eksponentielle funktioner tegnet på enkeltlogaritmisk papir giver en ret linje.
De to dokumenter vi har anvendt:
Logaritme som "gange"-maskine (Link - lidt stor fil)
Bedstefars lommeregner (Link)

Lineær programmering - i 1g

Så er det ved at være lidt hverdag igen. Jeg har ligget lidt underdrejet med 12 SRP-opgaver. Men nu er der igen tid til at fokusere på selve undervisningen.
I tirsdags havde jeg planlagt en matematikdag (8-14) for mine 1g-ere og 3g-ere. Ud over at arbejde med matematik var formålet at ryste eleverne lidt mere sammen på tværs af årgangene.
Jeg havde valgt, at eleverne skulle arbejde med lineær programmering, da ingen af klasserne kendte til dette emne og samtidig ligger emnet tæt op ad lineære funktioner, som begge klasser er fortrolige med.
Eleverne var sammensat i grupper på 4-5 på tværs af de to klasser. Jeg havde designet et optimeringsproblem til eleverne (Inspireret af et afsnit fra "Hvad er matematik A"-bogen), som skulle løses i løbet af de 6 timer.
Jeg nævnte ikke ordet lineær programmering af frygt for, at eleverne straks ville kaste sig over Google. Det var meningen, at eleverne selv skulle komme med løsningsforslag til problemet.
Først arbejdede eleverne 30 min i deres egen gruppe og derefter fulgte to seancer a 15 min, hvor grupperne udvekslede ideer. Resten af dagen arbejdede man i sin egen gruppe.
Næsten alle grupper startede med udregninger i Excel og siden i Maple. Pga. det lave produktionsantal var eleverne hurtige til at tjekke de mulige kombinationer. Så en anden gang vil jeg nok justere tallene op, så det ikke er praktisk muligt at teste mulighederne.
Men eleverne kom dog også relativt hurtigt på ideen med at opstille ligninger, som så blev løst i Maple. Det viste sig dog delvist at være en blindgyde.
Jeg var desværre nødt til at nævne Geogebra som muligt værktøj. Det fik sat skub i beregningerne.
Det sidste spørgsmål om følsomhedsanalysen fandt eleverne meget svært. Det krævede en del hjælp fra min side. Hvis jeg skal lave projektet en anden gang, vil jeg overveje, hvordan jeg kan hjælpe følsomhedsanalysen på vej.
Det ene af skæringspunkterne mellem grænselinjerne giver ikke heltallige værdier. Jeg havde håbet, at nogle grupper have nået at diskutere, hvilke problemer det giver med følsomhedsanalysen, men så langt nåede ingen af grupperne desværre.
Feedback fra eleverne var overordnet meget positiv - bortset fra sværhedsgraden omkring følsomhedsanalysen.
Min opgaveformulering ligger her (Link).

Lineært projekt: Udbud-efterspørgsel

I 1e har vi i denne uge arbejdet med udbud og efterspørgsel i matematiktimerne. Ved at generalisere kurverne til lineære funktioner, skulle eleverne undersøge udbud og efterspørgsel for et fiktivt produkt.
Opgaven var, at eleverne for en virksomhed skulle undersøge udbud og efterspørgsel og så efterfølgende aflevere en rapport, der beskriver deres undersøgelser. Projektet var styret af en række spørgsmål, men elevernes skulle sammenskrive svarene til en sammenhængende rapport i stedet for en traditionel spørgsmål-svar besvarelse.
Eleverne læste indledningsvis om udbud og efterspørgsel. Hertil brugte vi 3 sider fra "Økonomi - principper, praksis og perspektiv" af Kåre Clemmensen og Per Henriksen fra forlaget Columbus 1. udgave, 3. oplag 2008.
Uheldigvis byttes i samfundsfagsbøger rundt på akserne i forhold til, hvad vi normalt gør i matematik. Derfor justerede jeg teksten og ændrede figurerne, så notation blev korrekt i forhold til normal matematisk notation (Link).
Selve opgaven er vedhæftet her (Link).
Som sædvanlig når man laver en ny opgave, er der altid plads til forbedring. Og det opdager man desværre ofte først, når eleverne arbejder med opgaverne. I dette tilfælde bør opgave 4 løses før opgave 3 og i opgave 4 skal ændringen være i forhold til den oprindelige supply-funktion.

Leg og matematik med samfundsfag/erhvervsøkonomi

Jeg har med min 2g-klasse kørt et lille forløb om prisoptimering i forbindelse med måde monopol og duopol.
Matematikken bag handler om sammensætning af funktioner og optimering. Bl.a. optræder andengradspolynomiet. Så jeg har brugt dette lille forløb som optakt til mere detaljeret arbejde med andengradspolynomier.
I forbindelse med konferencen om Matematik B i gymnasiet, som blev afholdt på Mulernes legatskole, har jeg lavet det denne version af projektet: Link
Som opstart til delen med duopol lavede vi et lille "spil":
Eleverne fik opgivet funktionen S_E = 50 - 0,5p_E + 0,5p_H , hvor S_E er deres salg, p_E er deres pris, mens p_H er konkurrenten Hugos formodede pris. Samtidig fik de af vide, at omkostningen pr. enhed er 0,8 kr.
Eleverne skulle nu i par gætte på Hugos pris og ud fra det bestemme deres egen optimale pris.
Eleverne fik så en modstandergruppe, som de udvekslede priser med. Ud fra disse faktiske priser skulle hver gruppe udregne deres salg, aktuelle indtjening samt hvilken pris der havde været optimal at vælge.
Grupperne foretager nu et nyt gæt på Hugos pris (modstandergruppen) og bestemmer igen sin egen optimale pris i relation hermed. Grupperne udveksler priser og gentager beregninger - husk det skal være de samme grupper som er parret i hele spillet.
Denne proces fortsætter et vist antal omgange og håbet er selvfølgelig, at eleverne får eksperimenteret sig tættere og tættere på ligevægtsprisen.
Det er vigtigt, at eleverne har fokus på optimal indtjening, så de ikke bare gætter priser i blinde.
Eleverne syntes det var en sjov leg, men vær opmærksom på at det tager en del tid. Jeg havde afsat 90 min og det var ikke rigtig nok. Beregningerne tog noget tid.
Måske vil det være smart at lade eleverne lave en skabelon f.eks. i form af et regneark, så beregningerne klares hurtigere.

Reklamer i matematik

I dag har jeg søsat et projekt i min 3g-klasse, hvor eleverne skal efterligne de reklamer, som ofte ligger bag målene i fodboldkampe. Reklamerne har en 3D-effekt, så det ser opretstående ud.
Dette projekt synes jeg er rigtig godt til at eleverne kan arbejde med rumgeometri i praksis og så skader det jo ikke, at eleverne også skal være lidt aktive med opmåling og klipning af figur.
Eleverne skal efter valg af figur og fastsættelse af koordinatsystemets origo og placering af kamera først konstruere løsningen i 2D-versionen af Geogebra.
Der er selvfølgelig udskrevet en konkurrence mellem grupperne om hvem der får lavet den bedste 3D effekt.
Link til projektformuleringen