Jeg foretrækker oftest, at eleverne selv arbejder sig frem gennem f.eks. beviser i stedet for at læse beviserne i en bog. Men det er selvfølgelig også vigtigt, at eleverne lærer at læse matematik.
Vi har tidligere talt en del om læsning af matematiske tekster og hvad der f.eks. forventes, når man læser beviser i matematik. Det handler om "tænk med en blyant", lave figurer, lave ekstra mellemregninger, skrive kommentarer til mellemregninger...
Jeg ville teste om eleverne også gør, som vi har talt om, så de fik udleveret beviset for differentiation af f(x) = ax2 + bx + c. Lektien var at de skulle "læse rigtigt", og at de skulle kunne gennemføre beviset for en kammerat.
Jeg havde blot "glemt" (udeladt er vist et mere korrekt ord) at fortælle eleverne, at det udleverede bevis var fyldt med fejl (Link).
Heldigvis havde mange af eleverne opdaget i hvert fald nogle af fejlene.
Det gav anledning til en diskussion af, hvornår et bevis er "læst". Og at det også er vigtigt, at man noterer de ting, man ikke forstår!
For at få den korrekte version af beviset har eleverne efterfølgende afleveret beviset som en del af en hjemmeopgave. Fokus her er selvfølgelig, hvilke elementer som indgår i et bevis og hvordan man gør et bevis personligt og ikke bare en kopi af et bevis fra en bog - en vigtig kompetence at mestre, når der skal skrives SRP.
Viser opslag med etiketten Præcision. Vis alle opslag
Viser opslag med etiketten Præcision. Vis alle opslag
onsdag den 30. september 2015
mandag den 28. september 2015
Tretrinsreglen
Ved tidligere gennemgange af emnet differentialregning har jeg i starten af forløbet været meget stringent med at indføre f.eks. definitionen på differentiabilitet i et punkt, differenskvotient, differentialkvotient, ...
I år har jeg har jeg fokuseret på metoden i selve tretrinsreglen (som for øvrigt i min version har 4 trin - der skal konkluderes til sidst). Ved at bruge en del tid på at tale om metoden (læs evt. indlægget Differentialregning Intro) og udregne specifikke differentialkvotienter har jeg en fornemmelse af at eleverne har fuldstændig styr på metoden.
Inden vi beviste regnereglerne for differentiation af sum, subtraktion og multiplikation med konstant introducerede jeg den formelle definition. Og den accepterede eleverne overraskende let - "det er jo bare det vi har gjort hele tiden..."
Eleverne lavede selv meget hurtigt beviserne for sum og multiplikation med konstant, mens differentiation med subtraktion lidt voldte de sædvanlige problemer med minusset.
At det gik så godt, tror jeg også skyldes, at vi i de tidligere beviser også har fokuseret på de kendte regneregler, som anvendes undervejs i tretrinsreglen. Det har været med til at spore eleverne ind på, hvilke regneregler som er anvendelige, når der reduceres. Og det hjælper når eleverne selv skal lave beviserne uden hjælp. De gode elever kunne lave beviserne selv, mens de svagere elever fik hjælp af mig eller udleveret beviset på papir - dog ikke i den korrekte rækkefølge. Beviset for multiplikation med konstant ligger her (Link).
Jeg har stadig et lille hængeparti omkring grænseværdier og uendelighedsbegrebet, men det vil vi samle op på senere. Det er ikke så centralt nu.
I år har jeg har jeg fokuseret på metoden i selve tretrinsreglen (som for øvrigt i min version har 4 trin - der skal konkluderes til sidst). Ved at bruge en del tid på at tale om metoden (læs evt. indlægget Differentialregning Intro) og udregne specifikke differentialkvotienter har jeg en fornemmelse af at eleverne har fuldstændig styr på metoden.
Inden vi beviste regnereglerne for differentiation af sum, subtraktion og multiplikation med konstant introducerede jeg den formelle definition. Og den accepterede eleverne overraskende let - "det er jo bare det vi har gjort hele tiden..."
