Gange to tal - sjov egenskab...

Jeg kan godt lide at give eleverne opgaver, hvor de selv skal komme med teorier/påstande, som vi så kan undersøge rigtigheden af.

En sådan lille opgave kunne f.eks. være:
1) Tegn f.eks. i Geogebra funktionen f(x)=x².
2) Placer to punkter på parablen, hvor det ene skal have negativ x-værdi og det andet skal have positiv x-værdi. Vælg i første omgang hele tal som x-værdier.
3) Forbind de to punkter med en ret linje.
4) Hvilken sammenhæng er der mellem de to punkter på parablen og linjens skæring med y-aksen? Prøv forskellige ”pæne” punkter, som nedskrives i en tabel.
5) Kan du bevise din påstand? Start med udregning for to konkrete punkter og prøv så med x-værdierne x₁ og x₂.

En anden måske lidt sværere opgave er:
1) Afsæt 4 tilfældige punkter og forbind dem til en firkant.
2) Konstruer midtpunkterne på de 4 sider og forbind disse punkter til en ny firkant.
3) Hvad ser du? Er det altid sådan? Kan du bevise det?

Arealet af enhedscirklen

Som afslutning på integralforløbet har mine 3g-ere i denne uge arbejdet med forskellige måder at bestemme areal på.
Hel konkret blev eleverne bedt om at udregne (en tilnærmelse til) arealet af enhedscirklen på forskellige måder.
Som lektie til første modul skulle eleverne komme med ideer til metoder, som kan benyttes til at bestemme enhedscirklens areal. De skulle både komme med forslag med og uden brug af hjælpemidler. Og de blev opfordret til at have integralregning i baghovedet.
I timen udvekslede eleverne deres ideer og forslagene blev præsenteret på tavlen. Der kom mange gode forslag.
Jeg havde på forhånd besluttet at fokusere på integralregning, så jeg tillod mig at forkaste geometriske metoder som f.eks. minder om Archimedes bestemmelse af pi.
Eleverne, som nu blev delt op i grupper, fik til opgave at skrive en lærebog om bestemmelse af arealet af enhedscirklen, hvor følgende beregningsmetoder skulle benyttes:
1) Brug af funktion med hjælp af Maple
2) Løsning i hånden ud fra stamfunktion fundet i gammel bog fyldt med stamfunktioner til alle mulige funktioner
3) Brug af summer
4) Brug af Taylorrækker

Vi har tidligere arbejdet med forberedelsesmaterialet om rækker og følger, så Taylorpolynomier er allerede kendte.
Delen med summer og Taylorrækker benyttes som minitræning frem mod SRP, idet eleverne selv skulle finde relevante materialer om summer (har ikke tidligere været gennemgået) og materialer til et lille teoriafsnit om Taylorrækker,. Materialerne skulle findes på nettet.
I den forbindelse benyttede jeg lejligheden til med eleverne, hvordan man gør den læste kilde til ens egen tekst og ikke bare skriver af fra kilden.
Vi diskuterede selvfølgelig også de forskellige løsningsmetoders styrker.
Jeg forventer, at dette projekt får en fremtrædende plads i et at mine spørgsmål til den mundtlige eksamen.
Du kan se den opgave eleverne fik udleveret efter deres brainstorm her.

Induktion - differentiation og legoklodser

I forbindelse med differentialregning, så benytter jeg differentiation af xⁿ til at introducere bevis med induktion for mine elever.
Vi kigger på små forskellige sætninger, som kan bevises med induktionsprincippet:
1) Vinkelsummen i en n-kant
2) Summen af tallene fra 1 til n
3)

Vi vil også "lege" lidt med fysiske legoklodser, idet eleverne skal kigge på kvadrater, som bygges ud fra kvadratiske klodser på formen

Eleverne skal nu når de bygger kvadraterne udfylde nedenstående skema (Bredde er antal klodser på kantsiden)

I sidste linje skal eleverne opstille formler hørende til kolonneoverskriften, og det er så meningen, at eleverne skal bevise udvalgte formler.

