Arealet af enhedscirklen

Som afslutning på integralforløbet har mine 3g-ere i denne uge arbejdet med forskellige måder at bestemme areal på.
Hel konkret blev eleverne bedt om at udregne (en tilnærmelse til) arealet af enhedscirklen på forskellige måder.
Som lektie til første modul skulle eleverne komme med ideer til metoder, som kan benyttes til at bestemme enhedscirklens areal. De skulle både komme med forslag med og uden brug af hjælpemidler. Og de blev opfordret til at have integralregning i baghovedet.
I timen udvekslede eleverne deres ideer og forslagene blev præsenteret på tavlen. Der kom mange gode forslag.
Jeg havde på forhånd besluttet at fokusere på integralregning, så jeg tillod mig at forkaste geometriske metoder som f.eks. minder om Archimedes bestemmelse af pi.
Eleverne, som nu blev delt op i grupper, fik til opgave at skrive en lærebog om bestemmelse af arealet af enhedscirklen, hvor følgende beregningsmetoder skulle benyttes:
1) Brug af funktion med hjælp af Maple
2) Løsning i hånden ud fra stamfunktion fundet i gammel bog fyldt med stamfunktioner til alle mulige funktioner
3) Brug af summer
4) Brug af Taylorrækker

Vi har tidligere arbejdet med forberedelsesmaterialet om rækker og følger, så Taylorpolynomier er allerede kendte.
Delen med summer og Taylorrækker benyttes som minitræning frem mod SRP, idet eleverne selv skulle finde relevante materialer om summer (har ikke tidligere været gennemgået) og materialer til et lille teoriafsnit om Taylorrækker,. Materialerne skulle findes på nettet.
I den forbindelse benyttede jeg lejligheden til med eleverne, hvordan man gør den læste kilde til ens egen tekst og ikke bare skriver af fra kilden.
Vi diskuterede selvfølgelig også de forskellige løsningsmetoders styrker.
Jeg forventer, at dette projekt får en fremtrædende plads i et at mine spørgsmål til den mundtlige eksamen.
Du kan se den opgave eleverne fik udleveret efter deres brainstorm her.

Mundtlig årsprøve i matematik

Min 1g-klasse (A-niveau) skal til mundtlig årsprøve i matematik.
Jeg vil gerne benytte lejligheden til at træne elevernes evne til at læse matematik, til at arbejde selvstændigt med matematik og så selvfølgelig at fremlægge matematik. Og så skal eleverne gerne have en god oplevelse med årsprøven.
Jeg lader eleverne være sammen i par. Det styrker efter min mening både elevernes motivation og så er det godt at have nogen at udveksle ideer med. Fremlæggelsen foregår derfor også i par.
I stedet for en traditionel årsprøve, skal eleverne arbejde med et nyt matematiske emne. Vi har ikke gennemgået potensfunktioner endnu, så det bliver emnet.
Jeg har i forskellige matematikbøger fundet deres præsentation af potensfunktioner. Eleverne skal ud fra disse materialer selv vælge det stof, de vil gennemgå under eksaminationen.
Ud over den teoretiske præsentation, skal der også inddrages en anvendelse af potensfunktioner. Eleverne får udleveret en række eksempler, hvorfra de selv skal udvælge et. Eksemplerne handler om:
Vindmøllers effekt, Foucaults pendul, effekt ved cykling, sammenhæng mellem antal rygere og på pris på cigaretter, sammenhæng mellem dyrs vægt og overfladeareal, sammenhæng mellem vanddybde og hastighed på tsunami samt Cobb-Douglas funktionen (økonomisk model).
Jeg ved selvfølgelig godt, det er svært for eleverne at arbejde selvstændigt med nyt stof. Derfor har klassen en tvungen arbejdsdag på skolen to dage før selve årsprøven. Jeg vil være på skolen hele dagen for at hjælpe eleverne. Desuden har jeg stillet som krav, at jeg i løbet af dagen skal godkende alle pars disposition for fremlæggelsen.
Jeg har tidligere haft gode erfaringer med denne model for mundtlig eksamen, så jeg håber det også bliver en succes denne gang. Specielt arbejdsdagen på skolen, har eleverne været glade for. Både fordi jeg er i nærheden til at hjælpe, men også det at hele klassen arbejder om et fælles projekt, hvor man hjælper hinanden med at lære mest muligt.
Eleverne har altid taget denne form for årsprøve seriøst, og det er meget vigtigt for, at årsprøven ikke bliver spild af tid. Det at eleverne er sammen i par, tror jeg styrker seriøsiteten, og så betyder det nok også noget, at jeg kraftigt signalerer, at dette emne er relevant til eksamen og ikke gennemgås på et senere tidspunkt.
I forbindelse med selve eksaminationen er det desuden et krav at alle overværer én anden gruppes fremlæggelse. Det er vigtigt at se andres gennemgang både mht. form og indhold.

