Hjemmeopgaver - Ikke kun en løsningsmetode og tjek af løsning

Eleverne skal have et beredskab, de kan benytte, hvis de har problemer med at løse en opgave. Problemet kan skyldes, at de ikke kan finde ud af at løse opgaven eller at matematikprogrammet driller.
Jeg gør en del ud af at træne forskellige løsningstyper, så eleverne ikke altid er bundet til en bestemt løsningsmetode.
Det er selvfølgelig ikke altid, det er muligt at konstruere en alternativ løsning, der giver fuldt point, men få point er bedre end ingen.
De stærke matematikelever får også noget ud at arbejdet med alternative løsningsmetoder, da disse kan benyttes som tjek.
Når eleverne har arbejdet med forskellige løsningsstrategier, så oplever jeg, at eleverne i fremtidige besvarelser vælger forskellige metoder. Eleverne er altså ikke enige om, hvilke metoder de foretrækker. Det gør det også vigtigt, at vise forskellige strategier og metoder, da det er med til at stille den enkelte elev bedre til eksamen.
Mine elever afleverer i denne uge bl.a. følgende opgave - inspireret af en tidligere eksamensopgave:

Det er et krav, at opgaven løses i Maple.

 

I næste uge skal eleverne aflevere samme opgave, men denne gang skal løsningerne bestemmes i Geogebra.

Det er svært at få hele dokumentationen og centrale kommentarer med ved løsning af opgaver i Geogebra . Derfor får eleverne følgende huskeregler til løsning af opgaver med Geogebra:

 

Det er svært at få vænnet eleverne til at tjekke om resultatet på et spørgsmål er rimeligt/korrekt. Jeg vil derfor inden længe give eleverne en hjemmeopgave, hvor svarene er angivet.

Eleverne skal så i stedet for at løse opgaverne tjekke om svarene er korrekte - det vil de selvfølgelig ikke være alle sammen.

Komplekse matematiske problemer

Det er svært at løse mere komplekse matematiske problemer, hvor løsningsmetoden måske ikke er helt tydelig, når man læser opgaveteksten. Det er jo ikke fordi vi har mange af denne type opgaver i gymnasiet, men opstilling af funktionsudtryk hørende til optimeringsopgaver falder i den kategori.
Som introduktion til teorien bag differentialregning (eleverne er bekendte med f '(x), hvad differentialkvotienten benyttes til i forbindelse med optimering og hvordan man benytter Geogebra/Maple til at løse sådanne optimeringsopgaver) har jeg valgt at starte skoleåret for min 2g-klasse med træning i opstilling af funktionsudtryk og optimering af disse.
Jeg har introduceret eleverne til følgende 7 trin, som kan være med til at skabe lidt struktur på opstillingen af funktionsudtryk:
1) Forståelse
Hvad handler opgaven om? Hvad skal bestemmes?

2) Visualisering
Skitser situationen hvis det er muligt.
Lav situationen i virkeligheden, hvis det er muligt.

3) Sortering
Sorter evt. irrelevante informationer fra og sorter de relevante informationer
Hvilken type matematik kan anvendes? Hvilke kendte formler kan anvendes?

4) Symboler og eksempel
Indfør passende symboler og udregn/konstruer evt. eksempler.
Kan situationen eventuelt konstrueres i Geogebra (se evt. tips nedenfor)?

5) Formel
Opstil en formel til løsning af problemet

6) Beregning
Beregn løsningen

7) Konklusion
Sørg for at få konkluderet på udregninger i relation til det emne opgaven handler om

Specielt delen med konstruktion af fysisk model, udregning af eksempler og løsning i Geogebra lægger jeg vægt på. Alle disse dele er med til at give eleverne inputs til, hvordan selve funktionsforskriften opstilles.
Det er klart at når eleverne bliver mere rutinerede til at opstille funktionsudtryk, så er flere af ovenstående punkter ikke så nødvendige.

