Differenttialligninger - tryghed og sikkerhed

Til den skriftlige eksamen på A-niveau er der jo typisk en opgave med differentialligninger. Når man retter sådanne opgaver, så ser jeg ofte, at eleverne ikke får løst differentialligningen pga. en eller anden dum indtastningsfejl.
Det har derfor været vigtigt for mig at træne eleverne i
1) at have et beredskab, hvis man ikke kan finde fejl i sin indtastning (eller hvis værktøjsprogrammet af en eller anden grund ikke kan løse ligning)
2) at finde fejl i egne indtastninger

Som afslutning på forløbet har eleverne derfor arbejdet med nogle opgaver, hvor de blev bedt om at løse differentialligningen med dsolve (Maple), formel fra formelsamling, separation af variable (hvis det er muligt).
Det gav eleverne en god træning i at have flere strategier ved opgaveløsningen. Separation af variable er selvfølgelig noget bøvlet, men omvendt kunne eleverne også se, at det var en stærk formel at råde over.
Eleverne arbejdede med dette ark: Link

Mht. træning i fejlsøgning lavede jeg en lille test i klassen, hvor eleverne fik udleveret 12 forskellige indtastninger af en differentialligning, som i alle tilfælde fejlede. Eleverne skulle så rette fejlene. Eleverne fik opgaverne udleveret i et Maple-dokument, så de direkte kunne rette fejlene til.
I dokumentet var det desuden meningen at eleverne skulle beskrive fejlen i ord. En opgave kunne f.eks. se således ud:

Differentialligninger - sådan gik det...

Det var så emnet differentialligninger - et emne som altid volder eleverne store problemer. I år har jeg struktureret gennemgangen på følgende måde:

• Kort introduktion til hvad en differentialligning er.
• Løsning af opgaver med differentialligninger til prøven uden hjælpemidler
• Løsning af opgaver med differentialligninger til prøven med hjælpemidler
• Grundigt arbejde med hvad en differentialligning er for noget og hvordan løsningerne hørende til differentialligninger ser ud - fokus på linjeelementer og plot af linjeelementer
• To beviser for differentialligningen y' = k*y (eksistens og entydighed samt brug af separationsmetoden) - de fagligt stærke elever fik også lov til at bevise separationsmetodens gyldighed.
• Projekt om logistisk vækst (afleveret som hjemmeopgave), hvor der blev fokuseret på karakteristika og beviser for løsningsformlen.
• I denne uge har vi haft 4 moduler (95 minutter). I de moduler har vi samlet op, holdt oplæg for hinanden (karakteristika og beviser) og indspillet en række videoer:
  mandag: Videoer der generelt beskriver differentialligninger samt video der forklarer karakteristika ved logistisk vækst (indledning til mundtlig eksamen)
  Tirsdag: Videoer med beviser (eksistens/entydighed samt separation) på løsningsformlen for y' = k*y
  Torsdag: Videoer med eksistens og entydighedsbevis for logistisk vækst
  Fredag: Videoer med separationsbevis for logistisk vækst samt arbejde med opstilling af differentialligninger ud fra sproglig forklaring.

