Differenttialligninger - tryghed og sikkerhed

Til den skriftlige eksamen på A-niveau er der jo typisk en opgave med differentialligninger. Når man retter sådanne opgaver, så ser jeg ofte, at eleverne ikke får løst differentialligningen pga. en eller anden dum indtastningsfejl.
Det har derfor været vigtigt for mig at træne eleverne i
1) at have et beredskab, hvis man ikke kan finde fejl i sin indtastning (eller hvis værktøjsprogrammet af en eller anden grund ikke kan løse ligning)
2) at finde fejl i egne indtastninger

Som afslutning på forløbet har eleverne derfor arbejdet med nogle opgaver, hvor de blev bedt om at løse differentialligningen med dsolve (Maple), formel fra formelsamling, separation af variable (hvis det er muligt).
Det gav eleverne en god træning i at have flere strategier ved opgaveløsningen. Separation af variable er selvfølgelig noget bøvlet, men omvendt kunne eleverne også se, at det var en stærk formel at råde over.
Eleverne arbejdede med dette ark: Link

Mht. træning i fejlsøgning lavede jeg en lille test i klassen, hvor eleverne fik udleveret 12 forskellige indtastninger af en differentialligning, som i alle tilfælde fejlede. Eleverne skulle så rette fejlene. Eleverne fik opgaverne udleveret i et Maple-dokument, så de direkte kunne rette fejlene til.
I dokumentet var det desuden meningen at eleverne skulle beskrive fejlen i ord. En opgave kunne f.eks. se således ud:

Hjemmeopgaver - Ikke kun en løsningsmetode og tjek af løsning

Eleverne skal have et beredskab, de kan benytte, hvis de har problemer med at løse en opgave. Problemet kan skyldes, at de ikke kan finde ud af at løse opgaven eller at matematikprogrammet driller.
Jeg gør en del ud af at træne forskellige løsningstyper, så eleverne ikke altid er bundet til en bestemt løsningsmetode.
Det er selvfølgelig ikke altid, det er muligt at konstruere en alternativ løsning, der giver fuldt point, men få point er bedre end ingen.
De stærke matematikelever får også noget ud at arbejdet med alternative løsningsmetoder, da disse kan benyttes som tjek.
Når eleverne har arbejdet med forskellige løsningsstrategier, så oplever jeg, at eleverne i fremtidige besvarelser vælger forskellige metoder. Eleverne er altså ikke enige om, hvilke metoder de foretrækker. Det gør det også vigtigt, at vise forskellige strategier og metoder, da det er med til at stille den enkelte elev bedre til eksamen.
Mine elever afleverer i denne uge bl.a. følgende opgave - inspireret af en tidligere eksamensopgave:

Det er et krav, at opgaven løses i Maple.

 

I næste uge skal eleverne aflevere samme opgave, men denne gang skal løsningerne bestemmes i Geogebra.

Det er svært at få hele dokumentationen og centrale kommentarer med ved løsning af opgaver i Geogebra . Derfor får eleverne følgende huskeregler til løsning af opgaver med Geogebra:

 

Det er svært at få vænnet eleverne til at tjekke om resultatet på et spørgsmål er rimeligt/korrekt. Jeg vil derfor inden længe give eleverne en hjemmeopgave, hvor svarene er angivet.

Eleverne skal så i stedet for at løse opgaverne tjekke om svarene er korrekte - det vil de selvfølgelig ikke være alle sammen.

Skriftlig eksamen - censurerfaringer

I år har jeg været skriftlig censor udelukkende på opgavebesvarelser fra netforsøget (A-niveau).
På netforsøget har eleverne to timer uden hjælpemidler (dog med formelsamling) efterfulgt af 3 timer med hjælpemidler. I delen med hjælpemidler stilles 3-5 spørgsmål i et forberedelsesmateriale, som eleverne modtager op til 3 uger før eksamen. Der skal så afsættes 6 klokketimer af matematiktimerne til elevernes arbejde med materialet. Lærerne må ikke undervise i materialet, men skal hjælpe eleverne, hvis de løber ind i problemer. Du kan finde de tidligere års forberedelsesmaterialer (fint som supplerende stof) samt eksamenssæt her - link.
I år handlede forberedelsesmaterialet om sfærisk geometri.
Jeg lærer altid en del af at rette en masse opgaver af samme type. Der er en del fejltyper som går igen og igen og igen og ... Nogle fejl skyldes selvfølgelig at opgaven er svær, men ofte undres jeg noget over elevernes svar. Det giver mig en fornemmelse af, hvilke elementer jeg skal lægge ekstra vægt på.
Jeg har en 3g-klasse til næste år og her er listen over ting, jeg vil arbejde ihærdigt på, at eleverne får styr på:
1) Overspring ikke mellemregninger - det går galt
2) Karakteristika ved de forskellige funktionstyper, så de kan genkendes og beskrives
3) Monotoniundersøgelse i hånden! Man behøver ikke kunne udregne hældning i bestemte punkter. Det er nok at bestemme fortegnet.
4) Foretag kun en udregning ad gangen, når der reduceres - og husk at beholde parenteser indtil udregningen med at hæve parentes udføres
5) Tegn de to ensvinklede trekanter ved siden af hinanden, så de ligger på samme måde
6) Funktionsværdier for specielle funktioner: ln(e), ln(1), log(1), log(100). e⁰, ...
7) Betydningen af konstanterne a og b i standardfunktioner skal beskrives i relation til opgavens praktiske indhold.
8) Nulreglen og at sætte værdi uden for parentes.

