Gange to tal - sjov egenskab...

Jeg kan godt lide at give eleverne opgaver, hvor de selv skal komme med teorier/påstande, som vi så kan undersøge rigtigheden af.

En sådan lille opgave kunne f.eks. være:
1) Tegn f.eks. i Geogebra funktionen f(x)=x².
2) Placer to punkter på parablen, hvor det ene skal have negativ x-værdi og det andet skal have positiv x-værdi. Vælg i første omgang hele tal som x-værdier.
3) Forbind de to punkter med en ret linje.
4) Hvilken sammenhæng er der mellem de to punkter på parablen og linjens skæring med y-aksen? Prøv forskellige ”pæne” punkter, som nedskrives i en tabel.
5) Kan du bevise din påstand? Start med udregning for to konkrete punkter og prøv så med x-værdierne x₁ og x₂.

En anden måske lidt sværere opgave er:
1) Afsæt 4 tilfældige punkter og forbind dem til en firkant.
2) Konstruer midtpunkterne på de 4 sider og forbind disse punkter til en ny firkant.
3) Hvad ser du? Er det altid sådan? Kan du bevise det?

Induktion - differentiation og legoklodser

I forbindelse med differentialregning, så benytter jeg differentiation af xⁿ til at introducere bevis med induktion for mine elever.
Vi kigger på små forskellige sætninger, som kan bevises med induktionsprincippet:
1) Vinkelsummen i en n-kant
2) Summen af tallene fra 1 til n
3)

Vi vil også "lege" lidt med fysiske legoklodser, idet eleverne skal kigge på kvadrater, som bygges ud fra kvadratiske klodser på formen

Eleverne skal nu når de bygger kvadraterne udfylde nedenstående skema (Bredde er antal klodser på kantsiden)

I sidste linje skal eleverne opstille formler hørende til kolonneoverskriften, og det er så meningen, at eleverne skal bevise udvalgte formler.

Opgaven indeholder som det ses også en træning i at opstille funktionsudtryk, så man kan evt. nøjes med at opstille funktionsforskrifterne uden at bevise påstandene formelt ved hjælp af induktion.
Ideen til opgaven har jeg fået fra bogen "Fagdidaktik i matematik" af Morten Blomhøj, som er udgivet på forlaget Frydenlund i 2016, hvor det bl.a. diskuteres, hvordan man også kan arbejde med problemet i folkeskolen.
Mit arbejdsark til lego-opgaven finder du her.
De indledende øvelser mht. differentiation af xⁿ er vedhæftet her.

Kvadratsætninger - klip et bevis

Hvordan får man lært sine elever kvadratsætningerne?
Efter mange års forsøg er det ikke rigtig lykkedes mig særligt godt. Når jeg taler med eleverne om kvadratsætningerne, så er de helt med på, at de skal huske det dobbelte produkt, men når jeg så spørger eleverne i den efterfølgende time, er det dobbelte produkt på forunderlig vis forsvundet ud af elevernes hukommelse igen.
I år har jeg forsøgt at synliggøre nødvendigheden af det dobbelte produkt ved at lade eleverne "klippe kvadratsætningerne". Eleverne arbejdede med dette arbejdsark (link).
Vi har således arbejdet med at forstå at to tal ganget med hinanden kan opfattes som et areal.
Efter eleverne havde fået konstrueret og forstået beviset, skulle de som en del af deres hjemmeopgave lave en videooptagelse (deres første), hvor de forklarer sætningen.
Et eksempel på elevernes video kan ses nedenfor:

