Differentialregning - opsamling

Vi er så småt ved at afslutte differentialregning på mit 2g matematik-A hold. Vi har lavet en hel del beviser og også brugt en del energi på at italesætte de matematiske metoder, som anvendes ved opbygning af en matematisk teori.
Ofte har fokus i beviserne været at forstå de enkelte reduktioner og så har der ikke været lagt så meget vægt på bevisstrukturer mm.
Jeg valgte derfor i samråd med eleverne at lave en opsamling på differentialregning, hvor vi repeterer beviserne og i den repetition specielt fokuserer på de mere overordnede argumenter. Hvorfor har vi f.eks. bestemt differentialkvotienten til en given funktion, når vi benytter tretrinsreglen?
Da alle ikke kan nå alle beviser, optages beviserne på video og bliver efterfølgende samlet på en hjemmeside, som alle i klassen kan benytte. Jeg har på forhånd opdelt hjemmesiden i følgende emner:

Introduktion:

Indledende ting omkring differentialregning bl.a. om sekant-tangent, definition på differentiabel funktion

Bevisteknikker:

Beskrivelse af overordnede bevisteknikker, som er blevet anvendt i de forskellige beviser (tretrinsreglen, induktionsbevis samt matematikkens indre struktur)

Basale funktioner:

Beviser for en række af de mere basale funktioner (f.eks. x², ax+b, konstant, ...

Regneregler:

Beviser for hvordan man differentierer funktioner, som er kombinationer af basale funktioner
Tangentligningen

Her bevises formlen for tangentligningen.

Eleverne vælger sig selv ind på beviser efter fagligt niveau - dog stiller jeg krav til at alle elever er med til forskellige typer beviser. Jeg sikrer desuden, at der laves mindst to videoer med hvert bevis, så eleverne kan se forskellige fremstillinger af beviserne.

Eleverne er fortrolige med at arbejde med disse hjemmesider (Google sites), så de lægger selv deres videoer ind på hjemmesiden.
Ud over videoerne stiller jeg krav om at hver hjemmeside også skal indeholder:
- præcis beskrivelse af sætningens ordlyd
- overordnet beskrivelse som forklarer, hvordan beviset er opbygget 
- evt. andre relevante oplysninger.
Der stilles også krav til de elementer som videoerne skal indeholder. Bl.a. er definitionen på differentiabilitet obligatorisk i videoen.

Differentialregning - læse/skrive beviser

Jeg foretrækker oftest, at eleverne selv arbejder sig frem gennem f.eks. beviser i stedet for at læse beviserne i en bog. Men det er selvfølgelig også vigtigt, at eleverne lærer at læse matematik.
Vi har tidligere talt en del om læsning af matematiske tekster og hvad der f.eks. forventes, når man læser beviser i matematik. Det handler om "tænk med en blyant", lave figurer, lave ekstra mellemregninger, skrive kommentarer til mellemregninger...
Jeg ville teste om eleverne også gør, som vi har talt om, så de fik udleveret beviset for differentiation af f(x) = ax² + bx + c. Lektien var at de skulle "læse rigtigt", og at de skulle kunne gennemføre beviset for en kammerat.
Jeg havde blot "glemt" (udeladt er vist et mere korrekt ord) at fortælle eleverne, at det udleverede bevis var fyldt med fejl (Link).
Heldigvis havde mange af eleverne opdaget i hvert fald nogle af fejlene.
Det gav anledning til en diskussion af, hvornår et bevis er "læst". Og at det også er vigtigt, at man noterer de ting, man ikke forstår!
For at få den korrekte version af beviset har eleverne efterfølgende afleveret beviset som en del af en hjemmeopgave. Fokus her er selvfølgelig, hvilke elementer som indgår i et bevis og hvordan man gør et bevis personligt og ikke bare en kopi af et bevis fra en bog - en vigtig kompetence at mestre, når der skal skrives SRP.

