Komplekse matematiske problemer

Det er svært at løse mere komplekse matematiske problemer, hvor løsningsmetoden måske ikke er helt tydelig, når man læser opgaveteksten. Det er jo ikke fordi vi har mange af denne type opgaver i gymnasiet, men opstilling af funktionsudtryk hørende til optimeringsopgaver falder i den kategori.
Som introduktion til teorien bag differentialregning (eleverne er bekendte med f '(x), hvad differentialkvotienten benyttes til i forbindelse med optimering og hvordan man benytter Geogebra/Maple til at løse sådanne optimeringsopgaver) har jeg valgt at starte skoleåret for min 2g-klasse med træning i opstilling af funktionsudtryk og optimering af disse.
Jeg har introduceret eleverne til følgende 7 trin, som kan være med til at skabe lidt struktur på opstillingen af funktionsudtryk:
1) Forståelse
Hvad handler opgaven om? Hvad skal bestemmes?

2) Visualisering
Skitser situationen hvis det er muligt.
Lav situationen i virkeligheden, hvis det er muligt.

3) Sortering
Sorter evt. irrelevante informationer fra og sorter de relevante informationer
Hvilken type matematik kan anvendes? Hvilke kendte formler kan anvendes?

4) Symboler og eksempel
Indfør passende symboler og udregn/konstruer evt. eksempler.
Kan situationen eventuelt konstrueres i Geogebra (se evt. tips nedenfor)?

5) Formel
Opstil en formel til løsning af problemet

6) Beregning
Beregn løsningen

7) Konklusion
Sørg for at få konkluderet på udregninger i relation til det emne opgaven handler om

Specielt delen med konstruktion af fysisk model, udregning af eksempler og løsning i Geogebra lægger jeg vægt på. Alle disse dele er med til at give eleverne inputs til, hvordan selve funktionsforskriften opstilles.
Det er klart at når eleverne bliver mere rutinerede til at opstille funktionsudtryk, så er flere af ovenstående punkter ikke så nødvendige.

Løsningen i Geogebra kan typisk laves med en skyder, opsamling i regneark og efterfølgende regression. Jeg viste kort eleverne metoden med punkterne på grafen for f(x) = x² som eksempel og gav efterfølgende eleverne metoden på papir (Link). Det var dog ikke nødvendigt for eleverne at søge hjælp i arket efterfølgende.
Vi startede forløbet med at løse en tidligere eksamensopgave, hvor vi gennemløbe de enkelte trin på tavlen med små arbejdspauser i par ved hvert punkt. Herefter blev eleverne inddelt i grupper, som fik hver deres optimeringsproblem. Når eleverne havde løst "deres problem" kunne de gå videre til et af de andre problemer.
I slutningen af modulet præsenterede eleverne problemer og løsningsmetoder for hinanden i matrixgrupper. Formålet med dette var at eleverne skulle konstatere, at løsningsmetoden for sådanne opgaver er den samme.
Eleverne fik udleveret disse opgaver - Link.

Den første hjemmeopgave for eleverne bliver et projekt med optimering af én henholdsvis to kegler, hvor fokus også vil være ovenstående 7 punkter (Link).
Min dynamiske løsning i Geogebra ses nedenfor (Link).

Træning af ræsonnement og problemløsning

Vi kender sikkert alle til problemer med, at eleverne har svært ved at løse opgaver, som adskiller sig (lidt) fra standardopgaver. Den bedste måde at træne eleverne i sådanne opgaver er efter min mening at udfordre eleverne med netop sådanne lidt skæve opgaver.
Jeg bruger selv sådanne opgaver som afveksling i undervisningen ((pauseopgaver"), som (ekstra-)opgaver ved afleveringer samt til at illustrere vigtigheden af kendskab til basale matematiske færdigheder.
Specielt de gode elever gerne vil have denne type opgaver i hjemmeopgaver. De er ofte trætte af at løse de samme typeopgaver uge efter uge, nu hvor de har forstået metoden. Men de svagere elever synes også det er lidt sjovt med "anderledes matematik"
Når jeg vælger opgaver, sørger jeg for at blande i forhold til den matematik, der skal anvendes. Opgaverne kan f.eks. dreje sig om:

• skjulte ligninger
• geometriske argumenter
• genkende systemer
• forklare og argumentere for, hvad der sker (f.eks. ved animationer)
• simpel talteori

Af og til får eleverne en opgave, som ikke kan løses eller hvor der ikke er et entydigt svar - jeg siger det dog ikke til eleverne. Her er jeg selvsagt mere interesseret i argumentation og ræsonnement.
Hvilken figur mangler f.eks. nedenfor?

