Hjemmeopgaver - Ikke kun en løsningsmetode og tjek af løsning

Eleverne skal have et beredskab, de kan benytte, hvis de har problemer med at løse en opgave. Problemet kan skyldes, at de ikke kan finde ud af at løse opgaven eller at matematikprogrammet driller.
Jeg gør en del ud af at træne forskellige løsningstyper, så eleverne ikke altid er bundet til en bestemt løsningsmetode.
Det er selvfølgelig ikke altid, det er muligt at konstruere en alternativ løsning, der giver fuldt point, men få point er bedre end ingen.
De stærke matematikelever får også noget ud at arbejdet med alternative løsningsmetoder, da disse kan benyttes som tjek.
Når eleverne har arbejdet med forskellige løsningsstrategier, så oplever jeg, at eleverne i fremtidige besvarelser vælger forskellige metoder. Eleverne er altså ikke enige om, hvilke metoder de foretrækker. Det gør det også vigtigt, at vise forskellige strategier og metoder, da det er med til at stille den enkelte elev bedre til eksamen.
Mine elever afleverer i denne uge bl.a. følgende opgave - inspireret af en tidligere eksamensopgave:

Det er et krav, at opgaven løses i Maple.

 

I næste uge skal eleverne aflevere samme opgave, men denne gang skal løsningerne bestemmes i Geogebra.

Det er svært at få hele dokumentationen og centrale kommentarer med ved løsning af opgaver i Geogebra . Derfor får eleverne følgende huskeregler til løsning af opgaver med Geogebra:

 

Det er svært at få vænnet eleverne til at tjekke om resultatet på et spørgsmål er rimeligt/korrekt. Jeg vil derfor inden længe give eleverne en hjemmeopgave, hvor svarene er angivet.

Eleverne skal så i stedet for at løse opgaverne tjekke om svarene er korrekte - det vil de selvfølgelig ikke være alle sammen.

Komplekse matematiske problemer

Det er svært at løse mere komplekse matematiske problemer, hvor løsningsmetoden måske ikke er helt tydelig, når man læser opgaveteksten. Det er jo ikke fordi vi har mange af denne type opgaver i gymnasiet, men opstilling af funktionsudtryk hørende til optimeringsopgaver falder i den kategori.
Som introduktion til teorien bag differentialregning (eleverne er bekendte med f '(x), hvad differentialkvotienten benyttes til i forbindelse med optimering og hvordan man benytter Geogebra/Maple til at løse sådanne optimeringsopgaver) har jeg valgt at starte skoleåret for min 2g-klasse med træning i opstilling af funktionsudtryk og optimering af disse.
Jeg har introduceret eleverne til følgende 7 trin, som kan være med til at skabe lidt struktur på opstillingen af funktionsudtryk:
1) Forståelse
Hvad handler opgaven om? Hvad skal bestemmes?

2) Visualisering
Skitser situationen hvis det er muligt.
Lav situationen i virkeligheden, hvis det er muligt.

3) Sortering
Sorter evt. irrelevante informationer fra og sorter de relevante informationer
Hvilken type matematik kan anvendes? Hvilke kendte formler kan anvendes?

4) Symboler og eksempel
Indfør passende symboler og udregn/konstruer evt. eksempler.
Kan situationen eventuelt konstrueres i Geogebra (se evt. tips nedenfor)?

5) Formel
Opstil en formel til løsning af problemet

6) Beregning
Beregn løsningen

7) Konklusion
Sørg for at få konkluderet på udregninger i relation til det emne opgaven handler om

Specielt delen med konstruktion af fysisk model, udregning af eksempler og løsning i Geogebra lægger jeg vægt på. Alle disse dele er med til at give eleverne inputs til, hvordan selve funktionsforskriften opstilles.
Det er klart at når eleverne bliver mere rutinerede til at opstille funktionsudtryk, så er flere af ovenstående punkter ikke så nødvendige.

Løsningen i Geogebra kan typisk laves med en skyder, opsamling i regneark og efterfølgende regression. Jeg viste kort eleverne metoden med punkterne på grafen for f(x) = x² som eksempel og gav efterfølgende eleverne metoden på papir (Link). Det var dog ikke nødvendigt for eleverne at søge hjælp i arket efterfølgende.
Vi startede forløbet med at løse en tidligere eksamensopgave, hvor vi gennemløbe de enkelte trin på tavlen med små arbejdspauser i par ved hvert punkt. Herefter blev eleverne inddelt i grupper, som fik hver deres optimeringsproblem. Når eleverne havde løst "deres problem" kunne de gå videre til et af de andre problemer.
I slutningen af modulet præsenterede eleverne problemer og løsningsmetoder for hinanden i matrixgrupper. Formålet med dette var at eleverne skulle konstatere, at løsningsmetoden for sådanne opgaver er den samme.
Eleverne fik udleveret disse opgaver - Link.

