Induktion - differentiation og legoklodser

I forbindelse med differentialregning, så benytter jeg differentiation af xⁿ til at introducere bevis med induktion for mine elever.
Vi kigger på små forskellige sætninger, som kan bevises med induktionsprincippet:
1) Vinkelsummen i en n-kant
2) Summen af tallene fra 1 til n
3)

Vi vil også "lege" lidt med fysiske legoklodser, idet eleverne skal kigge på kvadrater, som bygges ud fra kvadratiske klodser på formen

Eleverne skal nu når de bygger kvadraterne udfylde nedenstående skema (Bredde er antal klodser på kantsiden)

I sidste linje skal eleverne opstille formler hørende til kolonneoverskriften, og det er så meningen, at eleverne skal bevise udvalgte formler.

Opgaven indeholder som det ses også en træning i at opstille funktionsudtryk, så man kan evt. nøjes med at opstille funktionsforskrifterne uden at bevise påstandene formelt ved hjælp af induktion.
Ideen til opgaven har jeg fået fra bogen "Fagdidaktik i matematik" af Morten Blomhøj, som er udgivet på forlaget Frydenlund i 2016, hvor det bl.a. diskuteres, hvordan man også kan arbejde med problemet i folkeskolen.
Mit arbejdsark til lego-opgaven finder du her.
De indledende øvelser mht. differentiation af xⁿ er vedhæftet her.

Differentialkvotienter - eksprimentelt bestemt

Så blev det tid til at introducere min 2g-klasse for den mere formelle matematik hørende til differentialregning. I stedet for at indføre tretrinsreglen fra starten har jeg i stedet for ladet eleverne bestemme differentialkvotienter for x², x³, xⁿ, k*xⁿ og xⁿ+x^m eksperimentelt i Geogebra.
Vi benyttede samme metode som beskrevet under indlægget Komplekse matematiske problemer, så eleverne var fortrolige med metoden.
Når først eleverne har fundet differentialkvotienten for x², så er det blot et spørgsmål om at udskifte funktionerne.

Eleverne arbejdede med dette arbejdsark Link
Min oplevelse her efter introduktionen er, at eleverne ved at selv at finde regnereglerne nemmere husker reglerne. Sådan opleves det i hvert fald lige nu.
Nu er det tid til at få introduceret sekant, tangent og tretrinsregel mere formelt - det vil jeg gøre på samme måde som sidste år. Der står lidt om metoden i disse to indlæg:
Differentialregning - intro
Tretrinsreglen

Komplekse matematiske problemer

Det er svært at løse mere komplekse matematiske problemer, hvor løsningsmetoden måske ikke er helt tydelig, når man læser opgaveteksten. Det er jo ikke fordi vi har mange af denne type opgaver i gymnasiet, men opstilling af funktionsudtryk hørende til optimeringsopgaver falder i den kategori.
Som introduktion til teorien bag differentialregning (eleverne er bekendte med f '(x), hvad differentialkvotienten benyttes til i forbindelse med optimering og hvordan man benytter Geogebra/Maple til at løse sådanne optimeringsopgaver) har jeg valgt at starte skoleåret for min 2g-klasse med træning i opstilling af funktionsudtryk og optimering af disse.
Jeg har introduceret eleverne til følgende 7 trin, som kan være med til at skabe lidt struktur på opstillingen af funktionsudtryk:
1) Forståelse
Hvad handler opgaven om? Hvad skal bestemmes?

2) Visualisering
Skitser situationen hvis det er muligt.
Lav situationen i virkeligheden, hvis det er muligt.

3) Sortering
Sorter evt. irrelevante informationer fra og sorter de relevante informationer
Hvilken type matematik kan anvendes? Hvilke kendte formler kan anvendes?

4) Symboler og eksempel
Indfør passende symboler og udregn/konstruer evt. eksempler.
Kan situationen eventuelt konstrueres i Geogebra (se evt. tips nedenfor)?

