Kvadratsætninger - klip et bevis

Hvordan får man lært sine elever kvadratsætningerne?
Efter mange års forsøg er det ikke rigtig lykkedes mig særligt godt. Når jeg taler med eleverne om kvadratsætningerne, så er de helt med på, at de skal huske det dobbelte produkt, men når jeg så spørger eleverne i den efterfølgende time, er det dobbelte produkt på forunderlig vis forsvundet ud af elevernes hukommelse igen.
I år har jeg forsøgt at synliggøre nødvendigheden af det dobbelte produkt ved at lade eleverne "klippe kvadratsætningerne". Eleverne arbejdede med dette arbejdsark (link).
Vi har således arbejdet med at forstå at to tal ganget med hinanden kan opfattes som et areal.
Efter eleverne havde fået konstrueret og forstået beviset, skulle de som en del af deres hjemmeopgave lave en videooptagelse (deres første), hvor de forklarer sætningen.
Et eksempel på elevernes video kan ses nedenfor:

Flipped learning - med forpligtende lektie

Jeg har tidligere skrevet et indlæg om flipped learning, hvor jeg lidt diskuterer fordele og ulemper ved flipped classroom (se mit indlæg her). Jeg kommenterede bl.a. at det ikke er nok at bede eleverne se et videoklip igennem hjemme. Der skal stilles krav til, hvordan der skal arbejdes med videoklippet.
Jeg er nu faldet over et program, der gør det muligt at indsætte spørgsmål løbende i allerede eksisterende videoer. Det smarte er, at svarene gemmes, så jeg kan se, hvem der har svaret hvad. Altså fuldstændig som en online quiz. Systemet har også en facilitet, som registrerer, hvis eleven overspringer dele af videoklippet.
Hjemmesiden hedder Zaption.
For at oprette en video med spørgsmål på Zaption skal man logge ind (kan f.eks. bruge gmail eller Facebook). Efter login oprettes en Lesson, hvortil man kan indlæse videoklip. Man kan derefter løbende i videoen indsætte tekst, mulitple choice, checkbokxe, tekstfelter mm. Når disse elementer indsættes kan videoen stoppes, indtil der er svaret.
Design-vinduet ser således ud;

 

Til mine 1g-ere har jeg lavet en video knyttet til en læselektie, hvor jeg beder dem læse teksten i mindre dele, hvor der så er nogle spørgsmål efter hver del.

Jeg tænker, at man måske også kan benytte metoden til at indlægge pauser ved f.eks. beviser optaget på video. der findes jo mange beviser på Youtube, man bare kan benytte. Jeg har dog ikke fået afprøvet det endnu.

Jeg har dog lavet et lille eksempel, som blot bruges til at vise forskellige elementer. Der er ikke rigtig nogen sammenhæng mellem video og spørgsmålene - jeg ville blot teste mulighederne. Du skal være velkommen til at prøve eksemplet. Det ligger på http://zapt.io/tffstfae.

Når der er svaret på spørgsmålene kan jeg udtrække en del statistik:

- hvem har svaret hvad?

- hvad er der svaret på de enkelte spørgsmål?

- hvor lang tid har det taget at svare på spørgsmålene?

- hvor mange af spørgsmålene er der svaret på?

- Er der sprunget noget at videoen over?

- ...

I første omgang tester jeg kun freeware-versionen, men der findes også en Pro-version som selvfølgelig har nogle ekstra elementer. F.eks. download af csv-fil med alle svar.



Lineære funktioner

Jeg lader mine 1g-elever arbejde i grupper, når vi skal have gennemgået de teoretiske dele knyttet til lineære funktioner.
Eleverne skal skrive en lille lærebog (temarapport) om lineære funktioner med 9.klasses elever som målgruppe, så de kan vise, hvor meget de har lært her i starten af gymnasiet.
Lærebogen skal laves som en hjemmeside, hvor der er krav om at egen video af f.eks. et bevis og dynamisk Geogebra-animation skal indgå.
Formålet er selvfølgelig at få eleverne til at få trænet små beviser og arbejde med ræsonnement.
Selve oplægget til opgaven består af
 - eksperimentelle øvelser
 - opgaver
 - beviser
Alle tre dele supplerer hinanden og er med til at give eleverne en større forståelse for emnet lineære funktioner. Det er dog ikke nogen tvungen rækkefølge i, hvordan eleverne skal arbejde med emnet.
Vedhæftet det opgaveark som eleverne får udleveret (Link).