Den første hjemmeopgave for eleverne bliver et projekt med optimering af én henholdsvis to kegler, hvor fokus også vil være ovenstående 7 punkter (Link).
Min dynamiske løsning i Geogebra ses nedenfor (Link).

Jeg forstår det ikke...

Som så mange andre matematiklærere sidder jeg i disse dage og retter opgaver fra den skriftlige eksamen i matematik. Og endnu en gang undrer jeg mig over elevernes manglende reflektioner over egne udregninger.
I år retter jeg STX A-sæt (både almindelige og NET-forsøg).
Hvorfor kan eleverne ikke se nogen sammenhæng mellem matematikopgaverne, de skal løse, og (pseudo-)virkeligheden?
Når en opgave er regnet, så gælder det åbenbart om at komme videre hurtigst muligt uden at reflektere over resultatet. Hvorfor undrer eleverne sig ikke over:
1) at ligevægtsbestanden på en population af laks bliver 0,43 ?
2) at når man har lavet regression over en aftagende følge punkter, så fås højere tal end startværdien, når der laves fremskrivning
3) at vinklen mellem to planer bliver 1 grad.
4) at indtjeningen på en film bliver 347384720378 mill $.
5) at udregningen ikke stemmer overens med tegningen
6) at når man skal vise noget gælder, så kommenterer man det slet ikke, hvis man får noget andet.
7) at et areal bliver negativt
8) at ...

Det kan selvfølgelig være, at eleven ikke kan finde fejlen, men så forventer jeg i det mindste, at eleven skriver, at resultatet sandsynligvis er forkert.

Jeg håber ikke, mine egne elever glemmer disse reflektioner over resultatet, men jeg er absolut ikke sikker. Jeg prøver at lære eleverne lige at bruge bare lidt tid på at overveje, om det fundne resultat lyder rimeligt - og hvor det er muligt også at tjekke resultatet.
Jeg har dog ikke fundet nogen god måde at træne denne evne på. Lige nu sidder jeg og overvejer følgende måder at træne reflektionen på:
1) ved aflevering at lade eleverne argumentere for, hvorfor deres svar lyder rimeligt
2) give eleverne en besvarelse med både korrekte og forkerte svar, hvor der skal argumenteres for svarenes rimelighed - altså uden nogen for form for udregning.

Hvad gør I der ude i matematik-landet? Nogle gode ideer?

Eksamenstræning - delen uden hjælpemidler

Med mit 3g-hold har vi i den seneste tid startet hvert modul med at tale om prøven uden hjælpemidler i relation til et givet emne.
Eleverne brainstormer på centrale formler og mulige spørgsmålstyper. Hvis jeg finder det nødvendigt, regner vi også enkelte opgaver.
Det er mit indtryk, at eleverne er glade for at få diskuteret mulige spørgsmål - det afdramatiserer lidt prøven uden hjælpemidler.
Nogle elever er noget forskrækkede over alle de formler det forventes, de kan huske uden ad. Jeg fokuserer på, at eleverne ikke nødvendigvis skal huske alle formlerne på "formelsprog". Ofte er det nok at kunne metoden. Der er f.eks. ingen grund til at huske formlen for differentiation/integration af sammensatte funktoner - det er nok, at man ved, hvordan man skal gøre.
Ligeledes er nogle formler slet ikke nødvendige. Der er f.eks. ingen grund til at huske tangentligningen, når man ved, hvordan forskrift for en linje bestemmes. Og hvorfor huske toppunktsformlen, når toppunkt kan bestemmes ved hjælp af differentiation.
Her kort tid før eksamen tror jeg, det vigtigste er, at eleverne får trænet en masse opgaver, og at de får struktur på mulige opgavetyper (se evt. "Forberedelse til skriftlig eksamen - fra skolestart"). Jeg sætter desuden min lid til, at eleverne nu er helt med på, hvordan man "overholder" reglerne for korrekt løsning af eksamensopgaver (de 5 pinde - se evt. "Skriftlig eksamen - opgaveregning"). Derfor har jeg besluttet at omlægge elevtiden for de sidste par afleveringer, så vi har nogle ekstra timer, hvor vi kan fokusere på udvalgte dele af det skriftlige pensum.
Vi har en sådan time i dag, hvor fokus netop er delen uden hjælpemidler. Jeg har taget et print af delen uden hjælpemidler fra alle eksamenssæt siden 2008. Planen er nu at eleverne i par skal arbejde med disse opgaver. I første omgang skal opgaverne sorteres i emner (alle medbringer saks).
Samtidig har jeg oprettet et fælles dokument (Office 365), som alle kan skrive i. Her er det meningen at spørgsmålstyperne hørende til de enkelte opgavetyper indskrives. Til hver type spørgsmål angives det desuden få stikord til, hvordan opgaver af denne type løses, samt hvor man kan finde en opgave omhandlende spørgsmålet. Dermed får eleverne et godt dokument, de kan bruge, når de hjemme skal forbedrede sig til delen uden hjælpemidler til den skriftlige eksamen.

