Repetition - med lidt bevægelse

Det har godt nok været sløjt med mine indlæg i efteråret 2016. Det er ikke nye ideer, som har manglet men snarere tid. Der har været mange andre gøremål. Her på falderebet til 2017 vil jeg præsentere en form for repetition, som jeg har lavet med min 3g-klasse.
Repetitionen handlede om vektorer i 2 dimensioner, men formen på øvelsen kan kopieres til andre former for repetition. I bunden af indlægget er der angivet et par andre ideer.
Efter en pause med vektorer var det tid til at få gennemgået vektorer i rummet, hvorfor det var naturligt at indlede med en repetition af vektorer i planen. Jeg fandt alle relevante formler frem (tak til formelsamlingen) og klippede dem ud, så der var en formel på hvert ark. Disse ark satte jeg op i et af vores fællesarealer.
Eleverne blev nu sat sammen i par, hvor hvert par blev udstyret med sedler i 3 forskellige farver. Jeg brugte grøn, gul og rød.
Farverne på sedlerne havde en betydning i relation til, hvad der skulle skrives på sedlen:
Grøn: Grafisk illustration af formlen (hvor det er muligt)
Gul: Sproglig beskrivelse af hvad formlen kan bruges til
Rød: Eksempel på opgave, hvor formlen kan benyttes.
Hvert par vælger nu en af de ophængte formler og udfylde en grøn, gul eller rød seddel. Sedlen hænges op ved siden af formlen med bagsiden udad, så det ikke kan ses, hvad der er skrevet på sedlen.
Parret går nu videre til en ny formel. Der skal være så mange formler at jeg kan kræve at der ikke må stå to par ved samme formel.
I første omgang må der ved hver formel kun hænge en rød, gul og grøn seddel. Så hvis man kommer til en formel, hvor der allerede hænger en grøn seddel, så skal parret vælge en rød eller gul seddel.
I og med at parrene har 2-3 sedler af hver farve, så kan man ikke nøjes med kun at lave f.eks. grafiske illustration. Det er først når et par har brugt alle deres sedler, at de kan få ekstra sedler af mig.
Kommer man til en formel, hvor der også hænger farvede sedler, så tales først om, hvad der mon står på sedlerne og efterfølgende tjekkes ved at vende sedlen. Herefter må parret udfylde en ny seddel.
Der kan evt. tillades flere sedler af samme farve, hvis der er flere muligheder ved en formel.
Da alle formler var blevet beskrevet, skulle parrene gennemgå alle formler, hvor det først skulle diskuteres, hvad der forventes at stå på de farvede sedler og efterfølgende tjekkes det, hvad der rent faktisk står på sedlerne.
Jeg forestiller mig at denne form for repetition f.eks. kan benyttes ved
- almindelig repetition af formler
- ved at angive forskrift for forskellige funktioner
- ved at angive grafer for forskellige funktioner
- ved eksamensopgaver, hvor man skal finde relevant formel

Eksempel med vektorformler.
- ...

Første skoledag - med "julegave"

Så blev det første skoledag i hvert fald for os lærere.
I år med en glædelig overraskelse:
Stort set alle vores klasselokaler er blevet installeret med tavler på alle vægge. Det er næste som juleaften. Sådan ser vores sædvanlige klasseværelser ud:

 Foto taget bagerst i lokalet fra vinduessiden

Foto taget ved tavlen i vinduessiden

Jeg har i flere år efterspurgt flere tavler i lokalerne og i fællesområder, så det var en stor dag i dag.
Jeg har sat mig som princip, at eleverne skal op og stå ved tavlerne i alle mine timer.
Det er min erfaring at aktivitetsniveauet og eleverne kommunikation vokser en hel del, når der arbejdes i små grupper ved tavlen. På ICME13 konferencen var der et oplæg fra Canada, der beskrev et forsøg, som også var nået frem til samme konklusion.
Jeg kan se mange fordele ved brug af disse tavler:
1) Gruppearbejde bliver nemmere, da alle i gruppen nemt kan følge med
2) Jeg kan hurtigt se hvad eleverne har lavet - er der behov for at jeg skal blande mig
3) Jeg får langt lettere ved at få de svage elever i tale, når vi i fællesskab i en mindre gruppe diskuterer matematisk teori eller opgaveløsning.
4) Eleverne kan nemmere tjekke hinandens udregninger ved at skifte tavle, hvis der f.eks. regnes forskellige opgaver
5) Alle er ved tavlen - dermed kommer der ekstra fokus på træning af mundtlighed.
Og så håber jeg selvfølgelig at også andre fordele dukker op, når jeg kommer i gang med arbejdet.