De svage elever skal være bedre til at dokumentere, hvad de gør. Mit generelle indtryk at de opgaver, de svage elever kan løse, sjældent indeholder nok ledsagende kommentarer, og det koster dyrebare point.

Min kommende 3g-klasse har til årsprøven i år prøvet eksamensformen for netforsøget, og deres tilbagemeldinger har været overvejende positive. Så det ender nok med, at vi vælger den eksamensform.
Hvis det bliver tilfældet, så skal vi træne en masse i brugen af formelsamlingen. Jeg var meget forundret over, hvor lidt eleverne havde anvendt formelsamlingen - f.eks. til at få differentieret eller integreret korrekt.

Træning frem mod SRP - skrivning af SRO

Som skriftlig censor i SRP undrer jeg mig tit over hvor dårlige eleverne er til at skrive matematik. Det må skyldes, at vi ikke træner det nok og ikke har nok fokus på den disciplin af matematikken.
Jeg laver en del projektrapporter og temaforløb, hvor jeg synes eleverne får trænet disse dele, men ruster det dem godt nok til at skrive en SRP med matematik? Det er jeg ikke helt sikker på.
Jeg har i år en 2g, som skal skrive SRO i matematik og samfundsfag. På min skole har vi efter min mening ikke været gode nok til at udnytte SRO til at give eleverne træning frem mod SRP. Træningen har typisk bestået i lidt introduktion til opgaveformuleringen og så 3 dage fri til at skrive opgaven. Det tror jeg altså ikke, man lærer meget af.
Derfor besluttet jeg med samfundsfagslæreren, at vi her i foråret vil arbejde med forskellige aspekter af opgaveskrivningen med eleverne (Vores elever skriver SRO i starten af eksamensperioden).
I matematik har jeg således lavet:
1) et forløb om andengradspolynomier, hvor eleverne selv skal arbejde med relevante matematiske tekster. Efterfølgende skal hver elev skrive et lille teoretisk afsnit 2-3 sider. Inden jeg retter elevernes afsnit, sættes eleverne sammen i par, hvor de kommenterer hinandens tekst. Teksten rettes så inden den afleveres endeligt. Jeg vil beskrive selve forløbet lidt grundigere i et indlæg en af dagene.
I relation til at skrive en matematisk tekst har vi talt meget om at udvælge materiale fra forskellige kilder og at ensarte notationen. Vi har talt om at gøre matematikteksten til ens egen, så det ikke bare bliver en "afskrift" fra bogen. Dvs. tilføje ekstra kommentarer og mellemregninger samt at bogen ikke skal være åben, når teksten skrives. Teksten skrives ud fra de noter, man har skrevet, da man læste kilden.
2) Normalt stiller vi jo en masse spørgsmål, når eleverne skal løse en opgave i matematik. Men i SRP/SRO skal eleverne jo ofte selv "finde på" den matematik, de anvender. Det har vi forsøgt at træne ved at give eleverne en tabel, som de skal skrive et afsnit om. Her var opgaven blot at skrive et afsnit der behandler tabellen, hvor både matematik og samfundsfag inddrages - træning i at binde fagene sammen. Eleverne afleverede først opgaven i matematik og genafleverede efterfølgende i samfundsfag ugen efter.
3) Træning i søgning - vi vil målrette elevernes evne til at søge efter relevante materialer. Så de får til opgave at finde materialer af følgende typer: bog, matematikteoretisk tekst, samfundsteoretisk tekst, aktuel samfundsmæssig artikel, statistisk materiale. De fundne materialer samles, så alle elever kan få glæde af linkene.
4) Kort tid inden selve skrivningen vil vi bede eleverne udarbejde en indholdsfortegnelse/disposition for deres SRO, som diskuteres med lærere/klassekammerater.
5) På 2. skrivedag vil vi indlægge et tvunget møde med vejlederne, hvor eleverne skal fremlægge disposition mm. Samtidig vil der være krav om at noget af det skrevne skal læses og kommenteres af en klassekammerat.
6) Og så er der lige layout-delen. Her vil vi fokusere på, at gøre eleverne fortrolige med de vigtigste layout-elementer. Det vil vi gøre ved at opstille nogle layoutkrav til besvarelsen.

Differentialregning - læse/skrive beviser

Jeg foretrækker oftest, at eleverne selv arbejder sig frem gennem f.eks. beviser i stedet for at læse beviserne i en bog. Men det er selvfølgelig også vigtigt, at eleverne lærer at læse matematik.
Vi har tidligere talt en del om læsning af matematiske tekster og hvad der f.eks. forventes, når man læser beviser i matematik. Det handler om "tænk med en blyant", lave figurer, lave ekstra mellemregninger, skrive kommentarer til mellemregninger...
Jeg ville teste om eleverne også gør, som vi har talt om, så de fik udleveret beviset for differentiation af f(x) = ax² + bx + c. Lektien var at de skulle "læse rigtigt", og at de skulle kunne gennemføre beviset for en kammerat.
Jeg havde blot "glemt" (udeladt er vist et mere korrekt ord) at fortælle eleverne, at det udleverede bevis var fyldt med fejl (Link).
Heldigvis havde mange af eleverne opdaget i hvert fald nogle af fejlene.
Det gav anledning til en diskussion af, hvornår et bevis er "læst". Og at det også er vigtigt, at man noterer de ting, man ikke forstår!
For at få den korrekte version af beviset har eleverne efterfølgende afleveret beviset som en del af en hjemmeopgave. Fokus her er selvfølgelig, hvilke elementer som indgår i et bevis og hvordan man gør et bevis personligt og ikke bare en kopi af et bevis fra en bog - en vigtig kompetence at mestre, når der skal skrives SRP.

