Repetition - med lidt bevægelse

Det har godt nok været sløjt med mine indlæg i efteråret 2016. Det er ikke nye ideer, som har manglet men snarere tid. Der har været mange andre gøremål. Her på falderebet til 2017 vil jeg præsentere en form for repetition, som jeg har lavet med min 3g-klasse.
Repetitionen handlede om vektorer i 2 dimensioner, men formen på øvelsen kan kopieres til andre former for repetition. I bunden af indlægget er der angivet et par andre ideer.
Efter en pause med vektorer var det tid til at få gennemgået vektorer i rummet, hvorfor det var naturligt at indlede med en repetition af vektorer i planen. Jeg fandt alle relevante formler frem (tak til formelsamlingen) og klippede dem ud, så der var en formel på hvert ark. Disse ark satte jeg op i et af vores fællesarealer.
Eleverne blev nu sat sammen i par, hvor hvert par blev udstyret med sedler i 3 forskellige farver. Jeg brugte grøn, gul og rød.
Farverne på sedlerne havde en betydning i relation til, hvad der skulle skrives på sedlen:
Grøn: Grafisk illustration af formlen (hvor det er muligt)
Gul: Sproglig beskrivelse af hvad formlen kan bruges til
Rød: Eksempel på opgave, hvor formlen kan benyttes.
Hvert par vælger nu en af de ophængte formler og udfylde en grøn, gul eller rød seddel. Sedlen hænges op ved siden af formlen med bagsiden udad, så det ikke kan ses, hvad der er skrevet på sedlen.
Parret går nu videre til en ny formel. Der skal være så mange formler at jeg kan kræve at der ikke må stå to par ved samme formel.
I første omgang må der ved hver formel kun hænge en rød, gul og grøn seddel. Så hvis man kommer til en formel, hvor der allerede hænger en grøn seddel, så skal parret vælge en rød eller gul seddel.
I og med at parrene har 2-3 sedler af hver farve, så kan man ikke nøjes med kun at lave f.eks. grafiske illustration. Det er først når et par har brugt alle deres sedler, at de kan få ekstra sedler af mig.
Kommer man til en formel, hvor der også hænger farvede sedler, så tales først om, hvad der mon står på sedlerne og efterfølgende tjekkes ved at vende sedlen. Herefter må parret udfylde en ny seddel.
Der kan evt. tillades flere sedler af samme farve, hvis der er flere muligheder ved en formel.
Da alle formler var blevet beskrevet, skulle parrene gennemgå alle formler, hvor det først skulle diskuteres, hvad der forventes at stå på de farvede sedler og efterfølgende tjekkes det, hvad der rent faktisk står på sedlerne.
Jeg forestiller mig at denne form for repetition f.eks. kan benyttes ved
- almindelig repetition af formler
- ved at angive forskrift for forskellige funktioner
- ved at angive grafer for forskellige funktioner
- ved eksamensopgaver, hvor man skal finde relevant formel

Eksempel med vektorformler.
- ...

Hurtig walk and talk

Walk and talk er en kendt øvelse, som benyttes af mange lærere: Hver elev udstyres med en seddel med begreb/spørgsmål eller lignende. Man går så en lille tur, hvor eleverne går sammen to og to og forklarer hinandens sedler. Efter forklaring byttes sedler og man finde en ny kammerat at tale med.
I går var mine elever temmelig trætte, så jeg besluttede mig for en lille gåtur med Walk and talk.
Det var en hurtig indskydelse, så jeg havde ikke forberedt sedler til eleverne.
I stedet for fik alle elever udleveret et blankt stykke papir. Eleverne blev inddelt i grupper, hvor hver gruppe fik et matematisk emne. lineær funktion, potensregneregler, ligninger, ...
Hver elev skulle så lave en opgave/angive begreb/... knyttet til deres emne. Hvis der blev lavet en opgave, så var kravet selvfølgelig at opgaven skulle kunne løses uden at foretage udregninger.
Så var vi klar til en Walk and talk...

Differentialregning - opsamling

Vi er så småt ved at afslutte differentialregning på mit 2g matematik-A hold. Vi har lavet en hel del beviser og også brugt en del energi på at italesætte de matematiske metoder, som anvendes ved opbygning af en matematisk teori.
Ofte har fokus i beviserne været at forstå de enkelte reduktioner og så har der ikke været lagt så meget vægt på bevisstrukturer mm.
Jeg valgte derfor i samråd med eleverne at lave en opsamling på differentialregning, hvor vi repeterer beviserne og i den repetition specielt fokuserer på de mere overordnede argumenter. Hvorfor har vi f.eks. bestemt differentialkvotienten til en given funktion, når vi benytter tretrinsreglen?
Da alle ikke kan nå alle beviser, optages beviserne på video og bliver efterfølgende samlet på en hjemmeside, som alle i klassen kan benytte. Jeg har på forhånd opdelt hjemmesiden i følgende emner:

Introduktion:

Indledende ting omkring differentialregning bl.a. om sekant-tangent, definition på differentiabel funktion

Bevisteknikker:

Beskrivelse af overordnede bevisteknikker, som er blevet anvendt i de forskellige beviser (tretrinsreglen, induktionsbevis samt matematikkens indre struktur)

Basale funktioner:

Beviser for en række af de mere basale funktioner (f.eks. x², ax+b, konstant, ...

