Lineære funktioner

Jeg lader mine 1g-elever arbejde i grupper, når vi skal have gennemgået de teoretiske dele knyttet til lineære funktioner.
Eleverne skal skrive en lille lærebog (temarapport) om lineære funktioner med 9.klasses elever som målgruppe, så de kan vise, hvor meget de har lært her i starten af gymnasiet.
Lærebogen skal laves som en hjemmeside, hvor der er krav om at egen video af f.eks. et bevis og dynamisk Geogebra-animation skal indgå.
Formålet er selvfølgelig at få eleverne til at få trænet små beviser og arbejde med ræsonnement.
Selve oplægget til opgaven består af
 - eksperimentelle øvelser
 - opgaver
 - beviser
Alle tre dele supplerer hinanden og er med til at give eleverne en større forståelse for emnet lineære funktioner. Det er dog ikke nogen tvungen rækkefølge i, hvordan eleverne skal arbejde med emnet.
Vedhæftet det opgaveark som eleverne får udleveret (Link).

Differentialregning - opsamling

Vi er så småt ved at afslutte differentialregning på mit 2g matematik-A hold. Vi har lavet en hel del beviser og også brugt en del energi på at italesætte de matematiske metoder, som anvendes ved opbygning af en matematisk teori.
Ofte har fokus i beviserne været at forstå de enkelte reduktioner og så har der ikke været lagt så meget vægt på bevisstrukturer mm.
Jeg valgte derfor i samråd med eleverne at lave en opsamling på differentialregning, hvor vi repeterer beviserne og i den repetition specielt fokuserer på de mere overordnede argumenter. Hvorfor har vi f.eks. bestemt differentialkvotienten til en given funktion, når vi benytter tretrinsreglen?
Da alle ikke kan nå alle beviser, optages beviserne på video og bliver efterfølgende samlet på en hjemmeside, som alle i klassen kan benytte. Jeg har på forhånd opdelt hjemmesiden i følgende emner:

Introduktion:

Indledende ting omkring differentialregning bl.a. om sekant-tangent, definition på differentiabel funktion

Bevisteknikker:

Beskrivelse af overordnede bevisteknikker, som er blevet anvendt i de forskellige beviser (tretrinsreglen, induktionsbevis samt matematikkens indre struktur)

Basale funktioner:

Beviser for en række af de mere basale funktioner (f.eks. x², ax+b, konstant, ...

Regneregler:

Beviser for hvordan man differentierer funktioner, som er kombinationer af basale funktioner
Tangentligningen

Her bevises formlen for tangentligningen.

Eleverne vælger sig selv ind på beviser efter fagligt niveau - dog stiller jeg krav til at alle elever er med til forskellige typer beviser. Jeg sikrer desuden, at der laves mindst to videoer med hvert bevis, så eleverne kan se forskellige fremstillinger af beviserne.

Eleverne er fortrolige med at arbejde med disse hjemmesider (Google sites), så de lægger selv deres videoer ind på hjemmesiden.
Ud over videoerne stiller jeg krav om at hver hjemmeside også skal indeholder:
- præcis beskrivelse af sætningens ordlyd
- overordnet beskrivelse som forklarer, hvordan beviset er opbygget 
- evt. andre relevante oplysninger.
Der stilles også krav til de elementer som videoerne skal indeholder. Bl.a. er definitionen på differentiabilitet obligatorisk i videoen.

2. grads polynomier

Jeg har netop som årets sidste emne i 2.g gennemgået andengradspolynomier.
Forløbet har så vidt muligt været tilrettelagt eksperimenterende bl.a. ved hjælp af Geogebra, hvor eleverne skulle eksperimentere sig frem til karakteristika, som så efterfølgende skulle bevises.
Ud over de sædvanlige beviser for konstanternes betydning, toppunktsformlen og formlen til løsning af andengradsligningen har vi også kigget på symmetri, faktorisering, forskydning af ax² samt hvad der sker med toppunktet, når der kun varieres på henholdsvis a og b.
Alle har selvfølgelig arbejdet grundigt med de "obligatoriske dele", mens de bedre elever har haft mulighed for at fordybe sig i nogle af de lidt mere specielle karakteristika.
Eleverne har 2 og 2 arbejdet med dokumentet Andengradspolynomier. Undervejs har eleverne erfaringsudvekslet og arbejdet med beviser på tværs af grupperne.
Vi afsluttede forløbet med at lave en hjemmeside om andengradspolynomier, hvor eleverne valgte sig ind på emnerne karakteristika, toppunkt og monotoni, rødder, faktorisering og specielle egenskaber.
Desværre er eleverne ikke helt så aktive/deltagende i timerne her sidst på året, så hjemmesiden blev ikke helt så god som forventet. Måske jeg skal starte her til i 3g.