Hurtig walk and talk

Walk and talk er en kendt øvelse, som benyttes af mange lærere: Hver elev udstyres med en seddel med begreb/spørgsmål eller lignende. Man går så en lille tur, hvor eleverne går sammen to og to og forklarer hinandens sedler. Efter forklaring byttes sedler og man finde en ny kammerat at tale med.
I går var mine elever temmelig trætte, så jeg besluttede mig for en lille gåtur med Walk and talk.
Det var en hurtig indskydelse, så jeg havde ikke forberedt sedler til eleverne.
I stedet for fik alle elever udleveret et blankt stykke papir. Eleverne blev inddelt i grupper, hvor hver gruppe fik et matematisk emne. lineær funktion, potensregneregler, ligninger, ...
Hver elev skulle så lave en opgave/angive begreb/... knyttet til deres emne. Hvis der blev lavet en opgave, så var kravet selvfølgelig at opgaven skulle kunne løses uden at foretage udregninger.
Så var vi klar til en Walk and talk...

Kvadratsætninger - klip et bevis

Hvordan får man lært sine elever kvadratsætningerne?
Efter mange års forsøg er det ikke rigtig lykkedes mig særligt godt. Når jeg taler med eleverne om kvadratsætningerne, så er de helt med på, at de skal huske det dobbelte produkt, men når jeg så spørger eleverne i den efterfølgende time, er det dobbelte produkt på forunderlig vis forsvundet ud af elevernes hukommelse igen.
I år har jeg forsøgt at synliggøre nødvendigheden af det dobbelte produkt ved at lade eleverne "klippe kvadratsætningerne". Eleverne arbejdede med dette arbejdsark (link).
Vi har således arbejdet med at forstå at to tal ganget med hinanden kan opfattes som et areal.
Efter eleverne havde fået konstrueret og forstået beviset, skulle de som en del af deres hjemmeopgave lave en videooptagelse (deres første), hvor de forklarer sætningen.
Et eksempel på elevernes video kan ses nedenfor:

Differentialregning - opsamling

Vi er så småt ved at afslutte differentialregning på mit 2g matematik-A hold. Vi har lavet en hel del beviser og også brugt en del energi på at italesætte de matematiske metoder, som anvendes ved opbygning af en matematisk teori.
Ofte har fokus i beviserne været at forstå de enkelte reduktioner og så har der ikke været lagt så meget vægt på bevisstrukturer mm.
Jeg valgte derfor i samråd med eleverne at lave en opsamling på differentialregning, hvor vi repeterer beviserne og i den repetition specielt fokuserer på de mere overordnede argumenter. Hvorfor har vi f.eks. bestemt differentialkvotienten til en given funktion, når vi benytter tretrinsreglen?
Da alle ikke kan nå alle beviser, optages beviserne på video og bliver efterfølgende samlet på en hjemmeside, som alle i klassen kan benytte. Jeg har på forhånd opdelt hjemmesiden i følgende emner:

Introduktion:

Indledende ting omkring differentialregning bl.a. om sekant-tangent, definition på differentiabel funktion

Bevisteknikker:

Beskrivelse af overordnede bevisteknikker, som er blevet anvendt i de forskellige beviser (tretrinsreglen, induktionsbevis samt matematikkens indre struktur)

Basale funktioner:

Beviser for en række af de mere basale funktioner (f.eks. x², ax+b, konstant, ...

Regneregler:

Beviser for hvordan man differentierer funktioner, som er kombinationer af basale funktioner
Tangentligningen

Her bevises formlen for tangentligningen.

Eleverne vælger sig selv ind på beviser efter fagligt niveau - dog stiller jeg krav til at alle elever er med til forskellige typer beviser. Jeg sikrer desuden, at der laves mindst to videoer med hvert bevis, så eleverne kan se forskellige fremstillinger af beviserne.

Eleverne er fortrolige med at arbejde med disse hjemmesider (Google sites), så de lægger selv deres videoer ind på hjemmesiden.
Ud over videoerne stiller jeg krav om at hver hjemmeside også skal indeholder:
- præcis beskrivelse af sætningens ordlyd
- overordnet beskrivelse som forklarer, hvordan beviset er opbygget 
- evt. andre relevante oplysninger.
Der stilles også krav til de elementer som videoerne skal indeholder. Bl.a. er definitionen på differentiabilitet obligatorisk i videoen.

Træning af funktionsbegreber

Her i opstarten i 1g har jeg arbejdet med funktioner og deres tilhørende grafer. Jeg kan godt lide at have begreberne på plads, så jeg kan referere til dem, når vi kigger mere specifikt på de enkelte funktionstyper.
Eleverne synes det er lidt svært at huske begreberne, så det træner vi selvfølgelig en hel del på forskellige vis.
Langt det meste af træningen foregår i grupper på 2 og jeg sørger for hyppige skift i grupperne, så eleverne bliver vant til at arbejde sammen med alle i klassen. Og så bliver de vænnet sig til at matematik også er et mundtligt fag, og det er eleverne ikke særlig vant til fra folkeskolen har jeg indtryk af.
Et par ideer til en sådan træning kan være:
1) Eleverne har forskellige grafer. På skift beskriver eleverne deres figur, mens den anden skal tegne figuren selvfølgelig uden at se den oprindelige figur. Hvis der haves en del figurer, så kan eleverne blot finde en ny makker, de kan beskrive grafen for, når de har forklaret og tegnet figur med den første makker.
2) Giv eleverne nogle funktionskarakteristika ud fra hvilke, funktionen skal tegnes. Der må gerne være nogle fælder, som ikke kan tegnes. Det plejer at give nogle gode diskussioner.
3) Eleverne indtaler beskrivelse af grafen for en funktion. De andre elever prøver så at gentegne grafen ud fra beskrivelsen (Har jeg beskrevet nærmere i indlægget Mundlig træning som lektie)

