Differentialkvotienter - eksprimentelt bestemt

Så blev det tid til at introducere min 2g-klasse for den mere formelle matematik hørende til differentialregning. I stedet for at indføre tretrinsreglen fra starten har jeg i stedet for ladet eleverne bestemme differentialkvotienter for x², x³, xⁿ, k*xⁿ og xⁿ+x^m eksperimentelt i Geogebra.
Vi benyttede samme metode som beskrevet under indlægget Komplekse matematiske problemer, så eleverne var fortrolige med metoden.
Når først eleverne har fundet differentialkvotienten for x², så er det blot et spørgsmål om at udskifte funktionerne.

Eleverne arbejdede med dette arbejdsark Link
Min oplevelse her efter introduktionen er, at eleverne ved at selv at finde regnereglerne nemmere husker reglerne. Sådan opleves det i hvert fald lige nu.
Nu er det tid til at få introduceret sekant, tangent og tretrinsregel mere formelt - det vil jeg gøre på samme måde som sidste år. Der står lidt om metoden i disse to indlæg:
Differentialregning - intro
Tretrinsreglen

Komplekse matematiske problemer

Det er svært at løse mere komplekse matematiske problemer, hvor løsningsmetoden måske ikke er helt tydelig, når man læser opgaveteksten. Det er jo ikke fordi vi har mange af denne type opgaver i gymnasiet, men opstilling af funktionsudtryk hørende til optimeringsopgaver falder i den kategori.
Som introduktion til teorien bag differentialregning (eleverne er bekendte med f '(x), hvad differentialkvotienten benyttes til i forbindelse med optimering og hvordan man benytter Geogebra/Maple til at løse sådanne optimeringsopgaver) har jeg valgt at starte skoleåret for min 2g-klasse med træning i opstilling af funktionsudtryk og optimering af disse.
Jeg har introduceret eleverne til følgende 7 trin, som kan være med til at skabe lidt struktur på opstillingen af funktionsudtryk:
1) Forståelse
Hvad handler opgaven om? Hvad skal bestemmes?

2) Visualisering
Skitser situationen hvis det er muligt.
Lav situationen i virkeligheden, hvis det er muligt.

3) Sortering
Sorter evt. irrelevante informationer fra og sorter de relevante informationer
Hvilken type matematik kan anvendes? Hvilke kendte formler kan anvendes?

4) Symboler og eksempel
Indfør passende symboler og udregn/konstruer evt. eksempler.
Kan situationen eventuelt konstrueres i Geogebra (se evt. tips nedenfor)?

5) Formel
Opstil en formel til løsning af problemet

6) Beregning
Beregn løsningen

7) Konklusion
Sørg for at få konkluderet på udregninger i relation til det emne opgaven handler om

Specielt delen med konstruktion af fysisk model, udregning af eksempler og løsning i Geogebra lægger jeg vægt på. Alle disse dele er med til at give eleverne inputs til, hvordan selve funktionsforskriften opstilles.
Det er klart at når eleverne bliver mere rutinerede til at opstille funktionsudtryk, så er flere af ovenstående punkter ikke så nødvendige.

Løsningen i Geogebra kan typisk laves med en skyder, opsamling i regneark og efterfølgende regression. Jeg viste kort eleverne metoden med punkterne på grafen for f(x) = x² som eksempel og gav efterfølgende eleverne metoden på papir (Link). Det var dog ikke nødvendigt for eleverne at søge hjælp i arket efterfølgende.
Vi startede forløbet med at løse en tidligere eksamensopgave, hvor vi gennemløbe de enkelte trin på tavlen med små arbejdspauser i par ved hvert punkt. Herefter blev eleverne inddelt i grupper, som fik hver deres optimeringsproblem. Når eleverne havde løst "deres problem" kunne de gå videre til et af de andre problemer.
I slutningen af modulet præsenterede eleverne problemer og løsningsmetoder for hinanden i matrixgrupper. Formålet med dette var at eleverne skulle konstatere, at løsningsmetoden for sådanne opgaver er den samme.
Eleverne fik udleveret disse opgaver - Link.

Den første hjemmeopgave for eleverne bliver et projekt med optimering af én henholdsvis to kegler, hvor fokus også vil være ovenstående 7 punkter (Link).
Min dynamiske løsning i Geogebra ses nedenfor (Link).

