Lineære funktioner

Jeg lader mine 1g-elever arbejde i grupper, når vi skal have gennemgået de teoretiske dele knyttet til lineære funktioner.
Eleverne skal skrive en lille lærebog (temarapport) om lineære funktioner med 9.klasses elever som målgruppe, så de kan vise, hvor meget de har lært her i starten af gymnasiet.
Lærebogen skal laves som en hjemmeside, hvor der er krav om at egen video af f.eks. et bevis og dynamisk Geogebra-animation skal indgå.
Formålet er selvfølgelig at få eleverne til at få trænet små beviser og arbejde med ræsonnement.
Selve oplægget til opgaven består af
 - eksperimentelle øvelser
 - opgaver
 - beviser
Alle tre dele supplerer hinanden og er med til at give eleverne en større forståelse for emnet lineære funktioner. Det er dog ikke nogen tvungen rækkefølge i, hvordan eleverne skal arbejde med emnet.
Vedhæftet det opgaveark som eleverne får udleveret (Link).

Regression - hvordan findes bedste funktion

Men min 1g har vi nu i lidt tid lavet regressioner for de sædvanlige funktioner lineær, eksponentiel og potens.
Men hvordan er det lige vores matematikprogram bestemmer den bedste funktion. Vi benytter lige nu Geogebra.
I morgen vil jeg give eleverne 3 punkter: (1; 2), (4; 5) og (10; 5).

Jeg har tænkt mig at eleverne skal arbejde med følgende spørgsmål:
1) Bestem ved hjælp af skydere den lineære funktion, du mener er den "bedste".
2) Hvilke kriterier har du anvendt for at kunne kalde din funktion for den "bedst mulige"?
3) Kan du finde et tal, der kan benyttes som mål for, hvor godt en funktion passer til de opgivne punkter?
4) Lad Geogebra bestemme den bedste lineære funktion - Er I enige?
5) Lad desuden Geogebra finde den bedste eksponentielle funktion og potensfunktion.
6) Hvilken af Geogebras 3 funktioner er bedst?
Kommandoen Rkvadreret[{<liste af punkter>},<given funktion>] (skrives som R² i de fleste andre matematikprogrammer) er et mål for, hvor godt funktionen passer til punkterne. Jo tættere R² ligger på 1, jo bedre passer regressionsfunktionen.
7) Bestem R² for de tre funktioner og undersøge om Geogebra er enig med dig i, hvilken funktion der er bedst.
Som du nok har konstateret, så bestemmer Geogebra ikke helt på samme måde som dig, hvor godt en funktion ligger i forhold til de opgivne punkter. Der skal lidt mere matematik til - det springer vi over i denne omgang. Den nysgerrige kan dog se følgende video fundet på Youtube:

Jeg forventer selvfølgelig ikke, at eleverne kan arbejde sig frem til den korrekt metode, men jeg har et håb om, at de vil kigge på den lodrette eller vinkelrette afstand mellem punkterne og funktionen, når de skal afgøre, hvor godt funktionerne passer med punkterne.

Kan vi stole på avisartikler - lineære funktioner

Det er altid et hit, at vise eleverne, at man ikke nødvendigvis altid kan stole på den måde grafer og talmateriale præsenteres og behandles i dagligpressen.
I min 1g-klasse har jeg netop givet klassen følgende graf, som er fra artiklen "Elever siver fra folkeskolen" i Berlingske Tidende 22/9 2012:

Bemærk den voldsomme stigning til sidst... - hov der er ændret på akseenhederne :-)
Hvordan har de mon fremskrevet udviklingen? Tja- regression er ikke brugt og der er også byttet rundt på teksten hørende til fremskrivningerne.
Jeg udleverer et arbejdsdokument til eleverne (Link) og de får så efterfølgende artiklen fra Berlingske Tidende(Link).
Jeg benytter artiklen som oplæg til et AT-forløb om manipulation med tal, som klassen efter efterårsferien skal have i matematik og samfundsfag.
Desuden er talmaterialet også fint til at diskutere, hvilke data som skal medtages, når der opstilles modeller. Vi taler selvfølgelig også om de kriterier, der indflydelse på hvor brugbare en model er.
Og så får eleverne også trænet regression og lineære funktioner.