Jeg er tidligere stødt på begrebet Pecha Kucha, men har aldrig rigtig fået det prøvet. Pecha Kucha er typisk en Powerpoint med en række dias. Hver dias vises kun 20-30 sekunder, så det gælder om at være hurtig i opgaven, der skal løses på den pågældende dias. Jeg vil prøve Pecha Kucha-princippet på netop beskrivelse af grafer. Så jeg har lavet en dias med 10 figurer. Eleverne sættes sammen to og to. Herefter skal de på skift beskrive graferne med de gennemgåede begreber. Efter 4 grafer (dias) beder jeg eleverne vælge ny makker. Min Pecha Kucha kan du finde her: Link.
Jeg havde egentlig glemt Pecha Kucha, men Eva Pors fik mig til at genhuske metode i sit blogindlæg PechaFlickr: Få mundtøjet i gang.

Et eksempel med linjer (analytisk).

Mundtlig årsprøve i matematik

Min 1g-klasse (A-niveau) skal til mundtlig årsprøve i matematik.
Jeg vil gerne benytte lejligheden til at træne elevernes evne til at læse matematik, til at arbejde selvstændigt med matematik og så selvfølgelig at fremlægge matematik. Og så skal eleverne gerne have en god oplevelse med årsprøven.
Jeg lader eleverne være sammen i par. Det styrker efter min mening både elevernes motivation og så er det godt at have nogen at udveksle ideer med. Fremlæggelsen foregår derfor også i par.
I stedet for en traditionel årsprøve, skal eleverne arbejde med et nyt matematiske emne. Vi har ikke gennemgået potensfunktioner endnu, så det bliver emnet.
Jeg har i forskellige matematikbøger fundet deres præsentation af potensfunktioner. Eleverne skal ud fra disse materialer selv vælge det stof, de vil gennemgå under eksaminationen.
Ud over den teoretiske præsentation, skal der også inddrages en anvendelse af potensfunktioner. Eleverne får udleveret en række eksempler, hvorfra de selv skal udvælge et. Eksemplerne handler om:
Vindmøllers effekt, Foucaults pendul, effekt ved cykling, sammenhæng mellem antal rygere og på pris på cigaretter, sammenhæng mellem dyrs vægt og overfladeareal, sammenhæng mellem vanddybde og hastighed på tsunami samt Cobb-Douglas funktionen (økonomisk model).
Jeg ved selvfølgelig godt, det er svært for eleverne at arbejde selvstændigt med nyt stof. Derfor har klassen en tvungen arbejdsdag på skolen to dage før selve årsprøven. Jeg vil være på skolen hele dagen for at hjælpe eleverne. Desuden har jeg stillet som krav, at jeg i løbet af dagen skal godkende alle pars disposition for fremlæggelsen.
Jeg har tidligere haft gode erfaringer med denne model for mundtlig eksamen, så jeg håber det også bliver en succes denne gang. Specielt arbejdsdagen på skolen, har eleverne været glade for. Både fordi jeg er i nærheden til at hjælpe, men også det at hele klassen arbejder om et fælles projekt, hvor man hjælper hinanden med at lære mest muligt.
Eleverne har altid taget denne form for årsprøve seriøst, og det er meget vigtigt for, at årsprøven ikke bliver spild af tid. Det at eleverne er sammen i par, tror jeg styrker seriøsiteten, og så betyder det nok også noget, at jeg kraftigt signalerer, at dette emne er relevant til eksamen og ikke gennemgås på et senere tidspunkt.
I forbindelse med selve eksaminationen er det desuden et krav at alle overværer én anden gruppes fremlæggelse. Det er vigtigt at se andres gennemgang både mht. form og indhold.

1089 - skæbnen... ?

Så er april måned gået og eksamen nærmer sig med hastige skridt.
For første gang har der i en måned været mere end 1000 opslag af indlæg på min blog - helt præcist har der været 1089 opslag.
Top 5 over mest læste indlæg på bloggen er jeg lidt ked af, for 3 af indlæggene handler om skriftlig eksamen. Jeg ville være langt gladere, hvis der var størst interesse for indlæg om undervisning. Indlæggene om skriftlig eksamen handler dog om andre måder at træne skriftlighed på, så måske jeg ikke skal være så ked af det alligevel.
Top 5 er:

 



De 1089 opslag for april måned har for øvrigt en sjov lille egenskab:
1) Vælg et tre-cifret tal, hvor første ciffer er større end det sidste ciffer (f.eks. 521)
2) Byt rundt på første og sidste ciffer i det valgte tal (dvs. 125)
3) Træk tallet i 2) fra det valgte tal (521 - 125 = 396)
4) Hvis resultatet fra 3) giver et to-cifret tal, sættes et 0 forrest.
5) Byt rundt på første og sidste ciffer i tallet fra 4) (dvs. 693)
6) Læg tallene fra 4) og 5) sammen (396 + 693 = 1089)
Uanset starttal bliver resultatet altid 1089 - hvis der vel at mærke er regnet rigtigt :-)

Hvis nu alle eleverne i klassen vælger hvert deres tal og ikke viser hinanden det endelige resultat, så har du en oplagt mulighed for over for hver elev at forudsige, hvilket resultat de har fået.
Det plejer at imponere eleverne en hel del.
Bagefter kan man udfordre eleverne til at prøve at vise, at det altid går godt.