Differentialregning - opsamling

Vi er så småt ved at afslutte differentialregning på mit 2g matematik-A hold. Vi har lavet en hel del beviser og også brugt en del energi på at italesætte de matematiske metoder, som anvendes ved opbygning af en matematisk teori.
Ofte har fokus i beviserne været at forstå de enkelte reduktioner og så har der ikke været lagt så meget vægt på bevisstrukturer mm.
Jeg valgte derfor i samråd med eleverne at lave en opsamling på differentialregning, hvor vi repeterer beviserne og i den repetition specielt fokuserer på de mere overordnede argumenter. Hvorfor har vi f.eks. bestemt differentialkvotienten til en given funktion, når vi benytter tretrinsreglen?
Da alle ikke kan nå alle beviser, optages beviserne på video og bliver efterfølgende samlet på en hjemmeside, som alle i klassen kan benytte. Jeg har på forhånd opdelt hjemmesiden i følgende emner:

Introduktion:

Indledende ting omkring differentialregning bl.a. om sekant-tangent, definition på differentiabel funktion

Bevisteknikker:

Beskrivelse af overordnede bevisteknikker, som er blevet anvendt i de forskellige beviser (tretrinsreglen, induktionsbevis samt matematikkens indre struktur)

Basale funktioner:

Beviser for en række af de mere basale funktioner (f.eks. x², ax+b, konstant, ...

Regneregler:

Beviser for hvordan man differentierer funktioner, som er kombinationer af basale funktioner
Tangentligningen

Her bevises formlen for tangentligningen.

Eleverne vælger sig selv ind på beviser efter fagligt niveau - dog stiller jeg krav til at alle elever er med til forskellige typer beviser. Jeg sikrer desuden, at der laves mindst to videoer med hvert bevis, så eleverne kan se forskellige fremstillinger af beviserne.

Eleverne er fortrolige med at arbejde med disse hjemmesider (Google sites), så de lægger selv deres videoer ind på hjemmesiden.
Ud over videoerne stiller jeg krav om at hver hjemmeside også skal indeholder:
- præcis beskrivelse af sætningens ordlyd
- overordnet beskrivelse som forklarer, hvordan beviset er opbygget 
- evt. andre relevante oplysninger.
Der stilles også krav til de elementer som videoerne skal indeholder. Bl.a. er definitionen på differentiabilitet obligatorisk i videoen.

Regression - hvordan findes bedste funktion

Men min 1g har vi nu i lidt tid lavet regressioner for de sædvanlige funktioner lineær, eksponentiel og potens.
Men hvordan er det lige vores matematikprogram bestemmer den bedste funktion. Vi benytter lige nu Geogebra.
I morgen vil jeg give eleverne 3 punkter: (1; 2), (4; 5) og (10; 5).

Jeg har tænkt mig at eleverne skal arbejde med følgende spørgsmål:
1) Bestem ved hjælp af skydere den lineære funktion, du mener er den "bedste".
2) Hvilke kriterier har du anvendt for at kunne kalde din funktion for den "bedst mulige"?
3) Kan du finde et tal, der kan benyttes som mål for, hvor godt en funktion passer til de opgivne punkter?
4) Lad Geogebra bestemme den bedste lineære funktion - Er I enige?
5) Lad desuden Geogebra finde den bedste eksponentielle funktion og potensfunktion.
6) Hvilken af Geogebras 3 funktioner er bedst?
Kommandoen Rkvadreret[{<liste af punkter>},<given funktion>] (skrives som R² i de fleste andre matematikprogrammer) er et mål for, hvor godt funktionen passer til punkterne. Jo tættere R² ligger på 1, jo bedre passer regressionsfunktionen.
7) Bestem R² for de tre funktioner og undersøge om Geogebra er enig med dig i, hvilken funktion der er bedst.
Som du nok har konstateret, så bestemmer Geogebra ikke helt på samme måde som dig, hvor godt en funktion ligger i forhold til de opgivne punkter. Der skal lidt mere matematik til - det springer vi over i denne omgang. Den nysgerrige kan dog se følgende video fundet på Youtube:

Jeg forventer selvfølgelig ikke, at eleverne kan arbejde sig frem til den korrekt metode, men jeg har et håb om, at de vil kigge på den lodrette eller vinkelrette afstand mellem punkterne og funktionen, når de skal afgøre, hvor godt funktionerne passer med punkterne.

Differentialligninger - sådan gik det...

Det var så emnet differentialligninger - et emne som altid volder eleverne store problemer. I år har jeg struktureret gennemgangen på følgende måde:

• Kort introduktion til hvad en differentialligning er.
• Løsning af opgaver med differentialligninger til prøven uden hjælpemidler
• Løsning af opgaver med differentialligninger til prøven med hjælpemidler
• Grundigt arbejde med hvad en differentialligning er for noget og hvordan løsningerne hørende til differentialligninger ser ud - fokus på linjeelementer og plot af linjeelementer
• To beviser for differentialligningen y' = k*y (eksistens og entydighed samt brug af separationsmetoden) - de fagligt stærke elever fik også lov til at bevise separationsmetodens gyldighed.
• Projekt om logistisk vækst (afleveret som hjemmeopgave), hvor der blev fokuseret på karakteristika og beviser for løsningsformlen.
• I denne uge har vi haft 4 moduler (95 minutter). I de moduler har vi samlet op, holdt oplæg for hinanden (karakteristika og beviser) og indspillet en række videoer:
  mandag: Videoer der generelt beskriver differentialligninger samt video der forklarer karakteristika ved logistisk vækst (indledning til mundtlig eksamen)
  Tirsdag: Videoer med beviser (eksistens/entydighed samt separation) på løsningsformlen for y' = k*y
  Torsdag: Videoer med eksistens og entydighedsbevis for logistisk vækst
  Fredag: Videoer med separationsbevis for logistisk vækst samt arbejde med opstilling af differentialligninger ud fra sproglig forklaring.

De tre første dage skulle der optages to videoer. Jeg strukturerede det således, at eleverne var opdelt i grupper på 4-6. Halvdelen i hver gruppe forberedte grundigt den ene video, mens den anden gruppe forberedte den anden video. Inden videoerne måtte optages skulle gennemgangene vises for mig og den anden halvdel af gruppen.
Den sidste dag var eleverne også opdelt i mindre grupper. Alle forberedte samme bevis. Der blev trukket lod om hvem der skulle vise beviset for mig og hvem der skulle optage beviset på video.
Vi afsluttede forløbet med at evaluere forløbet og jeg blev lidt overrasket over elevernes feedback. Eleverne er langt mindre afskrækket af differentialligninger end min erfaring fra tidligere hold. Og det gælder både i relation til mundtlig og skriftlig eksamen. De fleste synes ikke differentialligninger er et sværere emne end andre emner. Det overrasker mig noget.
Hvorfor gik det tilsyneladende så godt?
Flere nævner at det er rart at starte med at løse opgaver, så man får en fornemmelse for emnet.
Selv tror jeg linjeelementerne er med til at give eleverne en god forståelse for løsningsfunktionerne og så at vi har brugt den sidste uge på at samle op på de relevante ting omkring differentialligninger. Her har eleverne haft tid til at fordybe sig i emnet og har haft mulighed for at arbejde grundigt med stoffet i mindre grupper.
Det var min fornemmelse, at det fungerede godt, at beviserne blev gennemgået to gange med en lille pause imellem. I første omgang arbejdede eleverne lidt mere uforpligtende med beviser - der fokuserede vi mest på bevisstrukturerne. Den grundige behandling af beviserne kom så her i denne sidste uge, da eleverne skulle gennemgå beviserne for hinanden og optage beviserne på video.
Jeg tror, jeg vil afprøve denne metode igen på et senere forløb - altså at afslutte et forløb med at lave en intensiv opsamling med beviser gerne optaget på video.