Integral - arealer - eksperimentielt

Mine 3g-elever har siden 1g vidst at integralet under en positiv funktion giver det tilhørende areal. De er ligeledes vant til at bruge integraltegnet i Maple til at løse sådanne opgaver.
Nu er det tid til at få teorien hørende til integralregning på plads.
I stedet for den traditionelle indføring via stamfunktioner og sammenhængen med differentialregning vil jeg i år tage udgangspunkt i netop arealer og så eksperimentelt finde frem til stamfunktioner for udvalgte funktioner.
Jeg starter forløbet med at eleverne skal udregne givne arealer under linjer (vandrette linjer og skrå voksende linjer gennem (0,0)). Hertil benyttes blot kendte arealformler. Ud fra eksemplerne skal eleverne opstille formler til bestemmelse af arealer under funktionerne f(x)=k og f(x) = kx.
Efterfølgende benyttes Geogebra til at bestemme arealer under f(x) = x² for så at eksperimentere sig frem til arealfunktionen. Proceduren er som følger:
1) Opret skyder k (fra x=0 til x=5) samt funktionen f(x) = x².
2) Definer variabel, der angiver arealet under f(x) fra x=0 til x=k.
3) I regneark opsamles nu værdier for k samt de tilhørende arealer
4) Der laves nu regression over de opsamlede punkter og så fås forhåbentlig den korrekte stamfunktion.
Eleverne skal til slut ved hjælp af eksperimenter i deres Geogebra regneark komme med bud på stamfunktioner hørende til xⁿ, kxⁿ og xⁿ + x^m.
Arbejdsarket eleverne skal arbejde med ligger her: Link

Når dette er på plads, har jeg tænkt mig at lade eleverne arbejde med sætningen, som beviser sammenhængen mellem integral og areal. Men vil dog overveje om dette bevis er for svært at introducere så tidligt i forløbet.

Trigonometriske funktioner

Jeg plejer altid at introducerer sinus og cosinus i forbindelse med trigonometri. Min 1g-klasses fysiklærer vil arbejde med harmoniske svingninger, så det vil jo være naturligt, at vi laver et samarbejde. Klassen har imidlertid ikke arbejdet med trigonometri endnu, så jeg valgte derfor at indføre sinus og cosinus som funktioner i stedet for nyttige kommandoer til trigonometri.
Jeg tilrettelagte forløbet eksperimenterende så eleverne i nævnte rækkefølge skulle:
- Konstruere enhedscirkel og til udvalgte vinkler mellem 0 og 90 grader aflæse x- og y-værdi for det tilhørende retningspunkt.
- Sprogligt opstille regler for bestemmelse af x- og y-værdi for alle tænkelige retningspunkter ud fra de aflæste værdier mellem 0 og 90 grader.
- Vi definerer nu sinus og cosinus (det er jo blot nogle navne!) og eleverne skal opstille de fundne regler matematisk
- Brug reglerne til at tegne funktionerne sin(x) og cos(x) på millimeterpapir i intervallet 0 til 800 grader.
- Radianer indføres og der arbejdes med sammenhængen mellem grader og radianer samt forskelle på de tilhørende funktioner for sinus og cosinus..
- Endelig undersøger eleverne den trigonometriske funktion f(x) = A Sin(bx + c) + d ved hjælp af skydere.

De tre arbejdsark, som eleverne arbejdede med ligger her (Link).
Jeg blev positivt overrasket over, hvor hurtigt eleverne fangede begreberne. De var rigtig gode til selv at konkludere ud fra deres eksperimenter.
Nu er det blot spændende at se, hvor meget der hænger fast efter påske, når de trigonometriske funktioner skal bruges i fysik, og de dukker op i hjemmeopgaver i matematik.
 

Eksperimenter i Maple

Normalt foretrækker jeg at eksperimentere i matematikprogrammet Geogebra, selvom jeg også anvender Maple. Jeg synes ikke Maple er god nok til at understøtte eksperimenter og specielt ikke den grafiske del.
Maple har dog nogle elementer, som kan benyttes til eksperimenter. Et af disse elementer er Explore:
Jeg har netop arbejdet med logaritmer i min 1g-klasse, hvor vi undersøgte de forskellige logaritmer. Eleverne undersøgte bl.a.. forskelle og ligheder på graferne.
I Maple indtastes logaritmen med grundtallet b som log_b(x).
Jeg ville undersøge betydningen af grafen, når grundtallet ændres, så jeg indtaster følgende plot-kommando:

Hvis jeg nu højreklikker på kommandoen og vælger Explore, får jeg mulighed for at vælge parameteren b som skyder, hvor jeg også kan indstille området skyderen løber imellem. Når det er gjort får jeg følgende billede, hvor jeg kan trække i skyderne nederst i vinduet:

Jeg synes stadig ikke, det er lige så illustrativt, som når jeg bruger skyder i Geogebra, men det er muligt. Og desværre er der også lidt uhensigtsmæssigheder:
1) Man kan ikke definere funktionen først og så blot angive funktionsnavnet i plot-kommandoen.
2) Man skal huske at sætte begrænsninger på vinduet for ellers ændres vinduets akser, når der trækkes i skyderen.
3) Ved genberegning glemmer Maple at det var kommandoen Explore, som var anvendt.