En lille hjælpeøvelse kan i den forbindelse være at argumentere for, at der gælder følgende for to-cifrede tal (forskellige cifre):
1) Vælg to-cifret tal, hvor første tal er størst (f.eks. 62)
2) Byt på cifrene og træk det sidst tal fra det første (dvs. 62 - 26 = 36)
Resultatet er altid et tal fra 9-tabellen - hvorfor?

Samtaledelen ved den mundtlige eksamen

Jeg har en 3g-klasse, der jo kan komme til mundtlig eksamen i matematik. Ud over grundigt at overveje konstruktionen af spørgsmålene, så de passer til alle elevernes niveauer, har jeg også tænkt en del over, hvordan jeg bedst forbereder eleverne til samtaledelen under den mundtlige eksamen. Den skal jo i følge læreplanen fylde en betydelig del. Min melding til eleverne, at de skal forberede sig på, at de har ca. 15 minutter til deres fremlæggelse, mens resten af tiden skal være en dialog mellem mig (og censor). Nøjagtig som de kender fra AT-eksamen.
Men hvordan rustes eleverne til samtaledelen , og hvordan kan de forberede sig på den?
En måde kunne være at udarbejde bilag til de enkelte spørgsmål, som eleverne så skal kommentere. Inden for differentialligningerne kunne et sådant bilag f.eks. være en plot af linjeelementer:

Her får eleven så mulighed for at tale om linjeelementer, løsningsfunktioner, løsningsintervaller, ... Jeg overvejer at medbringe sådanne eksempler til eksaminationen, hvis eleverne ender med at skulle op i mundtlig matematik. Jeg vil selvfølgelig aftale det med eleverne, men der er så vidt jeg kan se ikke noget i læreplanen, der forhindrer inddragelse af bilag under eksaminationen. Den metode er også allerede benyttet ved den mundtlige eksamen i fysik. Bilaget skal først udleveres under selv eksaminationen, og har blot som formål at støtte samtaledelen.

Brug af bilag er jo ikke så meget anderledes end, at vi tegner figurer på tavlen. Det er dog muligt at benytte bilag, som ikke er helt så nemme lige at tegne på en tavle - f.eks. ovenstående plot med linjeelementer.

Men under alle omstændigheder vil jeg lave sådanne figurer, når stoffet repeteres og eleverne laver dispositioner mm til eksamensspørgsmålene. Jeg vil lade eleverne holde små oplæg for hinanden knyttet til bilagene. På den måde får de også trænet deres mundtlige formuleringsevne.

En anden mulighed er at lade eleverne lave en lille opsamlingsrapport, hvor eleverne kommer gennem emnets centrale dele. Vi er ved at afslutte emnet binomialfordeling og binomialtest. Der har været en række begreber mm i spil, så jeg har lavet en lille opsamling i form af to opgaver. Den første opgave handler om salg af flysæder og er temmelig styret, mens den anden opgave (meningsmåling i forbindelse med valg) er lidt mere åben formuleret.

Jeg vil gerne tydeliggøre for eleverne, at stikprøvens størrelser har en betydning for resultaterne og konklusionerne, så eleverne inddeles i 4 grupper med forskellige stikprøvestørrelser. Til sidst dannes matrixgrupper, som skal undersøge forskelle i relation til stikprøvens størrelse.

Dokumentet med opgaverne er skrevet i Maple, men ser her i en pdf-version (Link).



Begrebsindlæring med matematikprogram (Geogebra)

I disse uger holder jeg en række oplæg om brugen af matematikprogram til bl.a. styrkelse af elevernes begrebsindlæring og træning af ræsonnementskomptence.
Det er min erfaring, at hvis eleverne selv eksperimenterer sig frem til erkendelser, så er det også nemmere at huske frem for, at læreren står ved tavlen og forklarer f.eks. begrebers betydning. Og til dette kan vi med fordel benytte matematikprogrammerne.
Vi kan gøre brug af skyder, spor, regression, trække i objekter, funktionsundersøgelse ... Muligheder er der nok af. Det er nok mere et spørgsmål om at se mulighederne.
Vedhæftet min powerpointpræsentation med ledsagende materiale, der giver eksempler på, hvordan Geogebra kan benyttes til sådanne eksperimenter. Hvis du bruger nSpire, er jeg sikker på, det er nemt at overføre eksemplerne dertil.
Til hvert eksempel har jeg lavet en lille screencast, der demonstrerer, hvordan eksemplet et konstrueret. For de fleste dias er der også tilknyttet en Geogebrafil hørende til eksemplet.
Det vedhæftede dokument er en zippet-fil. Pak filen ud og start powerpointfilen Geogebra præsentation (Link).