Opgaven indeholder som det ses også en træning i at opstille funktionsudtryk, så man kan evt. nøjes med at opstille funktionsforskrifterne uden at bevise påstandene formelt ved hjælp af induktion.
Ideen til opgaven har jeg fået fra bogen "Fagdidaktik i matematik" af Morten Blomhøj, som er udgivet på forlaget Frydenlund i 2016, hvor det bl.a. diskuteres, hvordan man også kan arbejde med problemet i folkeskolen.
Mit arbejdsark til lego-opgaven finder du her.
De indledende øvelser mht. differentiation af xⁿ er vedhæftet her.

Hjemmeopgaver - Ikke kun en løsningsmetode og tjek af løsning

Eleverne skal have et beredskab, de kan benytte, hvis de har problemer med at løse en opgave. Problemet kan skyldes, at de ikke kan finde ud af at løse opgaven eller at matematikprogrammet driller.
Jeg gør en del ud af at træne forskellige løsningstyper, så eleverne ikke altid er bundet til en bestemt løsningsmetode.
Det er selvfølgelig ikke altid, det er muligt at konstruere en alternativ løsning, der giver fuldt point, men få point er bedre end ingen.
De stærke matematikelever får også noget ud at arbejdet med alternative løsningsmetoder, da disse kan benyttes som tjek.
Når eleverne har arbejdet med forskellige løsningsstrategier, så oplever jeg, at eleverne i fremtidige besvarelser vælger forskellige metoder. Eleverne er altså ikke enige om, hvilke metoder de foretrækker. Det gør det også vigtigt, at vise forskellige strategier og metoder, da det er med til at stille den enkelte elev bedre til eksamen.
Mine elever afleverer i denne uge bl.a. følgende opgave - inspireret af en tidligere eksamensopgave:

Det er et krav, at opgaven løses i Maple.

 

I næste uge skal eleverne aflevere samme opgave, men denne gang skal løsningerne bestemmes i Geogebra.

Det er svært at få hele dokumentationen og centrale kommentarer med ved løsning af opgaver i Geogebra . Derfor får eleverne følgende huskeregler til løsning af opgaver med Geogebra:

 

Det er svært at få vænnet eleverne til at tjekke om resultatet på et spørgsmål er rimeligt/korrekt. Jeg vil derfor inden længe give eleverne en hjemmeopgave, hvor svarene er angivet.

Eleverne skal så i stedet for at løse opgaverne tjekke om svarene er korrekte - det vil de selvfølgelig ikke være alle sammen.

