Regression - hvordan findes bedste funktion

Men min 1g har vi nu i lidt tid lavet regressioner for de sædvanlige funktioner lineær, eksponentiel og potens.
Men hvordan er det lige vores matematikprogram bestemmer den bedste funktion. Vi benytter lige nu Geogebra.
I morgen vil jeg give eleverne 3 punkter: (1; 2), (4; 5) og (10; 5).

Jeg har tænkt mig at eleverne skal arbejde med følgende spørgsmål:
1) Bestem ved hjælp af skydere den lineære funktion, du mener er den "bedste".
2) Hvilke kriterier har du anvendt for at kunne kalde din funktion for den "bedst mulige"?
3) Kan du finde et tal, der kan benyttes som mål for, hvor godt en funktion passer til de opgivne punkter?
4) Lad Geogebra bestemme den bedste lineære funktion - Er I enige?
5) Lad desuden Geogebra finde den bedste eksponentielle funktion og potensfunktion.
6) Hvilken af Geogebras 3 funktioner er bedst?
Kommandoen Rkvadreret[{<liste af punkter>},<given funktion>] (skrives som R² i de fleste andre matematikprogrammer) er et mål for, hvor godt funktionen passer til punkterne. Jo tættere R² ligger på 1, jo bedre passer regressionsfunktionen.
7) Bestem R² for de tre funktioner og undersøge om Geogebra er enig med dig i, hvilken funktion der er bedst.
Som du nok har konstateret, så bestemmer Geogebra ikke helt på samme måde som dig, hvor godt en funktion ligger i forhold til de opgivne punkter. Der skal lidt mere matematik til - det springer vi over i denne omgang. Den nysgerrige kan dog se følgende video fundet på Youtube:

Jeg forventer selvfølgelig ikke, at eleverne kan arbejde sig frem til den korrekt metode, men jeg har et håb om, at de vil kigge på den lodrette eller vinkelrette afstand mellem punkterne og funktionen, når de skal afgøre, hvor godt funktionerne passer med punkterne.

Repetition af funktionskarakteristika

Som afslutning på lineære og eksponentielle funktioner (potensfunktioner er udskudt - nu skal vi lavet noget andet end funktioner) har eleverne i dag lavet et opsamlingsark, som sammenligner de to vækstformer.
Eleverne var blevet bedt om at repetere stoffet ved at gennemlæse de relevante sider i deres væksthæfte.
I timen blev eleverne sat sammen i grupper på 3, hvor de skulle udfylde felterne i et skabelonskema nedenfor (Link).

Det fungerede fint, at skemaet blev udfyldt på en computer. Efterfølgende udvekslede eleverne, det udfyldte skema.
Jeg oplevede, at eleverne fik rigtig mange gode diskussioner ved udfyldelsen af skemaet.
For at få alle elever til at sige noget, vil jeg en anden gang stille som krav, at eleverne på skift  forklarer, hvad der skal stå i et af felterne. Den elev, som skal forklare et felt, må selv bestemme, hvilket felt der skal udfyldes.

Powerpoint i matematiktimen

Powerpoint og lignende præsentationsprogrammer er gode værktøjer til oplæg mm. Men præsentationsprogrammer synes jeg også kan benyttes til at fremme elevernes forståelse for matematik.
Vi har en række beviser/begreber ,som kræver en graf med tilhørende indtegning af punkter, funktioner, hjælpelinjer, ... I bogen ses kun den endelige figur, og derfor har eleverne ofte svært ved at forstå rækkefølgen hvorpå, de enkelte elementer er tilføjet figuren. Eksempler på sådanne kan være
- bevis for a ud fra to punkter, når ensvinklede trekanter benyttes
- bevis for fordobling-/halveringskonstant ved eksponentielle funktioner
- forklaring af sammenhæng mellem sekant og tangent
- mange beviser i forbindelse med vektorer
De fleste elever kan allerede tilføje animationer til powerpoint, så det kræver ikke megen instruktion før eleverne er i gang med at konstruere præsentationerne.
Mine elever i 1g har netop afleveret sådan en præsentation med udledning af formlen for fordoblings-/halveringskonstant.
Jeg ville gerne have forklaringer med i elevernes aflevering, så eleverne blev bedt om at aflevere en screencast (www.screencast-o-matic.com), hvor de forklarer de enkelte led i deres præsentation.
Her er et skærmbillede fra en af præsentationerne (grafen blev lavet i Geogebra og så kopieret ind i Powerpoint):

En alternativ måde at benytte Powerpoint på er, at læreren laver præsentationen, og eleverne så skal forstå, hvad præsentationen viser. Jeg har lavet et sådant eksempel til cosinusrelationen (Link). Også her kan man lade eleverne afslutte med at lave en Screencast.