Jeg forstår det ikke...

Som så mange andre matematiklærere sidder jeg i disse dage og retter opgaver fra den skriftlige eksamen i matematik. Og endnu en gang undrer jeg mig over elevernes manglende reflektioner over egne udregninger.
I år retter jeg STX A-sæt (både almindelige og NET-forsøg).
Hvorfor kan eleverne ikke se nogen sammenhæng mellem matematikopgaverne, de skal løse, og (pseudo-)virkeligheden?
Når en opgave er regnet, så gælder det åbenbart om at komme videre hurtigst muligt uden at reflektere over resultatet. Hvorfor undrer eleverne sig ikke over:
1) at ligevægtsbestanden på en population af laks bliver 0,43 ?
2) at når man har lavet regression over en aftagende følge punkter, så fås højere tal end startværdien, når der laves fremskrivning
3) at vinklen mellem to planer bliver 1 grad.
4) at indtjeningen på en film bliver 347384720378 mill $.
5) at udregningen ikke stemmer overens med tegningen
6) at når man skal vise noget gælder, så kommenterer man det slet ikke, hvis man får noget andet.
7) at et areal bliver negativt
8) at ...

Det kan selvfølgelig være, at eleven ikke kan finde fejlen, men så forventer jeg i det mindste, at eleven skriver, at resultatet sandsynligvis er forkert.

Jeg håber ikke, mine egne elever glemmer disse reflektioner over resultatet, men jeg er absolut ikke sikker. Jeg prøver at lære eleverne lige at bruge bare lidt tid på at overveje, om det fundne resultat lyder rimeligt - og hvor det er muligt også at tjekke resultatet.
Jeg har dog ikke fundet nogen god måde at træne denne evne på. Lige nu sidder jeg og overvejer følgende måder at træne reflektionen på:
1) ved aflevering at lade eleverne argumentere for, hvorfor deres svar lyder rimeligt
2) give eleverne en besvarelse med både korrekte og forkerte svar, hvor der skal argumenteres for svarenes rimelighed - altså uden nogen for form for udregning.

Hvad gør I der ude i matematik-landet? Nogle gode ideer?

Repetition til skiftlig eksamen - hvem hjælper det?

Vi er sikkert alle i gang med at repetere på vores afsluttende hold. men hvordan foregår vores repetition?
Min repetition i relation til skriftlig eksamen handler meget om at tale om og træne de typiske opgavetyper, der optræder til eksamen med og uden hjælpemidler. Og det sker oftest på et lidt mere overordnet plan.
Så var det lige jeg kom til at tænke over, hvilken type elever denne form for repetition henvender sig til. Jeg tror, at elever som i forvejen har et nogenlunde solidt matematiskkendskab vil have et fint udbytte af en sådan repetition. Men jeg er desværre bange for, at de gode elever vil finde denne repetition kedelig og unødvendig, og samtidig er jeg bange for at en sådan repetition foregår henover hovedet på de svage elever.
Vi er nødt til at tilrette lægge repetitionen, så alle elevgrupper tilgodeses.
Den overordnede strukturering af mulige spørgsmålstyper kommer alle elever til gode, men det er vigtigt, at de mindre stærke matematikelever også får en ekstra konkret behandling af struktureringen. Det er ikke nok med en mere overordnet snak om opgavetyper. Heldigvis har vi på min skole mulighed for at få ekstra timer til svage matematikelever. Jeg har derfor fået bevilliget ekstra timer til mine svage elever. Disse timer skal bruges netop på at konkretisere de ting, jeg har diskuteret med hele klassen i matematiktimerne. Disse ekstra timer håber jeg på, vil hjælpe de svage elever så meget på vej, at de ikke dumper.
Omvendt skal vi også tage hensyn til de gode elever. De vil typisk mene, at meget af repetitionen er spild af tid, da de har styr på standardopgaver. Det er derfor vigtigt at udfordre de gode elever med de mere utraditionelle opgaver. Så lad dem regne på de sidste opgaver i udvalgte sæt, hvor der jo normalt stilles lidt ekstra krav.
Så mit budskab er:
HUSK der er forskel på eleverne også i repetitionsfasen. Sørg for at tilrettelægge repetitionen, så alle elevtyper får noget ud af repetitionen.