Træning frem mod SRP - skrivning af SRO

Som skriftlig censor i SRP undrer jeg mig tit over hvor dårlige eleverne er til at skrive matematik. Det må skyldes, at vi ikke træner det nok og ikke har nok fokus på den disciplin af matematikken.
Jeg laver en del projektrapporter og temaforløb, hvor jeg synes eleverne får trænet disse dele, men ruster det dem godt nok til at skrive en SRP med matematik? Det er jeg ikke helt sikker på.
Jeg har i år en 2g, som skal skrive SRO i matematik og samfundsfag. På min skole har vi efter min mening ikke været gode nok til at udnytte SRO til at give eleverne træning frem mod SRP. Træningen har typisk bestået i lidt introduktion til opgaveformuleringen og så 3 dage fri til at skrive opgaven. Det tror jeg altså ikke, man lærer meget af.
Derfor besluttet jeg med samfundsfagslæreren, at vi her i foråret vil arbejde med forskellige aspekter af opgaveskrivningen med eleverne (Vores elever skriver SRO i starten af eksamensperioden).
I matematik har jeg således lavet:
1) et forløb om andengradspolynomier, hvor eleverne selv skal arbejde med relevante matematiske tekster. Efterfølgende skal hver elev skrive et lille teoretisk afsnit 2-3 sider. Inden jeg retter elevernes afsnit, sættes eleverne sammen i par, hvor de kommenterer hinandens tekst. Teksten rettes så inden den afleveres endeligt. Jeg vil beskrive selve forløbet lidt grundigere i et indlæg en af dagene.
I relation til at skrive en matematisk tekst har vi talt meget om at udvælge materiale fra forskellige kilder og at ensarte notationen. Vi har talt om at gøre matematikteksten til ens egen, så det ikke bare bliver en "afskrift" fra bogen. Dvs. tilføje ekstra kommentarer og mellemregninger samt at bogen ikke skal være åben, når teksten skrives. Teksten skrives ud fra de noter, man har skrevet, da man læste kilden.
2) Normalt stiller vi jo en masse spørgsmål, når eleverne skal løse en opgave i matematik. Men i SRP/SRO skal eleverne jo ofte selv "finde på" den matematik, de anvender. Det har vi forsøgt at træne ved at give eleverne en tabel, som de skal skrive et afsnit om. Her var opgaven blot at skrive et afsnit der behandler tabellen, hvor både matematik og samfundsfag inddrages - træning i at binde fagene sammen. Eleverne afleverede først opgaven i matematik og genafleverede efterfølgende i samfundsfag ugen efter.
3) Træning i søgning - vi vil målrette elevernes evne til at søge efter relevante materialer. Så de får til opgave at finde materialer af følgende typer: bog, matematikteoretisk tekst, samfundsteoretisk tekst, aktuel samfundsmæssig artikel, statistisk materiale. De fundne materialer samles, så alle elever kan få glæde af linkene.
4) Kort tid inden selve skrivningen vil vi bede eleverne udarbejde en indholdsfortegnelse/disposition for deres SRO, som diskuteres med lærere/klassekammerater.
5) På 2. skrivedag vil vi indlægge et tvunget møde med vejlederne, hvor eleverne skal fremlægge disposition mm. Samtidig vil der være krav om at noget af det skrevne skal læses og kommenteres af en klassekammerat.
6) Og så er der lige layout-delen. Her vil vi fokusere på, at gøre eleverne fortrolige med de vigtigste layout-elementer. Det vil vi gøre ved at opstille nogle layoutkrav til besvarelsen.

Træning af ræsonnement og problemløsning

Vi kender sikkert alle til problemer med, at eleverne har svært ved at løse opgaver, som adskiller sig (lidt) fra standardopgaver. Den bedste måde at træne eleverne i sådanne opgaver er efter min mening at udfordre eleverne med netop sådanne lidt skæve opgaver.
Jeg bruger selv sådanne opgaver som afveksling i undervisningen ((pauseopgaver"), som (ekstra-)opgaver ved afleveringer samt til at illustrere vigtigheden af kendskab til basale matematiske færdigheder.
Specielt de gode elever gerne vil have denne type opgaver i hjemmeopgaver. De er ofte trætte af at løse de samme typeopgaver uge efter uge, nu hvor de har forstået metoden. Men de svagere elever synes også det er lidt sjovt med "anderledes matematik"
Når jeg vælger opgaver, sørger jeg for at blande i forhold til den matematik, der skal anvendes. Opgaverne kan f.eks. dreje sig om:

• skjulte ligninger
• geometriske argumenter
• genkende systemer
• forklare og argumentere for, hvad der sker (f.eks. ved animationer)
• simpel talteori

Af og til får eleverne en opgave, som ikke kan løses eller hvor der ikke er et entydigt svar - jeg siger det dog ikke til eleverne. Her er jeg selvsagt mere interesseret i argumentation og ræsonnement.
Hvilken figur mangler f.eks. nedenfor?

Jeg kender ikke svaret, men det gør heller ikke så meget. Så må eleverne overbevise hinanden. Er der nogen af jer læsere, som i kommentarfeltet tør komme med et bud på løsningen?

Der findes mange sådanne opgaver rundt omkring. Jeg bruger ofte opgaver fra Georg Mohr's 1 runde (Link).