Regneregler:

Beviser for hvordan man differentierer funktioner, som er kombinationer af basale funktioner
Tangentligningen

Her bevises formlen for tangentligningen.

Eleverne vælger sig selv ind på beviser efter fagligt niveau - dog stiller jeg krav til at alle elever er med til forskellige typer beviser. Jeg sikrer desuden, at der laves mindst to videoer med hvert bevis, så eleverne kan se forskellige fremstillinger af beviserne.

Eleverne er fortrolige med at arbejde med disse hjemmesider (Google sites), så de lægger selv deres videoer ind på hjemmesiden.
Ud over videoerne stiller jeg krav om at hver hjemmeside også skal indeholder:
- præcis beskrivelse af sætningens ordlyd
- overordnet beskrivelse som forklarer, hvordan beviset er opbygget 
- evt. andre relevante oplysninger.
Der stilles også krav til de elementer som videoerne skal indeholder. Bl.a. er definitionen på differentiabilitet obligatorisk i videoen.

Første skoledag - navnelege

Jeg skal være klasselærer/teamleder/klasseleder ("kært barn" har mange navne) for en ny 1g-klasse, så der skal findes forskellige navnelege frem fra gemmerne.
Jeg faldt over et dokument, som jeg vist nok har "hugget" fra skolekomkonferencen for matematiklærere i folkeskolen. Dokumentet er en form for domino med regnearternes hierarki, som jeg vil inddrage første skoledag på følgende måde:
Alle elever får en dominobrik, der i venstre side har et regnestykke og i højre side et tal, som er resultatet på en af de andre dominobrikkers regnestykke.

Først vil jeg sætte eleverne sammen to og to, hvor de skal blive enige om resultatet på deres to regnestykker.
Herefter gælder det om at finde resultatet på sit regnestykke blandt de andre elever. Hver gang man møder en ny person, siger begge først "Goddag <navn>" eller spørger om navnet på personen, hvis man ikke kan huske det. Først derefter må der spørges til tallet.
Det gælder nu om at få dannet en kæde, hvor enderne "hænger sammen". I den version af dominoen, jeg vil bruge, er der 32 brikker og de skulle gerne give 6 kæder af varierende længde. Det har jeg dog ikke tænkt mig at fortælle eleverne.
Der ligger link til mit dokument her (Link).

Jeg forstår det ikke...

Som så mange andre matematiklærere sidder jeg i disse dage og retter opgaver fra den skriftlige eksamen i matematik. Og endnu en gang undrer jeg mig over elevernes manglende reflektioner over egne udregninger.
I år retter jeg STX A-sæt (både almindelige og NET-forsøg).
Hvorfor kan eleverne ikke se nogen sammenhæng mellem matematikopgaverne, de skal løse, og (pseudo-)virkeligheden?
Når en opgave er regnet, så gælder det åbenbart om at komme videre hurtigst muligt uden at reflektere over resultatet. Hvorfor undrer eleverne sig ikke over:
1) at ligevægtsbestanden på en population af laks bliver 0,43 ?
2) at når man har lavet regression over en aftagende følge punkter, så fås højere tal end startværdien, når der laves fremskrivning
3) at vinklen mellem to planer bliver 1 grad.
4) at indtjeningen på en film bliver 347384720378 mill $.
5) at udregningen ikke stemmer overens med tegningen
6) at når man skal vise noget gælder, så kommenterer man det slet ikke, hvis man får noget andet.
7) at et areal bliver negativt
8) at ...

Det kan selvfølgelig være, at eleven ikke kan finde fejlen, men så forventer jeg i det mindste, at eleven skriver, at resultatet sandsynligvis er forkert.

Jeg håber ikke, mine egne elever glemmer disse reflektioner over resultatet, men jeg er absolut ikke sikker. Jeg prøver at lære eleverne lige at bruge bare lidt tid på at overveje, om det fundne resultat lyder rimeligt - og hvor det er muligt også at tjekke resultatet.
Jeg har dog ikke fundet nogen god måde at træne denne evne på. Lige nu sidder jeg og overvejer følgende måder at træne reflektionen på:
1) ved aflevering at lade eleverne argumentere for, hvorfor deres svar lyder rimeligt
2) give eleverne en besvarelse med både korrekte og forkerte svar, hvor der skal argumenteres for svarenes rimelighed - altså uden nogen for form for udregning.

Hvad gør I der ude i matematik-landet? Nogle gode ideer?