Løsningen i Geogebra kan typisk laves med en skyder, opsamling i regneark og efterfølgende regression. Jeg viste kort eleverne metoden med punkterne på grafen for f(x) = x² som eksempel og gav efterfølgende eleverne metoden på papir (Link). Det var dog ikke nødvendigt for eleverne at søge hjælp i arket efterfølgende.
Vi startede forløbet med at løse en tidligere eksamensopgave, hvor vi gennemløbe de enkelte trin på tavlen med små arbejdspauser i par ved hvert punkt. Herefter blev eleverne inddelt i grupper, som fik hver deres optimeringsproblem. Når eleverne havde løst "deres problem" kunne de gå videre til et af de andre problemer.
I slutningen af modulet præsenterede eleverne problemer og løsningsmetoder for hinanden i matrixgrupper. Formålet med dette var at eleverne skulle konstatere, at løsningsmetoden for sådanne opgaver er den samme.
Eleverne fik udleveret disse opgaver - Link.

Den første hjemmeopgave for eleverne bliver et projekt med optimering af én henholdsvis to kegler, hvor fokus også vil være ovenstående 7 punkter (Link).
Min dynamiske løsning i Geogebra ses nedenfor (Link).

Jeg forstår det ikke...

Som så mange andre matematiklærere sidder jeg i disse dage og retter opgaver fra den skriftlige eksamen i matematik. Og endnu en gang undrer jeg mig over elevernes manglende reflektioner over egne udregninger.
I år retter jeg STX A-sæt (både almindelige og NET-forsøg).
Hvorfor kan eleverne ikke se nogen sammenhæng mellem matematikopgaverne, de skal løse, og (pseudo-)virkeligheden?
Når en opgave er regnet, så gælder det åbenbart om at komme videre hurtigst muligt uden at reflektere over resultatet. Hvorfor undrer eleverne sig ikke over:
1) at ligevægtsbestanden på en population af laks bliver 0,43 ?
2) at når man har lavet regression over en aftagende følge punkter, så fås højere tal end startværdien, når der laves fremskrivning
3) at vinklen mellem to planer bliver 1 grad.
4) at indtjeningen på en film bliver 347384720378 mill $.
5) at udregningen ikke stemmer overens med tegningen
6) at når man skal vise noget gælder, så kommenterer man det slet ikke, hvis man får noget andet.
7) at et areal bliver negativt
8) at ...

Det kan selvfølgelig være, at eleven ikke kan finde fejlen, men så forventer jeg i det mindste, at eleven skriver, at resultatet sandsynligvis er forkert.

Jeg håber ikke, mine egne elever glemmer disse reflektioner over resultatet, men jeg er absolut ikke sikker. Jeg prøver at lære eleverne lige at bruge bare lidt tid på at overveje, om det fundne resultat lyder rimeligt - og hvor det er muligt også at tjekke resultatet.
Jeg har dog ikke fundet nogen god måde at træne denne evne på. Lige nu sidder jeg og overvejer følgende måder at træne reflektionen på:
1) ved aflevering at lade eleverne argumentere for, hvorfor deres svar lyder rimeligt
2) give eleverne en besvarelse med både korrekte og forkerte svar, hvor der skal argumenteres for svarenes rimelighed - altså uden nogen for form for udregning.

Hvad gør I der ude i matematik-landet? Nogle gode ideer?

Portfolio som aflevering

I min 1g er vi så småt ved at afslutte arbejdet med chi²-test og de tilhørende funktioner.
Vi har lavet chi²-test i Excel, har lavet små videoer hvor principperne ved chi²-test forklares, har arbejdet med chi²-funktionerne, har simuleret stikprøver og sammenlignet med chi²-funktionerne samt har regnet opgaver i Maple.
Vi har altså arbejdet med chi²-test ud fra en række forskellige indgangsvinkler.
I denne uges hjemmeopgave har jeg besluttet mig for, at eleverne skal aflevere en form for portfolio, der indeholder de mest centrale ting, vi har arbejdet med knyttet til chi².
Jeg har derfor bedt eleverne om at samle følgende til en aflevering:
- deres video om chi²-test
- beskrivelse af chi²-funktionerne set i relation til chi²-test (hvordan bestemmes f.eks. kritisk værdi og p-værdi)
- sammenhæng mellem chi²-funktioner og chi²-test
- eksemplarisk besvarelse af opgave med henholdsvis uafhængighedstest og goodness of fit.