Eksamenstræning - delen uden hjælpemidler

Med mit 3g-hold har vi i den seneste tid startet hvert modul med at tale om prøven uden hjælpemidler i relation til et givet emne.
Eleverne brainstormer på centrale formler og mulige spørgsmålstyper. Hvis jeg finder det nødvendigt, regner vi også enkelte opgaver.
Det er mit indtryk, at eleverne er glade for at få diskuteret mulige spørgsmål - det afdramatiserer lidt prøven uden hjælpemidler.
Nogle elever er noget forskrækkede over alle de formler det forventes, de kan huske uden ad. Jeg fokuserer på, at eleverne ikke nødvendigvis skal huske alle formlerne på "formelsprog". Ofte er det nok at kunne metoden. Der er f.eks. ingen grund til at huske formlen for differentiation/integration af sammensatte funktoner - det er nok, at man ved, hvordan man skal gøre.
Ligeledes er nogle formler slet ikke nødvendige. Der er f.eks. ingen grund til at huske tangentligningen, når man ved, hvordan forskrift for en linje bestemmes. Og hvorfor huske toppunktsformlen, når toppunkt kan bestemmes ved hjælp af differentiation.
Her kort tid før eksamen tror jeg, det vigtigste er, at eleverne får trænet en masse opgaver, og at de får struktur på mulige opgavetyper (se evt. "Forberedelse til skriftlig eksamen - fra skolestart"). Jeg sætter desuden min lid til, at eleverne nu er helt med på, hvordan man "overholder" reglerne for korrekt løsning af eksamensopgaver (de 5 pinde - se evt. "Skriftlig eksamen - opgaveregning"). Derfor har jeg besluttet at omlægge elevtiden for de sidste par afleveringer, så vi har nogle ekstra timer, hvor vi kan fokusere på udvalgte dele af det skriftlige pensum.
Vi har en sådan time i dag, hvor fokus netop er delen uden hjælpemidler. Jeg har taget et print af delen uden hjælpemidler fra alle eksamenssæt siden 2008. Planen er nu at eleverne i par skal arbejde med disse opgaver. I første omgang skal opgaverne sorteres i emner (alle medbringer saks).
Samtidig har jeg oprettet et fælles dokument (Office 365), som alle kan skrive i. Her er det meningen at spørgsmålstyperne hørende til de enkelte opgavetyper indskrives. Til hver type spørgsmål angives det desuden få stikord til, hvordan opgaver af denne type løses, samt hvor man kan finde en opgave omhandlende spørgsmålet. Dermed får eleverne et godt dokument, de kan bruge, når de hjemme skal forbedrede sig til delen uden hjælpemidler til den skriftlige eksamen.

Eksamensopgaver - anderledes aflevering

Når eksamen nærmer sig, regner vores hold typisk rigtig mange eksamensopgaver. Jeg tror godt, vi kan få mere ud af elevtiden ved ikke kun at bede eleverne regne en masse eksamensopgaver, som de skal kunne ved den skriftlige eksemen.
Nedenfor er lidt forskellige ideer til, hvordan man kan arbejde lidt anderledes med f.eks. eksamensopgaver (nogle af ideerne har jeg beskrevet tidligere) :
1) Fokus på kommentarer i besvarelsen
Jeg har regnet alle opgaver. Elevernes opgave er nu at skrive de ledsagende kommentarer, så besvarelsen opfylder de "5 pinde" til layout.
En lille sidegevinst er, at jeg f.eks. kan vise eleverne smarte løsningsmetoder i matematikprogrammet.
2) Fokus på udregninger
Jeg har skrevet de ledsagende kommentarer og eleverne skal så udfylde med beregninger. Alternativt kan man bede eleverne alene fokusere på beregninger, så de ikke behøver bruge så meget tid på skrivning af tekst.
3) Specielt fokus i besvarelsen
Jeg angiver en række fokuspunkter, som eleverne skal væres specielt opmærksomme på i besvarelse. Det kunne f.eks. være at medtage ledsagende grafer og at markere beregnede løsninger på grafen. Eller det kunne være at der skal opstilles og argumenteres for ligninger, inden der indsættes i solve.
Man kunne også bede eleverne selv finde 5 fokuspunkter fra feedback, de har fået i tidligere hjemmeopgaver.
Bed altid eleverne angive fokuspunkterne i starten af deres besvarelse. Det skærper forhåbentlig deres opmærksomhed på punkterne.
4) Fokus på metoden
I stedet for at regne alle opgaver i et eksamenssæt, så kunne man i nogle af opgaverne bede eleverne forklare den metode, der skal benyttes til at løse opgaven.
5) Flere om et eksamenssæt
Lad eleverne være sammen 2 og 2 om at regne et eksamenssæt. I et modul med omlagt undervisning gennemgår eleverne i par alle opgaver og nedskriver metoder. Herefter uddeler eleverne opgaverne og regner individuelt.
Lige før aflevering (f.eks. i en matematiktime) får parrene tid til at sammensætte deres besvarelse og til at gennemgå hele besvarelsen, så begge synes hele besvarelsen er tilfredsstillende.
Alternativt kan eleverne indledningsvis blot fordele opgaverne som de hver i sær skal regne. Der er så afsat et modul med omlagt skriftlighed lige inden aflevering, hvor eleverne finpudser den samlede besvarelse. Det er vigtigt her, at eleverne bruger tid på at gennemgå alle opgaveløsninger.
6) Hele klassen indleder i fællesskab
Alle elever i klassen har et blankt stykke papir og en blyant.
Første spørgsmål i hjemmeopgaven vises på storskærm og eleverne har nu 1 minut til at nedskrive ideer/løsningsmetode til spørgsmålet.
Efter 1 minut rækkes papir til sidemanden og alle har nu 1 minut til at kommentere 2. spørgsmål.
Processen fortsætter gennem hele opgavesættet.
Dermed får alle stikord, der kan bruges ved løsning af hjemmeopgaven.
Det er nok de svageste elever, som får mest ud af stikordene, men de gode elever får fin træning i hurtigt at spotte løsningmetoder.
7) Fokus på tjek af løsninger
Find en gammel hjemmeopgave frem - evt. den eleverne lige har fået tilbage. Elevernes skal nu finde på måder at tjekke resultaterne på.