Repetition af begreber

Sidste matematiktime i 1g nærmer sig. Eleverne er sikkert ikke voldsomt motiverede for at lave matematik, så der må en quiz på banen. Selvfølgelig med matematik...
Vi har i år gennemgået 7 emner, så jeg har klippet sedler ud i 7 forskellige farver. Hver elev får en seddel, hvorpå der er angivet et af årets emner. Hver elev skal nu på den udleverede seddel nedskrive 6 centrale begreber/formler/egenskaber hørende til emnet.
Når det er gjort, sammenligner elever med samme emne, hvad de har skrevet for at få udryddet eventuelle fejl.
Eleverne placeres nu i grupper på 4-5 personer med forskellige emner (da emnerne er angivet på papir med forskellig farve, det er nemt at se, hvem der har samme emne). Jeg gør et stopur klar på storskærmen. Første elev i hver gruppe fortæller nu sit emne og de andre i gruppen får nu 1 minut til at nedskrive alt (på papir), de kan huske om emnet.
Når tiden er gået, læser eleverne på skift op, hvad de har skrevet, og hver elev får så point for de ting som er identiske med punkterne på sedlen for eleven med dette emne. Husk at bede gruppemedlemmer holde øje med, at der ikke snydes ved at tilføje ekstra ting efter tiden er gået. Man kan evt. lægge blyanterne midt på bordet.
Efter pointgivning læser næste elev sit emne op og de øvrige i gruppen har igen 1 minut til at nedskrive, hvad man kan huske.
Når alle gruppens emner har været testet, skal eleverne finde nye grupper. Kravet til de nye grupper er, at de emner, man endnu ikke er testet i, skal være repræsenteret i den nye gruppe. Der vil selvfølgelig også være emner som gentages, men da eleverne ikke har skrevet deres punkter i fællesskab, kan man ikke være sikker på at punkterne er identiske.
Ideen til quizzen har jeg fået via Eva Pors blog (Link). På den blog finder jeg ofte nogle gode overordnede ideer til aktiviteter, som dog skal bearbejdes lidt, da Eva underviser i dansk og engelsk. En af de lidt mere skøre ideer at lade eleverne rappe mod hinanden - f.eks. lineære funktioner mod eksponentielle funktioner. Jeg nåede det desværre ikke i dette skoleår, men ideen er lagt i "banken". Ideen er beskrevet her: Link.

Mundtlig årsprøve i matematik

Min 1g-klasse (A-niveau) skal til mundtlig årsprøve i matematik.
Jeg vil gerne benytte lejligheden til at træne elevernes evne til at læse matematik, til at arbejde selvstændigt med matematik og så selvfølgelig at fremlægge matematik. Og så skal eleverne gerne have en god oplevelse med årsprøven.
Jeg lader eleverne være sammen i par. Det styrker efter min mening både elevernes motivation og så er det godt at have nogen at udveksle ideer med. Fremlæggelsen foregår derfor også i par.
I stedet for en traditionel årsprøve, skal eleverne arbejde med et nyt matematiske emne. Vi har ikke gennemgået potensfunktioner endnu, så det bliver emnet.
Jeg har i forskellige matematikbøger fundet deres præsentation af potensfunktioner. Eleverne skal ud fra disse materialer selv vælge det stof, de vil gennemgå under eksaminationen.
Ud over den teoretiske præsentation, skal der også inddrages en anvendelse af potensfunktioner. Eleverne får udleveret en række eksempler, hvorfra de selv skal udvælge et. Eksemplerne handler om:
Vindmøllers effekt, Foucaults pendul, effekt ved cykling, sammenhæng mellem antal rygere og på pris på cigaretter, sammenhæng mellem dyrs vægt og overfladeareal, sammenhæng mellem vanddybde og hastighed på tsunami samt Cobb-Douglas funktionen (økonomisk model).
Jeg ved selvfølgelig godt, det er svært for eleverne at arbejde selvstændigt med nyt stof. Derfor har klassen en tvungen arbejdsdag på skolen to dage før selve årsprøven. Jeg vil være på skolen hele dagen for at hjælpe eleverne. Desuden har jeg stillet som krav, at jeg i løbet af dagen skal godkende alle pars disposition for fremlæggelsen.
Jeg har tidligere haft gode erfaringer med denne model for mundtlig eksamen, så jeg håber det også bliver en succes denne gang. Specielt arbejdsdagen på skolen, har eleverne været glade for. Både fordi jeg er i nærheden til at hjælpe, men også det at hele klassen arbejder om et fælles projekt, hvor man hjælper hinanden med at lære mest muligt.
Eleverne har altid taget denne form for årsprøve seriøst, og det er meget vigtigt for, at årsprøven ikke bliver spild af tid. Det at eleverne er sammen i par, tror jeg styrker seriøsiteten, og så betyder det nok også noget, at jeg kraftigt signalerer, at dette emne er relevant til eksamen og ikke gennemgås på et senere tidspunkt.
I forbindelse med selve eksaminationen er det desuden et krav at alle overværer én anden gruppes fremlæggelse. Det er vigtigt at se andres gennemgang både mht. form og indhold.