Eleverne lavede selv meget hurtigt beviserne for sum og multiplikation med konstant, mens differentiation med subtraktion lidt voldte de sædvanlige problemer med minusset.
At det gik så godt, tror jeg også skyldes, at vi i de tidligere beviser også har fokuseret på de kendte regneregler, som anvendes undervejs i tretrinsreglen. Det har været med til at spore eleverne ind på, hvilke regneregler som er anvendelige, når der reduceres. Og det hjælper når eleverne selv skal lave beviserne uden hjælp. De gode elever kunne lave beviserne selv, mens de svagere elever fik hjælp af mig eller udleveret beviset på papir - dog ikke i den korrekte rækkefølge. Beviset for multiplikation med konstant ligger her (Link).
Jeg har stadig et lille hængeparti omkring grænseværdier og uendelighedsbegrebet, men det vil vi samle op på senere. Det er ikke så centralt nu.
mandag den 4. maj 2015
"Diktat" i matematik
Hvad man dog kan finde på sin harddisk!
Jeg har et samlergen mht. muligt materiale, som jeg kan benytte i min undervisning. Nogle gange falder jeg så over noget, som jeg fuldstændig havde glemt.
Jeg skulle bruge nogle chi2-opgaver til min 1g, så jeg gennemsøgte min tilhørende mappe på computeren. Der faldt mine øjne på dokumentnavnet DiktatChiKvadrat. Hvad pokker er det?
Det viste sig at være en lille diktat om chi2, hvor forskellige nøgleord var fjernet fra teksten. Elevernes opgave er nu at indsætte de manglende ord/begreber blandt de ord, som er listet nederst på arket.
En sjov lille opgave synes jeg, så den har jeg givet eleverne for som lektie til det modul, hvor vi alligevel skal samle op på chi2.
Dokumentet har jeg ikke selv lavet, og hvor det kommer fra, er det ikke lykkedes mig at finde ud af. Jeg tror, det er fra et af matematiklærerforeningens kurser, men kan ikke finde det.
Min lidt ændrede version af dokumentet ligger her: Link
Et lille udsnit af dokumentet:
Jeg har et samlergen mht. muligt materiale, som jeg kan benytte i min undervisning. Nogle gange falder jeg så over noget, som jeg fuldstændig havde glemt.
Jeg skulle bruge nogle chi2-opgaver til min 1g, så jeg gennemsøgte min tilhørende mappe på computeren. Der faldt mine øjne på dokumentnavnet DiktatChiKvadrat. Hvad pokker er det?
Det viste sig at være en lille diktat om chi2, hvor forskellige nøgleord var fjernet fra teksten. Elevernes opgave er nu at indsætte de manglende ord/begreber blandt de ord, som er listet nederst på arket.
En sjov lille opgave synes jeg, så den har jeg givet eleverne for som lektie til det modul, hvor vi alligevel skal samle op på chi2.
Dokumentet har jeg ikke selv lavet, og hvor det kommer fra, er det ikke lykkedes mig at finde ud af. Jeg tror, det er fra et af matematiklærerforeningens kurser, men kan ikke finde det.
Min lidt ændrede version af dokumentet ligger her: Link
Et lille udsnit af dokumentet:
lørdag den 11. oktober 2014
Hurra for AT...
Jeg har i denne uge haft AT i 3g.
Fagene var matematik og samfundsfag (begge på A-niveau) og vi havde valgt Finanspolitik som emne.
I matematik beskæftigede vi os primært med multiplikatoreffekten og forskellige måder at bestemme den på. Vi konstruerede både et regneark og en matematisk formel til bestemmelse af multiplikatoreffekten. Til den matematiske formel havde vi brug for et lille bevis for den type række, som fremkommer.