Hvem husker det først... ?

Jeg havde behov for lidt afveksling til at træne 1g-ernes forståelse af diverse begreber. Konkret i relation til lineære og eksponentielle funktioner.
Eleverne blev inddelt i grupper på helst 4 personer og helst på samme faglige niveau. Grupperne placerede sig omkring hver sit et bord, hvor alle kunne nå den genstand, som lå midt på bordet. Det kan f.eks. være et viskelæder, en tusch... Vælg ikke noget der kan gå i stykker (mobiltelefon) eller noget der er skarpt (blyant). I enkelte grupper kan det gå lidt vildt til.
Jeg havde lavet en række spørgsmål, som hver gruppe fik udleveret. Spørgsmålene havde jeg limet op på gamle spillekort. Tykt papir eller laminering er selvfølgelig også en mulighed.
Der trækkes lod om, hvem der skal læse første spørgsmål op, da den der læser op ikke må svare på spørgsmålet.
Når spørgsmålet er læst op, tager man genstanden på bordet, hvis man kender svaret. Den der er hurtigst får lov til at svare. Svares der forkert, straffes man med at skulle læste næste spørgsmål op (så må man nemlig ikke svare). Spørgsmålet, der ikke blev besvaret korrekt, lægges nederst i bunken med spørgsmål.
Ved korrekt svar (de andre i gruppen skal godkende svaret) får man et point og skal samtidig læse næste spørgsmål op.
Dokumentet med spørgsmålene ligger her (Link).
Jeg tror dokumentet overholder Sidsels regler (Et lærervenligt layout). Hvis ikke beklager jeg selvfølgelig, men det er et dokument, jeg har lavet for nogle år siden :-).

Enkeltlogaritmisk papir

Selvom enkeltlogaritmisk papir ikke længere optræder til den skriftlige eksamen, så er dette papir godt til at forklare karakteristika ved eksponentielle funktioner.
Efter juleferien har jeg derfor i min 1g-klasse indledt med et lille forløb om konstruktion og brug af enkeltlogaritmisk papir. Det hænger fint sammen med konstruktion af regnestok, som vi afsluttede med inden juleferien (Se indlægget Historisk matematik - logaritmer).
Eleverne arbejdede 2 og 2, hvor halvdelen af grupperne fik et arbejdsark hørende til en voksende eksponentiel funktion, men den anden halvdel arbejdede med en aftagende eksponentiel funktion.
Jeg opdeler i to hold for i løbet af forløbet at lade eleverne sammenligne principperne i det, de har gjort. De skulle gerne konkludere, at metoderne gælder for alle typer eksponentielle funktioner og ikke kun deres eksempel. Derfor lader jeg også eleverne selv vælge en passende funktion, som de skal benytte som eksempel.
Først konstruerede eleverne en logaritmisk akse på et almindeligt millimeterpapir. Herpå skulle efterfølgende afsættes punkter hørende til en given funktion. Heldigvis lykkedes det de fleste af eleverne at få punkterne til at følge en ret linje.
Vi undersøgte nu på det autoriserede enkeltlogaritmiske papir og eleverne sammenlignede med deres eget papir.
Vi kiggede på logaritmiske akser i Maple og sluttede af med at argumentere for, hvorfor en logaritmisk y-akse gør, at eksponentielle funktioner får en lineær graf. Og hvorfor må vi gerne puste log-aksen op til p*log + q for at opnå større spredning mellem værdierne. Hvad sker der med en ret linje, hvis y-værdierne ganges med et tal og derefter adderes med et tal?
Arbejdsarket til den voksende eksponentielle ligger her (Link). Opgave 2. blev til en lektie, hvorfor jeg konstruerede dette lille hjælpeark (Link), så jeg var sikker på alle kunne forstå lektien.
At logaritmisk skala har stor betydning vil senere blive illustreret med en projektrapport om jordskælv.