"Diktat" i matematik

Hvad man dog kan finde på sin harddisk!
Jeg har et samlergen mht. muligt materiale, som jeg kan benytte i min undervisning. Nogle gange falder jeg så over noget, som jeg fuldstændig havde glemt.
Jeg skulle bruge nogle chi²-opgaver til min 1g, så jeg gennemsøgte min tilhørende mappe på computeren. Der faldt mine øjne på dokumentnavnet DiktatChiKvadrat. Hvad pokker er det?
Det viste sig at være en lille diktat om chi², hvor forskellige nøgleord var fjernet fra teksten. Elevernes opgave er nu at indsætte de manglende ord/begreber blandt de ord, som er listet nederst på arket.
En sjov lille opgave synes jeg, så den har jeg givet eleverne for som lektie til det modul, hvor vi alligevel skal samle op på chi².
Dokumentet har jeg ikke selv lavet, og hvor det kommer fra, er det ikke lykkedes mig at finde ud af. Jeg tror, det er fra et af matematiklærerforeningens kurser, men kan ikke finde det.
Min lidt ændrede version af dokumentet ligger her: Link
Et lille udsnit af dokumentet:

Repetition til skiftlig eksamen - hvem hjælper det?

Vi er sikkert alle i gang med at repetere på vores afsluttende hold. men hvordan foregår vores repetition?
Min repetition i relation til skriftlig eksamen handler meget om at tale om og træne de typiske opgavetyper, der optræder til eksamen med og uden hjælpemidler. Og det sker oftest på et lidt mere overordnet plan.
Så var det lige jeg kom til at tænke over, hvilken type elever denne form for repetition henvender sig til. Jeg tror, at elever som i forvejen har et nogenlunde solidt matematiskkendskab vil have et fint udbytte af en sådan repetition. Men jeg er desværre bange for, at de gode elever vil finde denne repetition kedelig og unødvendig, og samtidig er jeg bange for at en sådan repetition foregår henover hovedet på de svage elever.
Vi er nødt til at tilrette lægge repetitionen, så alle elevgrupper tilgodeses.
Den overordnede strukturering af mulige spørgsmålstyper kommer alle elever til gode, men det er vigtigt, at de mindre stærke matematikelever også får en ekstra konkret behandling af struktureringen. Det er ikke nok med en mere overordnet snak om opgavetyper. Heldigvis har vi på min skole mulighed for at få ekstra timer til svage matematikelever. Jeg har derfor fået bevilliget ekstra timer til mine svage elever. Disse timer skal bruges netop på at konkretisere de ting, jeg har diskuteret med hele klassen i matematiktimerne. Disse ekstra timer håber jeg på, vil hjælpe de svage elever så meget på vej, at de ikke dumper.
Omvendt skal vi også tage hensyn til de gode elever. De vil typisk mene, at meget af repetitionen er spild af tid, da de har styr på standardopgaver. Det er derfor vigtigt at udfordre de gode elever med de mere utraditionelle opgaver. Så lad dem regne på de sidste opgaver i udvalgte sæt, hvor der jo normalt stilles lidt ekstra krav.
Så mit budskab er:
HUSK der er forskel på eleverne også i repetitionsfasen. Sørg for at tilrettelægge repetitionen, så alle elevtyper får noget ud af repetitionen.

Eksamenstræning - delen uden hjælpemidler

Med mit 3g-hold har vi i den seneste tid startet hvert modul med at tale om prøven uden hjælpemidler i relation til et givet emne.
Eleverne brainstormer på centrale formler og mulige spørgsmålstyper. Hvis jeg finder det nødvendigt, regner vi også enkelte opgaver.
Det er mit indtryk, at eleverne er glade for at få diskuteret mulige spørgsmål - det afdramatiserer lidt prøven uden hjælpemidler.
Nogle elever er noget forskrækkede over alle de formler det forventes, de kan huske uden ad. Jeg fokuserer på, at eleverne ikke nødvendigvis skal huske alle formlerne på "formelsprog". Ofte er det nok at kunne metoden. Der er f.eks. ingen grund til at huske formlen for differentiation/integration af sammensatte funktoner - det er nok, at man ved, hvordan man skal gøre.
Ligeledes er nogle formler slet ikke nødvendige. Der er f.eks. ingen grund til at huske tangentligningen, når man ved, hvordan forskrift for en linje bestemmes. Og hvorfor huske toppunktsformlen, når toppunkt kan bestemmes ved hjælp af differentiation.
Her kort tid før eksamen tror jeg, det vigtigste er, at eleverne får trænet en masse opgaver, og at de får struktur på mulige opgavetyper (se evt. "Forberedelse til skriftlig eksamen - fra skolestart"). Jeg sætter desuden min lid til, at eleverne nu er helt med på, hvordan man "overholder" reglerne for korrekt løsning af eksamensopgaver (de 5 pinde - se evt. "Skriftlig eksamen - opgaveregning"). Derfor har jeg besluttet at omlægge elevtiden for de sidste par afleveringer, så vi har nogle ekstra timer, hvor vi kan fokusere på udvalgte dele af det skriftlige pensum.
Vi har en sådan time i dag, hvor fokus netop er delen uden hjælpemidler. Jeg har taget et print af delen uden hjælpemidler fra alle eksamenssæt siden 2008. Planen er nu at eleverne i par skal arbejde med disse opgaver. I første omgang skal opgaverne sorteres i emner (alle medbringer saks).
Samtidig har jeg oprettet et fælles dokument (Office 365), som alle kan skrive i. Her er det meningen at spørgsmålstyperne hørende til de enkelte opgavetyper indskrives. Til hver type spørgsmål angives det desuden få stikord til, hvordan opgaver af denne type løses, samt hvor man kan finde en opgave omhandlende spørgsmålet. Dermed får eleverne et godt dokument, de kan bruge, når de hjemme skal forbedrede sig til delen uden hjælpemidler til den skriftlige eksamen.