Forberedelse til mundtlig eksamen

De sidste par gange, hvor jeg har afsluttet matematikhold, har holdet i fællesskab lavet en hjemmeside med ideer til dispositioner til de enkelte eksamensspørgsmål. Dermed har alle i klasse adgang til forslagene til disponering af de enkelte eksamensspørgsmål.
Typisk vil eleverne blive inddelt i hold på 2-3 personer, som så skal arbejde med et givet spørgsmål. På hjemmesiden skal hvert hold indtaste:
- Pensum: Hvor er det relevante materiale?
- Indledning: Hvad kan en god indledning indeholder?
- Beviserne: Hvilke skal med og hvilke kan inddrages? Og hvor findes beviserne?
- Evt. perspektivering:
- Hvad kan den generelle samtale i den sidste del af eksaminationen handle om?
Derudover opfordres eleverne til at "vedlægge" dokumenter, videoer og andre relevante materialer til hvert emne.
Hjemmesiden laves i Google Sites, hvor vi i tidligere har oprettet fagspecifikke hjemmesider, så eleverne er allerede fortrolige med mediet.
Jeg laver skabelonen til hjemmesiden, som blot består af et menupunkt til hvert spørgsmål.
Hjemmesiden for mine 3g'ere ser således ud:

Eksamensspørgsmål som projekt

Med mit 3g-hold er vi nået frem til logistisk vækst. Vi har tidligere kigget på generelle karakteristika ved differentialligninger, arbejdet med y' =ky samt bevist separation af variable.
Gennemgangen af logistisk vækst har jeg besluttet mig for at vende lidt på hovedet, idet jeg vil starte med at give eleverne det spørgsmål om logistisk vækst, jeg planlægger at bruge til holdets mundtlige eksamen.
Eleverne skal nu i par ud fra deres nuværende viden om differentialligninger samt via en række opgaver og eksperimenter konstruere en hjemmeside (Google sites), der skal indeholde de dele som hører til en fremlæggelse af eksamensspørgsmålet.
På hjemmesiden må eleverne selvfølgelig gerne placere videoer, de selv har optaget.
Oplægget til eleverne ligger her: Link
Elevernes hjemmesider afleveres som en hjemmeopgave.

Metodetræning og bevisførelse (skalarprodukt)

Jeg er stor tilhænger af den eksperimentelle tilgang til nyt stof - som f.eks. er beskrevet under Vektorer opstart, hvor vi har beskæftiget os med indledende vektorregning samt karakteristika ved skalarprodukt.
I dag diskuterede jeg med klassen, hvilken metode som benyttes ved en sådan eksperimentel udledning af karakteristika og formler.
Heldigvis forslog eleverne den naturvidenskabelige metode som f.eks. anvendes i fysik. Det gav anledning til en snak om forskelle på matematiske og naturvidenskabelige metoder.
Konklusionen blev hurtigt, at matematiklæreren og -eleven ikke ville være tilfreds. Vi må have fat i definition samt sætning med tilhørende beviser.
Jeg har tilrettelagt et sådant forløb med skalarproduktet for formelt at få bevist de karakteristika som tidligere øvelser har tydet på.
Eleverne opdeles i hold på 2-3 personer, som får en opgaveformulering der enten tager udgangspunkt i den analytiske eller den geometriske definition af skalarproduktet.
Eleverne skal herefter arbejde med beviser, hvor deres definition anvendes. Det er tanken, at eleverne skal lære, at det ikke altid er entydigt, hvad man skal vælge som definition. Samtidig skal eleverne se, at bevis for sætninger kan have varierende sværhedsgrad alt efter valg af definition.
Eleverne laver en lille lærebog om skalarproduktet - afleveres som hjemmeside.
Til sidst i forløbet dannes grupper bestående af elever som har arbejdet med geometrisk henholdsvis analytisk definition. Eleverne gennemgår nu "deres" beviser for hinanden.
De udleverede opgaveformuleringer: Analytisk, Geometrisk.

Fælles opgaveregning

Jeg har tidligere beskrevet, hvordan jeg i par lader eleverne regne forskellige opgaver og parrene så efter et vist antal minutter sender deres opgave med del af bevarelse videre til næste par (Link). Denne metode kan fint benyttes ved regning af opgaver uden hjælpemidler, hvor opgaverne så regnes i på papir.
I går ville jer gerne træne mine 3g-elevers færdigheder i forbindelse med løsning af differentialligninger. Det kræver brug af Maple, så jeg var nødt til at strukturere opgaveregningen lidt anderledes.
Jeg havde oprettet en ny hjemmeside til emnet differentialligninger (vil senere bruge den til andre ting). På hjemmesiden havde jeg oprettet 7 undermenuer hver indeholdende én tidligere eksamensopgave.
Eleverne blev inddelt i par og hvert par fik tildelt en opgave, de skulle løse i Maple. Efter 5 minutter skulle alle par vedhæfte deres Maple-dokument til den pågældende opgave og alle par fik så en anden opgave, de skulle regne videre på. Parrene downloader det oprettede Maple-dokument hørende til opgaven, gennemgår det der allerede er lavet på opgaven og fortsætter herefter løsningen af opgaven.
Sådan fortsatte arbejdet ca. 30 min med hyppige skift, så alle par fik set en række forskellige opgavetyper.
Jeg havde lidt ekstra opgaver med, så man kunne få en ny opgave, når en opgave var regnet færdig.
Det fungerede fint, lige bortset fra at nogle computere ikke var meget for at uploade Maple-dokumenterne til hjemmesiden.
Når en opgave var løst, blev løsningen ud over at være vedhæftet menupunktet også kopieret ind som billede, så det er nemt at finde løsningsmetoden uden at skulle åbne det vedhæftede dokument. Et eksempel ses nedenfor