De to fag fungerede rigtig godt sammen og eleverne fik demonstreret en del centrale matematiske metoder:
1) Axiomatisk-deduktiv metode kunne eleverne tale om ved den teoretiske udledning af formlen til bestemmelse af multiplikatoreffekt
2) Formlen blev benyttet til at lave forskellige modeller over udsving i multiplikatoreffekt, når der ændres i parametrene (hertil blev Geogebra med skydere anvendt - imponerede samfundsfagslæreren en del)
3) Forskellen på teoretiske modeller og vækstmodeller med regression blev berørt af nogle grupper
4) Og så havde eleverne god mulighed for at diskutere problemer ved beregningerne, når vi tolker dem i den virkelige verden. Vi fandt bl.a. ud af at både regneark og formel havde det problem, at de forudsætter at importkvote, skattesats samt opsparingskvote er uændret. Det er i hvert fald ikke korrekt, hvis de ekstra penge som staten "giver ud" til øget forbrug er målrettet en bestemt befolkningsgruppe som f.eks. arbejdsløse eller personer der betaler topskat. Det lykkedes faktisk de bedste af grupperne at justere deres regneark, så parametrene i 1. runde adskilte sig fra parametrene i de øvrige runder.
Om 3 uger er det så AT i 1g, der står på programmet. Vi har diskuteret en del, hvordan vi kan få forklaret de nye elever, hvad det der AT er for noget. Vi lærere bruger jo altid en del tid på at få forklaret eleverne, hvad AT handler om. Men ikke desto mindre hører man igen og igen fra elever at det først i 3g, de rigtig forstår, hvad det går ud på.
Derfor havde vi, i den 1g-klasse jeg har, besluttet at prøve noget nyt, nemlig at lade 3g-eleverne forklare 1g-eleverne, hvad AT er, og hvordan de arbejdet med det.
Helt konkret fik hver af vores 3g-grupper i denne uge besøg af 3-4 1g-elever. Der var afsat 30 min til at 3g-eleverne forklarede AT for 1g-eleverne - både generelt men også deres konkrete emne.
Derudover var hver 1g-elev inde og høre en 3g-gruppes fremlæggelse af deres AT-projekt.
3g-eleverne var lidt skeptiske i starten, især over at 1g-elever skulle overvære deres fremlæggelse. Men det gik forbløffende godt og de umiddelbare kommentarer fra 1g-eleverne var meget positive. De fik både en fornemmelse af hvad AT handler om, men fik også oplevet, hvordan lærer/censor agerer under en sådan eksamen.
Så nu glæder jeg mig til AT1 med 1e - emnet er for øvrigt manipulation af tal, hvor eleverne i grupper skal lave en valgvideo for et givet politisk parti.
Fagene var matematik og samfundsfag (begge på A-niveau) og vi havde valgt Finanspolitik som emne.
I matematik beskæftigede vi os primært med multiplikatoreffekten og forskellige måder at bestemme den på. Vi konstruerede både et regneark og en matematisk formel til bestemmelse af multiplikatoreffekten. Til den matematiske formel havde vi brug for et lille bevis for den type række, som fremkommer.
De to fag fungerede rigtig godt sammen og eleverne fik demonstreret en del centrale matematiske metoder:
1) Axiomatisk-deduktiv metode kunne eleverne tale om ved den teoretiske udledning af formlen til bestemmelse af multiplikatoreffekt
2) Formlen blev benyttet til at lave forskellige modeller over udsving i multiplikatoreffekt, når der ændres i parametrene (hertil blev Geogebra med skydere anvendt - imponerede samfundsfagslæreren en del)
3) Forskellen på teoretiske modeller og vækstmodeller med regression blev berørt af nogle grupper
4) Og så havde eleverne god mulighed for at diskutere problemer ved beregningerne, når vi tolker dem i den virkelige verden. Vi fandt bl.a. ud af at både regneark og formel havde det problem, at de forudsætter at importkvote, skattesats samt opsparingskvote er uændret. Det er i hvert fald ikke korrekt, hvis de ekstra penge som staten "giver ud" til øget forbrug er målrettet en bestemt befolkningsgruppe som f.eks. arbejdsløse eller personer der betaler topskat. Det lykkedes faktisk de bedste af grupperne at justere deres regneark, så parametrene i 1. runde adskilte sig fra parametrene i de øvrige runder.