Jeopardy - den hjemmelavede version

Fra 1995-2005 var Jeopardy, som de fleste nok kan huske, et fast ugentligt program på TV2. Jeopardy er senest genoplivet at TV3.
Jeg lader nogle gange mine elever lave Jeopardy-quizzer til hinanden. Første gang er jeg dog nødt til først forklare eleverne, hvad Jeopardy er for noget :-). Jeg plejer at droppe kravet om, at svaret skal stilles som et spørgsmål.
Når vi skal lave en Jeopardy, så beder jeg eleverne hjemme forberede 5 spørgsmål og svar i stigende sværhedsgrad til et givet emne. Jeg har delt en række forskellige emner ud blandt eleverne, så der kommer forskellige kategorier. Det er vigtigt at sige til eleverne, at svarene på spørgsmålene skal kunne "regnes" uden hjælpemidler, og at der ikke kan indgå formler.
I den efterfølgende time sættes eleverne sammen i grupper på 5 fordelt på en sådan måde, at eleverne i gruppen har forberedt sig på forskellige kategorier.
Hver gruppe tjekker nu alle spørgsmål og tilhørende svar, samtidig med at det kontrolleres, om spørgsmålene i samme kategori har stigende sværhedsgrad.
De udarbejdede Jeopardy's indtastes på hjemmesiden JeopardyLabs (https://jeopardylabs.com/).

Der klikkes blot på "Start Building"-knappen og Jeopardy'en kan konstrueres. Det er ikke nødvendigt at oprette en bruger. Man bliver bedt om at vælge en adgangskode. Sørg for at eleverne vælger en kode de kan huske. Den er vigtig, hvis der skal rettes i Jeopardy'en. Og det skal der nok, for eleverne laver sikkert fejl.
Selve indtastningerne foregår blot ved at klikke på de felter, hvortil der skal indtastes.

Når quizzen er færdig, gemmes den via Save-knappen nederst på siden, hvorefter quizzen får tildelt en hjemmeside - sørg for at du får linket af eleverne..
Det er selvfølgelig meningen, at eleverne skal prøve hinandens quizzer. Lad eleverne sidde sammen to og to om en computer, hvor de selvfølgelig skal spille mod hinanden.
Man går blot ind på Jeopardy'ens hjemmeside, vælger antal spillere og spillet kan starte. Eleverne holder selv styr på pointgivningen.

Goddag - ved du hvad...

Et eksempel på en lidt anderledes repetition:
Jeg har på forhånd på nogle ark skrevet en række repetitionsspørgsmål til et givet emne. I dette tilfælde havde jeg lavet 2 ark hver med 12 spørgsmål til trigonometri.
Hver elev får udleveret et af de to ark.
Den enkelte elev skal nu finde en klassekammerat, som kan besvare et af spørgsmålene. Eleven vælger fra arket, det spørgsmål, der skal besvares. Der må ikke vælges mellem spørgsmålene. Svaret skrives i stikordsform på arket og personen, som kunne svaret, skriver desuden under ud for spørgsmålet.
Eleven finder nu en ny klassekammerat, som stilles et af de øvrige spørgsmål på arket.
Det gælder selvfølgelig om at få udfyldt sit ark hurtigst muligt, dog med følgende regler:
1) Det skal være forskellige klassekammerater, der har svaret på spørgsmålene på arket.
2) Hvis en kammerat ikke kan besvare spørgsmålet, så skal man gå videre til en anden. Det er ikke tilladt at stille kammeraten et andet spørgsmål fra arket.
Ud over repetitionen, kommer eleverne op og stå og får rørt sig lidt - kan evt. kombineres med en Walk-and-Talk. Eller eleverne kan tvinges til lidt mere motion ved at placere dem på nogle poster, der har en vis indbyrdes afstand. Efter udveksling af spørgsmål skal eleven, der har stået længst tid på posten skifte til en anden post. Man kan desuden sige, at det ikke er er tilladt at stille spørgsmål til en på samme post mens der ventes på nye personer til posten.
Her er mine spørgsmål til trigonometri: Link

NB! Ideen har jeg "hugget" fra en deltager på matematiklærerforeningens HF-konference foråret 2015. Tak for ideen. Du kan se mere fra konferencen her: Link.

Differentialligninger - sådan gik det...