Træning af ræsonnement og problemløsning

Vi kender sikkert alle til problemer med, at eleverne har svært ved at løse opgaver, som adskiller sig (lidt) fra standardopgaver. Den bedste måde at træne eleverne i sådanne opgaver er efter min mening at udfordre eleverne med netop sådanne lidt skæve opgaver.
Jeg bruger selv sådanne opgaver som afveksling i undervisningen ((pauseopgaver"), som (ekstra-)opgaver ved afleveringer samt til at illustrere vigtigheden af kendskab til basale matematiske færdigheder.
Specielt de gode elever gerne vil have denne type opgaver i hjemmeopgaver. De er ofte trætte af at løse de samme typeopgaver uge efter uge, nu hvor de har forstået metoden. Men de svagere elever synes også det er lidt sjovt med "anderledes matematik"
Når jeg vælger opgaver, sørger jeg for at blande i forhold til den matematik, der skal anvendes. Opgaverne kan f.eks. dreje sig om:

• skjulte ligninger
• geometriske argumenter
• genkende systemer
• forklare og argumentere for, hvad der sker (f.eks. ved animationer)
• simpel talteori

Af og til får eleverne en opgave, som ikke kan løses eller hvor der ikke er et entydigt svar - jeg siger det dog ikke til eleverne. Her er jeg selvsagt mere interesseret i argumentation og ræsonnement.
Hvilken figur mangler f.eks. nedenfor?

Jeg kender ikke svaret, men det gør heller ikke så meget. Så må eleverne overbevise hinanden. Er der nogen af jer læsere, som i kommentarfeltet tør komme med et bud på løsningen?

Der findes mange sådanne opgaver rundt omkring. Jeg bruger ofte opgaver fra Georg Mohr's 1 runde (Link).

I dag er jeg lige faldet over et dokument med 100 opgaver til kompetencetræning fra matematikbanken.dk (opgaver til folkeskolen), Der er mange sjove opgaver, som også kan bruges på STX og HF (Link).

Endelig har jeg i det vedhæftede dokument angivet 9 små opgaver af forskellig type. Løsningerne står på sidste side (Link).

Sådanne opgaver mener jeg er gode til at træne elevernes innovative kompetencer, idet de netop ikke får en opgave, hvor løsningsmetoden ikke er givet på forhånd. Det skal helst ikke være sådan, at eleven uden videre kan gå i gang med løsningen. Opgaverne bør fordre ofte eksperimenter, eksempler, afprøvning af løsningsstrategier, udelukke svar, grafisk illustration ...

Det er vigtigt, at eleverne trænes i ikke at give op, selvom de ikke umiddelbart har noget bud på løsningsmetoden. Det er disse skæve opgaver også med til at fremme.



Regression - hvordan findes bedste funktion

Men min 1g har vi nu i lidt tid lavet regressioner for de sædvanlige funktioner lineær, eksponentiel og potens.
Men hvordan er det lige vores matematikprogram bestemmer den bedste funktion. Vi benytter lige nu Geogebra.
I morgen vil jeg give eleverne 3 punkter: (1; 2), (4; 5) og (10; 5).

Jeg har tænkt mig at eleverne skal arbejde med følgende spørgsmål:
1) Bestem ved hjælp af skydere den lineære funktion, du mener er den "bedste".
2) Hvilke kriterier har du anvendt for at kunne kalde din funktion for den "bedst mulige"?
3) Kan du finde et tal, der kan benyttes som mål for, hvor godt en funktion passer til de opgivne punkter?
4) Lad Geogebra bestemme den bedste lineære funktion - Er I enige?
5) Lad desuden Geogebra finde den bedste eksponentielle funktion og potensfunktion.
6) Hvilken af Geogebras 3 funktioner er bedst?
Kommandoen Rkvadreret[{<liste af punkter>},<given funktion>] (skrives som R² i de fleste andre matematikprogrammer) er et mål for, hvor godt funktionen passer til punkterne. Jo tættere R² ligger på 1, jo bedre passer regressionsfunktionen.
7) Bestem R² for de tre funktioner og undersøge om Geogebra er enig med dig i, hvilken funktion der er bedst.
Som du nok har konstateret, så bestemmer Geogebra ikke helt på samme måde som dig, hvor godt en funktion ligger i forhold til de opgivne punkter. Der skal lidt mere matematik til - det springer vi over i denne omgang. Den nysgerrige kan dog se følgende video fundet på Youtube:

Jeg forventer selvfølgelig ikke, at eleverne kan arbejde sig frem til den korrekt metode, men jeg har et håb om, at de vil kigge på den lodrette eller vinkelrette afstand mellem punkterne og funktionen, når de skal afgøre, hvor godt funktionerne passer med punkterne.