De tre første dage skulle der optages to videoer. Jeg strukturerede det således, at eleverne var opdelt i grupper på 4-6. Halvdelen i hver gruppe forberedte grundigt den ene video, mens den anden gruppe forberedte den anden video. Inden videoerne måtte optages skulle gennemgangene vises for mig og den anden halvdel af gruppen.
Den sidste dag var eleverne også opdelt i mindre grupper. Alle forberedte samme bevis. Der blev trukket lod om hvem der skulle vise beviset for mig og hvem der skulle optage beviset på video.
Vi afsluttede forløbet med at evaluere forløbet og jeg blev lidt overrasket over elevernes feedback. Eleverne er langt mindre afskrækket af differentialligninger end min erfaring fra tidligere hold. Og det gælder både i relation til mundtlig og skriftlig eksamen. De fleste synes ikke differentialligninger er et sværere emne end andre emner. Det overrasker mig noget.
Hvorfor gik det tilsyneladende så godt?
Flere nævner at det er rart at starte med at løse opgaver, så man får en fornemmelse for emnet.
Selv tror jeg linjeelementerne er med til at give eleverne en god forståelse for løsningsfunktionerne og så at vi har brugt den sidste uge på at samle op på de relevante ting omkring differentialligninger. Her har eleverne haft tid til at fordybe sig i emnet og har haft mulighed for at arbejde grundigt med stoffet i mindre grupper.
Det var min fornemmelse, at det fungerede godt, at beviserne blev gennemgået to gange med en lille pause imellem. I første omgang arbejdede eleverne lidt mere uforpligtende med beviser - der fokuserede vi mest på bevisstrukturerne. Den grundige behandling af beviserne kom så her i denne sidste uge, da eleverne skulle gennemgå beviserne for hinanden og optage beviserne på video.
Jeg tror, jeg vil afprøve denne metode igen på et senere forløb - altså at afslutte et forløb med at lave en intensiv opsamling med beviser gerne optaget på video.

Eksperimenter med Maple

Normalt foretrækker jeg at benytte Geogebra som program, når jeg laver eksperimenterende øvelser til mine elever. Det skyldes primært, at det er nemt at gå til, og at jeg ikke nødvendigvis behøver at lave skabelonerne for eleverne. Oftest kan eleverne selv konstruere eksemplerne.
Maple indeholder også nogle muligheder for eksperimenter, som er af lidt mere avanceret art. Men det betyder også nogle lidt mere smarte eksperimenter. Jeg har dog ikke turde kaste eleverne ud i at konstruere sådanne sider selv, da det kræver lidt programmering.
Maple har en række komponenter, som kan tilknyttes almindelige Maple-sider

I nedenstående eksempel viser Maple-siden logistisk vækst y' = ay(M-y), hvor der kan ændres på parametrene a og M, samt at der kan ændres på det punkt, som løsningsfunktionen skal gå igennem.
Dermed vil eleverne både kunne analysere betydningen af konstanterne i ligningen og få de forskellige typer løsningsfunktioner frem ved at ændre på punktet.

Maple-arket gør således brug af komponenterne Skyder og Graftegning. Den aktuelle værdi for hver af parametrene er desuden gemt i "Label" (område med tekst).
I hver skyder er placeret følgende kode:

Do(%p1=DEplot(diff(y(x), x) = %a*y(x)*(%M-y(x)), y(x), x = -100 .. 300, y(x) = -200 .. 1100,color=y(x),[y(%sx)=%sy],linecolor=[blue]));

I linjen bruges DEplot (tegner linjeelement og løsningen gennem givet punkt) som gemmes i Graftegningen med navnet p1. Derfor skrives %p1= først i linjen.
Skyderne hørende til a og M hedder a og M mens punktet er gemt i (sx, sy)
Dette betyder, at når der ændres på skyderen, så ændres der ligeledes i figuren.
Hvis du benytter Maple, kan du hente Maple-filen her (Link - dokumentet ser meget underligt ud, men hvis du vælger download, så kan filen åbnes i Maple).

Linjeelementer - Differentialligninger

Jeg har sidste år (4/2 2014 og 23/3 2014) skrevet om de udfordringer, som differentialligninger giver i matematikundervisningen. Mange elever har rigtig svært ved at forstå, hvad en differentialligning er for noget.
Med min 3g-hold i år har jeg brugt en del tid på at forstå begrebet differentialligning. Vi har kigget på de forskellige opgaver med differentialligninger, der optræder til eksamen. Og så har vi arbejdet en del med forståelsen af disse ligninger.
I den forbindelse har linjeelementer og plots af disse haft en fremtrædende position. Vi benytter Maple og her er det nemt med kommandoen DEplot at få tegnet figurer med linjeelementer. Det er endog muligt at tilføje specifikke løsningsfunktioner til figurerne ved at tilføje et punkt som løsningsfunktionen skal gå gennem. Et eksempel ses nedenfor (differentialligningen y' = y + e^x med 3 specifikke løsningsfunktioner indtegnet):