Udveksling af beviser

Lektien til dagens time i 2g var 4 små trigonometri-beviser. Eleverne var på forhånd delt op så eleverne hver skulle forberede et bevis grundigt samt et bevis mindre grundigt.
Jeg havde fundet beviserne på Youtube - ikke alle var eksemplariske men det var blot med til at gøre eleverne mere opmærksomme ved forberedelsen.
I starten af timen blev eleverne samlet i grupper, hvor alle havde forberedt sig grundigt på samme bevis. Disse grupper skulle nu på 20 minutter få fuldstændig styr på beviset samt optage en eksemplarisk fremlæggelse af beviset på video. Videoen blev straks uploadet til Youtube og vores trigonometri-hjemmeside. Der var 6 elever i hver gruppe.
Eleverne var blevet bedt om specielt at være opmærksomme på at præcisere, hvad sætningen siger samt selve starten på bevist (se tidligere indlæg: Start på bevis...).
Resten af modulet var opdelt i sekevenser på 15 minutter efter følgende princip:
2 elever bliver i lokalet mens de 4 øvrige elever går videre til næste lokale for at se et af de andre beviser. De samme to elever må ikke blive under to seancer i samme lokale. Det burde skærpe tilhørernes opmærksomhed, da de kan blive de næste som skal fremlægge beviset.
Jeg ved ikke om det var fordi eleverne gik døde (det virkede ikke sådan), men eleverne blev hurtigere og hurtigere til at gennemgå beviserne.
På 95 minutter fik vi gennemgået 4 beviser oven i købet optaget på video og alle elever nåede at fremlægge mindst et bevis. Det var en god og effektiv time, hvilket også eleverne gav udtryk for.
Vedhæftet lektien til dagens time: Link.

Bevisgennemgang

Efter eleverne nu har fået gennemgået de centrale beviser hørende til trigonometri, så skal vi i dag træne beviser. Jeg vil bl.a. bede eleverne fokusere på starten af beviset (se evt. indlægget Start på bevis).
Det er vigtigt for mig, at eleverne aktives også under bevisgennemgangen. Så derfor har eleverne til dagens time fået ét bevis, som de skal forberede hjemme, så beviset kan gennemgås i klassen. Jeg har fordelt beviserne (cosinusrelation (2 forskellige beviser, cosinusrelation i stumpvinklet trekant, samt arealformel og sinusrelation), så de bedste elever får de sværeste beviser (cosinusrelationen i stumpvinklet trekant - de skal selv lave beviset).
På en tavle gennemgår eleverne nu i grupper på 6 gennemgå eleverne nu i fællesskab deres forberedte bevis. Jeg har sørget for et klasselokale til hver gruppe. Herefter opdeles hver 6-mands gruppe i 2 undergrupper på hver 3 medlemmer. I disse mindre grupper skal beviset optages på video og efterfølgende uploades til vores trigonometri-hjemmeside. Vi får således hvert bevis gennemgået i to videoer.
Hver elev får selvfølgelig kun repeteret ét bevis, men videoerne vil bliver brugt som forberedelse til næste modul, hvor vi vil lege "Kom og lær et bevis".
Vi  bruger ikke hele modulet på beviserne - resten af modulet benyttes til træning i at gennemskue hvilken trekantformel, der skal bruges i hvilken situation.

Repetition - uden hjælpemidler

Så er det ved at være tid til at få trænet og repeteret opgavetyperne til prøven uden hjælpemidler.
Jeg har aftalt med min 3g klasse at vi i resten af skoleåret starter hver time med at regne en opgave uden hjælpemidler fra tidligere eksamenssæt.
Til hver time er én elev ansvarlig for at få lagt opgaveløsningen ind på klassens hjemmeside (lavet i Google site) således at eleverne kan benytte svarene, når de skal træne til terminsprøve og eksamen.
Jeg har struktureret hjemmesiden i emner, så eleverne hurtigt kan søge efter lignende opgaver.
Det er ikke sikkert, at opgaverne altid vil blive gennemgået. Jeg håber, at den forestående eksamen vil være motivation nok til at i hvert fald de fleste elever får regnet opgaven til hver time.