Differentialregning - læse/skrive beviser

Jeg foretrækker oftest, at eleverne selv arbejder sig frem gennem f.eks. beviser i stedet for at læse beviserne i en bog. Men det er selvfølgelig også vigtigt, at eleverne lærer at læse matematik.
Vi har tidligere talt en del om læsning af matematiske tekster og hvad der f.eks. forventes, når man læser beviser i matematik. Det handler om "tænk med en blyant", lave figurer, lave ekstra mellemregninger, skrive kommentarer til mellemregninger...
Jeg ville teste om eleverne også gør, som vi har talt om, så de fik udleveret beviset for differentiation af f(x) = ax² + bx + c. Lektien var at de skulle "læse rigtigt", og at de skulle kunne gennemføre beviset for en kammerat.
Jeg havde blot "glemt" (udeladt er vist et mere korrekt ord) at fortælle eleverne, at det udleverede bevis var fyldt med fejl (Link).
Heldigvis havde mange af eleverne opdaget i hvert fald nogle af fejlene.
Det gav anledning til en diskussion af, hvornår et bevis er "læst". Og at det også er vigtigt, at man noterer de ting, man ikke forstår!
For at få den korrekte version af beviset har eleverne efterfølgende afleveret beviset som en del af en hjemmeopgave. Fokus her er selvfølgelig, hvilke elementer som indgår i et bevis og hvordan man gør et bevis personligt og ikke bare en kopi af et bevis fra en bog - en vigtig kompetence at mestre, når der skal skrives SRP.

1089 - skæbnen... ?

Så er april måned gået og eksamen nærmer sig med hastige skridt.
For første gang har der i en måned været mere end 1000 opslag af indlæg på min blog - helt præcist har der været 1089 opslag.
Top 5 over mest læste indlæg på bloggen er jeg lidt ked af, for 3 af indlæggene handler om skriftlig eksamen. Jeg ville være langt gladere, hvis der var størst interesse for indlæg om undervisning. Indlæggene om skriftlig eksamen handler dog om andre måder at træne skriftlighed på, så måske jeg ikke skal være så ked af det alligevel.
Top 5 er:

 



De 1089 opslag for april måned har for øvrigt en sjov lille egenskab:
1) Vælg et tre-cifret tal, hvor første ciffer er større end det sidste ciffer (f.eks. 521)
2) Byt rundt på første og sidste ciffer i det valgte tal (dvs. 125)
3) Træk tallet i 2) fra det valgte tal (521 - 125 = 396)
4) Hvis resultatet fra 3) giver et to-cifret tal, sættes et 0 forrest.
5) Byt rundt på første og sidste ciffer i tallet fra 4) (dvs. 693)
6) Læg tallene fra 4) og 5) sammen (396 + 693 = 1089)
Uanset starttal bliver resultatet altid 1089 - hvis der vel at mærke er regnet rigtigt :-)

Hvis nu alle eleverne i klassen vælger hvert deres tal og ikke viser hinanden det endelige resultat, så har du en oplagt mulighed for over for hver elev at forudsige, hvilket resultat de har fået.
Det plejer at imponere eleverne en hel del.
Bagefter kan man udfordre eleverne til at prøve at vise, at det altid går godt.

En lille hjælpeøvelse kan i den forbindelse være at argumentere for, at der gælder følgende for to-cifrede tal (forskellige cifre):
1) Vælg to-cifret tal, hvor første tal er størst (f.eks. 62)
2) Byt på cifrene og træk det sidst tal fra det første (dvs. 62 - 26 = 36)
Resultatet er altid et tal fra 9-tabellen - hvorfor?

Powerpoint i matematiktimen

Powerpoint og lignende præsentationsprogrammer er gode værktøjer til oplæg mm. Men præsentationsprogrammer synes jeg også kan benyttes til at fremme elevernes forståelse for matematik.
Vi har en række beviser/begreber ,som kræver en graf med tilhørende indtegning af punkter, funktioner, hjælpelinjer, ... I bogen ses kun den endelige figur, og derfor har eleverne ofte svært ved at forstå rækkefølgen hvorpå, de enkelte elementer er tilføjet figuren. Eksempler på sådanne kan være
- bevis for a ud fra to punkter, når ensvinklede trekanter benyttes
- bevis for fordobling-/halveringskonstant ved eksponentielle funktioner
- forklaring af sammenhæng mellem sekant og tangent
- mange beviser i forbindelse med vektorer
De fleste elever kan allerede tilføje animationer til powerpoint, så det kræver ikke megen instruktion før eleverne er i gang med at konstruere præsentationerne.
Mine elever i 1g har netop afleveret sådan en præsentation med udledning af formlen for fordoblings-/halveringskonstant.
Jeg ville gerne have forklaringer med i elevernes aflevering, så eleverne blev bedt om at aflevere en screencast (www.screencast-o-matic.com), hvor de forklarer de enkelte led i deres præsentation.
Her er et skærmbillede fra en af præsentationerne (grafen blev lavet i Geogebra og så kopieret ind i Powerpoint):