Det var så emnet differentialligninger - et emne som altid volder eleverne store problemer. I år har jeg struktureret gennemgangen på følgende måde:

• Kort introduktion til hvad en differentialligning er.
• Løsning af opgaver med differentialligninger til prøven uden hjælpemidler
• Løsning af opgaver med differentialligninger til prøven med hjælpemidler
• Grundigt arbejde med hvad en differentialligning er for noget og hvordan løsningerne hørende til differentialligninger ser ud - fokus på linjeelementer og plot af linjeelementer
• To beviser for differentialligningen y' = k*y (eksistens og entydighed samt brug af separationsmetoden) - de fagligt stærke elever fik også lov til at bevise separationsmetodens gyldighed.
• Projekt om logistisk vækst (afleveret som hjemmeopgave), hvor der blev fokuseret på karakteristika og beviser for løsningsformlen.
• I denne uge har vi haft 4 moduler (95 minutter). I de moduler har vi samlet op, holdt oplæg for hinanden (karakteristika og beviser) og indspillet en række videoer:
  mandag: Videoer der generelt beskriver differentialligninger samt video der forklarer karakteristika ved logistisk vækst (indledning til mundtlig eksamen)
  Tirsdag: Videoer med beviser (eksistens/entydighed samt separation) på løsningsformlen for y' = k*y
  Torsdag: Videoer med eksistens og entydighedsbevis for logistisk vækst
  Fredag: Videoer med separationsbevis for logistisk vækst samt arbejde med opstilling af differentialligninger ud fra sproglig forklaring.

De tre første dage skulle der optages to videoer. Jeg strukturerede det således, at eleverne var opdelt i grupper på 4-6. Halvdelen i hver gruppe forberedte grundigt den ene video, mens den anden gruppe forberedte den anden video. Inden videoerne måtte optages skulle gennemgangene vises for mig og den anden halvdel af gruppen.
Den sidste dag var eleverne også opdelt i mindre grupper. Alle forberedte samme bevis. Der blev trukket lod om hvem der skulle vise beviset for mig og hvem der skulle optage beviset på video.
Vi afsluttede forløbet med at evaluere forløbet og jeg blev lidt overrasket over elevernes feedback. Eleverne er langt mindre afskrækket af differentialligninger end min erfaring fra tidligere hold. Og det gælder både i relation til mundtlig og skriftlig eksamen. De fleste synes ikke differentialligninger er et sværere emne end andre emner. Det overrasker mig noget.
Hvorfor gik det tilsyneladende så godt?
Flere nævner at det er rart at starte med at løse opgaver, så man får en fornemmelse for emnet.
Selv tror jeg linjeelementerne er med til at give eleverne en god forståelse for løsningsfunktionerne og så at vi har brugt den sidste uge på at samle op på de relevante ting omkring differentialligninger. Her har eleverne haft tid til at fordybe sig i emnet og har haft mulighed for at arbejde grundigt med stoffet i mindre grupper.
Det var min fornemmelse, at det fungerede godt, at beviserne blev gennemgået to gange med en lille pause imellem. I første omgang arbejdede eleverne lidt mere uforpligtende med beviser - der fokuserede vi mest på bevisstrukturerne. Den grundige behandling af beviserne kom så her i denne sidste uge, da eleverne skulle gennemgå beviserne for hinanden og optage beviserne på video.
Jeg tror, jeg vil afprøve denne metode igen på et senere forløb - altså at afslutte et forløb med at lave en intensiv opsamling med beviser gerne optaget på video.

Repetition af funktionskarakteristika

Som afslutning på lineære og eksponentielle funktioner (potensfunktioner er udskudt - nu skal vi lavet noget andet end funktioner) har eleverne i dag lavet et opsamlingsark, som sammenligner de to vækstformer.
Eleverne var blevet bedt om at repetere stoffet ved at gennemlæse de relevante sider i deres væksthæfte.
I timen blev eleverne sat sammen i grupper på 3, hvor de skulle udfylde felterne i et skabelonskema nedenfor (Link).

Det fungerede fint, at skemaet blev udfyldt på en computer. Efterfølgende udvekslede eleverne, det udfyldte skema.
Jeg oplevede, at eleverne fik rigtig mange gode diskussioner ved udfyldelsen af skemaet.
For at få alle elever til at sige noget, vil jeg en anden gang stille som krav, at eleverne på skift  forklarer, hvad der skal stå i et af felterne. Den elev, som skal forklare et felt, må selv bestemme, hvilket felt der skal udfyldes.