Jeg har omlagt et undervisningsmodul, så eleverne i par kan arbejde sammen om opgaven. Det er vigtigt for mig, at eleverne får diskuteret opgaverne, og at jeg får mulighed for at hjælpe elever, hvor det stadig kniber med forståelsen. Derfor vil jeg også i løbet af modulet tjekke, hvad eleverne har tænkt sig at aflevere. Det er også med til at reducere mit rettearbejde.
Som lektie til timen har jeg bedt eleverne løse en lille diktatopgave (link).

Arbejde med eksamensopgaver

Jeg starter meget tidligt med at lade mine elever løse eksamensopgaver fra tidligere skriftlige eksamener.
Mange eksamensspørgsmål er formuleret på et relativt højt taksonomisk niveau, hvis man f.eks. prøver at placere spørgsmålene i relation til SOLO-taksonomien. Eksempler på sådanne spørgsmål kunne være bestemmelse af tangent, monotoniforhold, areal mellem to funktioner, sidelængde/vinkel i trekanter, regression, optimering, ... 
Spørgsmål som disse er typisk formuleret på multi-strukturelt niveau eller højere.

Når eleverne ikke har en dybdeforståelse af et emne, kræves en bearbejdning af de oprindelige eksamensspørgsmål. Jeg udvider således opgaven med flere delspørgsmål (stilladsering), der fungerer som en guide for eleverne.
Udvidelsen kan have flere forskellige formål:
1) Hjælpespørgsmål til løsning af spørgsmålet
2) Synliggøre metoden der skal benyttes
2) Tvinge eleverne til at benytte en specifik løsningsmetode (beregning, konstruktion, grafisk, eksperimenterende, uden hjælpemidler)

En typisk opgave kunne være følgende:

Eksempel på brug af ekstra hjælpespørgsmål:
1) Bestem f(2) - forklar betydningen
2) Bestem f '(x) - forklar betydningen
3) Bestem f '(2) - forklar betydningen
4) Angiv formlen for tangentligningen (hvad betyder x₀?)
5) Indsæt de kendte værdier i tangentligning og forkort

Eksempel på metodeløsning:
1) Du skal benytte tangentligningen - hvordan ser den ud?
2) Hvilke oplysninger benyttes i tangentligningen? Hvordan bestemmes de?
3) Bestem de manglende værdier, der skal indsættes i tangentligningen?
4) Bestem tangentens ligning.

Eksempel på krav til given løsningsmetode (grafisk):
1) Indtegn funktionen
2) Afsæt punktet (2, f(2))
3) Indsæt tangent i punktet (2, f(2))
4) Beskriv den metode du har benyttet
5) Placer værdier for indtastede og bestemte oplysninger i grafvinduet og juster akserne, så de interessante dele af grafen er tydelige.
6) Angiv en passende konklusion.

Jo bedre eleverne er til løsning af en given type opgave, jo mindre behøver man at stilladsere opgaven. Ovenstående eksempel benyttes f.eks. første gang eleverne afleverer opgave med tangentbestemmelse. Opgaverne kan evt. stilladseres mere eller mindre (differentieres), så eleverne kan vælge opgaver hørende til deres faglige niveau.
I de tilfælde er det nemmeste at lave stilladsering til de svageste elever først. Oftest skal der blot slettes nogle stilladseringspunkter, når dokumentet til de bedre elever udarbejdes.
Alternativt kan hjælp til opgaverne placeres i et særskilt dokument, hvori eleverne kan søge hjælp, hvis de har brug for det.