5) Formel
Opstil en formel til løsning af problemet

6) Beregning
Beregn løsningen

7) Konklusion
Sørg for at få konkluderet på udregninger i relation til det emne opgaven handler om

Specielt delen med konstruktion af fysisk model, udregning af eksempler og løsning i Geogebra lægger jeg vægt på. Alle disse dele er med til at give eleverne inputs til, hvordan selve funktionsforskriften opstilles.
Det er klart at når eleverne bliver mere rutinerede til at opstille funktionsudtryk, så er flere af ovenstående punkter ikke så nødvendige.

Løsningen i Geogebra kan typisk laves med en skyder, opsamling i regneark og efterfølgende regression. Jeg viste kort eleverne metoden med punkterne på grafen for f(x) = x² som eksempel og gav efterfølgende eleverne metoden på papir (Link). Det var dog ikke nødvendigt for eleverne at søge hjælp i arket efterfølgende.
Vi startede forløbet med at løse en tidligere eksamensopgave, hvor vi gennemløbe de enkelte trin på tavlen med små arbejdspauser i par ved hvert punkt. Herefter blev eleverne inddelt i grupper, som fik hver deres optimeringsproblem. Når eleverne havde løst "deres problem" kunne de gå videre til et af de andre problemer.
I slutningen af modulet præsenterede eleverne problemer og løsningsmetoder for hinanden i matrixgrupper. Formålet med dette var at eleverne skulle konstatere, at løsningsmetoden for sådanne opgaver er den samme.
Eleverne fik udleveret disse opgaver - Link.

Den første hjemmeopgave for eleverne bliver et projekt med optimering af én henholdsvis to kegler, hvor fokus også vil være ovenstående 7 punkter (Link).
Min dynamiske løsning i Geogebra ses nedenfor (Link).

Differentialregning - opsamling

Vi er så småt ved at afslutte differentialregning på mit 2g matematik-A hold. Vi har lavet en hel del beviser og også brugt en del energi på at italesætte de matematiske metoder, som anvendes ved opbygning af en matematisk teori.
Ofte har fokus i beviserne været at forstå de enkelte reduktioner og så har der ikke været lagt så meget vægt på bevisstrukturer mm.
Jeg valgte derfor i samråd med eleverne at lave en opsamling på differentialregning, hvor vi repeterer beviserne og i den repetition specielt fokuserer på de mere overordnede argumenter. Hvorfor har vi f.eks. bestemt differentialkvotienten til en given funktion, når vi benytter tretrinsreglen?
Da alle ikke kan nå alle beviser, optages beviserne på video og bliver efterfølgende samlet på en hjemmeside, som alle i klassen kan benytte. Jeg har på forhånd opdelt hjemmesiden i følgende emner:

Introduktion:

Indledende ting omkring differentialregning bl.a. om sekant-tangent, definition på differentiabel funktion

Bevisteknikker:

Beskrivelse af overordnede bevisteknikker, som er blevet anvendt i de forskellige beviser (tretrinsreglen, induktionsbevis samt matematikkens indre struktur)

Basale funktioner:

Beviser for en række af de mere basale funktioner (f.eks. x², ax+b, konstant, ...

Regneregler:

Beviser for hvordan man differentierer funktioner, som er kombinationer af basale funktioner
Tangentligningen

Her bevises formlen for tangentligningen.

Eleverne vælger sig selv ind på beviser efter fagligt niveau - dog stiller jeg krav til at alle elever er med til forskellige typer beviser. Jeg sikrer desuden, at der laves mindst to videoer med hvert bevis, så eleverne kan se forskellige fremstillinger af beviserne.

Eleverne er fortrolige med at arbejde med disse hjemmesider (Google sites), så de lægger selv deres videoer ind på hjemmesiden.
Ud over videoerne stiller jeg krav om at hver hjemmeside også skal indeholder:
- præcis beskrivelse af sætningens ordlyd
- overordnet beskrivelse som forklarer, hvordan beviset er opbygget 
- evt. andre relevante oplysninger.
Der stilles også krav til de elementer som videoerne skal indeholder. Bl.a. er definitionen på differentiabilitet obligatorisk i videoen.

