Sandsynlighedsfunktioner - introduktion til chi2-test

I år har jeg besluttet mig for at vende lidt rundt på den måde jeg vil lære eleverne Chi².I stedet for at starte med Chi², har jeg valgt at arbejde med forskellige sandsynlighedsfunktioner. Dermed håber jeg, eleverne får en forståelse af, at disse funktioner kan benyttes til at beskrive sandsynligheder.
Eleverne arbejder via opgaver med forskellige sandsynlighedsfunktioner - først nogle tilfældige funktioner som opfylder kravene til en sandsynlighedsfunktion og efterfølgende normalfordeling og til sidst forskellige Chi²-funktioner.

Dette arbejde skulle gerne munde ud i en forståelse af
- betydningen af areal under sandsynlighedsfunktioner
- sammenhængen mellem sandsynlighedsfunktioner og de tilhørende fordelingsfunktioner
- forskellen på normalfordelingsfunktionerne (hvilken betydning har middelværdi og spredning for grafens udseende og dermed for sandsynlighedsfordelingen under grafen)
- forskellen på Chi²-funktionerne (hvilken betydning har antal frihedsgrader for grafens udseende og sandsynlighedsfordelingen)

I forbindelse med funktionerne hørende til normalfordeling og Chi²-funktionerne, repeterer vi selvfølgelig også de grundlæggende funktionsbegreber.

Jeg benytter to arbejdsark til denne introduktion:
Indledende om sandsynlighedsfunktioner (Link)
Chi²-funktioner (Link)

Portfolio som aflevering

I min 1g er vi så småt ved at afslutte arbejdet med chi²-test og de tilhørende funktioner.
Vi har lavet chi²-test i Excel, har lavet små videoer hvor principperne ved chi²-test forklares, har arbejdet med chi²-funktionerne, har simuleret stikprøver og sammenlignet med chi²-funktionerne samt har regnet opgaver i Maple.
Vi har altså arbejdet med chi²-test ud fra en række forskellige indgangsvinkler.
I denne uges hjemmeopgave har jeg besluttet mig for, at eleverne skal aflevere en form for portfolio, der indeholder de mest centrale ting, vi har arbejdet med knyttet til chi².
Jeg har derfor bedt eleverne om at samle følgende til en aflevering:
- deres video om chi²-test
- beskrivelse af chi²-funktionerne set i relation til chi²-test (hvordan bestemmes f.eks. kritisk værdi og p-værdi)
- sammenhæng mellem chi²-funktioner og chi²-test
- eksemplarisk besvarelse af opgave med henholdsvis uafhængighedstest og goodness of fit.

Jeg har omlagt et undervisningsmodul, så eleverne i par kan arbejde sammen om opgaven. Det er vigtigt for mig, at eleverne får diskuteret opgaverne, og at jeg får mulighed for at hjælpe elever, hvor det stadig kniber med forståelsen. Derfor vil jeg også i løbet af modulet tjekke, hvad eleverne har tænkt sig at aflevere. Det er også med til at reducere mit rettearbejde.
Som lektie til timen har jeg bedt eleverne løse en lille diktatopgave (link).

"Diktat" i matematik

Hvad man dog kan finde på sin harddisk!
Jeg har et samlergen mht. muligt materiale, som jeg kan benytte i min undervisning. Nogle gange falder jeg så over noget, som jeg fuldstændig havde glemt.
Jeg skulle bruge nogle chi²-opgaver til min 1g, så jeg gennemsøgte min tilhørende mappe på computeren. Der faldt mine øjne på dokumentnavnet DiktatChiKvadrat. Hvad pokker er det?
Det viste sig at være en lille diktat om chi², hvor forskellige nøgleord var fjernet fra teksten. Elevernes opgave er nu at indsætte de manglende ord/begreber blandt de ord, som er listet nederst på arket.
En sjov lille opgave synes jeg, så den har jeg givet eleverne for som lektie til det modul, hvor vi alligevel skal samle op på chi².
Dokumentet har jeg ikke selv lavet, og hvor det kommer fra, er det ikke lykkedes mig at finde ud af. Jeg tror, det er fra et af matematiklærerforeningens kurser, men kan ikke finde det.
Min lidt ændrede version af dokumentet ligger her: Link
Et lille udsnit af dokumentet:

Simulering af chi2-test

Hvorfor ligger den kritiske værdi, hvor den ligger, når vi laver en chi2-test? Det er uhyre svært at få forklaret eleverne.
Jeg har forsøgt at gøre det synligt for mine 1g-elever ved hjælp af to typer simulationer:
- en i Geogebra, der viser histogram af mange chi2-simuleringer med 1 frihedsgrad, hvor nulhypotesen er sand.
- en i Maple, der viser histogram af mange chi2-simuleringer med valgfrit antal frihedsgrader, hvor nulhypotesen er sand..
I Geogebra-dokumentet vises foretages en chi2-simulation af gangen, hvor hele metoden er synlig i Geogebras regneark. Teststørrelserne for hver chi2-simulation indtegnes løbende i et histogram.
Denne simulation skulle gerne give eleverne en fornemmelse af fordelingen af teststørrelserne, når nulhypotesen er sand - specielt at der kan være store variationer. Grafisk skal eleverne give et bud på placeringen og betydningen af den kritiske værdi.
På nedenstående skærmbilleder har jeg simuleret 500 chi2-test, hvor det vides at 25% i populationen svarer Ja, mens populationen består af 60% mænd og 40% kvinder.

Vejledningen til elevernes arbejde med Geogebra-dokumentet er beskrevet i dette dokument (Link) og Geogebra-dokumentet ligger her (Link).
Efter gennemgangen af/arbejdet med ovenstående ark, inddeler jeg eleverne i par, som så skal lave de samme simulationer dog med nye procenter for Ja/Nej og Mænd/Kvinder. Forhåbentlig kan vi konkludere, at den kritiske værdi ikke afhænger af procenterne.
I Maple er det muligt at lav langt flere simuleringer af gangen (kommandoen Sample). Nedenstående Maple-dokument skal eleverne benytte til at få en fornemmelse af histogrammerne over teststørrelsernes fordeling ved forskellige chi2-simulation igen under forudsætningen af at nulhypotesen er korrekt..
Eksperimenterne med forskellige frihedsgrader skulle også gerne resultere i, at eleverne konstaterer, at den kritiske værdi afhænger af frihedsgraden.
Maple-figuren nedenfor viser 10000 simuleringer af chi2-test med 4 frihedsgrader.

Maple-dokumentet som også indeholder vejledning til eleverne ligger her (Link).
Fortsættelsen på arbejdet med chi2 er, at vi vil arbejde med funktionerne hørende til de forskellige frihedsgrader og i den forbindelse undersøge krav til sådanne funktioner (sandsynlighedsfordelinger).

Introduktion til chi2

I dag er jeg i min 1g-klasse startet på chi2-test. Det bliver en lidt forhastet gennemgang, da vi skal benytte chi2-test i et AT-forløb efter påske.
I det første modul har jeg med klassen arbejdet med, hvordan man kan afgøre, om der er forskel på observerede værdier og forventede værdier. Eleverne arbejder med opgaver, hvor de bl.a. skal komme med forslag til, hvordan man vurdere forskel mellem observerede og forventede værdier.
Opgaverne er også designet, så stikprøvens størrelse kan diskuteres.
Det er selvfølgelig meningen at vi ved fælles hjælp, når frem til formlen for bestemmelse af chi2-teststørrelsen.
Om den fundne teststørrelse så er stor eller lille lader jeg hænge lidt i luften som en lille cliffhanger.

Helt bevist introducerer jeg ikke de smarte kommandoer i Maple til udregning af teststørrelse og p-værdi. Det er vigtigt for mig, at eleverne kan foretage beregningerne "manuelt". Det er med til at give eleverne en bedre forståelse for, hvad der sker. Der kan jo afhængig af antal frihedsgrader være lidt mange beregninger, så det er planen, at eleverne selv skal opbygge et regneark, der kan benyttes til at bestemme teststørrelsen.
Det benyttede arbejdsark ligger her: Link
Selve modulet var struktureret som en vekselvirkning mellem diskussioner i par og opsamling på klassen. Vi nåede næsten at gennemgå hele arbejdsarket.
Nu er det blot spændende om eleverne overhovedet kan huske noget, når vi mødes igen efter påske. Jeg tror lektien bliver, at de skal løse en lignende opgave - sikkert en stilladseret version af en tidligere eksamensopgave.