Repetition af funktionskarakteristika

Som afslutning på lineære og eksponentielle funktioner (potensfunktioner er udskudt - nu skal vi lavet noget andet end funktioner) har eleverne i dag lavet et opsamlingsark, som sammenligner de to vækstformer.
Eleverne var blevet bedt om at repetere stoffet ved at gennemlæse de relevante sider i deres væksthæfte.
I timen blev eleverne sat sammen i grupper på 3, hvor de skulle udfylde felterne i et skabelonskema nedenfor (Link).

Det fungerede fint, at skemaet blev udfyldt på en computer. Efterfølgende udvekslede eleverne, det udfyldte skema.
Jeg oplevede, at eleverne fik rigtig mange gode diskussioner ved udfyldelsen af skemaet.
For at få alle elever til at sige noget, vil jeg en anden gang stille som krav, at eleverne på skift  forklarer, hvad der skal stå i et af felterne. Den elev, som skal forklare et felt, må selv bestemme, hvilket felt der skal udfyldes.

Powerpoint i matematiktimen

Powerpoint og lignende præsentationsprogrammer er gode værktøjer til oplæg mm. Men præsentationsprogrammer synes jeg også kan benyttes til at fremme elevernes forståelse for matematik.
Vi har en række beviser/begreber ,som kræver en graf med tilhørende indtegning af punkter, funktioner, hjælpelinjer, ... I bogen ses kun den endelige figur, og derfor har eleverne ofte svært ved at forstå rækkefølgen hvorpå, de enkelte elementer er tilføjet figuren. Eksempler på sådanne kan være
- bevis for a ud fra to punkter, når ensvinklede trekanter benyttes
- bevis for fordobling-/halveringskonstant ved eksponentielle funktioner
- forklaring af sammenhæng mellem sekant og tangent
- mange beviser i forbindelse med vektorer
De fleste elever kan allerede tilføje animationer til powerpoint, så det kræver ikke megen instruktion før eleverne er i gang med at konstruere præsentationerne.
Mine elever i 1g har netop afleveret sådan en præsentation med udledning af formlen for fordoblings-/halveringskonstant.
Jeg ville gerne have forklaringer med i elevernes aflevering, så eleverne blev bedt om at aflevere en screencast (www.screencast-o-matic.com), hvor de forklarer de enkelte led i deres præsentation.
Her er et skærmbillede fra en af præsentationerne (grafen blev lavet i Geogebra og så kopieret ind i Powerpoint):

En alternativ måde at benytte Powerpoint på er, at læreren laver præsentationen, og eleverne så skal forstå, hvad præsentationen viser. Jeg har lavet et sådant eksempel til cosinusrelationen (Link). Også her kan man lade eleverne afslutte med at lave en Screencast.

Animerede beviser

Som oplæg til eksponentielle funktioner har vi i 1g arbejdet med potensregnereglerne med heltallige eksponenter.
Efter en række praktiske opgaver fik vi opstillet potensregnereglerne (formel 10-16 i formelsamlingen til A-niveau).
Som træning sammensatte jeg eleverne i par. De skulle nu bevise alle potensregneregler to og to.
Hvert par fik herefter til opgave at videooptage to af beviserne ved hjælpe af små stykker papir. Hvis et stykke papir symboliserede et a, så ville en mængde lignende stykker svarer til aⁿ.
Eleverne skulle så flytte rundt/samle/forkorte de små stykker papir og dermed sandsynliggøre potensregnereglerne.
Det var ikke imponerende beviser/argumentationer, som eleverne fremkom med, men jeg oplevede det som en god øvelse i at tale matematik. Eleverne fik lært at arbejde med nogle af de begreber og ord, som er knyttet til potensregneregler.
Og så synes eleverne også det var lidt sjovt med en anden form for bevis end blot at nedskrive et bevis på tavlen.
Beviserne blev optaget med elevernes smartphone og lagt ind på klassens fælles Youtube-konto.
Der findes flere af denne type beviser, som jeg måske vil benytte senere. Et par eksempler er kvadratsætningerne og Pythagoras sætning.