 

Eleverne har i grupper på 3-5 arbejdet med det vedhæftede dokument (Link), hvor jeg har så har gået rundt og assisteret/testet gruppernes læring om differentialligninger. Det har været vigtigt at have tid til at få snakket grundigt med grupperne, så de både får testet/opdateret deres viden og samtidig træner i at tale om differentialligninger (begreberne). Specielt vellykket var det at vise et plot med linjeelementer på projekter og så lade eleverne i gruppen på skift  "gætte" løsningsfunktion gennem et givent punkt. Det virkede som om det hjalp voldsomt på forståelsen. Så selvom linjeelementer ikke er en del af kernestoffet, så synes jeg de er svære at undvære i forståelsen af differentialligninger. De bidrager med rigtig meget forståelsesmæssigt.

Det beskrevne dokument er forholdsvis detaljeret og mest rettet mod de knapt så gode matematikelever. For at udfordre de gode elever, som også typisk fanger emnet differentialligninger hurtigt, havde jeg lavet et arbejdsark (Link), der lagde op til langt flere selvstændige eksperimenter. Selvom der var flere udfordringer i dette dokument, blev de gode elever alligevel først færdige.

Når vi skal behandle teorien bag differentialligninger, vil jeg beholde denne opdeling af klassen. De gode elever skal udfordres med lidt flere beviser og arbejdsark, som er ikke er så opskriftsagtige.

Eksamensspørgsmål som projekt

Med mit 3g-hold er vi nået frem til logistisk vækst. Vi har tidligere kigget på generelle karakteristika ved differentialligninger, arbejdet med y' =ky samt bevist separation af variable.
Gennemgangen af logistisk vækst har jeg besluttet mig for at vende lidt på hovedet, idet jeg vil starte med at give eleverne det spørgsmål om logistisk vækst, jeg planlægger at bruge til holdets mundtlige eksamen.
Eleverne skal nu i par ud fra deres nuværende viden om differentialligninger samt via en række opgaver og eksperimenter konstruere en hjemmeside (Google sites), der skal indeholde de dele som hører til en fremlæggelse af eksamensspørgsmålet.
På hjemmesiden må eleverne selvfølgelig gerne placere videoer, de selv har optaget.
Oplægget til eleverne ligger her: Link
Elevernes hjemmesider afleveres som en hjemmeopgave.

Intro til differentialligninger

Det er rigtig svært for eleverne at forstå, hvad en differentialligning er og hvilke informationer, der kan læses ud af en sådan ligning.
Jeg besluttet at bruge lidt tid på forståelsen inden vi går i gang med den mere avancerede løsning. Lektien til dagens time bestod derfor af en analyse af, hvad der sker med temperaturen i en kop kaffe samt nogle simple forståelsesopgaver, der illustrerer hvad der kan læses ud af en differentialligning (Link til lektien).
Jeg havde forsøgt at oprette et tråd på todaysmeet.com, hvor jeg gerne ville have eleverne til at diskutere problemet med kaffekoppen. Der kom nogen diskussion men absolut ikke i den grad, jeg havde forestillet mig. Jeg har ikke opgivet håbet - tror stadig på ideen.
I timen fik vi først diskuteret os frem til en differentialligning, der kunne passe på kaffens temperaturudvikling.
Opgaverne blev eleverne sat til at regne to og to. Hvert 10 minut blev eleverne bedt om at skifte makker. Ved hvert skift af makker skulle der startes forfra med at gennemgå de opgaver, som allerede er regnet.
Opgaverne var en god måde at få trænet i det matematiske sprog. Hvilke matematiske kendeord indeholder opgaverne og hvordan passer det sammen med den differentialligning, som står i opgaveteksten?