Arbejde med eksamensopgaver

Jeg starter meget tidligt med at lade mine elever løse eksamensopgaver fra tidligere skriftlige eksamener.
Mange eksamensspørgsmål er formuleret på et relativt højt taksonomisk niveau, hvis man f.eks. prøver at placere spørgsmålene i relation til SOLO-taksonomien. Eksempler på sådanne spørgsmål kunne være bestemmelse af tangent, monotoniforhold, areal mellem to funktioner, sidelængde/vinkel i trekanter, regression, optimering, ... 
Spørgsmål som disse er typisk formuleret på multi-strukturelt niveau eller højere.

Når eleverne ikke har en dybdeforståelse af et emne, kræves en bearbejdning af de oprindelige eksamensspørgsmål. Jeg udvider således opgaven med flere delspørgsmål (stilladsering), der fungerer som en guide for eleverne.
Udvidelsen kan have flere forskellige formål:
1) Hjælpespørgsmål til løsning af spørgsmålet
2) Synliggøre metoden der skal benyttes
2) Tvinge eleverne til at benytte en specifik løsningsmetode (beregning, konstruktion, grafisk, eksperimenterende, uden hjælpemidler)

En typisk opgave kunne være følgende:

Eksempel på brug af ekstra hjælpespørgsmål:
1) Bestem f(2) - forklar betydningen
2) Bestem f '(x) - forklar betydningen
3) Bestem f '(2) - forklar betydningen
4) Angiv formlen for tangentligningen (hvad betyder x₀?)
5) Indsæt de kendte værdier i tangentligning og forkort

Eksempel på metodeløsning:
1) Du skal benytte tangentligningen - hvordan ser den ud?
2) Hvilke oplysninger benyttes i tangentligningen? Hvordan bestemmes de?
3) Bestem de manglende værdier, der skal indsættes i tangentligningen?
4) Bestem tangentens ligning.

Eksempel på krav til given løsningsmetode (grafisk):
1) Indtegn funktionen
2) Afsæt punktet (2, f(2))
3) Indsæt tangent i punktet (2, f(2))
4) Beskriv den metode du har benyttet
5) Placer værdier for indtastede og bestemte oplysninger i grafvinduet og juster akserne, så de interessante dele af grafen er tydelige.
6) Angiv en passende konklusion.

Jo bedre eleverne er til løsning af en given type opgave, jo mindre behøver man at stilladsere opgaven. Ovenstående eksempel benyttes f.eks. første gang eleverne afleverer opgave med tangentbestemmelse. Opgaverne kan evt. stilladseres mere eller mindre (differentieres), så eleverne kan vælge opgaver hørende til deres faglige niveau.
I de tilfælde er det nemmeste at lave stilladsering til de svageste elever først. Oftest skal der blot slettes nogle stilladseringspunkter, når dokumentet til de bedre elever udarbejdes.
Alternativt kan hjælp til opgaverne placeres i et særskilt dokument, hvori eleverne kan søge hjælp, hvis de har brug for det.

Skriftlige eksamensopgaver

Jeg har tidligere skrevet om de 5 pinde (Link), der skal tages højde for, når skriftlige eksamensopgaver bedømmes.
Min 1g-klasse er nu fået så meget træning i arbejde med funktioner, at de med få tips kan løse delen med hjælpemidler fra HF-B eksamen. Jeg har allerede introduceret, hvordan man differentierer og integrerer ved hjælp af Maple, så disse opgaver kan også løses, selvom den bagvedliggende teori ikke har været behandlet.
Eleverne har netop løst HF-B sættet fra december 2014. I min retning fokuserede jeg på de 5 pinde og jeg gav eleverne point for hver opgave. I de fleste opgaver angav jeg kun pointtal. Dog forklarede jeg, hvad der var galt, hvis opgaven var løst forkert.
Som forberedelse til timen efter eleverne havde fået deres besvarelse retur, skulle eleverne genlæse de 5 pinde og overveje årsagen til de point jeg havde trukket i deres besvarelse.
I timen talte vi først lidt om kriterierne, hvorefter eleverne 2 og 2 diskuterede deres besvarelser og manglende point.
Jeg tror, det var lidt af en eye-opener for eleverne: "Trækker det virkelig ned, hvis....?"
Indrømmet jeg var lidt hård i mit pointfratræk, men det blev gjort i pædagogikkens navn :-).
I dag afleverer eleverne så et nyt HF-B sæt. Som opgave 0. skal eleverne angive 5 fokuspunkter, som de vil fokusere på i deres aflevering. Disse fokuspunkter skal findes i tidligere afleveringer. Jeg afslutter altid en aflevering med lidt generelle kommentarer til besvarelsen. Det er blandt disse kommentarer eleverne skal udvælge deres fokuspunkter.
Ved retningen af denne opgave vil jeg skrue endnu mere ned for mine kommentarer og stort set kun give point for opgaverne. Planen er så at eleverne i den kommende hjemmeopgave skal forklare manglerne i de opgaver, hvor der ikke er opnået 10 point.
Mit håb er selvfølgelig, at jo før og jo bedre jeg får lært eleverne en god stil, jo mindre skal jeg bruge energi på at kommentere formalia i afleveringerne.