24 elever til tavlen

I 3g kæmper jeg i disse dage med at få lært eleverne substitutionsmetoden ved integration. Jeg synes, jeg gennem årene har prøvet rigtig mange forskellige tilgange/metoder, men lige lidt hjælper det. Eleverne har åbenbart bare meget svært ved substitution.
Lektien til i dag var løsning af 4 integraler med substitution - de var samlet i par. De to funktioner skulle integreres henholdsvis med og uden grænser.
Da jeg kort før timen skulle finde ud af, i hvilket lokale timen foregik, viste det sig, at vi skulle være i et af "HF-lokalerne" (HF-elevernes stamlokale). Disse lokaler (vi har to af dem) er lidt specielle, da der er glastavler på side- og bagvæg.
Jeg udnyttede straks situationen til at sætte eleverne sammen to og to for derefter at tildele hvert par et tavleområde. Så skulle lektierne regnes - selvfølgelig uden at kigge på det forberedte.
Jeg skulle godkende alle udregninger, inden det var tilladt at gå videre til næste opgave. Det fungerede rigtig godt og eleverne var desuden gode til at hjælpe hinanden.
Dagens program indeholdt også beviset for substitutionsmetoden (var ikke forberedt). Efter en kort introduktion skulle eleverne genskabe beviset fra udleverede noter. Når beviset var lavet, måtte eleverne fortsætte med ugemat. Dog var det et krav, at alle skulle gennemgå beviset for mig i løbet af timen.
Hold da op for en aktiv time - alle eleverne var deltagende og jeg tror nogle blev rykket.
Jeg har længe kæmpet med ledelsen og skolens kunstudvalg om at få opsat tavler i gangarealer og arbejdsområder, men det er godt nok op af bakke. Det er mig en gåde, at det skal være så forfærdeligt med tavler i fællesarealer. Jeg synes netop sådanne tavler er med til at skabe liv på skolen.
Efter dagens succes overvejer jeg at skifte strategi og i stedet for foreslå at nogle flere klasselokaler "dekoreres" med tavler. For "HF-lokalerne" er desværre alt for ofte optaget.

Hurra for AT...

Jeg har i denne uge haft AT i 3g.
Fagene var matematik og samfundsfag (begge på A-niveau) og vi havde valgt Finanspolitik som emne.
I matematik beskæftigede vi os primært med multiplikatoreffekten og forskellige måder at bestemme den på. Vi konstruerede både et regneark og en matematisk formel til bestemmelse af multiplikatoreffekten. Til den matematiske formel havde vi brug for et lille bevis for den type række, som fremkommer.
De to fag fungerede rigtig godt sammen og eleverne fik demonstreret en del centrale matematiske metoder:
1) Axiomatisk-deduktiv metode kunne eleverne tale om ved den teoretiske udledning af formlen til bestemmelse af multiplikatoreffekt
2) Formlen blev benyttet til at lave forskellige modeller over udsving i multiplikatoreffekt, når der ændres i parametrene (hertil blev Geogebra med skydere anvendt - imponerede samfundsfagslæreren en del)
3) Forskellen på teoretiske modeller og vækstmodeller med regression blev berørt af nogle grupper
4) Og så havde eleverne god mulighed for at diskutere problemer ved beregningerne, når vi tolker dem i den virkelige verden. Vi fandt bl.a. ud af at både regneark og formel havde det problem, at de forudsætter at importkvote, skattesats samt opsparingskvote er uændret. Det er i hvert fald ikke korrekt, hvis de ekstra penge som staten "giver ud" til øget forbrug er målrettet en bestemt befolkningsgruppe som f.eks. arbejdsløse eller personer der betaler topskat. Det lykkedes faktisk de bedste af grupperne at justere deres regneark, så parametrene i 1. runde adskilte sig fra parametrene i de øvrige runder.

Om 3 uger er det så AT i 1g, der står på programmet. Vi har diskuteret en del, hvordan vi kan få forklaret de nye elever, hvad det der AT er for noget. Vi lærere bruger jo altid en del tid på at få forklaret eleverne, hvad AT handler om. Men ikke desto mindre hører man igen og igen fra elever at det først i 3g, de rigtig forstår, hvad det går ud på.
Derfor havde vi, i den 1g-klasse jeg har, besluttet at prøve noget nyt, nemlig at lade 3g-eleverne forklare 1g-eleverne, hvad AT er, og hvordan de arbejdet med det.
Helt konkret fik hver af vores 3g-grupper i denne uge besøg af 3-4 1g-elever. Der var afsat 30 min til at 3g-eleverne forklarede AT for 1g-eleverne - både generelt men også deres konkrete emne.
Derudover var hver 1g-elev inde og høre en 3g-gruppes fremlæggelse af deres AT-projekt.
3g-eleverne var lidt skeptiske i starten, især over at 1g-elever skulle overvære deres fremlæggelse. Men det gik forbløffende godt og de umiddelbare kommentarer fra 1g-eleverne var meget positive. De fik både en fornemmelse af hvad AT handler om, men fik også oplevet, hvordan lærer/censor agerer under en sådan eksamen.
Så nu glæder jeg mig til AT1 med 1e - emnet er for øvrigt manipulation af tal, hvor eleverne i grupper skal lave en valgvideo for et givet politisk parti.

Eksperimentarium, træningstelt, bevisbod og undervisningsstation

I min undervisning forsøger jeg at vise eleverne, hvordan en "matematiker arbejder". Derfor opererer jeg med følgende 4 stationer:
Eksperimentarium :
Det er her vi eksperimenterer f.eks. med computer og efterfølgende forsøger at opstille teorier/sætninger omkring det givne emne.
Træningstelt:
Her regner vi opgaver knyttet til emnet
Bevisbod:
Her arbejder vi mere deduktivt med at bevise påstande hørende til emnet
Undervisningsstation:
I denne station handler det om at formidle sin viden videre. Det kan være at forklare mere overordnet hvad man har lært, men det kan også være mere formel bevisførelse.