Innovation i matematik

Kan man arbejde innovativt i matematik? Tja - det kommer lidt an på, hvilken definition man vælger for begrebet innovation.
Jeg er dog ikke i tvivl om, at vi i matematik kan fremme elevernes innovative kompetencer, og at det vil være med til at stille eleverne bedre til den skriftlige eksamen.
Jeg tænker her primært på evner som vedholdenhed (ikke give op ved problemer) og kreativitet (kunne afsøge løsningsmuligheder, når løsningsmetoden ikke umiddelbart er givet).
Fagkonsulenten i Matematik Bodil Bruun nedsatte sidste skoleår en arbejdsgruppe, som skulle komme med eksempler på, hvordan der kan arbejdes med innovation i og med matematik. Resultatet af dette arbejde kan ses på EMU'en (Link). Materialerne er både af overordnet karakter men indeholder også eksempler på forløb både i matematik alene og i samarbejde med andre fag (AT).
Matematiklærerforeningen har i dette skoleår nedsat en større arbejdsgruppe (støttet af undervisningsministeriet), som skal arbejde videre med innovation, hvor formålet hovedsagelig er at udvikle flere eksempler, der kan inspirere matematiklærere.
Jeg kan godt lide at udfordre eleverne, så jeg har netop stillet både min 1g- og 2g-klasse nedenstående opgave. Rigtig innovation kan man nok ikke kalde det, men eleverne får i hvert fald mulighed for at diskutere og afprøve forskellige løsningsforslag.

I skal bestemme placeringen af et system af vandledninger, som skal forsyne 8 huse med vand. Der findes to typer vandledninger: Hovedledningen til 822.000 kr. pr. km. og stikledninger til 556.000 kr. pr. km. Stikledninger kan kun transportere vand til ét hus.

Husenes placering er fastlagt med koordinater og er alle placeret i et kvadrat med en sidelængde på 10 km.

Vandledningen skal starte i punktet (0,1). Derudover skal hovedledningen slutte et eller andet sted mellem punkterne (10,8) og (10,10).

Ovenfor ses en illustration af et problem der svarer til ovenstående beskrivelse. Husene er de sorte prikker og starten på hovedledningen er det røde kvadrat placeret i (0, 1). Den stiplede røde linje øverst til højre markerer det område, hvor hovedledningen skal stoppe.

Jeg aner ikke selv, hvad svaret på problemet er. Så jeg er lidt spændt på, hvordan eleverne griber opgaven an.
Er det matematik? Tja - ikke nødvendigvis, så jeg har stillet krav om matematiske elementer i besvarelse.
Jeg laver lige en cliffhanger.
I et senere indlæg vil jeg beskrive, hvordan jeg helt konkret har tilrettelagt forløbet og hvordan det gik.

Regneregler for differentiation

I stedet for at starte forløbet om differentialregning med at fokusere på teorien bag de forskellige formler for funktioners differentialkvotient, så har jeg valgt at introducere alle formler tidligt.
Som beskrevet i indlægget Differentialregning - intro, indledte jeg forløbet med at give eleverne en fornemmelse for tretrinsreglen og den vigtige forskel på tangent og sekant.
Disse principper vil jeg løbende bruge i de kommende timer så eleverne opnår en fortrolighed med begreberne inden tretrinsreglen behandles formelt teoretisk.
Jeg er nu begyndt at træne eleverne i reglerne for differentiation i hånden. Vi startede med, at eleverne skulle gætte differentialkvotienten for de typiske standardfunktioner. Eleverne brugte Maple til bestemme konkrete stamfunktioner og ud fra Maples svar kom eleverne med et bud på den tilhørende differentialkvotient. Nogle elever brugte et arbejdsark (Link), men andre mere matematikstærke elever valgte selv at gå på jagt blandt allerede kendte funktioner og sammensætning af sådanne.
Eleverne fandt også selv reglerne for sum, subtraktion og multiplikation med konstant. De tre sidste generelle regler har jeg udskudt lidt.
Jeg kunne selvfølgelig have serveret alle reglerne for eleverne, men jeg har en ide om, at når eleverne selv finder reglerne, så er de også nemmere at huske.
Nu er det blot spændende at se i morgen, hvor gode eleverne er blevet til at differentiere funktioner, som lektien til i morgen.