En alternativ måde at benytte Powerpoint på er, at læreren laver præsentationen, og eleverne så skal forstå, hvad præsentationen viser. Jeg har lavet et sådant eksempel til cosinusrelationen (Link). Også her kan man lade eleverne afslutte med at lave en Screencast.

Animerede beviser

Som oplæg til eksponentielle funktioner har vi i 1g arbejdet med potensregnereglerne med heltallige eksponenter.
Efter en række praktiske opgaver fik vi opstillet potensregnereglerne (formel 10-16 i formelsamlingen til A-niveau).
Som træning sammensatte jeg eleverne i par. De skulle nu bevise alle potensregneregler to og to.
Hvert par fik herefter til opgave at videooptage to af beviserne ved hjælpe af små stykker papir. Hvis et stykke papir symboliserede et a, så ville en mængde lignende stykker svarer til aⁿ.
Eleverne skulle så flytte rundt/samle/forkorte de små stykker papir og dermed sandsynliggøre potensregnereglerne.
Det var ikke imponerende beviser/argumentationer, som eleverne fremkom med, men jeg oplevede det som en god øvelse i at tale matematik. Eleverne fik lært at arbejde med nogle af de begreber og ord, som er knyttet til potensregneregler.
Og så synes eleverne også det var lidt sjovt med en anden form for bevis end blot at nedskrive et bevis på tavlen.
Beviserne blev optaget med elevernes smartphone og lagt ind på klassens fælles Youtube-konto.
Der findes flere af denne type beviser, som jeg måske vil benytte senere. Et par eksempler er kvadratsætningerne og Pythagoras sætning.

24 elever til tavlen

I 3g kæmper jeg i disse dage med at få lært eleverne substitutionsmetoden ved integration. Jeg synes, jeg gennem årene har prøvet rigtig mange forskellige tilgange/metoder, men lige lidt hjælper det. Eleverne har åbenbart bare meget svært ved substitution.
Lektien til i dag var løsning af 4 integraler med substitution - de var samlet i par. De to funktioner skulle integreres henholdsvis med og uden grænser.
Da jeg kort før timen skulle finde ud af, i hvilket lokale timen foregik, viste det sig, at vi skulle være i et af "HF-lokalerne" (HF-elevernes stamlokale). Disse lokaler (vi har to af dem) er lidt specielle, da der er glastavler på side- og bagvæg.
Jeg udnyttede straks situationen til at sætte eleverne sammen to og to for derefter at tildele hvert par et tavleområde. Så skulle lektierne regnes - selvfølgelig uden at kigge på det forberedte.
Jeg skulle godkende alle udregninger, inden det var tilladt at gå videre til næste opgave. Det fungerede rigtig godt og eleverne var desuden gode til at hjælpe hinanden.
Dagens program indeholdt også beviset for substitutionsmetoden (var ikke forberedt). Efter en kort introduktion skulle eleverne genskabe beviset fra udleverede noter. Når beviset var lavet, måtte eleverne fortsætte med ugemat. Dog var det et krav, at alle skulle gennemgå beviset for mig i løbet af timen.
Hold da op for en aktiv time - alle eleverne var deltagende og jeg tror nogle blev rykket.
Jeg har længe kæmpet med ledelsen og skolens kunstudvalg om at få opsat tavler i gangarealer og arbejdsområder, men det er godt nok op af bakke. Det er mig en gåde, at det skal være så forfærdeligt med tavler i fællesarealer. Jeg synes netop sådanne tavler er med til at skabe liv på skolen.
Efter dagens succes overvejer jeg at skifte strategi og i stedet for foreslå at nogle flere klasselokaler "dekoreres" med tavler. For "HF-lokalerne" er desværre alt for ofte optaget.