Skriftlige eksamensopgaver

Jeg har tidligere skrevet om de 5 pinde (Link), der skal tages højde for, når skriftlige eksamensopgaver bedømmes.
Min 1g-klasse er nu fået så meget træning i arbejde med funktioner, at de med få tips kan løse delen med hjælpemidler fra HF-B eksamen. Jeg har allerede introduceret, hvordan man differentierer og integrerer ved hjælp af Maple, så disse opgaver kan også løses, selvom den bagvedliggende teori ikke har været behandlet.
Eleverne har netop løst HF-B sættet fra december 2014. I min retning fokuserede jeg på de 5 pinde og jeg gav eleverne point for hver opgave. I de fleste opgaver angav jeg kun pointtal. Dog forklarede jeg, hvad der var galt, hvis opgaven var løst forkert.
Som forberedelse til timen efter eleverne havde fået deres besvarelse retur, skulle eleverne genlæse de 5 pinde og overveje årsagen til de point jeg havde trukket i deres besvarelse.
I timen talte vi først lidt om kriterierne, hvorefter eleverne 2 og 2 diskuterede deres besvarelser og manglende point.
Jeg tror, det var lidt af en eye-opener for eleverne: "Trækker det virkelig ned, hvis....?"
Indrømmet jeg var lidt hård i mit pointfratræk, men det blev gjort i pædagogikkens navn :-).
I dag afleverer eleverne så et nyt HF-B sæt. Som opgave 0. skal eleverne angive 5 fokuspunkter, som de vil fokusere på i deres aflevering. Disse fokuspunkter skal findes i tidligere afleveringer. Jeg afslutter altid en aflevering med lidt generelle kommentarer til besvarelsen. Det er blandt disse kommentarer eleverne skal udvælge deres fokuspunkter.
Ved retningen af denne opgave vil jeg skrue endnu mere ned for mine kommentarer og stort set kun give point for opgaverne. Planen er så at eleverne i den kommende hjemmeopgave skal forklare manglerne i de opgaver, hvor der ikke er opnået 10 point.
Mit håb er selvfølgelig, at jo før og jo bedre jeg får lært eleverne en god stil, jo mindre skal jeg bruge energi på at kommentere formalia i afleveringerne.

Animerede beviser

Som oplæg til eksponentielle funktioner har vi i 1g arbejdet med potensregnereglerne med heltallige eksponenter.
Efter en række praktiske opgaver fik vi opstillet potensregnereglerne (formel 10-16 i formelsamlingen til A-niveau).
Som træning sammensatte jeg eleverne i par. De skulle nu bevise alle potensregneregler to og to.
Hvert par fik herefter til opgave at videooptage to af beviserne ved hjælpe af små stykker papir. Hvis et stykke papir symboliserede et a, så ville en mængde lignende stykker svarer til aⁿ.
Eleverne skulle så flytte rundt/samle/forkorte de små stykker papir og dermed sandsynliggøre potensregnereglerne.
Det var ikke imponerende beviser/argumentationer, som eleverne fremkom med, men jeg oplevede det som en god øvelse i at tale matematik. Eleverne fik lært at arbejde med nogle af de begreber og ord, som er knyttet til potensregneregler.
Og så synes eleverne også det var lidt sjovt med en anden form for bevis end blot at nedskrive et bevis på tavlen.
Beviserne blev optaget med elevernes smartphone og lagt ind på klassens fælles Youtube-konto.
Der findes flere af denne type beviser, som jeg måske vil benytte senere. Et par eksempler er kvadratsætningerne og Pythagoras sætning.

Formidling af matematik

For at eleverne ikke skal køre træt i den samme type skriftlige opgaver uge efter uge, kan formidlingsopgaver være en god afveksling.
Lad f.eks. eleverne skrive en artikel om et gennemgået emne, hvor målgruppen er personer, der ikke kender til emnet.
Prøv evt. at få dansklæreren til også at være med. I dansk skal eleverne bl.a. arbejde med formidling og artikelskrivning.
Mine 3g-ere har netop afleveret en sådan formidlingsopgave. Sammen med dansklæreren bad vi eleverne skrive en artikel til Illustreret Videnskab, som skulle omhandle et matematisk emne, de tidligere havde fået gennemgået. Det var et krav at en praktisk anvendelse af det matematiske emne skulle indgå og at der skulle være en faktaboks med et relevant bevis.
Vi ville i lille skala demonstrere for eleverne, hvordan man kan skrive SRP i fagene matematik og dansk.
I stedet for at vælge blandt gennemgåede emner kan eleverne også udfordre med selv at skulle sætte sig ind i et lille emne. Evt. kan eleverne beskæftige sig med en række forskellige emner. Dermed kan målgruppens være klassekammerater, der ikke kender emnet.
Ideer til sådanne emner kunne være:
     Gyldne snit, Fibonaccital, uendelighed, tallet Pi, vektorfunktioner, komplekse tal, ...