Om 3 uger er det så AT i 1g, der står på programmet. Vi har diskuteret en del, hvordan vi kan få forklaret de nye elever, hvad det der AT er for noget. Vi lærere bruger jo altid en del tid på at få forklaret eleverne, hvad AT handler om. Men ikke desto mindre hører man igen og igen fra elever at det først i 3g, de rigtig forstår, hvad det går ud på.
Derfor havde vi, i den 1g-klasse jeg har, besluttet at prøve noget nyt, nemlig at lade 3g-eleverne forklare 1g-eleverne, hvad AT er, og hvordan de arbejdet med det.
Helt konkret fik hver af vores 3g-grupper i denne uge besøg af 3-4 1g-elever. Der var afsat 30 min til at 3g-eleverne forklarede AT for 1g-eleverne - både generelt men også deres konkrete emne.
Derudover var hver 1g-elev inde og høre en 3g-gruppes fremlæggelse af deres AT-projekt.
3g-eleverne var lidt skeptiske i starten, især over at 1g-elever skulle overvære deres fremlæggelse. Men det gik forbløffende godt og de umiddelbare kommentarer fra 1g-eleverne var meget positive. De fik både en fornemmelse af hvad AT handler om, men fik også oplevet, hvordan lærer/censor agerer under en sådan eksamen.
Så nu glæder jeg mig til AT1 med 1e - emnet er for øvrigt manipulation af tal, hvor eleverne i grupper skal lave en valgvideo for et givet politisk parti.
fredag den 4. april 2014
Beviser på smartpen
I stedet for at lade eleverne læse beviser i bogen, bruger jeg nogle gange en smartpen-præsentation(http://www.livescribe.com/ eller http://www.smartpen.dk/) som lektie.
Fordelen ved sådanne præsentationer er, at der knyttes mundtlige kommentarer til teksten.
Smartpen fungerer ved, at der skrives med en speciel pen på et specielt type papir. Pennen indeholder mikrofon og kamera, således at pennen bl.a. husker, hvor og hvornår der skrives på papiret, hvilket kobles med det som indtales. Alt dette kan nu gemmes i pdf-format, som kan afspilles dynamisk med Acrobat Reader version X eller senere. Acrobat Reader er gratis - programmet kan hentes her (husk at fravælge det valgfrie tilbud!).
I dette konkrete tilfælde skulle eleverne arbejdet med projektion af vektor på vektor - præsentationen ligger her. Filen skal downloades og åbnes i Acrobat Reader for at få det optimale udbytte - klik på teksten.
Jeg bad eleverne gennemhøre beviset for projektion af vektor a på vektor b. Lektien til dagens time var så, at de skulle kunne gennemgå beviset for projektion af vektor b på vektor a. Det var med vilje, at jeg byttede rundt på vektorerne. Det skulle få eleverne til at være mere opmærksomme og så ville de være nødt til at skrive noter.
Jeg syntes det fungerede godt - eleverne havde forstået langt det meste af beviset.
Skærmbillede af et lille udsnit af smartpen-præsentationen:
Fordelen ved sådanne præsentationer er, at der knyttes mundtlige kommentarer til teksten.
Smartpen fungerer ved, at der skrives med en speciel pen på et specielt type papir. Pennen indeholder mikrofon og kamera, således at pennen bl.a. husker, hvor og hvornår der skrives på papiret, hvilket kobles med det som indtales. Alt dette kan nu gemmes i pdf-format, som kan afspilles dynamisk med Acrobat Reader version X eller senere. Acrobat Reader er gratis - programmet kan hentes her (husk at fravælge det valgfrie tilbud!).
I dette konkrete tilfælde skulle eleverne arbejdet med projektion af vektor på vektor - præsentationen ligger her. Filen skal downloades og åbnes i Acrobat Reader for at få det optimale udbytte - klik på teksten.