2. grads polynomier

Jeg har netop som årets sidste emne i 2.g gennemgået andengradspolynomier.
Forløbet har så vidt muligt været tilrettelagt eksperimenterende bl.a. ved hjælp af Geogebra, hvor eleverne skulle eksperimentere sig frem til karakteristika, som så efterfølgende skulle bevises.
Ud over de sædvanlige beviser for konstanternes betydning, toppunktsformlen og formlen til løsning af andengradsligningen har vi også kigget på symmetri, faktorisering, forskydning af ax² samt hvad der sker med toppunktet, når der kun varieres på henholdsvis a og b.
Alle har selvfølgelig arbejdet grundigt med de "obligatoriske dele", mens de bedre elever har haft mulighed for at fordybe sig i nogle af de lidt mere specielle karakteristika.
Eleverne har 2 og 2 arbejdet med dokumentet Andengradspolynomier. Undervejs har eleverne erfaringsudvekslet og arbejdet med beviser på tværs af grupperne.
Vi afsluttede forløbet med at lave en hjemmeside om andengradspolynomier, hvor eleverne valgte sig ind på emnerne karakteristika, toppunkt og monotoni, rødder, faktorisering og specielle egenskaber.
Desværre er eleverne ikke helt så aktive/deltagende i timerne her sidst på året, så hjemmesiden blev ikke helt så god som forventet. Måske jeg skal starte her til i 3g.

Forberedelse til mundtlig eksamen

De sidste par gange, hvor jeg har afsluttet matematikhold, har holdet i fællesskab lavet en hjemmeside med ideer til dispositioner til de enkelte eksamensspørgsmål. Dermed har alle i klasse adgang til forslagene til disponering af de enkelte eksamensspørgsmål.
Typisk vil eleverne blive inddelt i hold på 2-3 personer, som så skal arbejde med et givet spørgsmål. På hjemmesiden skal hvert hold indtaste:
- Pensum: Hvor er det relevante materiale?
- Indledning: Hvad kan en god indledning indeholder?
- Beviserne: Hvilke skal med og hvilke kan inddrages? Og hvor findes beviserne?
- Evt. perspektivering:
- Hvad kan den generelle samtale i den sidste del af eksaminationen handle om?
Derudover opfordres eleverne til at "vedlægge" dokumenter, videoer og andre relevante materialer til hvert emne.
Hjemmesiden laves i Google Sites, hvor vi i tidligere har oprettet fagspecifikke hjemmesider, så eleverne er allerede fortrolige med mediet.
Jeg laver skabelonen til hjemmesiden, som blot består af et menupunkt til hvert spørgsmål.
Hjemmesiden for mine 3g'ere ser således ud:

Beviser på smartpen

I stedet for at lade eleverne læse beviser i bogen, bruger jeg nogle gange en smartpen-præsentation(http://www.livescribe.com/ eller http://www.smartpen.dk/) som lektie.
Fordelen ved sådanne præsentationer er, at der knyttes mundtlige kommentarer til teksten.
Smartpen fungerer ved, at der skrives med en speciel pen på et specielt type papir. Pennen indeholder mikrofon og kamera, således at pennen bl.a. husker, hvor og hvornår der skrives på papiret, hvilket kobles med det som indtales. Alt dette kan nu gemmes i pdf-format, som kan afspilles dynamisk med Acrobat Reader version X eller senere. Acrobat Reader er gratis - programmet kan hentes her (husk at fravælge det valgfrie tilbud!).
I dette konkrete tilfælde skulle eleverne arbejdet med projektion af vektor på vektor - præsentationen ligger her. Filen skal downloades og åbnes i Acrobat Reader for at få det optimale udbytte - klik på teksten.
Jeg bad eleverne gennemhøre beviset for projektion af vektor a på vektor b. Lektien til dagens time var så, at de skulle kunne gennemgå beviset for projektion af vektor b på vektor a. Det var med vilje, at jeg byttede rundt på vektorerne. Det skulle få eleverne til at være mere opmærksomme og så ville de være nødt til at skrive noter.
Jeg syntes det fungerede godt - eleverne havde forstået langt det meste af beviset.
Skærmbillede af et lille udsnit af smartpen-præsentationen:

Metodetræning og bevisførelse (skalarprodukt)

Jeg er stor tilhænger af den eksperimentelle tilgang til nyt stof - som f.eks. er beskrevet under Vektorer opstart, hvor vi har beskæftiget os med indledende vektorregning samt karakteristika ved skalarprodukt.
I dag diskuterede jeg med klassen, hvilken metode som benyttes ved en sådan eksperimentel udledning af karakteristika og formler.
Heldigvis forslog eleverne den naturvidenskabelige metode som f.eks. anvendes i fysik. Det gav anledning til en snak om forskelle på matematiske og naturvidenskabelige metoder.
Konklusionen blev hurtigt, at matematiklæreren og -eleven ikke ville være tilfreds. Vi må have fat i definition samt sætning med tilhørende beviser.
Jeg har tilrettelagt et sådant forløb med skalarproduktet for formelt at få bevist de karakteristika som tidligere øvelser har tydet på.
Eleverne opdeles i hold på 2-3 personer, som får en opgaveformulering der enten tager udgangspunkt i den analytiske eller den geometriske definition af skalarproduktet.
Eleverne skal herefter arbejde med beviser, hvor deres definition anvendes. Det er tanken, at eleverne skal lære, at det ikke altid er entydigt, hvad man skal vælge som definition. Samtidig skal eleverne se, at bevis for sætninger kan have varierende sværhedsgrad alt efter valg af definition.
Eleverne laver en lille lærebog om skalarproduktet - afleveres som hjemmeside.
Til sidst i forløbet dannes grupper bestående af elever som har arbejdet med geometrisk henholdsvis analytisk definition. Eleverne gennemgår nu "deres" beviser for hinanden.
De udleverede opgaveformuleringer: Analytisk, Geometrisk.

Fagdidaktisk kursus i matematik

I går holdt jeg oplæg om anvendelse af IT i matematikundervisningen på fagdidaktisk kursus for matematik (matematiklærere i gymnasiet som er på pædagogikum).
Ud over præsentation af forskellige IT-værktøjer (video, screencast, quizzer mm) forsøgte jeg også at give lidt ideer til at få eleverne aktiveret i undervisning, så læreren ikke står for meget ved tavlen.
Det er altid interessant at diskutere fordele og ulemper ved en sådan mindre lærerstyret undervisning. Oftest mødes jeg med spørgsmålet: Hvordan tjekker du om eleverne har læst stoffet? Mit modspørgsmål er altid: Er du sikker på, at eleverne har lært stoffet, når det er blevet gennemgået af læreren i klasselokalet? Det tror jeg ikke.
Det kan godt være, at eleverne ikke får fat i alle detaljer, når de f.eks. selv arbejder med beviserne, men jeg er sikker på, at eleverne ved det aktive arbejde lærer langt mere end ved at overvære en traditionel lærerstyret gennemgang for hele klassen.
Lærerstyret gennemgang kan være fint, men det skal være til elever på samme niveau. Så derfor er jeg ikke fortaler for lærergennemgang foran en hel klasse - niveauforskellene er for store. Nej så hellere opdele klassen i 2-3 grupper, hvor jeg kan bruge lang tid på gennemgang med fagligt svage elever (detaljer ikke så vigtige), mens gennemgang med de gode matematikelever kan fokusere mere på matematisk præcision. Så opdel klassen i mindre grupper, der på skift gennemgår stoffet i klassen, men resten af klassen på samme tidspunkt uden for lokalet laver noget andet - f.eks. regner tilhørende opgaver.