Animerede beviser

Som oplæg til eksponentielle funktioner har vi i 1g arbejdet med potensregnereglerne med heltallige eksponenter.
Efter en række praktiske opgaver fik vi opstillet potensregnereglerne (formel 10-16 i formelsamlingen til A-niveau).
Som træning sammensatte jeg eleverne i par. De skulle nu bevise alle potensregneregler to og to.
Hvert par fik herefter til opgave at videooptage to af beviserne ved hjælpe af små stykker papir. Hvis et stykke papir symboliserede et a, så ville en mængde lignende stykker svarer til aⁿ.
Eleverne skulle så flytte rundt/samle/forkorte de små stykker papir og dermed sandsynliggøre potensregnereglerne.
Det var ikke imponerende beviser/argumentationer, som eleverne fremkom med, men jeg oplevede det som en god øvelse i at tale matematik. Eleverne fik lært at arbejde med nogle af de begreber og ord, som er knyttet til potensregneregler.
Og så synes eleverne også det var lidt sjovt med en anden form for bevis end blot at nedskrive et bevis på tavlen.
Beviserne blev optaget med elevernes smartphone og lagt ind på klassens fælles Youtube-konto.
Der findes flere af denne type beviser, som jeg måske vil benytte senere. Et par eksempler er kvadratsætningerne og Pythagoras sætning.

Flipped Learning - et nyt vidundermiddel?

Næsten uanset hvor man lige nu kigger hen i undervisningsverdenen, så tales der meget rosende om Flipped Classroom eller Flipped Learning. I sin stramme form handler det om at flytte lærergennemgang fra klasseværelset hjem til eleverne, således at undervisningstiden kan benyttes på at hjælpe eleverne med at arbejde videre med emnet. Det er meningen, at læreren optager sin gennemgang på video f.eks. som en screencast. Eleverne skal så hjemme se videoen inden næste time.
Sådanne videoer har selvfølgelig nogle åbenlyse fordele, idet eleverne igen og igen kan konsultere videoerne for at få hjælp. Og eleverne synes også det er en god form for lektie. Samtidig er det rart som lærer at kunne bruge mere tid på at hjælpe eleverne end ved at stå ved tavlen.
Jeg bruger selv metoden en gang i mellem - typisk ved introduktion til nye elementer i vores matematikprogram eller ved mere omfangsrige beviser, som er svære for eleverne at læse i en bog.
Men jeg synes ikke ubetinget det er en succes. Eleverne ser godt nok videoerne, men har de hovedet med? Det er dejlig nemt at se en video for så kan man sige, at man har lavet lektier. Min erfaring er at sådanne videoer kun kan bruges, hvis eleverne efterfølgende selv skal arbejde. Det er den eneste måde hvorpå de kan konstatere om stoffet er forstået. Så jeg mener ikke at man kan nøjes med at give eleverne en video for - den skal suppleres med spørgsmål som aktiverer/tjekker eleverne.
Måske kan man indlægge tænkepauser i videoerne. Det har jeg ikke selv prøvet, men det er da en overvejelse værd.
En anden fare ved for voldsom brug af flipped learning er, så vidt jeg kan se, at denne undervisningsform er endnu en lille brik i vores nursing af eleverne. Vi brokker os over at eleverne ikke er gode nok til at læse (faglige) tekster. Det bliver jo ikke bedre af, at vi omlægger forberedelsen og undervisningen, så mængden af læsning reduceres markant.
Så jeg mener ikke flipped learning er det nye store vidundermiddel som ukritisk skal implementeres i undervisningen.
Når det er sagt, så frigørelse af tid fra lærergennemgang i undervisningstiden absolut en positiv ting. Der findes dog andre måder at flytte fokus fra klasseundervisning til elevaktiverende undervisning, hvor det at få eleverne til at arbejde aktivt er i centrum.
Og så er der selvfølgelig lærerens arbejdstid. Det tager tid at optage videoer. I starten ville jeg gerne gøre videoerne perfekte, så optagelser hvor jeg ikke er klar nok i formuleringerne blev forkastet. Nu forsøger jeg med "one take". Det er ok, at eleverne ser, at jeg også kan formulere mig kludret.
Der findes utallige videoer på Youtube, som beskriver Flipped Learning/Classroom. I USA har Jessica Myxters netop afleveret Masterspeciale i pædagogik om Flipped Classroom i Matematik. Læs mere på bloggen IT i Gymnasiet (Link).