Skriftlige eksamensopgaver

Jeg har tidligere skrevet om de 5 pinde (Link), der skal tages højde for, når skriftlige eksamensopgaver bedømmes.
Min 1g-klasse er nu fået så meget træning i arbejde med funktioner, at de med få tips kan løse delen med hjælpemidler fra HF-B eksamen. Jeg har allerede introduceret, hvordan man differentierer og integrerer ved hjælp af Maple, så disse opgaver kan også løses, selvom den bagvedliggende teori ikke har været behandlet.
Eleverne har netop løst HF-B sættet fra december 2014. I min retning fokuserede jeg på de 5 pinde og jeg gav eleverne point for hver opgave. I de fleste opgaver angav jeg kun pointtal. Dog forklarede jeg, hvad der var galt, hvis opgaven var løst forkert.
Som forberedelse til timen efter eleverne havde fået deres besvarelse retur, skulle eleverne genlæse de 5 pinde og overveje årsagen til de point jeg havde trukket i deres besvarelse.
I timen talte vi først lidt om kriterierne, hvorefter eleverne 2 og 2 diskuterede deres besvarelser og manglende point.
Jeg tror, det var lidt af en eye-opener for eleverne: "Trækker det virkelig ned, hvis....?"
Indrømmet jeg var lidt hård i mit pointfratræk, men det blev gjort i pædagogikkens navn :-).
I dag afleverer eleverne så et nyt HF-B sæt. Som opgave 0. skal eleverne angive 5 fokuspunkter, som de vil fokusere på i deres aflevering. Disse fokuspunkter skal findes i tidligere afleveringer. Jeg afslutter altid en aflevering med lidt generelle kommentarer til besvarelsen. Det er blandt disse kommentarer eleverne skal udvælge deres fokuspunkter.
Ved retningen af denne opgave vil jeg skrue endnu mere ned for mine kommentarer og stort set kun give point for opgaverne. Planen er så at eleverne i den kommende hjemmeopgave skal forklare manglerne i de opgaver, hvor der ikke er opnået 10 point.
Mit håb er selvfølgelig, at jo før og jo bedre jeg får lært eleverne en god stil, jo mindre skal jeg bruge energi på at kommentere formalia i afleveringerne.

Flipped Learning - et nyt vidundermiddel?

Næsten uanset hvor man lige nu kigger hen i undervisningsverdenen, så tales der meget rosende om Flipped Classroom eller Flipped Learning. I sin stramme form handler det om at flytte lærergennemgang fra klasseværelset hjem til eleverne, således at undervisningstiden kan benyttes på at hjælpe eleverne med at arbejde videre med emnet. Det er meningen, at læreren optager sin gennemgang på video f.eks. som en screencast. Eleverne skal så hjemme se videoen inden næste time.
Sådanne videoer har selvfølgelig nogle åbenlyse fordele, idet eleverne igen og igen kan konsultere videoerne for at få hjælp. Og eleverne synes også det er en god form for lektie. Samtidig er det rart som lærer at kunne bruge mere tid på at hjælpe eleverne end ved at stå ved tavlen.
Jeg bruger selv metoden en gang i mellem - typisk ved introduktion til nye elementer i vores matematikprogram eller ved mere omfangsrige beviser, som er svære for eleverne at læse i en bog.
Men jeg synes ikke ubetinget det er en succes. Eleverne ser godt nok videoerne, men har de hovedet med? Det er dejlig nemt at se en video for så kan man sige, at man har lavet lektier. Min erfaring er at sådanne videoer kun kan bruges, hvis eleverne efterfølgende selv skal arbejde. Det er den eneste måde hvorpå de kan konstatere om stoffet er forstået. Så jeg mener ikke at man kan nøjes med at give eleverne en video for - den skal suppleres med spørgsmål som aktiverer/tjekker eleverne.
Måske kan man indlægge tænkepauser i videoerne. Det har jeg ikke selv prøvet, men det er da en overvejelse værd.
En anden fare ved for voldsom brug af flipped learning er, så vidt jeg kan se, at denne undervisningsform er endnu en lille brik i vores nursing af eleverne. Vi brokker os over at eleverne ikke er gode nok til at læse (faglige) tekster. Det bliver jo ikke bedre af, at vi omlægger forberedelsen og undervisningen, så mængden af læsning reduceres markant.
Så jeg mener ikke flipped learning er det nye store vidundermiddel som ukritisk skal implementeres i undervisningen.
Når det er sagt, så frigørelse af tid fra lærergennemgang i undervisningstiden absolut en positiv ting. Der findes dog andre måder at flytte fokus fra klasseundervisning til elevaktiverende undervisning, hvor det at få eleverne til at arbejde aktivt er i centrum.
Og så er der selvfølgelig lærerens arbejdstid. Det tager tid at optage videoer. I starten ville jeg gerne gøre videoerne perfekte, så optagelser hvor jeg ikke er klar nok i formuleringerne blev forkastet. Nu forsøger jeg med "one take". Det er ok, at eleverne ser, at jeg også kan formulere mig kludret.
Der findes utallige videoer på Youtube, som beskriver Flipped Learning/Classroom. I USA har Jessica Myxters netop afleveret Masterspeciale i pædagogik om Flipped Classroom i Matematik. Læs mere på bloggen IT i Gymnasiet (Link).