Udveksling af beviser

Lektien til dagens time i 2g var 4 små trigonometri-beviser. Eleverne var på forhånd delt op så eleverne hver skulle forberede et bevis grundigt samt et bevis mindre grundigt.
Jeg havde fundet beviserne på Youtube - ikke alle var eksemplariske men det var blot med til at gøre eleverne mere opmærksomme ved forberedelsen.
I starten af timen blev eleverne samlet i grupper, hvor alle havde forberedt sig grundigt på samme bevis. Disse grupper skulle nu på 20 minutter få fuldstændig styr på beviset samt optage en eksemplarisk fremlæggelse af beviset på video. Videoen blev straks uploadet til Youtube og vores trigonometri-hjemmeside. Der var 6 elever i hver gruppe.
Eleverne var blevet bedt om specielt at være opmærksomme på at præcisere, hvad sætningen siger samt selve starten på bevist (se tidligere indlæg: Start på bevis...).
Resten af modulet var opdelt i sekevenser på 15 minutter efter følgende princip:
2 elever bliver i lokalet mens de 4 øvrige elever går videre til næste lokale for at se et af de andre beviser. De samme to elever må ikke blive under to seancer i samme lokale. Det burde skærpe tilhørernes opmærksomhed, da de kan blive de næste som skal fremlægge beviset.
Jeg ved ikke om det var fordi eleverne gik døde (det virkede ikke sådan), men eleverne blev hurtigere og hurtigere til at gennemgå beviserne.
På 95 minutter fik vi gennemgået 4 beviser oven i købet optaget på video og alle elever nåede at fremlægge mindst et bevis. Det var en god og effektiv time, hvilket også eleverne gav udtryk for.
Vedhæftet lektien til dagens time: Link.

Stationstræning

Det var tid til at få afsluttet vektorer i rummet med mit 3g-hold. Vi manglede lige at få kigget nærmere på krydsproduktet. Eleverne havde i sidste modul og hjemme forberedt lidt småbeviser i relation til krydsproduktet. Vi definerer krydsproduktet ved hjælp af dets koordinater, så ortogonalitet i forhold til de oprindelige vektorer, arealformlen for parallelogram i rummet samt parallelle vektorer krævede lidt argumenter og beviser.
Jeg delte klassen op i 4 hold som på skift skulle komme ind i lokalet og være med til at gennemgå beviserne.
Vi har allerede perifært berørt begrebet differentialligninger, så til de hold, der ikke gennemgår beviser havde jeg "oprettet tre stationer", eleverne skulle cirkulere mellem. På disse stationer var tanken at give eleverne en bedre forståelse af differentialligninger og hvad de kan anvendes til. Jeg havde følgende stationer:
1) gæt hvordan ændringen i temperatur teoretisk udvikler sig for en kop kaffe - ledsaget med lidt hjælpespørgsmål.
2) Opfind en lille realistisk historie som passer med nogle opgivne differentialligninger - f.eks. y' = 0,4y
3) Tidligere eksamensopgaver uden hjælpemidler, hvor differentialligninger indgår. Det er vigtigt, at eleverne er helt med på betydningen af y' samt hvad den størrelse kan bruges til og hvad den siger noget om.
Selve timen var struktureret således at hvert hold havde 20 minutter på hver station, hvorefter de skulle videre til næste station. Stationerne var placeret i hvert sit lokale (opgaveformuleringerne var undtagelsesvis printet ud på papir), så eleverne fik også rørt sig lidt. Eleverne nedskrev deres løsninger på papir, så næste gruppe kan sammenligne resultaterne.
Jeg var jo bundet i lokalet med gennemgang af krydsprodukt, så på de andre stationer var eleverne overladt til sig selv. Det gav lidt frustrationer blandt eleverne, da de specielt i stationen med kaffekoppen havde problemer. Men jeg tror de fik diskuteret problemstillingen godt og ikke bare kastede håndklædet i ringen. Og det var også lidt min intension.
Jeg nåede desværre ikke  specifikt at høre eleverne om hvad de syntes om stationsmodellen. Det vil jeg gøre i næste modul, hvor jeg selvfølgelig vil forsøge at få skabt mere overblik over differentialligningerne.
Det gik fint med gennemgangen af krydsproduktet - alle eleverne kom på banen, netop fordi de kun var 8 deltagere ved hver gennemgang.
NB! Stationsmodellen er beskrevet nærmere på inspirationssiden fra matematikkurset "Elevaktivering i matematik".