Jeg gør det klart for eleverne, at de første 3 stationer alle er med til at give dem en større kendskab til emnet. Eksperimentariet, træningsteltet og bevisboden supplerer således hinanden:

 

I 1g plejer jeg at tilrettelægge nogle af forløbene, således at eleverne selv kan bestemme på hvilken station, de vil starte deres indlæring om emnet. Jeg introducerer første gang denne arbejdsform, når vi går lidt mere bag om lineære funktioner.

Jeg starter altid med at forklare eleverne de forskellige stationer - jeg bruger den vedhæftede Powerpoint (Link)

Her er et eksempel på et arbejdsark, jeg har brugt til lineære funktioner (Link). Arket er konstrueret, så det er lige gyldigt, om man starter med Eksperimentariet, træningsteltet eller bevisboden.

Det er selvfølgelig meningen, at eleverne kommer rundt på alle stationer, men rækkefølgen kan eleverne selv vælge. Der kan også springes mellem stationerne - det kan måske hjælpe, hvis man går i stå i en given opgave.

Normalt er det ikke meningen at eleverne skal regne alle opgaver hørende til alle stationer. Det er op til eleverne, men der vil selvfølgelig være obligatoriske dele, så jeg er sikker på at eleverne har opnået den ønskede viden om emnet.

Det "sjove" er, at eleverne fordeler sig i tre næsten lige grupper, når man spørger dem, hvilken station de helst vil starte på, når der skal arbejdes med et nyt emne.

Det er selvfølgelig ikke altid, at jeg tilrettelægger timerne, så eleverne selv kan bestemme, hvilken station de vil arbejde på. Men at eleverne er så uenige om foretrukken station, gør, at jeg er meget bevist om IKKE at gennemgå stof på samme måde ved alle (del-)emner. Hvis jeg gjorde det, ville jeg forfordele de elever, som foretrækker samme arbejdsmetode som mig. Så derfor sørger jeg for at variere måden, hvorpå jeg arbejder med de enkelte (del-)emner. Nogle gange starter vi med at eksperimentere os frem til en række påstande, nogle gange starter vi med at regne opgaver, hvor jeg blot giver eleverne de relevante formler, hvis de ikke selv kan ræsonnere sig frem til dem og andre gange starter vi med den traditionelle teoretiske tilgang til emnet.

 

Mundtlig skriftlighed...

Mine 1g-ere har til i dag løst nogle opgaver omkring tangenter for at få det begreb bedre på plads og for at få trænet vores to matematikprogrammer Maple og Geogebra.
I stedet for at gennemgå lektien på tavlen, som de fleste elever vil opfatte som spild af tid og temmelig kedeligt, sætter jeg eleverne sammen to og to.
Lektien til eleverne var, at de skulle regne flest mulige opgaver på 20 minutter. Derfor vil jeg sammensætte eleverne i forhold til, hvor langt de er kommet på opgavearket.
Hver elev får et par minutter til at gennemlæse de regnede opgaver, hvor der specielt skal fokuseres på metoden.
Herefter skal eleverne i par regne spørgsmålene igen. På skift skal eleverne gennemgå et spørgsmål. Det gøres ved at elev 1 forklarer, hvordan spørgsmål 1 besvares og samtidig er elev 2 sekretær. Elev 2 må gerne stille spørgsmål men må kun nedskrive det som dikteres. Der skal skrives det som elev 1 siger - også selvom det er forkert.
Kun hvis elev 1 løber ind i problemer, må elev 2 hjælpe med selve løsningen.
I spørgsmål 2 skiftes der selvfølgelig, så det er elev 2 der forklarer og elev 1 er sekretær.
Tanken med denne øvelse er, at eleverne skal træne sproglig matematisk formidling og selvfølgelig også hvordan forskellige opgavetyper løses. Hvis en opgaveløsning italesættes, så er det min formodning, at eleverne bedre huske metoden. At eleverne arbejder sammen to og to betyder, at eleverne måske ser andre løsningsforslag og at de får trænet evnen til både at lytte til, forstå samt at formulere matematiksprog.

Mundtlig træning som lektie

Jeg er nu kommet så langt med funktioner i min 1g-klasse, at de fleste centrale begreber er blevet præsenteret og trænet.
Jeg gav derfor hver elev en graf (havde 10 forskellige grafer) med hjem. Lektien var, at hver elev skulle beskrive funktionens udseende ved hjælp af de  matematiske begreber, vi har arbejdet med, således at klassekammeraterne kunne tegne den beskrevne graf.
Selv beskrivelse skulle eleverne indtale med programmet Vocaroo (link). Jeg kan godt lide Vocaroo, da det ikke kræver eleverne logger ind og så er det meget enkelt at gå til. Når indtalingen er overstået, gemmes lydklippet på en unik hjemmeside. Man kan også gemme lokale på computeren.
Bemærk at lydklip kun bliver liggende på Vocaroos hjemmeside et par måneder, så man skal benytte et andet program eller gemme optagelsen lokalt, hvis lydoptagelserne skal opbevares længere tid.
I mit Google Drev havde jeg desuden oprettet et dokument med redigeringsrettighed for alle, der kender linket. Dokumentet havde teksten Figur 1, Figur 2, ...
Eleverne fik linket til dokumentet og skulle så i dokumentet indsætte linket til deres beskrivelse under deres figur.