Simulering af chi2-test

Hvorfor ligger den kritiske værdi, hvor den ligger, når vi laver en chi2-test? Det er uhyre svært at få forklaret eleverne.
Jeg har forsøgt at gøre det synligt for mine 1g-elever ved hjælp af to typer simulationer:
- en i Geogebra, der viser histogram af mange chi2-simuleringer med 1 frihedsgrad, hvor nulhypotesen er sand.
- en i Maple, der viser histogram af mange chi2-simuleringer med valgfrit antal frihedsgrader, hvor nulhypotesen er sand..
I Geogebra-dokumentet vises foretages en chi2-simulation af gangen, hvor hele metoden er synlig i Geogebras regneark. Teststørrelserne for hver chi2-simulation indtegnes løbende i et histogram.
Denne simulation skulle gerne give eleverne en fornemmelse af fordelingen af teststørrelserne, når nulhypotesen er sand - specielt at der kan være store variationer. Grafisk skal eleverne give et bud på placeringen og betydningen af den kritiske værdi.
På nedenstående skærmbilleder har jeg simuleret 500 chi2-test, hvor det vides at 25% i populationen svarer Ja, mens populationen består af 60% mænd og 40% kvinder.

Vejledningen til elevernes arbejde med Geogebra-dokumentet er beskrevet i dette dokument (Link) og Geogebra-dokumentet ligger her (Link).
Efter gennemgangen af/arbejdet med ovenstående ark, inddeler jeg eleverne i par, som så skal lave de samme simulationer dog med nye procenter for Ja/Nej og Mænd/Kvinder. Forhåbentlig kan vi konkludere, at den kritiske værdi ikke afhænger af procenterne.
I Maple er det muligt at lav langt flere simuleringer af gangen (kommandoen Sample). Nedenstående Maple-dokument skal eleverne benytte til at få en fornemmelse af histogrammerne over teststørrelsernes fordeling ved forskellige chi2-simulation igen under forudsætningen af at nulhypotesen er korrekt..
Eksperimenterne med forskellige frihedsgrader skulle også gerne resultere i, at eleverne konstaterer, at den kritiske værdi afhænger af frihedsgraden.
Maple-figuren nedenfor viser 10000 simuleringer af chi2-test med 4 frihedsgrader.

Maple-dokumentet som også indeholder vejledning til eleverne ligger her (Link).
Fortsættelsen på arbejdet med chi2 er, at vi vil arbejde med funktionerne hørende til de forskellige frihedsgrader og i den forbindelse undersøge krav til sådanne funktioner (sandsynlighedsfordelinger).

Introduktion til chi2

I dag er jeg i min 1g-klasse startet på chi2-test. Det bliver en lidt forhastet gennemgang, da vi skal benytte chi2-test i et AT-forløb efter påske.
I det første modul har jeg med klassen arbejdet med, hvordan man kan afgøre, om der er forskel på observerede værdier og forventede værdier. Eleverne arbejder med opgaver, hvor de bl.a. skal komme med forslag til, hvordan man vurdere forskel mellem observerede og forventede værdier.
Opgaverne er også designet, så stikprøvens størrelse kan diskuteres.
Det er selvfølgelig meningen at vi ved fælles hjælp, når frem til formlen for bestemmelse af chi2-teststørrelsen.
Om den fundne teststørrelse så er stor eller lille lader jeg hænge lidt i luften som en lille cliffhanger.

Helt bevist introducerer jeg ikke de smarte kommandoer i Maple til udregning af teststørrelse og p-værdi. Det er vigtigt for mig, at eleverne kan foretage beregningerne "manuelt". Det er med til at give eleverne en bedre forståelse for, hvad der sker. Der kan jo afhængig af antal frihedsgrader være lidt mange beregninger, så det er planen, at eleverne selv skal opbygge et regneark, der kan benyttes til at bestemme teststørrelsen.
Det benyttede arbejdsark ligger her: Link
Selve modulet var struktureret som en vekselvirkning mellem diskussioner i par og opsamling på klassen. Vi nåede næsten at gennemgå hele arbejdsarket.
Nu er det blot spændende om eleverne overhovedet kan huske noget, når vi mødes igen efter påske. Jeg tror lektien bliver, at de skal løse en lignende opgave - sikkert en stilladseret version af en tidligere eksamensopgave.

Begrebsindlæring med matematikprogram (Geogebra)

I disse uger holder jeg en række oplæg om brugen af matematikprogram til bl.a. styrkelse af elevernes begrebsindlæring og træning af ræsonnementskomptence.
Det er min erfaring, at hvis eleverne selv eksperimenterer sig frem til erkendelser, så er det også nemmere at huske frem for, at læreren står ved tavlen og forklarer f.eks. begrebers betydning. Og til dette kan vi med fordel benytte matematikprogrammerne.
Vi kan gøre brug af skyder, spor, regression, trække i objekter, funktionsundersøgelse ... Muligheder er der nok af. Det er nok mere et spørgsmål om at se mulighederne.
Vedhæftet min powerpointpræsentation med ledsagende materiale, der giver eksempler på, hvordan Geogebra kan benyttes til sådanne eksperimenter. Hvis du bruger nSpire, er jeg sikker på, det er nemt at overføre eksemplerne dertil.
Til hvert eksempel har jeg lavet en lille screencast, der demonstrerer, hvordan eksemplet et konstrueret. For de fleste dias er der også tilknyttet en Geogebrafil hørende til eksemplet.
Det vedhæftede dokument er en zippet-fil. Pak filen ud og start powerpointfilen Geogebra præsentation (Link).