Tangent i starten af 1g

Som tidligere nævnt starter jeg normalt i mine nye klasser med funktioner og deres karakteristika. Og her er monotoniforhold et væsentligt begreb til at beskrive funktioners forløb.
Når eleverne er blevet fortrolige med monotoni-begrebet, introducerer jeg tangenter. I første omgang arbejder vi med tangenter i Geogebra, hvor det er nemt at få sådanne konstrueret. Samtidig kan eleverne undersøge tangenternes egenskaber ved at trække i punkterne på grafen, hvor tangenterne er placeret.
Koblingen til monotoniforhold og til  lineære funktioner, som eleverne har et vist kendskab til fra folkeskolen, fanger eleverne hurtigt. I hvert fald på det mere overordnede plan.
Når jeg inden længe introducerer Maple, så vil f '(x) ligeledes blive præsenteret. Jeg går ikke i dybden men forklarer blot eleverne, at Maple kan bestemme hældningen i x=2 ved at udregne f '(2). De finder selv hurtigt ud af at bestemme ekstremumspunkter ved at løse f '(x)=0 med solve.
Fordelen ved at introducere begrebet tangent og tilhørende opgaver gør, at eleverne er fortrolige med tangentbegrebet, når vi kommer til differentialregning. Differentialregning er jo svært nok i sig selv. Hvis eleverne allerede kender f '(x) og dens betydning, er de godt på vej. Emnet virker knapt så overvældende og underligt. Og så er der selvfølgelig også et fint pædagogisk argument i, at eleverne efter en del tid at have arbejdet med f '(x) som en "sort boks", lærer selv at bestemme f ' (x).
Den tidlige introduktion af f '(x) giver mig desuden mulighed for at stille langt flere interessante hjemmeopgaver til eleverne, idet optimeringsopgaver jo er i spil. Dermed har jeg også større mulighed for at give eleverne mere virkelighedsnære opgaver knyttet til deres studieretning..

En god skolestart - lektielæsning

I år starter jeg med en 1g-klasse i matematik på A-niveau. Studieretningen består af Samfundsfag A, matematik A og erhvervsøkonomi C.
Hvordan får jeg givet disse elever en god skolestart og en god matematikstart?
Min intro til matematik beskriver jeg i et andet indlæg - her vil jeg fokusere lidt på opbygning af gode arbejdsvaner primært lektielæsning..
Flere undersøgelser viser, at vi i matematikundervisningen taber drengene - også drenge som egentlig ikke er dårlige til matematik, når de starter i gymnasiet. Det er der en del forklaringer på. Se f.eks. rapporten "Gymnasiets drenge - matematikfagets drenge" fra 2011 (Link).
To vigtige faktorer i den forbindelse er motivation og lektielæsning:
Drenge er knapt som "autoritetstro" som pigerne. Hvis emnet ikke er interessant, har drengene en større tendens til at melde sig ud. Derfor fokuserer jeg i hvert fald i opstartsfasen meget på at gøre undervisningen relevant - gerne realistiske eksempler fra hverdagen - og helst i tilknytning til elevernes valgte studieretning. MEN jeg gør det også klart for eleverne, at alt ikke er lige sjovt og at man er nødt til at acceptere, at der også er noget hårdt arbejde, som ikke altid er lige sjovt. Man må yde før man kan nyde...
Jeg tror, det er specielt vigtigt, at eleverne får gode erfaringer med lektielæsningen. Det skal ikke kunne betale sig at springe lektierne over. Derfor er jeg meget omhyggelig med at give lektier for, som eleverne på en eller anden måde stilles til ansvar for i den efterfølgende time - nogle vil kalde det kontrol.
Det er også vigtigt at få forklaret eleverne, hvorfor lektierne er centrale. Og at selvom man ikke kan finde ud af hele lektien, så har man også lavet lektier, når blot man har givet det et ordentligt forsøg. Det skal selvfølgelig ikke være en snydevej at sige, at man ikke kunne finde ud af lektien. Så  ved problemer med en lektie, forventer jeg at man har nedskrevet, hvad man ikke kan finde ud af. Nogle gange beder jeg også eleverne nedskrive, hvor de har søgt hjælp.
Et par ideer til forpligtende lektier kan være:
1) Eleverne skal besvare en online quiz hjemme (f.eks. i Socrative (www.socrative.com) eller en oprettet Google formular).
2) Eleverne konstruerer selv relevante opgaver hørende til det gennemgåede - egne opgaver regnes også hjemme. Opgaverne udveksles i den kommende time.
3) Eleverne skal regne forskellige opgaver, som så udveksles i den kommende time
4) Bed eleverne skrive noget ned - gerne på papir. Så er det nemt at konstatere, hvem der ikke har læst lektier.