Sammensatte funktioner - differentiation

Jeg synes ofte, der er problemer med at få elever til at forstå og genkende sammensatte funktioner.
I min 2g-klasse har jeg i år forsøgt mig med følgende metoder til træning af sammensatte funktioner:

1. Skema hvor manglende felter skal udfyldes - i nogle rækker er den sammensatte funktion angivet, mens det i andre rækker er elevernes opgave selv at konstruere de sammensatte funktioner (Link)
2. Jeg har lavet en Tarsia (form som diamant), hvor alle sider har simple funktioner. Eleverne har i par dannet en tilfældig korrekt formet diamant. De funktioner, som nu ligger opad hinanden, skal eleverne nu kombinere til en af de to mulige sammensatte funktioner. Disse sammensatte funktioner nedskrives på papir. Når alle nabofunktioner er kombineret, gives alle brikker samt de nedskrevne sammensatte funktioner til en anden gruppe, som så skal genskabe figuren ud fra de sammensatte funktioner (Link)
3. Jeg har i en del timer givet eleverne få opgaver med sammensatte funktioner - både med at skille funktioner ad og hvor eleverne selv skal sammensætte funktioner.

Som opstart til differentiation af sammensatte funktioner skulle eleverne ud fra nogle givne funktioner forsøge at gætte sig til formlen for differentiation af sammensatte funktioner. Eleverne differentierede de indre og ydre funktioner i hånden (en del af skemaet under punkt 1. ovenfor). Efterfølgende blev den sammensatte funktion differentieret i Maple, hvor eleverne så ledte efter et system i forhold de differentialkvotienterne for den indre og ydre funktion. De sammensatte funktioner skal vælges lidt smart - ellers laver Maple forkortninger, så formlen ikke kan gættes.
Formlen for differentiation af sammensat funktion er en af de formler i gymnasiet, som jeg oplever, de svage elever har sværest ved at forstå. Heldigvis er der ingen grund til at prøve at huske formlen, for det er meget nemmere at huske metoden:
Jeg beder mine elever opskrive y=g(x) (indre funktion), f(y) (ydre funktion) samt de tilhørende afledede funktioner i en tabel.
Differentialkvotienten er så blot de to differentierede funktioner ganget sammen. Det er meget nemmere at huske.



Her efter arbejdet med at forstå sammensatte funktioner i relation til differentiation er jeg kommet til at tænke over, om det måske er smartere at introducere sammensatte funktioner, når man arbejder med elevernes forståelse af funktionsbegrebet i 1g.
Vi kender alle til problemerne med at forstå betydningen af f.eks. f(2) i forhold til f(x) = 2 osv. Jeg tror, jeg allerede i år vil forsøge mig med introducere sammensatte funktioner i min 1g-klasse.

Tretrinsreglen

Ved tidligere gennemgange af emnet differentialregning har jeg i starten af forløbet været meget stringent med at indføre f.eks. definitionen på differentiabilitet i et punkt, differenskvotient, differentialkvotient, ...
I år har jeg har jeg fokuseret på metoden i selve tretrinsreglen (som for øvrigt i min version har 4 trin - der skal konkluderes til sidst). Ved at bruge en del tid på at tale om metoden (læs evt. indlægget Differentialregning Intro) og udregne specifikke differentialkvotienter har jeg en fornemmelse af at eleverne har fuldstændig styr på metoden.
Inden vi beviste regnereglerne for differentiation af sum, subtraktion og multiplikation med konstant introducerede jeg den formelle definition. Og den accepterede eleverne overraskende let - "det er jo bare det vi har gjort hele tiden..."
Eleverne lavede selv meget hurtigt beviserne for sum og multiplikation med konstant, mens differentiation med subtraktion lidt voldte de sædvanlige problemer med minusset.
At det gik så godt, tror jeg også skyldes, at vi i de tidligere beviser også har fokuseret på de kendte regneregler, som anvendes undervejs i tretrinsreglen. Det har været med til at spore eleverne ind på, hvilke regneregler som er anvendelige, når der reduceres. Og det hjælper når eleverne selv skal lave beviserne uden hjælp. De gode elever kunne lave beviserne selv, mens de svagere elever fik hjælp af mig eller udleveret beviset på papir - dog ikke i den korrekte rækkefølge. Beviset for multiplikation med konstant ligger her (Link).
Jeg har stadig et lille hængeparti omkring grænseværdier og uendelighedsbegrebet, men det vil vi samle op på senere. Det er ikke så centralt nu.