Opsamling på beviser

I sidste modul i min 2g-klasse arbejdede eleverne i grupper med forskellige trigonometriske beviser (Se indlægget Bevisgennemgang), hvor de bl.a. lavede videoer med beviserne.
I dag var det så tid til at få erfaringsudvekslet beviserne. Lektien til i dag var at træne eget bevis, samt at se og forberede en af de andre bevisvideoer.
Eleverne blev opdelt i matrixgrupper, så der var en ekspert på hvert bevis i hver gruppe. Eleverne gennemgik nu beviserne for hinanden og søgte hjælp i videoerne, hvis der var problemer med et bevis, og jeg ikke lige var i nærheden.
Jeg cirkulerede mellem grupperne og fik set en hel del flotte bevisgennemgange.
Timen sluttede med dynamisk konstruktion af de forskellige trekanttilfælde i Geogebra - disse konstruktioner er det planen at optage med screencast i næste modul.
Eleverne feedback fra timen var, at de havde lært en del om ræsonnement (ikke lige elevernes ord :-) ), og at de havde fået en god forståelse for cosinus- og sinusrelationerne.

Bevisgennemgang

Efter eleverne nu har fået gennemgået de centrale beviser hørende til trigonometri, så skal vi i dag træne beviser. Jeg vil bl.a. bede eleverne fokusere på starten af beviset (se evt. indlægget Start på bevis).
Det er vigtigt for mig, at eleverne aktives også under bevisgennemgangen. Så derfor har eleverne til dagens time fået ét bevis, som de skal forberede hjemme, så beviset kan gennemgås i klassen. Jeg har fordelt beviserne (cosinusrelation (2 forskellige beviser, cosinusrelation i stumpvinklet trekant, samt arealformel og sinusrelation), så de bedste elever får de sværeste beviser (cosinusrelationen i stumpvinklet trekant - de skal selv lave beviset).
På en tavle gennemgår eleverne nu i grupper på 6 gennemgå eleverne nu i fællesskab deres forberedte bevis. Jeg har sørget for et klasselokale til hver gruppe. Herefter opdeles hver 6-mands gruppe i 2 undergrupper på hver 3 medlemmer. I disse mindre grupper skal beviset optages på video og efterfølgende uploades til vores trigonometri-hjemmeside. Vi får således hvert bevis gennemgået i to videoer.
Hver elev får selvfølgelig kun repeteret ét bevis, men videoerne vil bliver brugt som forberedelse til næste modul, hvor vi vil lege "Kom og lær et bevis".
Vi  bruger ikke hele modulet på beviserne - resten af modulet benyttes til træning i at gennemskue hvilken trekantformel, der skal bruges i hvilken situation.

Start på bevis...