Ved mere traditionelle lektier kan man ved timens start sætte eleverne sammen to og to, hvor de skal arbejde med lektien - f.eks. forklare hinanden, hvordan opgaven løses. Eller man kan starte timen med at lade eleverne individuelt nedskrive hovedkonklusionerne på lektien.

Det er vigtigt at eleverne hurtigt finder ud af, at det ikke er sjovt, hvis man ikke har lavet sit hjemmearbejde.

Jeg er desuden meget opmærksom på, at lektielæsningen ikke bliver for svær og for omfangsrig. Eleverne skal også have gode erfaringer med lektierne. Derfor forventer jeg også kun, at eleverne bruger 20 minutter intensivt på lektielæsningen. Det er ok, hvis de ikke når hele lektien på 20 minutter, men der skal bruges 20 minutter!
Lektien kan f.eks. differentieres ved: "Regn flest mulige af opgaverne på 20 min"

På bloggen 111 variationer til undervisningen ligger indlægget Gør lektielæsningen autentisk (Link), hvor nogle af de samme tanker omkring lektielæsning diskuteres.

Skriftig eksamen - opgaveretning

Så blev det tid til censur af skriftlige opgaver. Når jeg censurerer disse opgaver, får det mig altid til at tænke over, om jeg har forberedt mine elever godt nok til den skriftlige eksamen.
Jeg undrer mig ofte over de besvarelser, jeg modtager. Kunne vi som lærere have forberedt eleverne bedre til den skriftlige eksamen.
Jeg ser rigtig mange opgaver hvor formalia ikke er i orden og det koster eleverne mange point. Bliver eleverne trænet nok i "de 5 pinde"?

Jeg har tidligere skrevet om, hvordan jeg træner og evaluerer disse pinde, når eleverne afleverer opgaver i løbet af skoleåret (Link til Trafiklys ved hjemmeopgaver).
En anden ting der slår mig, når jeg censurerer, er mange elevers manglende overordnet matematisk viden. I dette års HF B sæt er der i delen uden hjælpemidler en graf med en funktion, som tydeligvis ikke er lineær. Alligevel er der foruroligende mange elever, som parrer grafen med den lineære forskrift, der er angivet i opgaveteksten.
Hvad er det som går galt her?
Måske bruger vi for meget energi på at regne opgaver i stedet for at arbejde med matematik. Jeg vil i hvert fald forsøge at inddrage mere "overordnet" matematik i min undervisning.
Vi skal efter min mening have eleverne til at tale matematik i langt højere grad - også omkring noget som traditionelt opfattes som skriftligt pensum. På den måde tror jeg eleverne får en større overordnet matematisk forståelse, og det er jeg sikker på vil hjælpe til den skriftlige eksamen.
Jeg vil til næste år fokusere væsentlig mere på "overordnet matematik", som f.eks. karakteristika ved funktioner, hvad betyder...? men også at træne eleverne i at se mere teoretiske sammenhænge.
Traditionelt er vi meget fokuseret på detaljer i forbindelse med bevisførelse. Dermed er der fare for at eleverne mister overblikket over strukturen i beviset. En fokus på bevisernes mere overordnede struktur sammen med detaljerne selvfølgelig, tror jeg også, kan være med til at styrke elevernes overordnede matematikviden.
Nå - jeg må vist hellere tilbage til opgaveretningen.