Geogebra - nu med 3D

For et par måneder siden blev rumgeometri endelig tilføjet til den officielle Geogebra.
Jeg har tidligere skrevet om, hvordan netop Geogebra 3D er rigtig god til at få eleverne til bedre at forstå de rumlige figurer (Link). Især fordi det er muligt at rotere koordinatsystemet.
Jeg har netop overstået rumgeometri forløbet i 3g. Og endnu en gang var jeg rigtig glad for den hjælp, som Geogebra giver eleverne.
I denne endelige version er desuden problemerne med vinkelberegning fra Beta-versionen elimineret. Så nu er det muligt at løse alle rumgeometri-opgaver i Geogebra.
Spørgsmålet er så blot, om vi er glade for det... Jeg er selv i tvivl for matematikken kommer til at træde i baggrunden. Der er selvfølgelig matematisk ræsonnement i spil ved løsning af opgaver i Geogebra, men opgaver som tidligere var svære/tidskrævende skifter nu fuldstændig karakter.
Bestem planen indeholdende 3 givne punkter kræver for en traditionel besvarelse, at der bestemmes to vektorer i planen, som krydses for at finde en normalvektor og endelig skal der indsættes i planens ligning.
I Geogebra 3D løses spørgsmålet ved at indtaste de 3 punkter, klikke på ikonen til bestemmelse af plan ud fra 3 punkter og efterfølgende klikke på de 3 punkter. Så klarer Geogebra resten.

 

Jeg vil stadig insistere på, at eleverne også skal lære at løse opgaverne i deres sædvanlige værktøjsprogram, da jeg mener, det også er med til at give eleverne en forståelse af vektorbegrebet. Men Geogebra 3D er absolut er rigtig godt supplement - måske især til de svagere elever.



Her er en lille kort vejledning til Geogebra 3D (Link).

Lineært projekt: Udbud-efterspørgsel

I 1e har vi i denne uge arbejdet med udbud og efterspørgsel i matematiktimerne. Ved at generalisere kurverne til lineære funktioner, skulle eleverne undersøge udbud og efterspørgsel for et fiktivt produkt.
Opgaven var, at eleverne for en virksomhed skulle undersøge udbud og efterspørgsel og så efterfølgende aflevere en rapport, der beskriver deres undersøgelser. Projektet var styret af en række spørgsmål, men elevernes skulle sammenskrive svarene til en sammenhængende rapport i stedet for en traditionel spørgsmål-svar besvarelse.
Eleverne læste indledningsvis om udbud og efterspørgsel. Hertil brugte vi 3 sider fra "Økonomi - principper, praksis og perspektiv" af Kåre Clemmensen og Per Henriksen fra forlaget Columbus 1. udgave, 3. oplag 2008.
Uheldigvis byttes i samfundsfagsbøger rundt på akserne i forhold til, hvad vi normalt gør i matematik. Derfor justerede jeg teksten og ændrede figurerne, så notation blev korrekt i forhold til normal matematisk notation (Link).
Selve opgaven er vedhæftet her (Link).
Som sædvanlig når man laver en ny opgave, er der altid plads til forbedring. Og det opdager man desværre ofte først, når eleverne arbejder med opgaverne. I dette tilfælde bør opgave 4 løses før opgave 3 og i opgave 4 skal ændringen være i forhold til den oprindelige supply-funktion.

Formidling af matematik

For at eleverne ikke skal køre træt i den samme type skriftlige opgaver uge efter uge, kan formidlingsopgaver være en god afveksling.
Lad f.eks. eleverne skrive en artikel om et gennemgået emne, hvor målgruppen er personer, der ikke kender til emnet.
Prøv evt. at få dansklæreren til også at være med. I dansk skal eleverne bl.a. arbejde med formidling og artikelskrivning.
Mine 3g-ere har netop afleveret en sådan formidlingsopgave. Sammen med dansklæreren bad vi eleverne skrive en artikel til Illustreret Videnskab, som skulle omhandle et matematisk emne, de tidligere havde fået gennemgået. Det var et krav at en praktisk anvendelse af det matematiske emne skulle indgå og at der skulle være en faktaboks med et relevant bevis.
Vi ville i lille skala demonstrere for eleverne, hvordan man kan skrive SRP i fagene matematik og dansk.
I stedet for at vælge blandt gennemgåede emner kan eleverne også udfordre med selv at skulle sætte sig ind i et lille emne. Evt. kan eleverne beskæftige sig med en række forskellige emner. Dermed kan målgruppens være klassekammerater, der ikke kender emnet.
Ideer til sådanne emner kunne være:
     Gyldne snit, Fibonaccital, uendelighed, tallet Pi, vektorfunktioner, komplekse tal, ...

