Beskrivende statistik

Så blev det tid til at introducere den beskrivende statistik i min 1g-klasse, der har matematik på A-niveau.
Et kig i formelsamlingen for 9-10 klasse viser, at der præsenteres kort stort set alle de statistiske begreber, som vi også skal arbejde med i gymnasiet (link).
Eleverne fik disse sider for som lektie, hvor de selvfølgelig skulle fokusere på begrebernes betydning og hvordan de findes ud fra et talmateriale. Heldigvis kunne eleverne huske langt de fleste begreber fra formelsamlingen.
som lille tjek på eleverne, præsenterede jeg dem for følgende citat:

Heldigvis gennemskuede nogle af eleverne, at der nok skulle stå median i stedet for gennemsnit. Det gav en god snak om forskellen på median og middelværdi.

I de kommende timer vil vi repetere begreberne med forskellige lege (f.eks. pecha kucha eller Hvem husker det først?) og ved at regne opgaver.
Når eleverne har styr på begrebernes betydning og tilhørende regnemetoder, præsenteres eleverne for relevante Maple-kommandoer, der kan benyttes i statistikopgaver.

Simulering af chi2-test

Hvorfor ligger den kritiske værdi, hvor den ligger, når vi laver en chi2-test? Det er uhyre svært at få forklaret eleverne.
Jeg har forsøgt at gøre det synligt for mine 1g-elever ved hjælp af to typer simulationer:
- en i Geogebra, der viser histogram af mange chi2-simuleringer med 1 frihedsgrad, hvor nulhypotesen er sand.
- en i Maple, der viser histogram af mange chi2-simuleringer med valgfrit antal frihedsgrader, hvor nulhypotesen er sand..
I Geogebra-dokumentet vises foretages en chi2-simulation af gangen, hvor hele metoden er synlig i Geogebras regneark. Teststørrelserne for hver chi2-simulation indtegnes løbende i et histogram.
Denne simulation skulle gerne give eleverne en fornemmelse af fordelingen af teststørrelserne, når nulhypotesen er sand - specielt at der kan være store variationer. Grafisk skal eleverne give et bud på placeringen og betydningen af den kritiske værdi.
På nedenstående skærmbilleder har jeg simuleret 500 chi2-test, hvor det vides at 25% i populationen svarer Ja, mens populationen består af 60% mænd og 40% kvinder.

Vejledningen til elevernes arbejde med Geogebra-dokumentet er beskrevet i dette dokument (Link) og Geogebra-dokumentet ligger her (Link).
Efter gennemgangen af/arbejdet med ovenstående ark, inddeler jeg eleverne i par, som så skal lave de samme simulationer dog med nye procenter for Ja/Nej og Mænd/Kvinder. Forhåbentlig kan vi konkludere, at den kritiske værdi ikke afhænger af procenterne.
I Maple er det muligt at lav langt flere simuleringer af gangen (kommandoen Sample). Nedenstående Maple-dokument skal eleverne benytte til at få en fornemmelse af histogrammerne over teststørrelsernes fordeling ved forskellige chi2-simulation igen under forudsætningen af at nulhypotesen er korrekt..
Eksperimenterne med forskellige frihedsgrader skulle også gerne resultere i, at eleverne konstaterer, at den kritiske værdi afhænger af frihedsgraden.
Maple-figuren nedenfor viser 10000 simuleringer af chi2-test med 4 frihedsgrader.

Maple-dokumentet som også indeholder vejledning til eleverne ligger her (Link).
Fortsættelsen på arbejdet med chi2 er, at vi vil arbejde med funktionerne hørende til de forskellige frihedsgrader og i den forbindelse undersøge krav til sådanne funktioner (sandsynlighedsfordelinger).

Samtaledelen ved den mundtlige eksamen

Jeg har en 3g-klasse, der jo kan komme til mundtlig eksamen i matematik. Ud over grundigt at overveje konstruktionen af spørgsmålene, så de passer til alle elevernes niveauer, har jeg også tænkt en del over, hvordan jeg bedst forbereder eleverne til samtaledelen under den mundtlige eksamen. Den skal jo i følge læreplanen fylde en betydelig del. Min melding til eleverne, at de skal forberede sig på, at de har ca. 15 minutter til deres fremlæggelse, mens resten af tiden skal være en dialog mellem mig (og censor). Nøjagtig som de kender fra AT-eksamen.
Men hvordan rustes eleverne til samtaledelen , og hvordan kan de forberede sig på den?
En måde kunne være at udarbejde bilag til de enkelte spørgsmål, som eleverne så skal kommentere. Inden for differentialligningerne kunne et sådant bilag f.eks. være en plot af linjeelementer:

Her får eleven så mulighed for at tale om linjeelementer, løsningsfunktioner, løsningsintervaller, ... Jeg overvejer at medbringe sådanne eksempler til eksaminationen, hvis eleverne ender med at skulle op i mundtlig matematik. Jeg vil selvfølgelig aftale det med eleverne, men der er så vidt jeg kan se ikke noget i læreplanen, der forhindrer inddragelse af bilag under eksaminationen. Den metode er også allerede benyttet ved den mundtlige eksamen i fysik. Bilaget skal først udleveres under selv eksaminationen, og har blot som formål at støtte samtaledelen.