Jeg bad eleverne gennemhøre beviset for projektion af vektor a på vektor b. Lektien til dagens time var så, at de skulle kunne gennemgå beviset for projektion af vektor b på vektor a. Det var med vilje, at jeg byttede rundt på vektorerne. Det skulle få eleverne til at være mere opmærksomme og så ville de være nødt til at skrive noter.
Jeg syntes det fungerede godt - eleverne havde forstået langt det meste af beviset.
Skærmbillede af et lille udsnit af smartpen-præsentationen:
søndag den 30. marts 2014
Feedback på hjemmeopgaver
Vi matematiklærere bruger rigtig mange timer på at rette hjemmeopgaver. Jeg tænker ofte over om den tid jeg bruger på at rette opgaverne også er noget, som kommer eleverne til gode. Hvor meget tid bruger de på at gennemse og overvejer vores rettelser. Og lærer de af rettelserne?
Jeg har tidligere skrevet om mundtlig feedback på hjemmeopgaver for at skærpe elevernes arbejde med rettelser.
En anden mulighed er at lade eleverne genaflevere (dele af) hjemmeopgaver. Det kan være fint ved typiske eksamensopgaver. Ved genaflevering er det vigtigt, at eleverne som ved første aflevering havde lavet gode besvarelser, får andre opgaver. En genaflevering skal ikke være en straf for svage elever. Alternativt kunne man i kommende hjemmeopgave lade eleverne vælge om de vil genaflevere en given central opgave eller regne en ny opgave.
For at holde lidt øje med om eleverne tager mine rettelser til sig, skriver jeg til hver aflevering nogle generelle kommentarer om besvarelsen. Disse gemmes i elevens kommentarark, så jeg og eleven kan se tidligere givne kommentarer.
Det giver mig mulighed for at se om eleven bliver bedre. Og eleven kan nemt få et overblik over tidligere overordnede kommentarer. Eleven behøver ikke kigge i alle tidligere besvarelser for at finde kommentarerne.
Et eksempel på et kommentarark ses nedenfor:
Ved nogle hjemmeopgaver beder jeg eleverne kigge deres kommentarark igennem, hvorefter de som det første af afleveringen skal angive 5 fokuspunkter, de har i denne besvarelse. Det plejer at fungere efter hensigten.
Jeg har tidligere skrevet om mundtlig feedback på hjemmeopgaver for at skærpe elevernes arbejde med rettelser.
En anden mulighed er at lade eleverne genaflevere (dele af) hjemmeopgaver. Det kan være fint ved typiske eksamensopgaver. Ved genaflevering er det vigtigt, at eleverne som ved første aflevering havde lavet gode besvarelser, får andre opgaver. En genaflevering skal ikke være en straf for svage elever. Alternativt kunne man i kommende hjemmeopgave lade eleverne vælge om de vil genaflevere en given central opgave eller regne en ny opgave.
For at holde lidt øje med om eleverne tager mine rettelser til sig, skriver jeg til hver aflevering nogle generelle kommentarer om besvarelsen. Disse gemmes i elevens kommentarark, så jeg og eleven kan se tidligere givne kommentarer.
Det giver mig mulighed for at se om eleven bliver bedre. Og eleven kan nemt få et overblik over tidligere overordnede kommentarer. Eleven behøver ikke kigge i alle tidligere besvarelser for at finde kommentarerne.
Et eksempel på et kommentarark ses nedenfor:
Trafiklys ved hjemmeopgaver
Vi har jo følgende 5 pinde, der skal tages hensyn til ved bedømmelse af skriftlige opgavers stil:
Det kan være svært at få eleverne til at medtage relevante ledsagende kommentarer i deres hjemmeopgaver. Jeg har derfor indført et trafiklys, hvor jeg netop vurderer kvaliteten af de 5 pinde i elevernes afleveringer. Et eksempel ses nedenfor:
Farverne betyder: dårligt (rød), nogenlunde (gul) og fint (grøn). Den grå farve benyttes, hvis pinden ikke har været i spil i den aktuelle besvarelse.