Forberedelse til skriftlig eksamen - fra skolestart

Som matematiklærere har vi et godt kendskab til opgavetyper, der sædvanligvis stilles til de skriftlige eksamener. Men den viden har eleverne ikke.
I år vil jeg derfor, når jeg giver mine 3g-ere hjemmeopgaver for, markere de opgaver, som er specielt relevante i relation til den skriftlige eksamen. Jeg angiver desuden det relevante emne opgaven hører til.
Jeg har derudover bedt eleverne om at oprette et Maple-dokument, hvor de skal samle deres disse opgaver i relation til de enkelte emner. Det er nemt i Maple, når sektioner benyttes.
Det bliver elevernes eget ansvar at opdatere dokumentet og jeg har ikke tænkt mig at kontrollere dokumentet. Opgaven skal først placeres i Maple-dokumentet, når de har fået mine rettelser retur.
Her i starten vil jeg  give eleverne lidt elevtid til at indarbejde mine kommentarer til deres besvarelse, så eventuelle fejl er fjernet inden opgaven lægges ind i Maple-dokumentet.
Det er vigtigt, at det er elevernes egne besvarelser, som placeres i Maple-dokumentet. Jeg vil under ingen omstændigheder udlevere skabeloner, der kan benyttes til løsning af opgaverne.
I dokumentet vil vi kun placere opgaver, der er relevante for delen med hjælpemidler. Det er ved denne del af eksamen, at et sådant dokument kan hjælpe eleverne.
Ideen er selvfølgelig også, at eleverne selv tilføjer opgaver/gode råd/... til deres dokument. Det skal være deres personlige dokument, som kan hjælpe dem ved den skriftlige eksamen.

Mundtlig eksamen - kan det gøres bedre ?

Diskussionen om vores mundtlige eksamen i matematik på rimelig vis afspejler undervisningen dukker jævnligt op.
Vi skal i undervisningen træne elevernes problemløsningskompetence, men ved eksamen (skriftlig såvel som mundtlig) har denne kompetence en meget lille plads. Det synes jeg er synd.
Ved mundtlig eksamen i fysik (B- og A-niveau) haves en model, hvor eleverne først i grupper udfører eksperimenter (ca. 5 grupper arbejder samtidig), mens lærer og censor går rundt mellem grupperne og hører om deres eksperiment. Efterfølgende er eleverne til en traditionel individuel mundtlig eksamen.
Kan vi gøre noget lignende i matematik?
Jeg havde besluttet mig for at lade mine 3g'ere afprøve modellen med pararbejde omkring et projekt som deres første hjemmeopgave.
Jeg inddelte eleverne i to hold, hvor eleverne skulle danne grupper på 2 personer. Jeg havde så omlagt dele af den skriftlige opgave, således at hvert hold skulle være 90 min på skolen sammen med mig.
Som forberedelse til det omlagte modul skulle eleverne læse opgaveformuleringen igennem og tænke lidt over løsningsmetoder. Det var forbudt at starte på selve løsningen.
Opgaven gik ud på at designe et dige, hvor der var en nogle forskellige design krav. Det betød, at eleverne kom rundt om lineære funktioner, parabler, differentialregning samt integralregning.

Opgaven har jeg "hugget" fra en kollega - tak for ideen. Det ser således ud (Link).
I de 90 minutter var det planen, at eleverne i par arbejdede med opgaven, som skulle afleveres. Der var sat tid af til at få skrevet teksten ordentlig efterfølgende. Der skulle fokuseres på opgaveløsningerne i de 90 minutter.
De 90 minutter gik rigtig godt og jeg fik snakket en masse matematik med eleverne. I og med at mange emner kommer i spil i opgaven, så havde jeg også mulighed for at tale med de enkelte elever på deres niveau. Måske manglede der lidt ekstra udfordringer til de gode elever.
Det er selvfølgelig en balancegang, hvor meget man skal hjælpe eleverne, hvis det er i en eksamenssituation, men med små vink var det muligt også at få de svagere elever gennem opgaven. Specielt bestemmelsen af parablens konstanter drillede. Vi har nu heller ikke brugt megen tid på løsning af flere ligninger med flere ubekendte.
Jeg fik nok hjulpet mere end man bør gøre i en eksamenssituation, men nu var det første gang med en sådan "eksamen" for både mig og mine elever.
Jeg spurgte eleverne på første hold, om de kunne forestille sig en sådan eksamensform. Det var de meget positive over - de syntes det var sjovt at arbejde mere praktisk med matematikken. Så man også kan se det kan bruges til noget.
Jeg er ret sikker på, at jeg vil prøve denne form for aflevering flere gange i løbet af skoleåret. Det kræver blot at man finder nogle gode tværfaglige projekter.
I morgen møder hold 2 :-).

Skriftig eksamen - opgaveretning

Så blev det tid til censur af skriftlige opgaver. Når jeg censurerer disse opgaver, får det mig altid til at tænke over, om jeg har forberedt mine elever godt nok til den skriftlige eksamen.
Jeg undrer mig ofte over de besvarelser, jeg modtager. Kunne vi som lærere have forberedt eleverne bedre til den skriftlige eksamen.
Jeg ser rigtig mange opgaver hvor formalia ikke er i orden og det koster eleverne mange point. Bliver eleverne trænet nok i "de 5 pinde"?