Jeg kender ikke svaret, men det gør heller ikke så meget. Så må eleverne overbevise hinanden. Er der nogen af jer læsere, som i kommentarfeltet tør komme med et bud på løsningen?

Der findes mange sådanne opgaver rundt omkring. Jeg bruger ofte opgaver fra Georg Mohr's 1 runde (Link).

I dag er jeg lige faldet over et dokument med 100 opgaver til kompetencetræning fra matematikbanken.dk (opgaver til folkeskolen), Der er mange sjove opgaver, som også kan bruges på STX og HF (Link).

Endelig har jeg i det vedhæftede dokument angivet 9 små opgaver af forskellig type. Løsningerne står på sidste side (Link).

Sådanne opgaver mener jeg er gode til at træne elevernes innovative kompetencer, idet de netop ikke får en opgave, hvor løsningsmetoden ikke er givet på forhånd. Det skal helst ikke være sådan, at eleven uden videre kan gå i gang med løsningen. Opgaverne bør fordre ofte eksperimenter, eksempler, afprøvning af løsningsstrategier, udelukke svar, grafisk illustration ...

Det er vigtigt, at eleverne trænes i ikke at give op, selvom de ikke umiddelbart har noget bud på løsningsmetoden. Det er disse skæve opgaver også med til at fremme.



Mundtlig eksamen - kan det gøres bedre ?

Diskussionen om vores mundtlige eksamen i matematik på rimelig vis afspejler undervisningen dukker jævnligt op.
Vi skal i undervisningen træne elevernes problemløsningskompetence, men ved eksamen (skriftlig såvel som mundtlig) har denne kompetence en meget lille plads. Det synes jeg er synd.
Ved mundtlig eksamen i fysik (B- og A-niveau) haves en model, hvor eleverne først i grupper udfører eksperimenter (ca. 5 grupper arbejder samtidig), mens lærer og censor går rundt mellem grupperne og hører om deres eksperiment. Efterfølgende er eleverne til en traditionel individuel mundtlig eksamen.
Kan vi gøre noget lignende i matematik?
Jeg havde besluttet mig for at lade mine 3g'ere afprøve modellen med pararbejde omkring et projekt som deres første hjemmeopgave.
Jeg inddelte eleverne i to hold, hvor eleverne skulle danne grupper på 2 personer. Jeg havde så omlagt dele af den skriftlige opgave, således at hvert hold skulle være 90 min på skolen sammen med mig.
Som forberedelse til det omlagte modul skulle eleverne læse opgaveformuleringen igennem og tænke lidt over løsningsmetoder. Det var forbudt at starte på selve løsningen.
Opgaven gik ud på at designe et dige, hvor der var en nogle forskellige design krav. Det betød, at eleverne kom rundt om lineære funktioner, parabler, differentialregning samt integralregning.

Opgaven har jeg "hugget" fra en kollega - tak for ideen. Det ser således ud (Link).
I de 90 minutter var det planen, at eleverne i par arbejdede med opgaven, som skulle afleveres. Der var sat tid af til at få skrevet teksten ordentlig efterfølgende. Der skulle fokuseres på opgaveløsningerne i de 90 minutter.
De 90 minutter gik rigtig godt og jeg fik snakket en masse matematik med eleverne. I og med at mange emner kommer i spil i opgaven, så havde jeg også mulighed for at tale med de enkelte elever på deres niveau. Måske manglede der lidt ekstra udfordringer til de gode elever.
Det er selvfølgelig en balancegang, hvor meget man skal hjælpe eleverne, hvis det er i en eksamenssituation, men med små vink var det muligt også at få de svagere elever gennem opgaven. Specielt bestemmelsen af parablens konstanter drillede. Vi har nu heller ikke brugt megen tid på løsning af flere ligninger med flere ubekendte.
Jeg fik nok hjulpet mere end man bør gøre i en eksamenssituation, men nu var det første gang med en sådan "eksamen" for både mig og mine elever.
Jeg spurgte eleverne på første hold, om de kunne forestille sig en sådan eksamensform. Det var de meget positive over - de syntes det var sjovt at arbejde mere praktisk med matematikken. Så man også kan se det kan bruges til noget.
Jeg er ret sikker på, at jeg vil prøve denne form for aflevering flere gange i løbet af skoleåret. Det kræver blot at man finder nogle gode tværfaglige projekter.
I morgen møder hold 2 :-).