Innovation i matematik

Kan man arbejde innovativt i matematik? Tja - det kommer lidt an på, hvilken definition man vælger for begrebet innovation.
Jeg er dog ikke i tvivl om, at vi i matematik kan fremme elevernes innovative kompetencer, og at det vil være med til at stille eleverne bedre til den skriftlige eksamen.
Jeg tænker her primært på evner som vedholdenhed (ikke give op ved problemer) og kreativitet (kunne afsøge løsningsmuligheder, når løsningsmetoden ikke umiddelbart er givet).
Fagkonsulenten i Matematik Bodil Bruun nedsatte sidste skoleår en arbejdsgruppe, som skulle komme med eksempler på, hvordan der kan arbejdes med innovation i og med matematik. Resultatet af dette arbejde kan ses på EMU'en (Link). Materialerne er både af overordnet karakter men indeholder også eksempler på forløb både i matematik alene og i samarbejde med andre fag (AT).
Matematiklærerforeningen har i dette skoleår nedsat en større arbejdsgruppe (støttet af undervisningsministeriet), som skal arbejde videre med innovation, hvor formålet hovedsagelig er at udvikle flere eksempler, der kan inspirere matematiklærere.
Jeg kan godt lide at udfordre eleverne, så jeg har netop stillet både min 1g- og 2g-klasse nedenstående opgave. Rigtig innovation kan man nok ikke kalde det, men eleverne får i hvert fald mulighed for at diskutere og afprøve forskellige løsningsforslag.

I skal bestemme placeringen af et system af vandledninger, som skal forsyne 8 huse med vand. Der findes to typer vandledninger: Hovedledningen til 822.000 kr. pr. km. og stikledninger til 556.000 kr. pr. km. Stikledninger kan kun transportere vand til ét hus.

Husenes placering er fastlagt med koordinater og er alle placeret i et kvadrat med en sidelængde på 10 km.

Vandledningen skal starte i punktet (0,1). Derudover skal hovedledningen slutte et eller andet sted mellem punkterne (10,8) og (10,10).

Ovenfor ses en illustration af et problem der svarer til ovenstående beskrivelse. Husene er de sorte prikker og starten på hovedledningen er det røde kvadrat placeret i (0, 1). Den stiplede røde linje øverst til højre markerer det område, hvor hovedledningen skal stoppe.

Jeg aner ikke selv, hvad svaret på problemet er. Så jeg er lidt spændt på, hvordan eleverne griber opgaven an.
Er det matematik? Tja - ikke nødvendigvis, så jeg har stillet krav om matematiske elementer i besvarelse.
Jeg laver lige en cliffhanger.
I et senere indlæg vil jeg beskrive, hvordan jeg helt konkret har tilrettelagt forløbet og hvordan det gik.

Forskellige beviser

Jeg bryder mig ikke om at gennemgå beviser på tavlen, da det stort set er umuligt at ramme et niveau i gennemgangen, som passer til de fleste elever:
- de gode elever synes ofte gennemgangen går for langsomt
- de svage elever har svært ved at følge med og er med til at trække tempoet i gennemgangen ned. Og dermed kommer de gode elever til at kede sige endnu mere
- middeleleverne derimod er glade for fælles gennemgang i klassen, da tempo passer til deres niveau.

Dette synes jeg giver alt for meget spildtid. Så fælles tavlegennemgang forsøger jeg at undgå. I dag gjorde vi følgende:

Til dagens time havdew eleverne i min 2g-klasse forberedt to forskellige beviser på cosinusrelationen - det ene bevis lavet som Powerpoint-præsentation uden forklaringer og det andet bevis skulle laves ved hjælp af en "opskrift".
Link til beskrivelse af opgaven, powerpoint-præsentationen (vælg download).

Jeg opdelte eleverne i grupper på 4, således at alle elever i hver gruppe havde forberedt sig på det samme bevis. Grupperne blev fordelt i forskellige lokaler, hvor de så i fællesskab skulle gennemgå "deres" bevis ved tavlen. De hurtige grupper regner efterfølgende opgaver.
Den sidste halve time af modulet blev grupperne splittet op, således at de nye grupper består af 4 elever, hvor 2 personer er eksperter på hvert deres bevis. Eleverne gennemgår nu "deres" bevis for hinanden.
Jeg bruger forskellige beviser for at skærpe elevernes koncentration ved gennemgang. Det er for nemt at melde sig ud, hvis man allerede selv har arbejdet med beviset. Og så synes jeg også eleverne skal se, at der ikke nødvendigvis findes ét bevis.
At beviset bliver gennemgået i små grupper gør også, at eleverne diskuterer og erfaringsudveksler langt mere. Og så gør det ikke noget at eleverne har forskelligt fagligt niveau. Nogle gange laver jeg dog grupper, hvor der tages hensyn til elevernes niveau. Det vil jeg typisk gøre, hvis vi skal gennemgå beviser af forskellige sværhedsgrad.

Repetition - uden hjælpemidler

Så er det ved at være tid til at få trænet og repeteret opgavetyperne til prøven uden hjælpemidler.
Jeg har aftalt med min 3g klasse at vi i resten af skoleåret starter hver time med at regne en opgave uden hjælpemidler fra tidligere eksamenssæt.
Til hver time er én elev ansvarlig for at få lagt opgaveløsningen ind på klassens hjemmeside (lavet i Google site) således at eleverne kan benytte svarene, når de skal træne til terminsprøve og eksamen.
Jeg har struktureret hjemmesiden i emner, så eleverne hurtigt kan søge efter lignende opgaver.
Det er ikke sikkert, at opgaverne altid vil blive gennemgået. Jeg håber, at den forestående eksamen vil være motivation nok til at i hvert fald de fleste elever får regnet opgaven til hver time.