Jeg udfylder ikke trafiklyset ved hver aflevering (tager lidt tid), men gør det en gang i mellem.
Den grafiske fremstilling er med til at give eleverne større fokus på pindene og samtidig har både de og jeg en nem mulighed for at se, om der er sket en forbedring.
Skolens afleveringssystem har indbygget trafiklys, så det er temmelig nemt og hurtigt at anvende. Jeg skal blot oprette de kategorier, jeg vil anvende i trafiklyset. Det kræver selvfølgelig lidt mere arbejde at bruge trafiklys, hvis man selv skal håndtere systemet.
tirsdag den 4. februar 2014
Udveksling af beviser
Lektien til dagens time i 2g var 4 små trigonometri-beviser. Eleverne var på forhånd delt op så eleverne hver skulle forberede et bevis grundigt samt et bevis mindre grundigt.
Jeg havde fundet beviserne på Youtube - ikke alle var eksemplariske men det var blot med til at gøre eleverne mere opmærksomme ved forberedelsen.
I starten af timen blev eleverne samlet i grupper, hvor alle havde forberedt sig grundigt på samme bevis. Disse grupper skulle nu på 20 minutter få fuldstændig styr på beviset samt optage en eksemplarisk fremlæggelse af beviset på video. Videoen blev straks uploadet til Youtube og vores trigonometri-hjemmeside. Der var 6 elever i hver gruppe.
Eleverne var blevet bedt om specielt at være opmærksomme på at præcisere, hvad sætningen siger samt selve starten på bevist (se tidligere indlæg: Start på bevis...).
Resten af modulet var opdelt i sekevenser på 15 minutter efter følgende princip:
2 elever bliver i lokalet mens de 4 øvrige elever går videre til næste lokale for at se et af de andre beviser. De samme to elever må ikke blive under to seancer i samme lokale. Det burde skærpe tilhørernes opmærksomhed, da de kan blive de næste som skal fremlægge beviset.
Jeg ved ikke om det var fordi eleverne gik døde (det virkede ikke sådan), men eleverne blev hurtigere og hurtigere til at gennemgå beviserne.
På 95 minutter fik vi gennemgået 4 beviser oven i købet optaget på video og alle elever nåede at fremlægge mindst et bevis. Det var en god og effektiv time, hvilket også eleverne gav udtryk for.
Vedhæftet lektien til dagens time: Link.
Jeg havde fundet beviserne på Youtube - ikke alle var eksemplariske men det var blot med til at gøre eleverne mere opmærksomme ved forberedelsen.
I starten af timen blev eleverne samlet i grupper, hvor alle havde forberedt sig grundigt på samme bevis. Disse grupper skulle nu på 20 minutter få fuldstændig styr på beviset samt optage en eksemplarisk fremlæggelse af beviset på video. Videoen blev straks uploadet til Youtube og vores trigonometri-hjemmeside. Der var 6 elever i hver gruppe.
Eleverne var blevet bedt om specielt at være opmærksomme på at præcisere, hvad sætningen siger samt selve starten på bevist (se tidligere indlæg: Start på bevis...).
Resten af modulet var opdelt i sekevenser på 15 minutter efter følgende princip:
2 elever bliver i lokalet mens de 4 øvrige elever går videre til næste lokale for at se et af de andre beviser. De samme to elever må ikke blive under to seancer i samme lokale. Det burde skærpe tilhørernes opmærksomhed, da de kan blive de næste som skal fremlægge beviset.
Jeg ved ikke om det var fordi eleverne gik døde (det virkede ikke sådan), men eleverne blev hurtigere og hurtigere til at gennemgå beviserne.
På 95 minutter fik vi gennemgået 4 beviser oven i købet optaget på video og alle elever nåede at fremlægge mindst et bevis. Det var en god og effektiv time, hvilket også eleverne gav udtryk for.