Hurra for AT...

Jeg har i denne uge haft AT i 3g.
Fagene var matematik og samfundsfag (begge på A-niveau) og vi havde valgt Finanspolitik som emne.
I matematik beskæftigede vi os primært med multiplikatoreffekten og forskellige måder at bestemme den på. Vi konstruerede både et regneark og en matematisk formel til bestemmelse af multiplikatoreffekten. Til den matematiske formel havde vi brug for et lille bevis for den type række, som fremkommer.
De to fag fungerede rigtig godt sammen og eleverne fik demonstreret en del centrale matematiske metoder:
1) Axiomatisk-deduktiv metode kunne eleverne tale om ved den teoretiske udledning af formlen til bestemmelse af multiplikatoreffekt
2) Formlen blev benyttet til at lave forskellige modeller over udsving i multiplikatoreffekt, når der ændres i parametrene (hertil blev Geogebra med skydere anvendt - imponerede samfundsfagslæreren en del)
3) Forskellen på teoretiske modeller og vækstmodeller med regression blev berørt af nogle grupper
4) Og så havde eleverne god mulighed for at diskutere problemer ved beregningerne, når vi tolker dem i den virkelige verden. Vi fandt bl.a. ud af at både regneark og formel havde det problem, at de forudsætter at importkvote, skattesats samt opsparingskvote er uændret. Det er i hvert fald ikke korrekt, hvis de ekstra penge som staten "giver ud" til øget forbrug er målrettet en bestemt befolkningsgruppe som f.eks. arbejdsløse eller personer der betaler topskat. Det lykkedes faktisk de bedste af grupperne at justere deres regneark, så parametrene i 1. runde adskilte sig fra parametrene i de øvrige runder.

Om 3 uger er det så AT i 1g, der står på programmet. Vi har diskuteret en del, hvordan vi kan få forklaret de nye elever, hvad det der AT er for noget. Vi lærere bruger jo altid en del tid på at få forklaret eleverne, hvad AT handler om. Men ikke desto mindre hører man igen og igen fra elever at det først i 3g, de rigtig forstår, hvad det går ud på.
Derfor havde vi, i den 1g-klasse jeg har, besluttet at prøve noget nyt, nemlig at lade 3g-eleverne forklare 1g-eleverne, hvad AT er, og hvordan de arbejdet med det.
Helt konkret fik hver af vores 3g-grupper i denne uge besøg af 3-4 1g-elever. Der var afsat 30 min til at 3g-eleverne forklarede AT for 1g-eleverne - både generelt men også deres konkrete emne.
Derudover var hver 1g-elev inde og høre en 3g-gruppes fremlæggelse af deres AT-projekt.
3g-eleverne var lidt skeptiske i starten, især over at 1g-elever skulle overvære deres fremlæggelse. Men det gik forbløffende godt og de umiddelbare kommentarer fra 1g-eleverne var meget positive. De fik både en fornemmelse af hvad AT handler om, men fik også oplevet, hvordan lærer/censor agerer under en sådan eksamen.
Så nu glæder jeg mig til AT1 med 1e - emnet er for øvrigt manipulation af tal, hvor eleverne i grupper skal lave en valgvideo for et givet politisk parti.

Dokumentdeling som lektie

I 2g er vi i gang med vektorer og er nået frem til de forskellige måder at opskrive linjer på. Min erfaring er, at eleverne ofte i hvert fald i starten har svært ved at huske hvilke informationer, som kan trækkes ud af linjens ligning og linjens parameterfremstilling. Og det er jo centralt, når der skal løses opgaver, hvor linjer indgår.
Jeg har derfor oprettet et dokument, som jeg har placeret i klassens Google Drev. Dermed har alle elever adgang til at indtaste i dokumentet - oven i købet samtidig. I dokumentet har jeg placeret en række generelle spørgsmål, der hører til linjer. Spørgsmålene står nederst i dette indlæg.
Lektien er nu, at eleverne skal beskrive løsningsmetoden for et af punkterne samt tjekke/forbedre to af de øvrige indtastede løsningsmetoder.
Eleverne skal skrive navn på både den løsningmetode de har indtastet, samt de løsningsmetoder de har tjekket.
Jeg synes desuden, det er vigtigt at træne eleverne i at forklare løsningsmetoder til hinanden. Hvis man kan forklare en metode generelt, så er det en indikation på, at man har forstået opgaven.
Igen en metode til at holde eleverne fast på at de altså skal lave lektier. Og at jeg nemt kan se, hvis det ikke er tilfældet.
Det er så planen, at eleverne skal arbejde med de indtastede løsningsforslag i den kommende matematiktime.