Jeg har tidligere skrevet om, hvordan jeg træner og evaluerer disse pinde, når eleverne afleverer opgaver i løbet af skoleåret (Link til Trafiklys ved hjemmeopgaver).
En anden ting der slår mig, når jeg censurerer, er mange elevers manglende overordnet matematisk viden. I dette års HF B sæt er der i delen uden hjælpemidler en graf med en funktion, som tydeligvis ikke er lineær. Alligevel er der foruroligende mange elever, som parrer grafen med den lineære forskrift, der er angivet i opgaveteksten.
Hvad er det som går galt her?
Måske bruger vi for meget energi på at regne opgaver i stedet for at arbejde med matematik. Jeg vil i hvert fald forsøge at inddrage mere "overordnet" matematik i min undervisning.
Vi skal efter min mening have eleverne til at tale matematik i langt højere grad - også omkring noget som traditionelt opfattes som skriftligt pensum. På den måde tror jeg eleverne får en større overordnet matematisk forståelse, og det er jeg sikker på vil hjælpe til den skriftlige eksamen.
Jeg vil til næste år fokusere væsentlig mere på "overordnet matematik", som f.eks. karakteristika ved funktioner, hvad betyder...? men også at træne eleverne i at se mere teoretiske sammenhænge.
Traditionelt er vi meget fokuseret på detaljer i forbindelse med bevisførelse. Dermed er der fare for at eleverne mister overblikket over strukturen i beviset. En fokus på bevisernes mere overordnede struktur sammen med detaljerne selvfølgelig, tror jeg også, kan være med til at styrke elevernes overordnede matematikviden.
Nå - jeg må vist hellere tilbage til opgaveretningen.

Eksamensspørgsmål som projekt

Med mit 3g-hold er vi nået frem til logistisk vækst. Vi har tidligere kigget på generelle karakteristika ved differentialligninger, arbejdet med y' =ky samt bevist separation af variable.
Gennemgangen af logistisk vækst har jeg besluttet mig for at vende lidt på hovedet, idet jeg vil starte med at give eleverne det spørgsmål om logistisk vækst, jeg planlægger at bruge til holdets mundtlige eksamen.
Eleverne skal nu i par ud fra deres nuværende viden om differentialligninger samt via en række opgaver og eksperimenter konstruere en hjemmeside (Google sites), der skal indeholde de dele som hører til en fremlæggelse af eksamensspørgsmålet.
På hjemmesiden må eleverne selvfølgelig gerne placere videoer, de selv har optaget.
Oplægget til eleverne ligger her: Link
Elevernes hjemmesider afleveres som en hjemmeopgave.

Regning af hele eksamenssæt

Nu hvor eksamen nærmer sig for afsluttende matematikhold, vil man som lærer jo gerne have at eleverne får prøvet kræfter med flest mulige af de gamle eksamenssæt. Men det koster meget på den afsatte tid til skriftligt arbejde. Og så er eleverne ikke rigtig indstillet på at bruge så meget tid på en aflevering.
Jeg prøvede derfor en ny model:
Eleverne blev sat samme 2 og 2. I første omgang (omlagt undervisning) skulle gennemløbe alle spørgsmål og til hvert spørgsmål notere metoden, der skal benyttes til at løse spørgsmålet.
Eleverne fordeler så indbyrdes, hvem der regner hvilke opgaver færdig hjemme.
Dagen før aflevering til mig, skulle eleverne udveksle deres løsninger. Lektien til timen næste dag var grundigt at gennemlæse og kommentere makkerens besvarelse.
Der var så afsat 30 min af timen til at alle par kunne få lave en god samlet besvarelser, som så blev afleveret til mig.
De fleste elever syntes det var en god metode. Specielt at læse en anden persons stil ved afleveringer.
Læreren (mig) syntes, at ideen var god, men eleverne var ikke været gode/kritiske nok, når de gennemgik makkerens løsninger. Der var flere fejl i besvarelserne end normalt.

Metodetræning og bevisførelse (skalarprodukt)

Jeg er stor tilhænger af den eksperimentelle tilgang til nyt stof - som f.eks. er beskrevet under Vektorer opstart, hvor vi har beskæftiget os med indledende vektorregning samt karakteristika ved skalarprodukt.
I dag diskuterede jeg med klassen, hvilken metode som benyttes ved en sådan eksperimentel udledning af karakteristika og formler.
Heldigvis forslog eleverne den naturvidenskabelige metode som f.eks. anvendes i fysik. Det gav anledning til en snak om forskelle på matematiske og naturvidenskabelige metoder.
Konklusionen blev hurtigt, at matematiklæreren og -eleven ikke ville være tilfreds. Vi må have fat i definition samt sætning med tilhørende beviser.
Jeg har tilrettelagt et sådant forløb med skalarproduktet for formelt at få bevist de karakteristika som tidligere øvelser har tydet på.
Eleverne opdeles i hold på 2-3 personer, som får en opgaveformulering der enten tager udgangspunkt i den analytiske eller den geometriske definition af skalarproduktet.
Eleverne skal herefter arbejde med beviser, hvor deres definition anvendes. Det er tanken, at eleverne skal lære, at det ikke altid er entydigt, hvad man skal vælge som definition. Samtidig skal eleverne se, at bevis for sætninger kan have varierende sværhedsgrad alt efter valg af definition.
Eleverne laver en lille lærebog om skalarproduktet - afleveres som hjemmeside.
Til sidst i forløbet dannes grupper bestående af elever som har arbejdet med geometrisk henholdsvis analytisk definition. Eleverne gennemgår nu "deres" beviser for hinanden.
De udleverede opgaveformuleringer: Analytisk, Geometrisk.