Grupperepetition med lidt bevægelse

I 1g har min kandidat afholdt opsamling på lineære og eksponentielle funktioner i form af en lille konkurrence mellem grupper.
Konkurrencen fungerede fint, men hvis jeg skulle bruge konkurrencen ville jeg nok designe den på følgende måde:
Eleverne opdeles i grupper på 3-4 personer (3 er bedst), hvor det sikres at grupperne er nogenlunde lige gode mht. matematiske evner.
Grupperne placeres lidt spredt fra hinanden og i en vis afstand fra læreren. Jo større afstand jo mere motion.
Der konstrueres en række opgaver (gerne af varierende sværhedsgrad) som klippes i stykker, så der er en stak med opgaver til hver gruppe. Disse stakke placeres på lærerens bord.
Gruppernes opgave er nu at løse så mange af opgaverne som muligt på tid. Vi spillede i ca. 30 min og det var et passende tidsinterval. Ved længere tid tror jeg eleverne vil miste lysten.
Spillet startes ved at en fra hver gruppe henter opgave 1, som så skal løses af gruppen i fællesskab. Når gruppen har et bud på opgavens resultat, bringes svaret til læreren, som skal godkende svaret. Hvis svaret er forkert må eleven returnere til gruppen, som forsøger at bestemme den korrekte løsning. Ved korrekt svar går gruppen gå videre til næste opgave.
Lærerne noterer løbende på tavlen, hvilke grupper der har løst hvilke opgaver. Det fungerer i hvert fald udfordrende i klasser, der kan lide at konkurrere.
Hvis en gruppe ikke kan løse en opgave, så må de gerne fortsætte til næste opgave. Senere kan gruppen, hvis tiden tillader det, vende tilbage til oversprungne opgaver.
Sørg for at opgave1 ikke er for svær. Ellers kan man risikere, at grupper "falder sammen" inden spillet rigtigt er kommet i gang.

Hvem husker det først... ?

Jeg havde behov for lidt afveksling til at træne 1g-ernes forståelse af diverse begreber. Konkret i relation til lineære og eksponentielle funktioner.
Eleverne blev inddelt i grupper på helst 4 personer og helst på samme faglige niveau. Grupperne placerede sig omkring hver sit et bord, hvor alle kunne nå den genstand, som lå midt på bordet. Det kan f.eks. være et viskelæder, en tusch... Vælg ikke noget der kan gå i stykker (mobiltelefon) eller noget der er skarpt (blyant). I enkelte grupper kan det gå lidt vildt til.
Jeg havde lavet en række spørgsmål, som hver gruppe fik udleveret. Spørgsmålene havde jeg limet op på gamle spillekort. Tykt papir eller laminering er selvfølgelig også en mulighed.
Der trækkes lod om, hvem der skal læse første spørgsmål op, da den der læser op ikke må svare på spørgsmålet.
Når spørgsmålet er læst op, tager man genstanden på bordet, hvis man kender svaret. Den der er hurtigst får lov til at svare. Svares der forkert, straffes man med at skulle læste næste spørgsmål op (så må man nemlig ikke svare). Spørgsmålet, der ikke blev besvaret korrekt, lægges nederst i bunken med spørgsmål.
Ved korrekt svar (de andre i gruppen skal godkende svaret) får man et point og skal samtidig læse næste spørgsmål op.
Dokumentet med spørgsmålene ligger her (Link).
Jeg tror dokumentet overholder Sidsels regler (Et lærervenligt layout). Hvis ikke beklager jeg selvfølgelig, men det er et dokument, jeg har lavet for nogle år siden :-).

Så skal der spilles julebanko

Sidste skoledag og sidste time med matematik - eleverne forventer en anderledes time...
I år bliver det to forskellige spil, som selvfølgelig har et matematisk indhold.
Vi starter med en lille konkurrence, hvor eleverne er inddelt i grupper på 3. Hver gruppe får udleveret et tarsia-puslespil (se evt. en beskrivelse af programmet på hjemmesiden Elevaktivering i matematik udarbejdet af matematiklærerforeningen  Link) med potensregnereglerne. Grupperne konkurrerer om hurtigst muligt at samle figuren korrekt, så udtrykkene på sidefladerne, der lægger op mod hinanden, betyder det samme. Jeg røber ikke for eleverne, at figuren bliver en "diamant".
Der findes 9 eksemplarer i forskellige farver (3 sider til hvert puslespil) i pdf-format her (Link)
Resten af tiden går med julebanko. Hver elev får en spilleplade med 12 svar (Link - de to første sider er spørgsmål og løsninger). Spørgsmålene hører til det gennemgåede stof.
De enkelte spørgsmål "udtrækkes" via en PowerPoint (Link).

Præmier - ja jeg fik jo ikke sagt til eleverne, at de skal medbringe præmier. Så jeg har besluttet, at præmierne skal være KUGLEPENNE/BLYANTER. Eleverne har jo ALDRIG skriveredskaber med til timerne. :-)

God jul til eventuelle læsere af denne blog (man skriver jo lidt i blinde...)

20 spørgsmål til ...

I onsdags deltog jeg i en konference om Sproget i matematik. Formålet var at udvikle ideer til træning af elevernes matematiksprog.
Der kommer en hjemmeside om emnet inden længe.
Inspireret af en af øvelserne vil jeg inden jul, hvis jeg kan nå det, afprøve følgende lille øvelse til træning af karakteristika ved lineære funktioner:
Alle elever får et tomt koordinatsystem i størrelse som post-it sedler (Link). Herpå skal hver elev indtegne grafen for en lineær funktion med pæne a- og b-værdier.
Herefter leges quiz og byt, hvor eleverne finder en makker og man skal så gætte forskriften på hinandens lineære funktioner.
Min makker og jeg stiller på skift spørgsmål til hinandens graf. Dermed kan vi konkurrere om hurtigst at gætte forskriften for den andens graf. Det er kun tilladt at stille Ja/Nej-spørgsmål.
Når begge funktioner er gættet, byttes papiret med grafen og man finder en ny makker.
Hvis klassen er glad for konkurrencer, kan man lade vinderen i hver "omgang" notere sig et point.