Så fik eleverne afleveret deres hjemmeside, som skulle handle om ens- og retvinklede trekanter. Bl.a. med fokus på formlerne med sinus, cosinus og tangens, som de fleste have valgt at optage på video ved tavlen. Se evt. indlægget Trigonometri fra 2/1 2014.
Det gik fint med selve beviserne men starten på de enkelte beviser havde eleverne ikke styr på.
F.eks. valgte langt de fleste grupper ved beviserne for sinus- og cosinus-formlerne at starte med standardtrekanten.
Herudover var eleverne ikke gode nok til at præcisere hvor, hvornår og hvilke definitioner der blev brugt i de enkelte beviser.
I morgendagens time vil jeg fokusere på starten af beviser. Jeg vil bede eleverne lave en skriftlig indledning til  beviserne for:
1) sinus- og cosinus- formlerne i retvinklede trekanter
2) tangens-formlen i retvinklede trekanter
3) cosinus-relationen
4) sinus-relationen
Først vil jeg lade eleverne arbejde to og to. Efterfølgende vil jeg sætte eleverne sammen 4 og 4, hvor de så skal gennemgå starten på beviserne for hinanden - og for mig.
Jeg har indtastet formler og figurer i et dokument, hvor eleverne så blot skal skrive teksten (link).
Når eleverne er færdige med deres indledninger skal de træne løsning af trigonometriopgaver - i første omgang genkendelse af hvilken formel, der kan anvendes i aktuelle opgaver.
Mere herom i mit indlæg Kuvertopgaver fra 20/1 2014.

Forskellige beviser

Jeg bryder mig ikke om at gennemgå beviser på tavlen, da det stort set er umuligt at ramme et niveau i gennemgangen, som passer til de fleste elever:
- de gode elever synes ofte gennemgangen går for langsomt
- de svage elever har svært ved at følge med og er med til at trække tempoet i gennemgangen ned. Og dermed kommer de gode elever til at kede sige endnu mere
- middeleleverne derimod er glade for fælles gennemgang i klassen, da tempo passer til deres niveau.

Dette synes jeg giver alt for meget spildtid. Så fælles tavlegennemgang forsøger jeg at undgå. I dag gjorde vi følgende:

Til dagens time havdew eleverne i min 2g-klasse forberedt to forskellige beviser på cosinusrelationen - det ene bevis lavet som Powerpoint-præsentation uden forklaringer og det andet bevis skulle laves ved hjælp af en "opskrift".
Link til beskrivelse af opgaven, powerpoint-præsentationen (vælg download).

Jeg opdelte eleverne i grupper på 4, således at alle elever i hver gruppe havde forberedt sig på det samme bevis. Grupperne blev fordelt i forskellige lokaler, hvor de så i fællesskab skulle gennemgå "deres" bevis ved tavlen. De hurtige grupper regner efterfølgende opgaver.
Den sidste halve time af modulet blev grupperne splittet op, således at de nye grupper består af 4 elever, hvor 2 personer er eksperter på hvert deres bevis. Eleverne gennemgår nu "deres" bevis for hinanden.
Jeg bruger forskellige beviser for at skærpe elevernes koncentration ved gennemgang. Det er for nemt at melde sig ud, hvis man allerede selv har arbejdet med beviset. Og så synes jeg også eleverne skal se, at der ikke nødvendigvis findes ét bevis.
At beviset bliver gennemgået i små grupper gør også, at eleverne diskuterer og erfaringsudveksler langt mere. Og så gør det ikke noget at eleverne har forskelligt fagligt niveau. Nogle gange laver jeg dog grupper, hvor der tages hensyn til elevernes niveau. Det vil jeg typisk gøre, hvis vi skal gennemgå beviser af forskellige sværhedsgrad.

Beviser der ligner

I stedet for at gennemgå beviser på tavlen, så benytter jeg nogle gange princippet "beviser der ligner". Med mine 3g'ere skal vi bevise formlerne for linjens parameterfremstilling og planens ligning.
Lektien til eleverne har været at genlæse beviserne for linjens parameterfremstilling og linjens ligning hørende til plangeometri.
Eleverne bliver nu bedt om at kopiere disse to beviser for at bestemme linjens parameterfremstilling og planens ligning i rumgeometri.
Det er vigtigt at eleverne lærer at se systemer - og at det også gælder i beviser, hvor de samme teknikker ofte anvendes.
Jeg opdeler eleverne i grupper på 4 personer, hvor de 2 skal starte med parameterfremstillingen mens de 2 andre starter med ligningen.
Herefter gennemgår gruppen i fællesskab de to beviser - forhåbentlig kan der findes lokaler/tavler på skolen, så der kan arbejdes stående.
Metoden er inspireret af konferencen elevaktivering i matematik.