Innovativt forløb med matematik

Jeg har tidligere i indlægget "Innovation i matematik" (Link) beskrevet, hvordan jeg mener, vi kan have glæde af den innovative tankegang i matematik.
Jeg har nu gennemført vandledningsprojektet, som jeg præsenterede i ovenstående indlæg.
Da fokus bl.a. var på innovative processer, havde jeg valgt en relativ stram styring af første del af projektet, hvor eleverne løbende fik en række små diskussionspunkter. Det hele styrede jeg via denne PowerPoint (Link). Via præsentation arbejdede vi specielt med fase 1 og 2 i den model, som er udviklet af en gruppe af matematiklærere nedsat af fagkonsulenten i matematik (Link til materialet).
Det var lidt hårdt for eleverne at bevare koncentrationen under den styrede del, så næste gang jeg vil lave et lignende projekt, vil jeg behandle de to faser i to forskellige matematiktimer. Og måske ikke være lige grundig med begge faser.
Specielt delen med at få matematik i spil, ville jeg godt have brugt mere tid på - altså ved hjælp af matematiske begrebskort at tvinge eleverne til at benytte en speciel metode. For en uddybning af metoden henvises til side 11 i arbejdsgruppens dokument, som jeg linker til ovenfor.
Et eksempel på en af gruppernes løsning:

Det er mit indtryk, at eleverne fik rigtig meget ud af projektet. Det kan selvfølgelig diskuteres, hvor meget matematik der er i ovenstående løsning, men jeg hørte eleverne diskutere:

lineære, eksponentielle og potensfunktioner, regression, korteste vej fra et hus til en hovedledning, forskellige løsningsforslag, om løsningsforslag kan/skal forbedres eller forkastes.

Derudover fik eleverne også trænet en hel del i brugen af Geogebra.

Så alt i alt et godt projekt, som også optog og interesserede eleverne.

Jeg brugte 4-5 moduler (a 90 min) på projektet, men der kan nok skæres lidt i det. Eleverne afleverede både en rapport og fremlagde deres konklusioner via en planche.

Her er mit oplæg til eleverne (Link). Jeg vedhæfter også lige et Geogebra-dokument, der kan benyttes til at generere tilfældige placeringer på de 8 huse (Link).

Repetition af funktionskarakteristika

Som afslutning på lineære og eksponentielle funktioner (potensfunktioner er udskudt - nu skal vi lavet noget andet end funktioner) har eleverne i dag lavet et opsamlingsark, som sammenligner de to vækstformer.
Eleverne var blevet bedt om at repetere stoffet ved at gennemlæse de relevante sider i deres væksthæfte.
I timen blev eleverne sat sammen i grupper på 3, hvor de skulle udfylde felterne i et skabelonskema nedenfor (Link).

Det fungerede fint, at skemaet blev udfyldt på en computer. Efterfølgende udvekslede eleverne, det udfyldte skema.
Jeg oplevede, at eleverne fik rigtig mange gode diskussioner ved udfyldelsen af skemaet.
For at få alle elever til at sige noget, vil jeg en anden gang stille som krav, at eleverne på skift  forklarer, hvad der skal stå i et af felterne. Den elev, som skal forklare et felt, må selv bestemme, hvilket felt der skal udfyldes.

Hvem husker det først... ?