Forberedelse til mundtlig eksamen

De sidste par gange, hvor jeg har afsluttet matematikhold, har holdet i fællesskab lavet en hjemmeside med ideer til dispositioner til de enkelte eksamensspørgsmål. Dermed har alle i klasse adgang til forslagene til disponering af de enkelte eksamensspørgsmål.
Typisk vil eleverne blive inddelt i hold på 2-3 personer, som så skal arbejde med et givet spørgsmål. På hjemmesiden skal hvert hold indtaste:
- Pensum: Hvor er det relevante materiale?
- Indledning: Hvad kan en god indledning indeholder?
- Beviserne: Hvilke skal med og hvilke kan inddrages? Og hvor findes beviserne?
- Evt. perspektivering:
- Hvad kan den generelle samtale i den sidste del af eksaminationen handle om?
Derudover opfordres eleverne til at "vedlægge" dokumenter, videoer og andre relevante materialer til hvert emne.
Hjemmesiden laves i Google Sites, hvor vi i tidligere har oprettet fagspecifikke hjemmesider, så eleverne er allerede fortrolige med mediet.
Jeg laver skabelonen til hjemmesiden, som blot består af et menupunkt til hvert spørgsmål.
Hjemmesiden for mine 3g'ere ser således ud:

Eksamensspørgsmål som projekt

Med mit 3g-hold er vi nået frem til logistisk vækst. Vi har tidligere kigget på generelle karakteristika ved differentialligninger, arbejdet med y' =ky samt bevist separation af variable.
Gennemgangen af logistisk vækst har jeg besluttet mig for at vende lidt på hovedet, idet jeg vil starte med at give eleverne det spørgsmål om logistisk vækst, jeg planlægger at bruge til holdets mundtlige eksamen.
Eleverne skal nu i par ud fra deres nuværende viden om differentialligninger samt via en række opgaver og eksperimenter konstruere en hjemmeside (Google sites), der skal indeholde de dele som hører til en fremlæggelse af eksamensspørgsmålet.
På hjemmesiden må eleverne selvfølgelig gerne placere videoer, de selv har optaget.
Oplægget til eleverne ligger her: Link
Elevernes hjemmesider afleveres som en hjemmeopgave.

Metodetræning og bevisførelse (skalarprodukt)

Jeg er stor tilhænger af den eksperimentelle tilgang til nyt stof - som f.eks. er beskrevet under Vektorer opstart, hvor vi har beskæftiget os med indledende vektorregning samt karakteristika ved skalarprodukt.
I dag diskuterede jeg med klassen, hvilken metode som benyttes ved en sådan eksperimentel udledning af karakteristika og formler.
Heldigvis forslog eleverne den naturvidenskabelige metode som f.eks. anvendes i fysik. Det gav anledning til en snak om forskelle på matematiske og naturvidenskabelige metoder.
Konklusionen blev hurtigt, at matematiklæreren og -eleven ikke ville være tilfreds. Vi må have fat i definition samt sætning med tilhørende beviser.
Jeg har tilrettelagt et sådant forløb med skalarproduktet for formelt at få bevist de karakteristika som tidligere øvelser har tydet på.
Eleverne opdeles i hold på 2-3 personer, som får en opgaveformulering der enten tager udgangspunkt i den analytiske eller den geometriske definition af skalarproduktet.
Eleverne skal herefter arbejde med beviser, hvor deres definition anvendes. Det er tanken, at eleverne skal lære, at det ikke altid er entydigt, hvad man skal vælge som definition. Samtidig skal eleverne se, at bevis for sætninger kan have varierende sværhedsgrad alt efter valg af definition.
Eleverne laver en lille lærebog om skalarproduktet - afleveres som hjemmeside.
Til sidst i forløbet dannes grupper bestående af elever som har arbejdet med geometrisk henholdsvis analytisk definition. Eleverne gennemgår nu "deres" beviser for hinanden.
De udleverede opgaveformuleringer: Analytisk, Geometrisk.

