Geogebra - nu med 3D

For et par måneder siden blev rumgeometri endelig tilføjet til den officielle Geogebra.
Jeg har tidligere skrevet om, hvordan netop Geogebra 3D er rigtig god til at få eleverne til bedre at forstå de rumlige figurer (Link). Især fordi det er muligt at rotere koordinatsystemet.
Jeg har netop overstået rumgeometri forløbet i 3g. Og endnu en gang var jeg rigtig glad for den hjælp, som Geogebra giver eleverne.
I denne endelige version er desuden problemerne med vinkelberegning fra Beta-versionen elimineret. Så nu er det muligt at løse alle rumgeometri-opgaver i Geogebra.
Spørgsmålet er så blot, om vi er glade for det... Jeg er selv i tvivl for matematikken kommer til at træde i baggrunden. Der er selvfølgelig matematisk ræsonnement i spil ved løsning af opgaver i Geogebra, men opgaver som tidligere var svære/tidskrævende skifter nu fuldstændig karakter.
Bestem planen indeholdende 3 givne punkter kræver for en traditionel besvarelse, at der bestemmes to vektorer i planen, som krydses for at finde en normalvektor og endelig skal der indsættes i planens ligning.
I Geogebra 3D løses spørgsmålet ved at indtaste de 3 punkter, klikke på ikonen til bestemmelse af plan ud fra 3 punkter og efterfølgende klikke på de 3 punkter. Så klarer Geogebra resten.

 

Jeg vil stadig insistere på, at eleverne også skal lære at løse opgaverne i deres sædvanlige værktøjsprogram, da jeg mener, det også er med til at give eleverne en forståelse af vektorbegrebet. Men Geogebra 3D er absolut er rigtig godt supplement - måske især til de svagere elever.



Her er en lille kort vejledning til Geogebra 3D (Link).

Stationstræning

Det var tid til at få afsluttet vektorer i rummet med mit 3g-hold. Vi manglede lige at få kigget nærmere på krydsproduktet. Eleverne havde i sidste modul og hjemme forberedt lidt småbeviser i relation til krydsproduktet. Vi definerer krydsproduktet ved hjælp af dets koordinater, så ortogonalitet i forhold til de oprindelige vektorer, arealformlen for parallelogram i rummet samt parallelle vektorer krævede lidt argumenter og beviser.
Jeg delte klassen op i 4 hold som på skift skulle komme ind i lokalet og være med til at gennemgå beviserne.
Vi har allerede perifært berørt begrebet differentialligninger, så til de hold, der ikke gennemgår beviser havde jeg "oprettet tre stationer", eleverne skulle cirkulere mellem. På disse stationer var tanken at give eleverne en bedre forståelse af differentialligninger og hvad de kan anvendes til. Jeg havde følgende stationer:
1) gæt hvordan ændringen i temperatur teoretisk udvikler sig for en kop kaffe - ledsaget med lidt hjælpespørgsmål.
2) Opfind en lille realistisk historie som passer med nogle opgivne differentialligninger - f.eks. y' = 0,4y
3) Tidligere eksamensopgaver uden hjælpemidler, hvor differentialligninger indgår. Det er vigtigt, at eleverne er helt med på betydningen af y' samt hvad den størrelse kan bruges til og hvad den siger noget om.
Selve timen var struktureret således at hvert hold havde 20 minutter på hver station, hvorefter de skulle videre til næste station. Stationerne var placeret i hvert sit lokale (opgaveformuleringerne var undtagelsesvis printet ud på papir), så eleverne fik også rørt sig lidt. Eleverne nedskrev deres løsninger på papir, så næste gruppe kan sammenligne resultaterne.
Jeg var jo bundet i lokalet med gennemgang af krydsprodukt, så på de andre stationer var eleverne overladt til sig selv. Det gav lidt frustrationer blandt eleverne, da de specielt i stationen med kaffekoppen havde problemer. Men jeg tror de fik diskuteret problemstillingen godt og ikke bare kastede håndklædet i ringen. Og det var også lidt min intension.
Jeg nåede desværre ikke  specifikt at høre eleverne om hvad de syntes om stationsmodellen. Det vil jeg gøre i næste modul, hvor jeg selvfølgelig vil forsøge at få skabt mere overblik over differentialligningerne.
Det gik fint med gennemgangen af krydsproduktet - alle eleverne kom på banen, netop fordi de kun var 8 deltagere ved hver gennemgang.
NB! Stationsmodellen er beskrevet nærmere på inspirationssiden fra matematikkurset "Elevaktivering i matematik".

Beviser der ligner

I stedet for at gennemgå beviser på tavlen, så benytter jeg nogle gange princippet "beviser der ligner". Med mine 3g'ere skal vi bevise formlerne for linjens parameterfremstilling og planens ligning.
Lektien til eleverne har været at genlæse beviserne for linjens parameterfremstilling og linjens ligning hørende til plangeometri.
Eleverne bliver nu bedt om at kopiere disse to beviser for at bestemme linjens parameterfremstilling og planens ligning i rumgeometri.
Det er vigtigt at eleverne lærer at se systemer - og at det også gælder i beviser, hvor de samme teknikker ofte anvendes.
Jeg opdeler eleverne i grupper på 4 personer, hvor de 2 skal starte med parameterfremstillingen mens de 2 andre starter med ligningen.
Herefter gennemgår gruppen i fællesskab de to beviser - forhåbentlig kan der findes lokaler/tavler på skolen, så der kan arbejdes stående.
Metoden er inspireret af konferencen elevaktivering i matematik.

Reklamer i matematik

I dag har jeg søsat et projekt i min 3g-klasse, hvor eleverne skal efterligne de reklamer, som ofte ligger bag målene i fodboldkampe. Reklamerne har en 3D-effekt, så det ser opretstående ud.
Dette projekt synes jeg er rigtig godt til at eleverne kan arbejde med rumgeometri i praksis og så skader det jo ikke, at eleverne også skal være lidt aktive med opmåling og klipning af figur.
Eleverne skal efter valg af figur og fastsættelse af koordinatsystemets origo og placering af kamera først konstruere løsningen i 2D-versionen af Geogebra.
Der er selvfølgelig udskrevet en konkurrence mellem grupperne om hvem der får lavet den bedste 3D effekt.
Link til projektformuleringen

Geogebra 3D

Rumgeometri synes jeg altid volder eleverne en hel del problemer. Primært fordi de har svært ved at se figurerne for sig - de er ikke vant til at tænke i 3 dimensioner.
Jeg vil i år for første gang bruge Geogebra 5 Beta, som indeholder mulighed for arbejde i 3 dimensioner.
Der mangler lidt faciliteter i forhold til gymnasiepensummet, men langt de fleste gymnasierelevante ting er tilgængelige. Mest irriterer det mig, at den eneste type vinkel, som kan bestemmes, er mellem tre punkter.
Vi brugte første modul på at konstruere os frem til løsningen af en række tidligere eksamensopgaver.
Eleverne var især glade for facilteten, der kunne rotere tegningen. Det hjalp tilsyneladende en hel del på at forstå hvad selve opgaven gik ud på.