Jeg tænker at selve øvelsen kan benyttes til f.eks. træning af formler, begreber, konstanternes fortegn for parabler, ...
Man kan overveje om der skal sættes begrænsning på hvilken type spørgsmål, der må stilles. Jeg kan forestille mig at nogle af øvelserne hurtigt bliver lidt trivielle, hvis det er de samme spørgsmål man stiller hver gang.

Quizprogrammet Socrative

Jeg syntes, jeg havde et behov for at få testet mine 1g-elever i forhold til de ting vi har gennemgået frem til efterårsferien.
Jeg oprettede derfor en quiz via hjemmesiden Socrative (Link). Læreren skal oprettes som bruger, mens eleverne blot bliver bedt om at indtaste lærerens "Room number", når de skal gennemføre quizzen.
Det er muligt at oprettet 3 typer spørgsmål:
 - sand/falsk med mulighed for angivelse af korrekt svar
- multiple choice med mulighed for angivelse af korrekt svar
- spørgsmål, hvor der skal svares med tekst.

Jeg kan løbende følge hvem der har udfyldt quizzen og jeg kan hurtigt tjekke de enkelte svar.



De grønne felter er korrekte svar, mens de røde er forkerte svar. De blå felter er tekstfelter, hvor jeg ikke har angivet noget korrekt svar.
Statistikken for hvert spørgsmål kan jeg desuden se ved at klikke på de enkelte spørgsmål.



Vi arbejdede efterfølgende med spørgsmålene i timen, hvor vi tog spørgsmålene et af gangen. Ved hvert spørgsmål diskuterede eleverne to og to, hvad det korrekte svar var.
I tekstspørgsmålene viste jeg eleverne alle indtastede svar (uden navne selvfølgelig) og jeg bad så eleverne finde de korrekte/forkerte svar samt finde det bedste svar.

Eleverne syntes det var en god lektie, idet de heldigvis også opfattede quizzen som en lille selvtest. Jeg synes quizzen fungerede godt som en forpligtende lektie, hvor alle elever også havde mulighed for at blive aktiveret ved selve gennemgangen af quizzen.
Det var intet problem at have quizzen kørende i 5 dage.
Når quizzen afsluttes, kan resultatet gemmes i f.eks. en Excel-fil eller jeg kan blot hente resultatet frem senere.
Socrative kan en del mere en beskrevet her - så opret dig som bruger og prøv dig frem. Siden er meget nem at gå til og har fornylig fået et flot layout. I forhold til mit tidligere indlæg "Quiz som lektielæsning" (Link), så er Socrative blevet forbedret en del.
På bloggen "Digital dannelse i Gymnasiet" har der også lige været et indlæg om Socrative, som beskriver en anden facilitet i programmet (Link)

Differentialregning repetition - stamfunktion opstart

Integralregning står på programmet i 3g, så vi starter selvfølgelig med stamfunktioner og sammenhængen med differentialregning.
Til dagens time skulle eleverne repetere differentationsreglerne, samt lave 5 differentiationsopgaver der også skulle regnes.
I timen satte jeg eleverne sammen to og to. Første elev stillede den anden elev en af sine opgaver. Elev nr. to skulle nu differentiere funktionen og samtidig forklare hvilke regneregler, som anvendes. Dermed får jeg også mundtlighed på banen. Når opgaven er regnet sammenlignes de svar som elev 1 og 2 har fået og der "forhandles" om en entydig løsning, hvis der er uoverensstemmelse. Herefter byttede eleverne rolle.
Hvert par fik desuden udleveret 6 stykker papir, hvorpå de skulle angive opgaven på den ene side og svaret på den anden side. Jeg havde klippet et hjørne af i den ene side. Eleverne SKULLE så skrive funktionen, som skulle differentieret på den side af arket, hvor de afklippede hjørne er øverst til højre og svaret på den anden side. Dermed kan jeg nemt sortere arkene, så de oprindelige funktioner er på samme side.
Da opgavearkene var færdige, trænede eleverne lidt mere differentiation ved at trække forskellige opgaver.
Vi tog nu en kort snak om begrebet stamfunktioner og forsøgte at gætte nogle stamfunktioner hørende til funktioner, jeg havde skrevet til tavlen.
Efter lidt træning på tavlen blev eleverne igen sluppet løs med de konstruerede opgaveark. Denne gang skulle de gætte stamfunktion. Dvs. eleverne skulle tage udgangspunkt i funktionen på siden, hvor det afklippede hjørne var øverst til venstre.
Alt i alt en god time, hvor vi fik repeteret en hel del differentiation.
I næste modul vil vi give os i kast med at bevise regnereglerne for stamfunktioner.