Jeg havde behov for lidt afveksling til at træne 1g-ernes forståelse af diverse begreber. Konkret i relation til lineære og eksponentielle funktioner.
Eleverne blev inddelt i grupper på helst 4 personer og helst på samme faglige niveau. Grupperne placerede sig omkring hver sit et bord, hvor alle kunne nå den genstand, som lå midt på bordet. Det kan f.eks. være et viskelæder, en tusch... Vælg ikke noget der kan gå i stykker (mobiltelefon) eller noget der er skarpt (blyant). I enkelte grupper kan det gå lidt vildt til.
Jeg havde lavet en række spørgsmål, som hver gruppe fik udleveret. Spørgsmålene havde jeg limet op på gamle spillekort. Tykt papir eller laminering er selvfølgelig også en mulighed.
Der trækkes lod om, hvem der skal læse første spørgsmål op, da den der læser op ikke må svare på spørgsmålet.
Når spørgsmålet er læst op, tager man genstanden på bordet, hvis man kender svaret. Den der er hurtigst får lov til at svare. Svares der forkert, straffes man med at skulle læste næste spørgsmål op (så må man nemlig ikke svare). Spørgsmålet, der ikke blev besvaret korrekt, lægges nederst i bunken med spørgsmål.
Ved korrekt svar (de andre i gruppen skal godkende svaret) får man et point og skal samtidig læse næste spørgsmål op.
Dokumentet med spørgsmålene ligger her (Link).
Jeg tror dokumentet overholder Sidsels regler (Et lærervenligt layout). Hvis ikke beklager jeg selvfølgelig, men det er et dokument, jeg har lavet for nogle år siden :-).

Så skal der spilles julebanko

Sidste skoledag og sidste time med matematik - eleverne forventer en anderledes time...
I år bliver det to forskellige spil, som selvfølgelig har et matematisk indhold.
Vi starter med en lille konkurrence, hvor eleverne er inddelt i grupper på 3. Hver gruppe får udleveret et tarsia-puslespil (se evt. en beskrivelse af programmet på hjemmesiden Elevaktivering i matematik udarbejdet af matematiklærerforeningen  Link) med potensregnereglerne. Grupperne konkurrerer om hurtigst muligt at samle figuren korrekt, så udtrykkene på sidefladerne, der lægger op mod hinanden, betyder det samme. Jeg røber ikke for eleverne, at figuren bliver en "diamant".
Der findes 9 eksemplarer i forskellige farver (3 sider til hvert puslespil) i pdf-format her (Link)
Resten af tiden går med julebanko. Hver elev får en spilleplade med 12 svar (Link - de to første sider er spørgsmål og løsninger). Spørgsmålene hører til det gennemgåede stof.
De enkelte spørgsmål "udtrækkes" via en PowerPoint (Link).

Præmier - ja jeg fik jo ikke sagt til eleverne, at de skal medbringe præmier. Så jeg har besluttet, at præmierne skal være KUGLEPENNE/BLYANTER. Eleverne har jo ALDRIG skriveredskaber med til timerne. :-)

God jul til eventuelle læsere af denne blog (man skriver jo lidt i blinde...)

Lineært projekt: Udbud-efterspørgsel

I 1e har vi i denne uge arbejdet med udbud og efterspørgsel i matematiktimerne. Ved at generalisere kurverne til lineære funktioner, skulle eleverne undersøge udbud og efterspørgsel for et fiktivt produkt.
Opgaven var, at eleverne for en virksomhed skulle undersøge udbud og efterspørgsel og så efterfølgende aflevere en rapport, der beskriver deres undersøgelser. Projektet var styret af en række spørgsmål, men elevernes skulle sammenskrive svarene til en sammenhængende rapport i stedet for en traditionel spørgsmål-svar besvarelse.
Eleverne læste indledningsvis om udbud og efterspørgsel. Hertil brugte vi 3 sider fra "Økonomi - principper, praksis og perspektiv" af Kåre Clemmensen og Per Henriksen fra forlaget Columbus 1. udgave, 3. oplag 2008.
Uheldigvis byttes i samfundsfagsbøger rundt på akserne i forhold til, hvad vi normalt gør i matematik. Derfor justerede jeg teksten og ændrede figurerne, så notation blev korrekt i forhold til normal matematisk notation (Link).
Selve opgaven er vedhæftet her (Link).
Som sædvanlig når man laver en ny opgave, er der altid plads til forbedring. Og det opdager man desværre ofte først, når eleverne arbejder med opgaverne. I dette tilfælde bør opgave 4 løses før opgave 3 og i opgave 4 skal ændringen være i forhold til den oprindelige supply-funktion.