Feedback på hjemmeopgaver

Vi matematiklærere bruger rigtig mange timer på at rette hjemmeopgaver. Jeg tænker ofte over om den tid jeg bruger på at rette opgaverne også er noget, som kommer eleverne til gode. Hvor meget tid bruger de på at gennemse og overvejer vores rettelser. Og lærer de af rettelserne?
Jeg har tidligere skrevet om mundtlig feedback på hjemmeopgaver for at skærpe elevernes arbejde med rettelser.
En anden mulighed er at lade eleverne genaflevere (dele af) hjemmeopgaver. Det kan være fint ved typiske eksamensopgaver. Ved genaflevering er det vigtigt, at eleverne som ved første aflevering havde lavet gode besvarelser, får andre opgaver. En genaflevering skal ikke være en straf for svage elever. Alternativt kunne man i kommende hjemmeopgave lade eleverne vælge om de vil genaflevere en given central opgave eller regne en ny opgave.
For at holde lidt øje med om eleverne tager mine rettelser til sig, skriver jeg til hver aflevering nogle generelle kommentarer om besvarelsen. Disse gemmes i elevens kommentarark, så jeg og eleven kan se tidligere givne kommentarer.
Det giver mig mulighed for at se om eleven bliver bedre. Og eleven kan nemt få et overblik over tidligere overordnede kommentarer. Eleven behøver ikke kigge i alle tidligere besvarelser for at finde kommentarerne.
Et eksempel på et kommentarark ses nedenfor:

Ved nogle hjemmeopgaver beder jeg eleverne kigge deres kommentarark igennem, hvorefter de som det første af afleveringen skal angive 5 fokuspunkter, de har i denne besvarelse. Det plejer at fungere efter hensigten.

Trafiklys ved hjemmeopgaver

 Vi har jo følgende 5 pinde, der skal tages hensyn til ved bedømmelse af skriftlige opgavers stil:

Det kan være svært at få eleverne til at medtage relevante ledsagende kommentarer i deres hjemmeopgaver. Jeg har derfor indført et trafiklys, hvor jeg netop vurderer kvaliteten af de 5 pinde i elevernes afleveringer. Et eksempel ses nedenfor:

Farverne betyder: dårligt (rød), nogenlunde (gul) og fint (grøn). Den grå farve benyttes, hvis pinden ikke har været i spil i den aktuelle besvarelse.

Jeg udfylder ikke trafiklyset ved hver aflevering (tager lidt tid), men gør det en gang i mellem.

Den grafiske fremstilling er med til at give eleverne større fokus på pindene og samtidig har både de og jeg en nem mulighed for at se, om der er sket en forbedring.

Skolens afleveringssystem har indbygget trafiklys, så det er temmelig nemt og hurtigt at anvende. Jeg skal blot oprette de kategorier, jeg vil anvende i trafiklyset. Det kræver selvfølgelig lidt mere arbejde at bruge trafiklys, hvis man selv skal håndtere systemet.