Lineær programmering - i 1g

Så er det ved at være lidt hverdag igen. Jeg har ligget lidt underdrejet med 12 SRP-opgaver. Men nu er der igen tid til at fokusere på selve undervisningen.
I tirsdags havde jeg planlagt en matematikdag (8-14) for mine 1g-ere og 3g-ere. Ud over at arbejde med matematik var formålet at ryste eleverne lidt mere sammen på tværs af årgangene.
Jeg havde valgt, at eleverne skulle arbejde med lineær programmering, da ingen af klasserne kendte til dette emne og samtidig ligger emnet tæt op ad lineære funktioner, som begge klasser er fortrolige med.
Eleverne var sammensat i grupper på 4-5 på tværs af de to klasser. Jeg havde designet et optimeringsproblem til eleverne (Inspireret af et afsnit fra "Hvad er matematik A"-bogen), som skulle løses i løbet af de 6 timer.
Jeg nævnte ikke ordet lineær programmering af frygt for, at eleverne straks ville kaste sig over Google. Det var meningen, at eleverne selv skulle komme med løsningsforslag til problemet.
Først arbejdede eleverne 30 min i deres egen gruppe og derefter fulgte to seancer a 15 min, hvor grupperne udvekslede ideer. Resten af dagen arbejdede man i sin egen gruppe.
Næsten alle grupper startede med udregninger i Excel og siden i Maple. Pga. det lave produktionsantal var eleverne hurtige til at tjekke de mulige kombinationer. Så en anden gang vil jeg nok justere tallene op, så det ikke er praktisk muligt at teste mulighederne.
Men eleverne kom dog også relativt hurtigt på ideen med at opstille ligninger, som så blev løst i Maple. Det viste sig dog delvist at være en blindgyde.
Jeg var desværre nødt til at nævne Geogebra som muligt værktøj. Det fik sat skub i beregningerne.
Det sidste spørgsmål om følsomhedsanalysen fandt eleverne meget svært. Det krævede en del hjælp fra min side. Hvis jeg skal lave projektet en anden gang, vil jeg overveje, hvordan jeg kan hjælpe følsomhedsanalysen på vej.
Det ene af skæringspunkterne mellem grænselinjerne giver ikke heltallige værdier. Jeg havde håbet, at nogle grupper have nået at diskutere, hvilke problemer det giver med følsomhedsanalysen, men så langt nåede ingen af grupperne desværre.
Feedback fra eleverne var overordnet meget positiv - bortset fra sværhedsgraden omkring følsomhedsanalysen.
Min opgaveformulering ligger her (Link).

Lineært projekt: Udbud-efterspørgsel

I 1e har vi i denne uge arbejdet med udbud og efterspørgsel i matematiktimerne. Ved at generalisere kurverne til lineære funktioner, skulle eleverne undersøge udbud og efterspørgsel for et fiktivt produkt.
Opgaven var, at eleverne for en virksomhed skulle undersøge udbud og efterspørgsel og så efterfølgende aflevere en rapport, der beskriver deres undersøgelser. Projektet var styret af en række spørgsmål, men elevernes skulle sammenskrive svarene til en sammenhængende rapport i stedet for en traditionel spørgsmål-svar besvarelse.
Eleverne læste indledningsvis om udbud og efterspørgsel. Hertil brugte vi 3 sider fra "Økonomi - principper, praksis og perspektiv" af Kåre Clemmensen og Per Henriksen fra forlaget Columbus 1. udgave, 3. oplag 2008.
Uheldigvis byttes i samfundsfagsbøger rundt på akserne i forhold til, hvad vi normalt gør i matematik. Derfor justerede jeg teksten og ændrede figurerne, så notation blev korrekt i forhold til normal matematisk notation (Link).
Selve opgaven er vedhæftet her (Link).
Som sædvanlig når man laver en ny opgave, er der altid plads til forbedring. Og det opdager man desværre ofte først, når eleverne arbejder med opgaverne. I dette tilfælde bør opgave 4 løses før opgave 3 og i opgave 4 skal ændringen være i forhold til den oprindelige supply-funktion.

Mundtlig eksamen - kan det gøres bedre ?

Diskussionen om vores mundtlige eksamen i matematik på rimelig vis afspejler undervisningen dukker jævnligt op.
Vi skal i undervisningen træne elevernes problemløsningskompetence, men ved eksamen (skriftlig såvel som mundtlig) har denne kompetence en meget lille plads. Det synes jeg er synd.
Ved mundtlig eksamen i fysik (B- og A-niveau) haves en model, hvor eleverne først i grupper udfører eksperimenter (ca. 5 grupper arbejder samtidig), mens lærer og censor går rundt mellem grupperne og hører om deres eksperiment. Efterfølgende er eleverne til en traditionel individuel mundtlig eksamen.
Kan vi gøre noget lignende i matematik?
Jeg havde besluttet mig for at lade mine 3g'ere afprøve modellen med pararbejde omkring et projekt som deres første hjemmeopgave.
Jeg inddelte eleverne i to hold, hvor eleverne skulle danne grupper på 2 personer. Jeg havde så omlagt dele af den skriftlige opgave, således at hvert hold skulle være 90 min på skolen sammen med mig.
Som forberedelse til det omlagte modul skulle eleverne læse opgaveformuleringen igennem og tænke lidt over løsningsmetoder. Det var forbudt at starte på selve løsningen.
Opgaven gik ud på at designe et dige, hvor der var en nogle forskellige design krav. Det betød, at eleverne kom rundt om lineære funktioner, parabler, differentialregning samt integralregning.