Eksperimenter med Maple

Normalt foretrækker jeg at benytte Geogebra som program, når jeg laver eksperimenterende øvelser til mine elever. Det skyldes primært, at det er nemt at gå til, og at jeg ikke nødvendigvis behøver at lave skabelonerne for eleverne. Oftest kan eleverne selv konstruere eksemplerne.
Maple indeholder også nogle muligheder for eksperimenter, som er af lidt mere avanceret art. Men det betyder også nogle lidt mere smarte eksperimenter. Jeg har dog ikke turde kaste eleverne ud i at konstruere sådanne sider selv, da det kræver lidt programmering.
Maple har en række komponenter, som kan tilknyttes almindelige Maple-sider

I nedenstående eksempel viser Maple-siden logistisk vækst y' = ay(M-y), hvor der kan ændres på parametrene a og M, samt at der kan ændres på det punkt, som løsningsfunktionen skal gå igennem.
Dermed vil eleverne både kunne analysere betydningen af konstanterne i ligningen og få de forskellige typer løsningsfunktioner frem ved at ændre på punktet.

Maple-arket gør således brug af komponenterne Skyder og Graftegning. Den aktuelle værdi for hver af parametrene er desuden gemt i "Label" (område med tekst).
I hver skyder er placeret følgende kode:

Do(%p1=DEplot(diff(y(x), x) = %a*y(x)*(%M-y(x)), y(x), x = -100 .. 300, y(x) = -200 .. 1100,color=y(x),[y(%sx)=%sy],linecolor=[blue]));

I linjen bruges DEplot (tegner linjeelement og løsningen gennem givet punkt) som gemmes i Graftegningen med navnet p1. Derfor skrives %p1= først i linjen.
Skyderne hørende til a og M hedder a og M mens punktet er gemt i (sx, sy)
Dette betyder, at når der ændres på skyderen, så ændres der ligeledes i figuren.
Hvis du benytter Maple, kan du hente Maple-filen her (Link - dokumentet ser meget underligt ud, men hvis du vælger download, så kan filen åbnes i Maple).

Linjeelementer - Differentialligninger

Jeg har sidste år (4/2 2014 og 23/3 2014) skrevet om de udfordringer, som differentialligninger giver i matematikundervisningen. Mange elever har rigtig svært ved at forstå, hvad en differentialligning er for noget.
Med min 3g-hold i år har jeg brugt en del tid på at forstå begrebet differentialligning. Vi har kigget på de forskellige opgaver med differentialligninger, der optræder til eksamen. Og så har vi arbejdet en del med forståelsen af disse ligninger.
I den forbindelse har linjeelementer og plots af disse haft en fremtrædende position. Vi benytter Maple og her er det nemt med kommandoen DEplot at få tegnet figurer med linjeelementer. Det er endog muligt at tilføje specifikke løsningsfunktioner til figurerne ved at tilføje et punkt som løsningsfunktionen skal gå gennem. Et eksempel ses nedenfor (differentialligningen y' = y + e^x med 3 specifikke løsningsfunktioner indtegnet):

 

Eleverne har i grupper på 3-5 arbejdet med det vedhæftede dokument (Link), hvor jeg har så har gået rundt og assisteret/testet gruppernes læring om differentialligninger. Det har været vigtigt at have tid til at få snakket grundigt med grupperne, så de både får testet/opdateret deres viden og samtidig træner i at tale om differentialligninger (begreberne). Specielt vellykket var det at vise et plot med linjeelementer på projekter og så lade eleverne i gruppen på skift  "gætte" løsningsfunktion gennem et givent punkt. Det virkede som om det hjalp voldsomt på forståelsen. Så selvom linjeelementer ikke er en del af kernestoffet, så synes jeg de er svære at undvære i forståelsen af differentialligninger. De bidrager med rigtig meget forståelsesmæssigt.

Det beskrevne dokument er forholdsvis detaljeret og mest rettet mod de knapt så gode matematikelever. For at udfordre de gode elever, som også typisk fanger emnet differentialligninger hurtigt, havde jeg lavet et arbejdsark (Link), der lagde op til langt flere selvstændige eksperimenter. Selvom der var flere udfordringer i dette dokument, blev de gode elever alligevel først færdige.