I dag er jeg lige faldet over et dokument med 100 opgaver til kompetencetræning fra matematikbanken.dk (opgaver til folkeskolen), Der er mange sjove opgaver, som også kan bruges på STX og HF (Link).

Endelig har jeg i det vedhæftede dokument angivet 9 små opgaver af forskellig type. Løsningerne står på sidste side (Link).

Sådanne opgaver mener jeg er gode til at træne elevernes innovative kompetencer, idet de netop ikke får en opgave, hvor løsningsmetoden ikke er givet på forhånd. Det skal helst ikke være sådan, at eleven uden videre kan gå i gang med løsningen. Opgaverne bør fordre ofte eksperimenter, eksempler, afprøvning af løsningsstrategier, udelukke svar, grafisk illustration ...

Det er vigtigt, at eleverne trænes i ikke at give op, selvom de ikke umiddelbart har noget bud på løsningsmetoden. Det er disse skæve opgaver også med til at fremme.



Lineære funktioner

Jeg lader mine 1g-elever arbejde i grupper, når vi skal have gennemgået de teoretiske dele knyttet til lineære funktioner.
Eleverne skal skrive en lille lærebog (temarapport) om lineære funktioner med 9.klasses elever som målgruppe, så de kan vise, hvor meget de har lært her i starten af gymnasiet.
Lærebogen skal laves som en hjemmeside, hvor der er krav om at egen video af f.eks. et bevis og dynamisk Geogebra-animation skal indgå.
Formålet er selvfølgelig at få eleverne til at få trænet små beviser og arbejde med ræsonnement.
Selve oplægget til opgaven består af
 - eksperimentelle øvelser
 - opgaver
 - beviser
Alle tre dele supplerer hinanden og er med til at give eleverne en større forståelse for emnet lineære funktioner. Det er dog ikke nogen tvungen rækkefølge i, hvordan eleverne skal arbejde med emnet.
Vedhæftet det opgaveark som eleverne får udleveret (Link).

1089 - skæbnen... ?

Så er april måned gået og eksamen nærmer sig med hastige skridt.
For første gang har der i en måned været mere end 1000 opslag af indlæg på min blog - helt præcist har der været 1089 opslag.
Top 5 over mest læste indlæg på bloggen er jeg lidt ked af, for 3 af indlæggene handler om skriftlig eksamen. Jeg ville være langt gladere, hvis der var størst interesse for indlæg om undervisning. Indlæggene om skriftlig eksamen handler dog om andre måder at træne skriftlighed på, så måske jeg ikke skal være så ked af det alligevel.
Top 5 er:

 



De 1089 opslag for april måned har for øvrigt en sjov lille egenskab:
1) Vælg et tre-cifret tal, hvor første ciffer er større end det sidste ciffer (f.eks. 521)
2) Byt rundt på første og sidste ciffer i det valgte tal (dvs. 125)
3) Træk tallet i 2) fra det valgte tal (521 - 125 = 396)
4) Hvis resultatet fra 3) giver et to-cifret tal, sættes et 0 forrest.
5) Byt rundt på første og sidste ciffer i tallet fra 4) (dvs. 693)
6) Læg tallene fra 4) og 5) sammen (396 + 693 = 1089)
Uanset starttal bliver resultatet altid 1089 - hvis der vel at mærke er regnet rigtigt :-)

Hvis nu alle eleverne i klassen vælger hvert deres tal og ikke viser hinanden det endelige resultat, så har du en oplagt mulighed for over for hver elev at forudsige, hvilket resultat de har fået.
Det plejer at imponere eleverne en hel del.
Bagefter kan man udfordre eleverne til at prøve at vise, at det altid går godt.

En lille hjælpeøvelse kan i den forbindelse være at argumentere for, at der gælder følgende for to-cifrede tal (forskellige cifre):
1) Vælg to-cifret tal, hvor første tal er størst (f.eks. 62)
2) Byt på cifrene og træk det sidst tal fra det første (dvs. 62 - 26 = 36)
Resultatet er altid et tal fra 9-tabellen - hvorfor?