Regneregler for differentiation

I stedet for at starte forløbet om differentialregning med at fokusere på teorien bag de forskellige formler for funktioners differentialkvotient, så har jeg valgt at introducere alle formler tidligt.
Som beskrevet i indlægget Differentialregning - intro, indledte jeg forløbet med at give eleverne en fornemmelse for tretrinsreglen og den vigtige forskel på tangent og sekant.
Disse principper vil jeg løbende bruge i de kommende timer så eleverne opnår en fortrolighed med begreberne inden tretrinsreglen behandles formelt teoretisk.
Jeg er nu begyndt at træne eleverne i reglerne for differentiation i hånden. Vi startede med, at eleverne skulle gætte differentialkvotienten for de typiske standardfunktioner. Eleverne brugte Maple til bestemme konkrete stamfunktioner og ud fra Maples svar kom eleverne med et bud på den tilhørende differentialkvotient. Nogle elever brugte et arbejdsark (Link), men andre mere matematikstærke elever valgte selv at gå på jagt blandt allerede kendte funktioner og sammensætning af sådanne.
Eleverne fandt også selv reglerne for sum, subtraktion og multiplikation med konstant. De tre sidste generelle regler har jeg udskudt lidt.
Jeg kunne selvfølgelig have serveret alle reglerne for eleverne, men jeg har en ide om, at når eleverne selv finder reglerne, så er de også nemmere at huske.
Nu er det blot spændende at se i morgen, hvor gode eleverne er blevet til at differentiere funktioner, som lektien til i morgen.

Differentialregning - intro

I 2g starter jeg som så mange andre med differentialregning.
I 1g har vi allerede arbejdet en del med tangent, bestemmelse af vendepunkter mm. så eleverne er allerede nogenlunde fortrolige med begrebet f '(x).
Vi startede derfor med at kigge på x² og tangentens hældning i (1,1).
Jeg forsøgte lidt at tilrettelægge arbejdet med at bestemme tangentens i den innovative ånd.
Eleverne arbejdede i klassen i mindre grupper med forskellige ideer til bestemmelse af tangenten. I første omgang bad jeg eleverne gennemløbe de forskellige kendte matematikemner fra 1g for at indsnævre, hvilken matematik som måske kunne bringes i spil.
Når eleverne havde arbejdet 10-15 min, stoppede jeg alle grupper og ideer til løsningen blev skrevet på tavlen. Alle ideer fik lov til at svæve i luften uden kommentarer fra min side. Herefter arbejdede eleverne igen videre med egne eller nye ideer. Denne proces fortsatte et par "runder".
Formålet med de korte runder er at holde alle til ilden. Nogle grupper kan have tendens til at give hurtigt op, men så får de lidt inspiration fra andre grupper.
Det er selvfølgelig ikke rigtig "innovation" for jeg ved jo godt, hvor vi ender, men processen med at stå overfor et problem, hvor eleverne ikke umiddelbart kan genkende en løsningsmetode fordrer nogle innovative kompetencer.
Jeg synes, vi på en god måde fin introduceret sekanten, og hvorfor den er vigtig. Det virkede som om at denne tilgang fik eleverne til at få den ønskede forståelse af sekant-tangent sammenhængen.
Da sekanten var blevet introduceret havde eleverne ikke svært ved at finde sekanternes hældning - hvordan det andet punkt blev valgt varierede lidt. Nogle valgte blot et andet "fysisk" punkt på grafen mens andre indsatte et bogstav som tilvæksten.
De skrappe elever generaliserede yderligere til en tilfældig x-værdi.
Som en del af den kommende hjemmeopgaver skulle eleverne i par aflevere en video, hvor de netop finder hældningskoefficienten for en tangent hørende til f '(x). Det blev nogle fine videoer, synes jeg.
Jeg har endnu ikke kastet alle de fine ord og begreber i spil. Så tretrinsreglen må vente lidt endnu.
Næste skridt er at finde formlerne hørende til differentialregning - i første omgang vil vi ikke bevise dem, men prøve at gætte og eksperimentere os til formlerne.