Når vi skal behandle teorien bag differentialligninger, vil jeg beholde denne opdeling af klassen. De gode elever skal udfordres med lidt flere beviser og arbejdsark, som er ikke er så opskriftsagtige.

Historisk matematik - logaritmer

Logaritmernes historie og anvendelsesmåder er interessant, så hvorfor ikke prøve at give eleverne et indblik i disse. Og så får jeg samtidig tvunget eleverne til at træne logaritmeregnereglerne.
Jeg har her i december med min 1g brugt lidt tid på at præsentere:
- hvorfor logaritmerne er fantastiske til at foretage multiplikation
- hvordan man konstruerer logaritmetabeller
- hvordan en regnestok fungerer

Det klart mit indtryk, at eleverne bliver lidt imponeret af, hvad logaritmerne kan bruges til. Og fascinationen af matematikernes utrættelige arbejde med konstruktion af logaritmetabeller er også lidt svær at skjulte.
At matematiklæreren desuden medbringer en bog fra 1849 næsten udelukkende fyldt med diverse tabeller, hjælper også med at høre historiens vingesus.

Vi startede forløbet med at undersøge logaritmernes egenskaber med at ændre multiplikation til addition, hvor vi foretog opslag i tabel og løste forskellige opgaver.
Efterfølgende arbejdede vi lidt med de principper, som ligger bag konstruktionen af logaritmetabellerne. Hvilke logaritmeværdier kan bestemmes ud fra allerede kendte logaritmeværdier? Her blev logaritmeregnereglerne flittigt brugt.
I anden del af forløbet lavede vi vores egen regnestok. Lidt smart at man nu kan gange blot ved at forskyde to logaritmisk akser i forhold til hinanden.
Jeg tror eleverne syntes det var en sjov lidt anderledes form for matematik.
Efter juleferien er det planen, at vi laver vores eget logaritmepapir og får eftervist, at grafen for eksponentielle funktioner tegnet på enkeltlogaritmisk papir giver en ret linje.
De to dokumenter vi har anvendt:
Logaritme som "gange"-maskine (Link - lidt stor fil)
Bedstefars lommeregner (Link)

Tangent i starten af 1g

Som tidligere nævnt starter jeg normalt i mine nye klasser med funktioner og deres karakteristika. Og her er monotoniforhold et væsentligt begreb til at beskrive funktioners forløb.
Når eleverne er blevet fortrolige med monotoni-begrebet, introducerer jeg tangenter. I første omgang arbejder vi med tangenter i Geogebra, hvor det er nemt at få sådanne konstrueret. Samtidig kan eleverne undersøge tangenternes egenskaber ved at trække i punkterne på grafen, hvor tangenterne er placeret.
Koblingen til monotoniforhold og til  lineære funktioner, som eleverne har et vist kendskab til fra folkeskolen, fanger eleverne hurtigt. I hvert fald på det mere overordnede plan.
Når jeg inden længe introducerer Maple, så vil f '(x) ligeledes blive præsenteret. Jeg går ikke i dybden men forklarer blot eleverne, at Maple kan bestemme hældningen i x=2 ved at udregne f '(2). De finder selv hurtigt ud af at bestemme ekstremumspunkter ved at løse f '(x)=0 med solve.
Fordelen ved at introducere begrebet tangent og tilhørende opgaver gør, at eleverne er fortrolige med tangentbegrebet, når vi kommer til differentialregning. Differentialregning er jo svært nok i sig selv. Hvis eleverne allerede kender f '(x) og dens betydning, er de godt på vej. Emnet virker knapt så overvældende og underligt. Og så er der selvfølgelig også et fint pædagogisk argument i, at eleverne efter en del tid at have arbejdet med f '(x) som en "sort boks", lærer selv at bestemme f ' (x).
Den tidlige introduktion af f '(x) giver mig desuden mulighed for at stille langt flere interessante hjemmeopgaver til eleverne, idet optimeringsopgaver jo er i spil. Dermed har jeg også større mulighed for at give eleverne mere virkelighedsnære opgaver knyttet til deres studieretning..

2. grads polynomier

Jeg har netop som årets sidste emne i 2.g gennemgået andengradspolynomier.
Forløbet har så vidt muligt været tilrettelagt eksperimenterende bl.a. ved hjælp af Geogebra, hvor eleverne skulle eksperimentere sig frem til karakteristika, som så efterfølgende skulle bevises.
Ud over de sædvanlige beviser for konstanternes betydning, toppunktsformlen og formlen til løsning af andengradsligningen har vi også kigget på symmetri, faktorisering, forskydning af ax² samt hvad der sker med toppunktet, når der kun varieres på henholdsvis a og b.
Alle har selvfølgelig arbejdet grundigt med de "obligatoriske dele", mens de bedre elever har haft mulighed for at fordybe sig i nogle af de lidt mere specielle karakteristika.
Eleverne har 2 og 2 arbejdet med dokumentet Andengradspolynomier. Undervejs har eleverne erfaringsudvekslet og arbejdet med beviser på tværs af grupperne.
Vi afsluttede forløbet med at lave en hjemmeside om andengradspolynomier, hvor eleverne valgte sig ind på emnerne karakteristika, toppunkt og monotoni, rødder, faktorisering og specielle egenskaber.
Desværre er eleverne ikke helt så aktive/deltagende i timerne her sidst på året, så hjemmesiden blev ikke helt så god som forventet. Måske jeg skal starte her til i 3g.