Hjemmeopgaver til de gode elever

Jeg oplever tit, at de gode elever synes hjemmeopgaverne er meget kedelige, og at der er alt for mange gentagelser. Det synes jeg er synd, for det kan være med til at dræbe disse elevers interesse for matematik. Derfor er det vigtigt, at der også er udfordrende opgaver til de gode elever i hjemmeopgaverne. Det kan gøres på mange måder. Her er et par eksempler:
1) Giv eleverne for mange opgaver i forhold til elevtiden. Lad så eleverne selv vælge, hvilke opgaver de vil regne. Læreren kan evt. markere opgaverne med sværhedsgrader.
2) Lad nogle opgaver være frivillige.
3) Lad nogle opgaver have det prædikat at de kun skal regnes, hvis eleven ikke allerede har brugt den afsatte tid på de regnede opgaver.
De ekstra opgaver kan være svære opgaver fra tidligere eksamenssæt, men det kan også være lidt skæve opgaver, der udfordrer eleverne lidt utraditionelt i forhold til sædvanlige opgaver. Hertil kan man f.eks. bruge gamle Georg Mohr opgaver - ofte får eleverne uden svarmuligheder. Den norske Abelkonkurranse er en anden mulighed for utraditionelle opgaver.
I denne uge har jeg fundet denne lille opgave:
Lad os tage et tre-cifret tal (f.eks. 436)
Skriv tallet to gange efter hinanden, så du får et seks-cifret tal (her 436436)
Der gælder nu at 7, 11 og 13 går op i det nye tal (436436/7=62348, 436436/11=39676 og 436436/13=33572)
Det "underlige" er, at uanset hvilket tre-cifret tal du starter med, så går 7, 11 og 13 altid op i tallet!
HVORFOR?????
Kan man gøre noget tilsvarende med fire-cifrede tal?

Tilsvarende burde man også tilbyde de dårligere elever mulighed for hjælp til løsning af opgaver. Det kunne være i form af hjælpespørgsmål. Det har jeg ikke selv været særlig god til. Hvis jeg giver tips til løsning af opgaver, så har alle eleverne fået tippet. Det er måske igen lidt synd for de gode elever at de får løsningsmetoden foræret.
Et hjælpeark som eleverne kan søge assistance i ved problemer kunne være en mulighed, men det tager jo tid at udarbejde et sådant ark så...

Hjemmeopgaver - mundtlig feedback

I denne uge har jeg givet mine 2g-elever mundtlig feedback på deres skriftlige aflevering. Hertil brugte jeg programmet Screencast-o-Matic, som optager aktivitet på skærmen og hvad der bliver sagt.
Jeg åbnede elevens aflevering og startede herefter Screencast-o-Matic. Jeg scrollede ned gennem besvarelsen, mens jeg kommenterede elevens udregninger mm. Jeg havde ikke læst opgaven på forhånd men kørte direkte på. Jeg fik selvfølgelig sagt lidt fejl undervejs, men det havde jeg besluttet ikke at tage mig af.
Ved længere tekststykker pausede jeg dog optagelsen, da der ellers ville komme for lang pause, mens jeg læste teksten.
Jeg synes, det gik rigtig fint og det var ikke så svært, som jeg havde forestillet mig.
Hver screencast tog mellem 3 og 5 minutter - en passende længde synes jeg.
Jeg uploadede hver screencast til min private Youtube-konto og gjorde her videoerne skjulte. Eleverne fik så tilsendt linket med mine kommentarer.
Screencast-o-Matic drillede lidt, idet den nogle gange anvendte videoen fra forrige elev men med den nye indtalte lyd. Jeg forstår ikke helt, hvordan det kunne ske. Med de sidste elever startede jeg derfor med at optage ca. 10 sekunder, som jeg så afspillede for at tjekke om alt var ok. Hvis det var tilfældet fortsatte jeg retningen.
Elevernes feedback på denne form for rettelse var meget positiv. De syntes, de fik en bedre feedback (jeg synes ellers jeg skriver meget til dem). Jeg kommenterede jo alt jeg så i besvarelsen, så jeg tror jeg var meget bedre til at fremhæve de gode ting i besvarelserne.
Eneste lille problem er at det er lidt svært at gå tilbage til mine rettelser i en specifik opgave. Derfor havde jeg også valgt, at eleverne efterfølgende skulle forbedre deres besvarelse og så aflevere den rettede version (jeg retter den ikke).
Flere elever nævnte også at de tog mine rettelser mere seriøst end skrevne kommentarer i selve besvarelsen. Men om det er "nyhedens interesse" er lidt svært at afgøre.
Eleverne syntes det var en god alternativ måde at få feedback på, men det skal ikke være hver gang.