Brug af bilag er jo ikke så meget anderledes end, at vi tegner figurer på tavlen. Det er dog muligt at benytte bilag, som ikke er helt så nemme lige at tegne på en tavle - f.eks. ovenstående plot med linjeelementer.

Men under alle omstændigheder vil jeg lave sådanne figurer, når stoffet repeteres og eleverne laver dispositioner mm til eksamensspørgsmålene. Jeg vil lade eleverne holde små oplæg for hinanden knyttet til bilagene. På den måde får de også trænet deres mundtlige formuleringsevne.

En anden mulighed er at lade eleverne lave en lille opsamlingsrapport, hvor eleverne kommer gennem emnets centrale dele. Vi er ved at afslutte emnet binomialfordeling og binomialtest. Der har været en række begreber mm i spil, så jeg har lavet en lille opsamling i form af to opgaver. Den første opgave handler om salg af flysæder og er temmelig styret, mens den anden opgave (meningsmåling i forbindelse med valg) er lidt mere åben formuleret.

Jeg vil gerne tydeliggøre for eleverne, at stikprøvens størrelser har en betydning for resultaterne og konklusionerne, så eleverne inddeles i 4 grupper med forskellige stikprøvestørrelser. Til sidst dannes matrixgrupper, som skal undersøge forskelle i relation til stikprøvens størrelse.

Dokumentet med opgaverne er skrevet i Maple, men ser her i en pdf-version (Link).



Introduktion til chi2

I dag er jeg i min 1g-klasse startet på chi2-test. Det bliver en lidt forhastet gennemgang, da vi skal benytte chi2-test i et AT-forløb efter påske.
I det første modul har jeg med klassen arbejdet med, hvordan man kan afgøre, om der er forskel på observerede værdier og forventede værdier. Eleverne arbejder med opgaver, hvor de bl.a. skal komme med forslag til, hvordan man vurdere forskel mellem observerede og forventede værdier.
Opgaverne er også designet, så stikprøvens størrelse kan diskuteres.
Det er selvfølgelig meningen at vi ved fælles hjælp, når frem til formlen for bestemmelse af chi2-teststørrelsen.
Om den fundne teststørrelse så er stor eller lille lader jeg hænge lidt i luften som en lille cliffhanger.

Helt bevist introducerer jeg ikke de smarte kommandoer i Maple til udregning af teststørrelse og p-værdi. Det er vigtigt for mig, at eleverne kan foretage beregningerne "manuelt". Det er med til at give eleverne en bedre forståelse for, hvad der sker. Der kan jo afhængig af antal frihedsgrader være lidt mange beregninger, så det er planen, at eleverne selv skal opbygge et regneark, der kan benyttes til at bestemme teststørrelsen.
Det benyttede arbejdsark ligger her: Link
Selve modulet var struktureret som en vekselvirkning mellem diskussioner i par og opsamling på klassen. Vi nåede næsten at gennemgå hele arbejdsarket.
Nu er det blot spændende om eleverne overhovedet kan huske noget, når vi mødes igen efter påske. Jeg tror lektien bliver, at de skal løse en lignende opgave - sikkert en stilladseret version af en tidligere eksamensopgave.

Sandsynlighedsfunktioner

I min 3g-klasse mangler vi at beskæftige os med en af de obligatoriske sandsynlighedsfordelinger. Valget er faldet på binomialfordeling, hvilket skyldes, at klassen har samfundsfag på A-niveau, så det vil være oplagt at kigge på meningsmålinger i relation til f.eks. folketingsvalg.
Vi arbejdede med chi²-test i 1.g, så jeg vil desuden benytte lejligheden til at få repeteret det emne og samtidig vil jeg lave en kobling mellem integralregning og sandsynlighedsregning.
I første omgang starter vi forløbet med at kigge på forskellige sandsynlighedsfunktioner.
Jeg vil gerne vise eleverne, at der findes forskellige sandsynlighedsfunktioner afhængig af hvilket type problem man står overfor. Og jeg vil også gerne synliggøre forskellen på kontinuerte og diskrete sandsynlighedsfunktioner.
Jeg har derfor udarbejdet et arbejdsark (Maple-dokument), hvor eleverne undersøger og sammenligner følgende sandsynlighedsfunktioner:
1) Chi²-funktioner
2) Normalfordeling
3) Binomialfordeling
4) Poissonfordeling (medtaget da en af eleverne anvendte det i sin SRP)
Eleverne skal undersøge karakteristika ved funktionstyperne og samtidig repetere begreber fra Chi²-test som signifikansniveau, kritisk værdi, p-værdi, nulhypotese... Og vi vil selvfølgelig diskutere, hvordan test-begreberne kan overføres til de andre fordelingstyper. Bl.a. kommer vi til at tale om en- og to-sidet test.

Det er meningen, at eleverne arbejdet med det udleverede ark, og at jeg så med jævne mellemrum stopper eleverne og tager en snak om de ting, de har fundet ud af. Jeg vil helst have eleverne i mindre grupper ved disse samtaler, så klassen opdeles i mindst 3 hold, hvor jeg taler med holdene hver for sig.
Eleverne skal løbende udfylde Maple-dokumentet med deres konklusioner, således at dokumentet f.eks. kan benyttes til den mundtlige eksamen. Eleverne vil ikke få nogen anden lærebog - det er vigtigt at gøre det klart for eleverne i starten af forløbet.