Hjemmeopgaver - mundtlig feedback

I denne uge har jeg givet mine 2g-elever mundtlig feedback på deres skriftlige aflevering. Hertil brugte jeg programmet Screencast-o-Matic, som optager aktivitet på skærmen og hvad der bliver sagt.
Jeg åbnede elevens aflevering og startede herefter Screencast-o-Matic. Jeg scrollede ned gennem besvarelsen, mens jeg kommenterede elevens udregninger mm. Jeg havde ikke læst opgaven på forhånd men kørte direkte på. Jeg fik selvfølgelig sagt lidt fejl undervejs, men det havde jeg besluttet ikke at tage mig af.
Ved længere tekststykker pausede jeg dog optagelsen, da der ellers ville komme for lang pause, mens jeg læste teksten.
Jeg synes, det gik rigtig fint og det var ikke så svært, som jeg havde forestillet mig.
Hver screencast tog mellem 3 og 5 minutter - en passende længde synes jeg.
Jeg uploadede hver screencast til min private Youtube-konto og gjorde her videoerne skjulte. Eleverne fik så tilsendt linket med mine kommentarer.
Screencast-o-Matic drillede lidt, idet den nogle gange anvendte videoen fra forrige elev men med den nye indtalte lyd. Jeg forstår ikke helt, hvordan det kunne ske. Med de sidste elever startede jeg derfor med at optage ca. 10 sekunder, som jeg så afspillede for at tjekke om alt var ok. Hvis det var tilfældet fortsatte jeg retningen.
Elevernes feedback på denne form for rettelse var meget positiv. De syntes, de fik en bedre feedback (jeg synes ellers jeg skriver meget til dem). Jeg kommenterede jo alt jeg så i besvarelsen, så jeg tror jeg var meget bedre til at fremhæve de gode ting i besvarelserne.
Eneste lille problem er at det er lidt svært at gå tilbage til mine rettelser i en specifik opgave. Derfor havde jeg også valgt, at eleverne efterfølgende skulle forbedre deres besvarelse og så aflevere den rettede version (jeg retter den ikke).
Flere elever nævnte også at de tog mine rettelser mere seriøst end skrevne kommentarer i selve besvarelsen. Men om det er "nyhedens interesse" er lidt svært at afgøre.
Eleverne syntes det var en god alternativ måde at få feedback på, men det skal ikke være hver gang.

Udveksling af beviser

Lektien til dagens time i 2g var 4 små trigonometri-beviser. Eleverne var på forhånd delt op så eleverne hver skulle forberede et bevis grundigt samt et bevis mindre grundigt.
Jeg havde fundet beviserne på Youtube - ikke alle var eksemplariske men det var blot med til at gøre eleverne mere opmærksomme ved forberedelsen.
I starten af timen blev eleverne samlet i grupper, hvor alle havde forberedt sig grundigt på samme bevis. Disse grupper skulle nu på 20 minutter få fuldstændig styr på beviset samt optage en eksemplarisk fremlæggelse af beviset på video. Videoen blev straks uploadet til Youtube og vores trigonometri-hjemmeside. Der var 6 elever i hver gruppe.
Eleverne var blevet bedt om specielt at være opmærksomme på at præcisere, hvad sætningen siger samt selve starten på bevist (se tidligere indlæg: Start på bevis...).
Resten af modulet var opdelt i sekevenser på 15 minutter efter følgende princip:
2 elever bliver i lokalet mens de 4 øvrige elever går videre til næste lokale for at se et af de andre beviser. De samme to elever må ikke blive under to seancer i samme lokale. Det burde skærpe tilhørernes opmærksomhed, da de kan blive de næste som skal fremlægge beviset.
Jeg ved ikke om det var fordi eleverne gik døde (det virkede ikke sådan), men eleverne blev hurtigere og hurtigere til at gennemgå beviserne.
På 95 minutter fik vi gennemgået 4 beviser oven i købet optaget på video og alle elever nåede at fremlægge mindst et bevis. Det var en god og effektiv time, hvilket også eleverne gav udtryk for.
Vedhæftet lektien til dagens time: Link.