Leg og matematik med samfundsfag/erhvervsøkonomi

Jeg har med min 2g-klasse kørt et lille forløb om prisoptimering i forbindelse med måde monopol og duopol.
Matematikken bag handler om sammensætning af funktioner og optimering. Bl.a. optræder andengradspolynomiet. Så jeg har brugt dette lille forløb som optakt til mere detaljeret arbejde med andengradspolynomier.
I forbindelse med konferencen om Matematik B i gymnasiet, som blev afholdt på Mulernes legatskole, har jeg lavet det denne version af projektet: Link
Som opstart til delen med duopol lavede vi et lille "spil":
Eleverne fik opgivet funktionen S_E = 50 - 0,5p_E + 0,5p_H , hvor S_E er deres salg, p_E er deres pris, mens p_H er konkurrenten Hugos formodede pris. Samtidig fik de af vide, at omkostningen pr. enhed er 0,8 kr.
Eleverne skulle nu i par gætte på Hugos pris og ud fra det bestemme deres egen optimale pris.
Eleverne fik så en modstandergruppe, som de udvekslede priser med. Ud fra disse faktiske priser skulle hver gruppe udregne deres salg, aktuelle indtjening samt hvilken pris der havde været optimal at vælge.
Grupperne foretager nu et nyt gæt på Hugos pris (modstandergruppen) og bestemmer igen sin egen optimale pris i relation hermed. Grupperne udveksler priser og gentager beregninger - husk det skal være de samme grupper som er parret i hele spillet.
Denne proces fortsætter et vist antal omgange og håbet er selvfølgelig, at eleverne får eksperimenteret sig tættere og tættere på ligevægtsprisen.
Det er vigtigt, at eleverne har fokus på optimal indtjening, så de ikke bare gætter priser i blinde.
Eleverne syntes det var en sjov leg, men vær opmærksom på at det tager en del tid. Jeg havde afsat 90 min og det var ikke rigtig nok. Beregningerne tog noget tid.
Måske vil det være smart at lade eleverne lave en skabelon f.eks. i form af et regneark, så beregningerne klares hurtigere.

Eksamensspørgsmål som projekt

Med mit 3g-hold er vi nået frem til logistisk vækst. Vi har tidligere kigget på generelle karakteristika ved differentialligninger, arbejdet med y' =ky samt bevist separation af variable.
Gennemgangen af logistisk vækst har jeg besluttet mig for at vende lidt på hovedet, idet jeg vil starte med at give eleverne det spørgsmål om logistisk vækst, jeg planlægger at bruge til holdets mundtlige eksamen.
Eleverne skal nu i par ud fra deres nuværende viden om differentialligninger samt via en række opgaver og eksperimenter konstruere en hjemmeside (Google sites), der skal indeholde de dele som hører til en fremlæggelse af eksamensspørgsmålet.
På hjemmesiden må eleverne selvfølgelig gerne placere videoer, de selv har optaget.
Oplægget til eleverne ligger her: Link
Elevernes hjemmesider afleveres som en hjemmeopgave.

Vektorer opstart

Jeg prøvede for første gang sidste år at gennemgå plangeometrien i 2g. Det havde jeg gode erfaringer med, så det vil jeg gentage med min 2g i år.
Det indledende om vektorer er jo mest en forståelse for begrebet vektorer samt hvordan man kan regne med disse - både algebraisk og geometrisk.
Jeg foretrækker, at eleverne selv arbejder med stoffet, så de forhåbentlig selv kan erkende karakteristika ved vektorer.
Eleverne arbejder i par med en række eksperimenterende opgaver, som løses ved hjælp af Geogebra. Det er vigtigt, at elevernes fokus er på matematik. De skal således nedskrive deres erkendelser, så disse senere kan udveksles og diskuteres. Det er vigtigt at elevernes konklusioner bruger forskellige repræsentationer: grafisk, algebraisk og de opfordres desuden til at komme med bud på gyldige formler.
Jeg udleverer følgende to dokumenter til eleverne:
1) Introduktion til vektorer (Link)
2) Introduktion til skalarprodukt (Link)