Spørgsmålene i dokumentet:

Opskrivning af ligning og parameterfremstilling

1.       Opskriv parameterfremstilling for linjen, når to punkter er kendte.
2.       Opskriv ligningen for linjen, når to punkter er kendte
3.       Omskriv parameterfremstilling for linjen til ligning for linje.
4.       Omskriv ligning for linje til parameterfremstilling for linje (gæt nødvendigt)

Vinkel mellem to linjer:

5.       Linjerne er givet på parameterfremstillingsform
6.       Linjerne er angivet med ligninger.
7.       Den ene ligning er på parameterfremstillingsform, mens den anden er givet ved en ligning.

Vinkelrette linjer:

8.       Linjer opskrevet som ligning (ax + by + c = 0 eller lignende).
9.       Linjer opskrevet som parameterfremstilling.
10.   Ligninger opskrevet som henholdsvis parameterfremstilling og ligning.
11.   Bestem den manglende koordinat (a eller b) for at to linjer bliver vinkelrette på hinanden.
12.   Bestem forskrift for linjen gennem givet punkt og vinkelret på anden kendt linje

Parallelle linjer

13.   Linjer opskrevet som ligning (ax + by + c = 0 eller lignende).
14.   Linjer opskrevet som parameterfremstilling.
15.   Ligninger opskrevet som henholdsvis parameterfremstilling og ligning.
16.   Bestem den manglende koordinat for at to linjer bliver parallelle
17.   Bestem forskrift for linjen gennem givet punkt og parallel med anden kendt linje

Metodetræning og bevisførelse (skalarprodukt)

Jeg er stor tilhænger af den eksperimentelle tilgang til nyt stof - som f.eks. er beskrevet under Vektorer opstart, hvor vi har beskæftiget os med indledende vektorregning samt karakteristika ved skalarprodukt.
I dag diskuterede jeg med klassen, hvilken metode som benyttes ved en sådan eksperimentel udledning af karakteristika og formler.
Heldigvis forslog eleverne den naturvidenskabelige metode som f.eks. anvendes i fysik. Det gav anledning til en snak om forskelle på matematiske og naturvidenskabelige metoder.
Konklusionen blev hurtigt, at matematiklæreren og -eleven ikke ville være tilfreds. Vi må have fat i definition samt sætning med tilhørende beviser.
Jeg har tilrettelagt et sådant forløb med skalarproduktet for formelt at få bevist de karakteristika som tidligere øvelser har tydet på.
Eleverne opdeles i hold på 2-3 personer, som får en opgaveformulering der enten tager udgangspunkt i den analytiske eller den geometriske definition af skalarproduktet.
Eleverne skal herefter arbejde med beviser, hvor deres definition anvendes. Det er tanken, at eleverne skal lære, at det ikke altid er entydigt, hvad man skal vælge som definition. Samtidig skal eleverne se, at bevis for sætninger kan have varierende sværhedsgrad alt efter valg af definition.
Eleverne laver en lille lærebog om skalarproduktet - afleveres som hjemmeside.
Til sidst i forløbet dannes grupper bestående af elever som har arbejdet med geometrisk henholdsvis analytisk definition. Eleverne gennemgår nu "deres" beviser for hinanden.
De udleverede opgaveformuleringer: Analytisk, Geometrisk.

Kuvertopgaver

Jeg har uden på en række kuverter sat nogle forskellige opgaver fast.
Eleverne skal i grupper på to tage en kuvert og nedskrive løsningen på "deres" opgave på et stykke blankt papir. Når opgaven er løst, lægges løsningen i kuverten og eleverne henter en ny kuvert.
I slutningen af timen eller i næste time får hver gruppe ansvaret for at lave en god besvarelse af en af opgaverne. Der kan søges inspiration i alle de svar, som ligger i den pågældende kuvert.
Det kunne evt. være lektien til næste time at få lavet en eksemplarisk besvarelse.
Der skal selvfølgelig være så mange kuverter, at alle grupper kan få en kuvert. Det fungerer lidt mere flydende, hvis der er et par kuverter i overskud, så der altid er en opgave tilgængelig.
Man kan desuden bede eleverne skrive deres navne på bagsiden af kuverten, når opgaven er regnet. Så kan der også være lidt konkurrence om at nå flest opgaver.
Jeg vil bruge denne form til at træne eleverne i at benytte de korrekte formler i trigonometri-opgaver. Denne gang vil jeg derfor ikke have eleverne skal regne opgaverne, men vil blot bede dem angive, hvilken formel som skal benyttes til de enkelte spørgsmål. Der skal selvfølgelig argumenteres for valget.
Jeg benytter følgende tidligere eksamensopgaver - link.
Jeg har tidligere benyttet samme metode til træning af opgaver uden hjælpemidler.