Opgaven har jeg "hugget" fra en kollega - tak for ideen. Det ser således ud (Link).
I de 90 minutter var det planen, at eleverne i par arbejdede med opgaven, som skulle afleveres. Der var sat tid af til at få skrevet teksten ordentlig efterfølgende. Der skulle fokuseres på opgaveløsningerne i de 90 minutter.
De 90 minutter gik rigtig godt og jeg fik snakket en masse matematik med eleverne. I og med at mange emner kommer i spil i opgaven, så havde jeg også mulighed for at tale med de enkelte elever på deres niveau. Måske manglede der lidt ekstra udfordringer til de gode elever.
Det er selvfølgelig en balancegang, hvor meget man skal hjælpe eleverne, hvis det er i en eksamenssituation, men med små vink var det muligt også at få de svagere elever gennem opgaven. Specielt bestemmelsen af parablens konstanter drillede. Vi har nu heller ikke brugt megen tid på løsning af flere ligninger med flere ubekendte.
Jeg fik nok hjulpet mere end man bør gøre i en eksamenssituation, men nu var det første gang med en sådan "eksamen" for både mig og mine elever.
Jeg spurgte eleverne på første hold, om de kunne forestille sig en sådan eksamensform. Det var de meget positive over - de syntes det var sjovt at arbejde mere praktisk med matematikken. Så man også kan se det kan bruges til noget.
Jeg er ret sikker på, at jeg vil prøve denne form for aflevering flere gange i løbet af skoleåret. Det kræver blot at man finder nogle gode tværfaglige projekter.
I morgen møder hold 2 :-).

Matematiklyftet

Sverige har som i Danmark sammenlignet med mange andre lande svært ved at opnå tilfredsstillende resultater i Pisa-undersøgelserne - i hvert fald set fra et politikersynspunkt.
Derfor har man i Sverige iværksat et stort efteruddannelsesprogram for lærere i folkeskolen, gymnasiet og for voksenundervisning.
Kurset knyttet til matematik kaldes Matematiklyftet og dets hjemmeside er matematiklyftet.skolverket.se/.
Kurset er opbygget omkring en række moduler, som lærerne arbejder med på deres egen skole - typisk i små grupper hvor erfaringer-, ideer, projektforslag, ... udveksles. Til hver af disse grupper er tilknyttet en matematikvejleder, som gruppen sparrer med i løbet af skoleåret. Hvert modul består af nogle artikler samt ideer til aktiviteter, der kan afprøves på egne hold.
Kompetencebegrebet, som vi også kender fra Danmark, er i fokus i kursets moduler. Derudover er elevaktivering og kommunikation som læringsmiddel centralt.
Artiklerne er oftest noget overordnede og beskriver i generelle vendinger, de ting man skal være opmærksom på i undervisningen. Nogle artikler har dog eksempler på specifikke opgaver til eleverne, hvor udvalgte kompetencer kan trænes. Jeg kunne godt have tænkt mig at artiklerne var langt mere konkrete i relation til, hvordan de gode råd konkret kan implementeres i undervisningen.
En ting har jeg dog taget med mig. Vi skal passe på med kun at stille opgaver til eleverne, hvor metoden er givet på forhånd. Vi er nødt til at udfordre eleverne med opgaver/projekter, hvor løsningsmetoden ikke er oplagt.
Artiklerne synes jeg dog for det meste er gode til at sætte gang i mine tanker omkring min undervisning og det er jo altid en god ting.
Et eksempel fra artiklerne er at eleverne skal bestemme arealet af spild mælk (se figur nedenfor). Her kan mange strategier anvendes - trigonometri, summer, regression og derefter integral, ...
Jeg har ikke helt fundet ud af hvordan jeg vil benytte opgaven endnu. Mere herom senere.

Reklamer i matematik

I dag har jeg søsat et projekt i min 3g-klasse, hvor eleverne skal efterligne de reklamer, som ofte ligger bag målene i fodboldkampe. Reklamerne har en 3D-effekt, så det ser opretstående ud.
Dette projekt synes jeg er rigtig godt til at eleverne kan arbejde med rumgeometri i praksis og så skader det jo ikke, at eleverne også skal være lidt aktive med opmåling og klipning af figur.
Eleverne skal efter valg af figur og fastsættelse af koordinatsystemets origo og placering af kamera først konstruere løsningen i 2D-versionen af Geogebra.
Der er selvfølgelig udskrevet en konkurrence mellem grupperne om hvem der får lavet den bedste 3D effekt.
Link til projektformuleringen