Opsamling på beviser

I sidste modul i min 2g-klasse arbejdede eleverne i grupper med forskellige trigonometriske beviser (Se indlægget Bevisgennemgang), hvor de bl.a. lavede videoer med beviserne.
I dag var det så tid til at få erfaringsudvekslet beviserne. Lektien til i dag var at træne eget bevis, samt at se og forberede en af de andre bevisvideoer.
Eleverne blev opdelt i matrixgrupper, så der var en ekspert på hvert bevis i hver gruppe. Eleverne gennemgik nu beviserne for hinanden og søgte hjælp i videoerne, hvis der var problemer med et bevis, og jeg ikke lige var i nærheden.
Jeg cirkulerede mellem grupperne og fik set en hel del flotte bevisgennemgange.
Timen sluttede med dynamisk konstruktion af de forskellige trekanttilfælde i Geogebra - disse konstruktioner er det planen at optage med screencast i næste modul.
Eleverne feedback fra timen var, at de havde lært en del om ræsonnement (ikke lige elevernes ord :-) ), og at de havde fået en god forståelse for cosinus- og sinusrelationerne.

Bevisgennemgang

Efter eleverne nu har fået gennemgået de centrale beviser hørende til trigonometri, så skal vi i dag træne beviser. Jeg vil bl.a. bede eleverne fokusere på starten af beviset (se evt. indlægget Start på bevis).
Det er vigtigt for mig, at eleverne aktives også under bevisgennemgangen. Så derfor har eleverne til dagens time fået ét bevis, som de skal forberede hjemme, så beviset kan gennemgås i klassen. Jeg har fordelt beviserne (cosinusrelation (2 forskellige beviser, cosinusrelation i stumpvinklet trekant, samt arealformel og sinusrelation), så de bedste elever får de sværeste beviser (cosinusrelationen i stumpvinklet trekant - de skal selv lave beviset).
På en tavle gennemgår eleverne nu i grupper på 6 gennemgå eleverne nu i fællesskab deres forberedte bevis. Jeg har sørget for et klasselokale til hver gruppe. Herefter opdeles hver 6-mands gruppe i 2 undergrupper på hver 3 medlemmer. I disse mindre grupper skal beviset optages på video og efterfølgende uploades til vores trigonometri-hjemmeside. Vi får således hvert bevis gennemgået i to videoer.
Hver elev får selvfølgelig kun repeteret ét bevis, men videoerne vil bliver brugt som forberedelse til næste modul, hvor vi vil lege "Kom og lær et bevis".
Vi  bruger ikke hele modulet på beviserne - resten af modulet benyttes til træning i at gennemskue hvilken trekantformel, der skal bruges i hvilken situation.

Trigonometri

Så blev det hverdag - alt for tidligt....
Med min 2g-klasse skal vi i gang med trigonometri. Jeg skyder altid dette emne til 2g, da beviserne er så simple at eleverne faktisk selv kan udlede dem, hvis de får lidt hjælp (stikord).
Eleverne skal i første omgang eksperimentere med Geogebra (www.geogebra.org), som er et fantastisk program til at "prøv dig frem og konkluder".
Jeg har aftalt med eleverne, at de i grupper skal lave en interaktive lærebog i form af en hjemmeside (Google sites), der bl.a. skal indeholde video (gemt på YouTube) samt en Screencast (www.screencast-o-matic.com).

Link til elevernes arbejdsdokument: Ensvinklede og retvinklede trekanter