Eleverne havde kun fået en meget kort beskrivelse af, hvad de skulle gøre. Der var enkelte, som ikke kunne få det til at virke, men de langt hovedparten havde ikke haft tekniske problemer.
Brugen af dokumenter, alle kan skrive i, appellerer desværre også lidt til de barnlige sjæle. Der blev selvfølgelig også skrevet "sjove" (sjofle) kommentarer. Så jeg blev lige nødt til at fortælle eleverne, at de er startet i gymnasiet :-). Det havde nogle glemt.
I den efterfølgende time udvalgte eleverne 3 figurer som de ud fra lydklippene tegne. Herefter blev grafen sammenlignes med det korrekte udseende.
Var der mangler i beskrivelsen, skulle det noteres.

Differentialregning repetition - stamfunktion opstart

Integralregning står på programmet i 3g, så vi starter selvfølgelig med stamfunktioner og sammenhængen med differentialregning.
Til dagens time skulle eleverne repetere differentationsreglerne, samt lave 5 differentiationsopgaver der også skulle regnes.
I timen satte jeg eleverne sammen to og to. Første elev stillede den anden elev en af sine opgaver. Elev nr. to skulle nu differentiere funktionen og samtidig forklare hvilke regneregler, som anvendes. Dermed får jeg også mundtlighed på banen. Når opgaven er regnet sammenlignes de svar som elev 1 og 2 har fået og der "forhandles" om en entydig løsning, hvis der er uoverensstemmelse. Herefter byttede eleverne rolle.
Hvert par fik desuden udleveret 6 stykker papir, hvorpå de skulle angive opgaven på den ene side og svaret på den anden side. Jeg havde klippet et hjørne af i den ene side. Eleverne SKULLE så skrive funktionen, som skulle differentieret på den side af arket, hvor de afklippede hjørne er øverst til højre og svaret på den anden side. Dermed kan jeg nemt sortere arkene, så de oprindelige funktioner er på samme side.
Da opgavearkene var færdige, trænede eleverne lidt mere differentiation ved at trække forskellige opgaver.
Vi tog nu en kort snak om begrebet stamfunktioner og forsøgte at gætte nogle stamfunktioner hørende til funktioner, jeg havde skrevet til tavlen.
Efter lidt træning på tavlen blev eleverne igen sluppet løs med de konstruerede opgaveark. Denne gang skulle de gætte stamfunktion. Dvs. eleverne skulle tage udgangspunkt i funktionen på siden, hvor det afklippede hjørne var øverst til venstre.
Alt i alt en god time, hvor vi fik repeteret en hel del differentiation.
I næste modul vil vi give os i kast med at bevise regnereglerne for stamfunktioner.

Opstart i matematik - funktioner og samfundsfag

I min nye 1g-klasse (MA A, SA A, EØ C) vil jeg starte med generelle egenskaber ved funktioner. Det er vigtigt at få de centrale begreber hurtigst muligt på plads.
Da klassen har samfundsfag på A-niveau har jeg på statistikbanken (Link) fundet data for diverse nøgletal fra 1990 til 2013. Jeg har fundet data for BNP, import, eksport, indvandrere, inflation, udgifter til folkepension/kontanthjælp/SU, antal personer i Danmark, arbejdsløshed, beskæftigede samt antal fødsler (Link).
For hver af disse nøgletal har jeg grafisk illustreret udviklingen (funktion) dog uden at fortælle hvad grafen beskriver.
Hver elev får 3-4 forskellige figurer, hvis forløb de hjemme skal øve sig på at beskrive. Jeg vil også bede eleverne overveje, hvordan grafen fortsætter (vil jeg senere vende tilbage til, når regression kommer på banen).
I næste matematiktime skal eleverne for hinanden beskrive grafernes forløb - en forklarer og en anden tegner.
Efter de matematiske beskrivelser af figurerne får eleverne listen over figurernes betydning og de skal nu overveje om der kan være sammenhæng mellem nogle af figurerne.
Til sidst skal eleverne ved at kigge på de udleverede figurer undersøge om deres forslag til sammenhænge passer og måske finder eleverne nye sammenhænge.
Det er selvfølgelig meningen, at der bliver sneget lidt samfundsfag ind i diskussionerne.
Formålet med en sådan start er selvfølgelig at vise eleverne et eksempel på fagenes samspil, men også forsøge at illustrere forskelle. Hvad er forskellen på en graf i den matematiske verden og så en graf fra den virkelige verden, som vi forsøger at analysere matematisk.
Rent matematisk vil jeg vise eleverne, at vi har brug for præcise matematiske begreber til at beskrive funktioners opførsel - det er nemmere når vi "taler samme sprog".
I de kommende moduler skal eleverne beskrive mere komplekse funktioner og efterfølgende indføres centrale matematiske begreber.