Vedhæftet lektien til dagens time: Link.
fredag den 31. januar 2014
Opsamling på beviser
I sidste modul i min 2g-klasse arbejdede eleverne i grupper med forskellige trigonometriske beviser (Se indlægget Bevisgennemgang), hvor de bl.a. lavede videoer med beviserne.
I dag var det så tid til at få erfaringsudvekslet beviserne. Lektien til i dag var at træne eget bevis, samt at se og forberede en af de andre bevisvideoer.
Eleverne blev opdelt i matrixgrupper, så der var en ekspert på hvert bevis i hver gruppe. Eleverne gennemgik nu beviserne for hinanden og søgte hjælp i videoerne, hvis der var problemer med et bevis, og jeg ikke lige var i nærheden.
Jeg cirkulerede mellem grupperne og fik set en hel del flotte bevisgennemgange.
Timen sluttede med dynamisk konstruktion af de forskellige trekanttilfælde i Geogebra - disse konstruktioner er det planen at optage med screencast i næste modul.
Eleverne feedback fra timen var, at de havde lært en del om ræsonnement (ikke lige elevernes ord :-) ), og at de havde fået en god forståelse for cosinus- og sinusrelationerne.
I dag var det så tid til at få erfaringsudvekslet beviserne. Lektien til i dag var at træne eget bevis, samt at se og forberede en af de andre bevisvideoer.
Eleverne blev opdelt i matrixgrupper, så der var en ekspert på hvert bevis i hver gruppe. Eleverne gennemgik nu beviserne for hinanden og søgte hjælp i videoerne, hvis der var problemer med et bevis, og jeg ikke lige var i nærheden.
Jeg cirkulerede mellem grupperne og fik set en hel del flotte bevisgennemgange.
Timen sluttede med dynamisk konstruktion af de forskellige trekanttilfælde i Geogebra - disse konstruktioner er det planen at optage med screencast i næste modul.
Eleverne feedback fra timen var, at de havde lært en del om ræsonnement (ikke lige elevernes ord :-) ), og at de havde fået en god forståelse for cosinus- og sinusrelationerne.
tirsdag den 28. januar 2014
Bevisgennemgang
Efter eleverne nu har fået gennemgået de centrale beviser hørende til trigonometri, så skal vi i dag træne beviser. Jeg vil bl.a. bede eleverne fokusere på starten af beviset (se evt. indlægget Start på bevis).
Det er vigtigt for mig, at eleverne aktives også under bevisgennemgangen. Så derfor har eleverne til dagens time fået ét bevis, som de skal forberede hjemme, så beviset kan gennemgås i klassen. Jeg har fordelt beviserne (cosinusrelation (2 forskellige beviser, cosinusrelation i stumpvinklet trekant, samt arealformel og sinusrelation), så de bedste elever får de sværeste beviser (cosinusrelationen i stumpvinklet trekant - de skal selv lave beviset).
På en tavle gennemgår eleverne nu i grupper på 6 gennemgå eleverne nu i fællesskab deres forberedte bevis. Jeg har sørget for et klasselokale til hver gruppe. Herefter opdeles hver 6-mands gruppe i 2 undergrupper på hver 3 medlemmer. I disse mindre grupper skal beviset optages på video og efterfølgende uploades til vores trigonometri-hjemmeside. Vi får således hvert bevis gennemgået i to videoer.
Hver elev får selvfølgelig kun repeteret ét bevis, men videoerne vil bliver brugt som forberedelse til næste modul, hvor vi vil lege "Kom og lær et bevis".
Vi bruger ikke hele modulet på beviserne - resten af modulet benyttes til træning i at gennemskue hvilken trekantformel, der skal bruges i hvilken situation.
Det er vigtigt for mig, at eleverne aktives også under bevisgennemgangen. Så derfor har eleverne til dagens time fået ét bevis, som de skal forberede hjemme, så beviset kan gennemgås i klassen. Jeg har fordelt beviserne (cosinusrelation (2 forskellige beviser, cosinusrelation i stumpvinklet trekant, samt arealformel og sinusrelation), så de bedste elever får de sværeste beviser (cosinusrelationen i stumpvinklet trekant - de skal selv lave beviset).
På en tavle gennemgår eleverne nu i grupper på 6 gennemgå eleverne nu i fællesskab deres forberedte bevis. Jeg har sørget for et klasselokale til hver gruppe. Herefter opdeles hver 6-mands gruppe i 2 undergrupper på hver 3 medlemmer. I disse mindre grupper skal beviset optages på video og efterfølgende uploades til vores trigonometri-hjemmeside. Vi får således hvert bevis gennemgået i to videoer.
Hver elev får selvfølgelig kun repeteret ét bevis, men videoerne vil bliver brugt som forberedelse til næste modul, hvor vi vil lege "Kom og lær et bevis".
Vi bruger ikke hele modulet på beviserne - resten af modulet benyttes til træning i at gennemskue hvilken trekantformel, der skal bruges i hvilken situation.
mandag den 20. januar 2014
Start på bevis...
Så fik eleverne afleveret deres hjemmeside, som skulle handle om ens- og retvinklede trekanter. Bl.a. med fokus på formlerne med sinus, cosinus og tangens, som de fleste have valgt at optage på video ved tavlen. Se evt. indlægget Trigonometri fra 2/1 2014.
Det gik fint med selve beviserne men starten på de enkelte beviser havde eleverne ikke styr på.
F.eks. valgte langt de fleste grupper ved beviserne for sinus- og cosinus-formlerne at starte med standardtrekanten.
Herudover var eleverne ikke gode nok til at præcisere hvor, hvornår og hvilke definitioner der blev brugt i de enkelte beviser.
I morgendagens time vil jeg fokusere på starten af beviser. Jeg vil bede eleverne lave en skriftlig indledning til beviserne for:
1) sinus- og cosinus- formlerne i retvinklede trekanter
2) tangens-formlen i retvinklede trekanter
3) cosinus-relationen
4) sinus-relationen
Først vil jeg lade eleverne arbejde to og to. Efterfølgende vil jeg sætte eleverne sammen 4 og 4, hvor de så skal gennemgå starten på beviserne for hinanden - og for mig.
Jeg har indtastet formler og figurer i et dokument, hvor eleverne så blot skal skrive teksten (link).
Når eleverne er færdige med deres indledninger skal de træne løsning af trigonometriopgaver - i første omgang genkendelse af hvilken formel, der kan anvendes i aktuelle opgaver.
Mere herom i mit indlæg Kuvertopgaver fra 20/1 2014.
Det gik fint med selve beviserne men starten på de enkelte beviser havde eleverne ikke styr på.
F.eks. valgte langt de fleste grupper ved beviserne for sinus- og cosinus-formlerne at starte med standardtrekanten.
Herudover var eleverne ikke gode nok til at præcisere hvor, hvornår og hvilke definitioner der blev brugt i de enkelte beviser.
I morgendagens time vil jeg fokusere på starten af beviser. Jeg vil bede eleverne lave en skriftlig indledning til beviserne for:
1) sinus- og cosinus- formlerne i retvinklede trekanter
2) tangens-formlen i retvinklede trekanter
3) cosinus-relationen
4) sinus-relationen
Først vil jeg lade eleverne arbejde to og to. Efterfølgende vil jeg sætte eleverne sammen 4 og 4, hvor de så skal gennemgå starten på beviserne for hinanden - og for mig.
Jeg har indtastet formler og figurer i et dokument, hvor eleverne så blot skal skrive teksten (link).
Når eleverne er færdige med deres indledninger skal de træne løsning af trigonometriopgaver - i første omgang genkendelse af hvilken formel, der kan anvendes i aktuelle opgaver.
Mere herom i mit indlæg Kuvertopgaver fra 20/1 2014.
Abonner på:
Opslag (Atom)