Repetition - med lidt bevægelse

Det har godt nok været sløjt med mine indlæg i efteråret 2016. Det er ikke nye ideer, som har manglet men snarere tid. Der har været mange andre gøremål. Her på falderebet til 2017 vil jeg præsentere en form for repetition, som jeg har lavet med min 3g-klasse.
Repetitionen handlede om vektorer i 2 dimensioner, men formen på øvelsen kan kopieres til andre former for repetition. I bunden af indlægget er der angivet et par andre ideer.
Efter en pause med vektorer var det tid til at få gennemgået vektorer i rummet, hvorfor det var naturligt at indlede med en repetition af vektorer i planen. Jeg fandt alle relevante formler frem (tak til formelsamlingen) og klippede dem ud, så der var en formel på hvert ark. Disse ark satte jeg op i et af vores fællesarealer.
Eleverne blev nu sat sammen i par, hvor hvert par blev udstyret med sedler i 3 forskellige farver. Jeg brugte grøn, gul og rød.
Farverne på sedlerne havde en betydning i relation til, hvad der skulle skrives på sedlen:
Grøn: Grafisk illustration af formlen (hvor det er muligt)
Gul: Sproglig beskrivelse af hvad formlen kan bruges til
Rød: Eksempel på opgave, hvor formlen kan benyttes.
Hvert par vælger nu en af de ophængte formler og udfylde en grøn, gul eller rød seddel. Sedlen hænges op ved siden af formlen med bagsiden udad, så det ikke kan ses, hvad der er skrevet på sedlen.
Parret går nu videre til en ny formel. Der skal være så mange formler at jeg kan kræve at der ikke må stå to par ved samme formel.
I første omgang må der ved hver formel kun hænge en rød, gul og grøn seddel. Så hvis man kommer til en formel, hvor der allerede hænger en grøn seddel, så skal parret vælge en rød eller gul seddel.
I og med at parrene har 2-3 sedler af hver farve, så kan man ikke nøjes med kun at lave f.eks. grafiske illustration. Det er først når et par har brugt alle deres sedler, at de kan få ekstra sedler af mig.
Kommer man til en formel, hvor der også hænger farvede sedler, så tales først om, hvad der mon står på sedlerne og efterfølgende tjekkes ved at vende sedlen. Herefter må parret udfylde en ny seddel.
Der kan evt. tillades flere sedler af samme farve, hvis der er flere muligheder ved en formel.
Da alle formler var blevet beskrevet, skulle parrene gennemgå alle formler, hvor det først skulle diskuteres, hvad der forventes at stå på de farvede sedler og efterfølgende tjekkes det, hvad der rent faktisk står på sedlerne.
Jeg forestiller mig at denne form for repetition f.eks. kan benyttes ved
- almindelig repetition af formler
- ved at angive forskrift for forskellige funktioner
- ved at angive grafer for forskellige funktioner
- ved eksamensopgaver, hvor man skal finde relevant formel

Eksempel med vektorformler.
- ...

Læsning af matematiktekster

"Der er ingen idé i at lade eleverne læse i matematik: Det kan de alligevel ikke finde ud af!"
Sådanne og lignende bemærkninger synes jeg tit, man hører. Og ja eleverne er ikke gode til at læse matematik, men så må vi da lære dem det.
Og løsningen er efter min mening ikke at droppe læselektier. Specielt ikke for hold, hvor der er mulighed for at eleverne vælger at skrive SRP i blandt andet matematik.
Vi er nødt til at træne eleverne i læsning af matematiske tekster. Vi skal starte med små simple tekster med megen hjælp og langsomt introducere mere og mere komplekse tekster med mindre og mindre hjælp. Vi kan ikke forvente at eleverne ved hvordan de læser og bearbejder en matematisk tekst.
I min 2g-klasse er vi netop begyndt på plangeometri. Det er en klasse, som gerne vil arbejde selvstændigt med stoffet, så i dette forløb har jeg besluttet, at den enkelte elev kan vælge, om de vil arbejde med stoffet selv ud fra en overordnet plan, jeg har lavet, eller de vil være knapt så frit stillet, hvor jeg styrer stofgennemgangen noget mere.
Vektorer er ikke specielt svært matematik (selvom abstraktionsniveauet kan drille eleverne lidt), så jeg tør godt kaste eleverne ud i selv at sætte sig ind i stoffet.
Eleverne, som arbejder selv, vil jeg give en del frirum men samtidig selvfølgelig også indlægge nogle perioder i timerne, hvor de skal holde mindre oplæg for mig. De skal selv sørge for at sætte sig ind i stof, som er relevant til den mundlige henholdsvis skriftlige eksamen.
Jeg har opdelt arbejdsplanen i mindre områder, hvortil jeg har knyttet centrale nøgleord. Det har jeg gjort for at gøre stoffet mere overskueligt at gå til og for at vise eleverne, hvilke elementer der er specielt centrale i hvert område.
Til hvert område er der tilknyttet valgfrie dokumenter samt relevante sider fra matematikbogen. Starten på arbejdsarket ser således ud:

Beviser på smartpen

I stedet for at lade eleverne læse beviser i bogen, bruger jeg nogle gange en smartpen-præsentation(http://www.livescribe.com/ eller http://www.smartpen.dk/) som lektie.
Fordelen ved sådanne præsentationer er, at der knyttes mundtlige kommentarer til teksten.
Smartpen fungerer ved, at der skrives med en speciel pen på et specielt type papir. Pennen indeholder mikrofon og kamera, således at pennen bl.a. husker, hvor og hvornår der skrives på papiret, hvilket kobles med det som indtales. Alt dette kan nu gemmes i pdf-format, som kan afspilles dynamisk med Acrobat Reader version X eller senere. Acrobat Reader er gratis - programmet kan hentes her (husk at fravælge det valgfrie tilbud!).
I dette konkrete tilfælde skulle eleverne arbejdet med projektion af vektor på vektor - præsentationen ligger her. Filen skal downloades og åbnes i Acrobat Reader for at få det optimale udbytte - klik på teksten.
Jeg bad eleverne gennemhøre beviset for projektion af vektor a på vektor b. Lektien til dagens time var så, at de skulle kunne gennemgå beviset for projektion af vektor b på vektor a. Det var med vilje, at jeg byttede rundt på vektorerne. Det skulle få eleverne til at være mere opmærksomme og så ville de være nødt til at skrive noter.
Jeg syntes det fungerede godt - eleverne havde forstået langt det meste af beviset.
Skærmbillede af et lille udsnit af smartpen-præsentationen:

Quiz som lektielæsning

Får eleverne regnet de opgaver, de har fået for hjemme? Jeg er lidt bange for at for mange sidder og gemmer sig i timerne, hvis det er muligt.
Jeg gør meget ud af at eleverne føler sig udenfor, hvis de ikke har læst lektier. Det er vigtigt at få opbygget en kultur i klassen, hvor man laver sine lektier.
En (sjov) måde at tjekke om eleverne laver lektier er at lave en online quiz, som de skal besvare hjemme. Så kan jeg se, hvem der laver lektier og hive fat i de elever, som ikke har besvaret quizzen.
Jeg bruger hjemmesiden Socrative. Når jeg som lærer registrerer mig, får jeg tildelt et Room number. Det er blot dette nummer, jeg skal give eleverne, når jeg vil have dem til at besvare en quiz. Jeg laver blot quizzen (spørgsmålstyper: multiple choice og tekstfelt - det er muligt at indsætte billeder) og starter den. Quizzen kan sagtens være åben over flere dage.
Jeg havde lavet en lille quiz i vektorer til min 2g-klasse, blot for at tjekke om det mest basale var på plads. Det tror jeg, eleverne syntes godt om.
Når quizzen stoppes, kan resultaterne gemmes i et Excel-regneark. Hvis jeg ved oprettelsen af spørgsmålene har angivet de korrekte svar, vil de korrekte svar være markeret med grøn baggrund og "forkerte" svar med rød baggrund. I opgaver, hvor tekstsvar skal indtastes, kan man også indtaste korrekt svar, men så skal det indtastede tegn for tegn være identisk med det korrekte svar. Derfor kan korrekte svar godt være angivet som forkerte - f.eks. hvis der er indsat et ekstra mellemrum.
Ved at vise eleverne alle indtastede svar (selvfølgelig uden elevnavn) kan man sætte eleverne til at diskutere svarene. Hvilke af de forkert-markerede svar er faktisk korrekte? Hvad har eleven tænkt, der hvor svaret er forkert?...

Metodetræning og bevisførelse (skalarprodukt)

Jeg er stor tilhænger af den eksperimentelle tilgang til nyt stof - som f.eks. er beskrevet under Vektorer opstart, hvor vi har beskæftiget os med indledende vektorregning samt karakteristika ved skalarprodukt.
I dag diskuterede jeg med klassen, hvilken metode som benyttes ved en sådan eksperimentel udledning af karakteristika og formler.
Heldigvis forslog eleverne den naturvidenskabelige metode som f.eks. anvendes i fysik. Det gav anledning til en snak om forskelle på matematiske og naturvidenskabelige metoder.
Konklusionen blev hurtigt, at matematiklæreren og -eleven ikke ville være tilfreds. Vi må have fat i definition samt sætning med tilhørende beviser.
Jeg har tilrettelagt et sådant forløb med skalarproduktet for formelt at få bevist de karakteristika som tidligere øvelser har tydet på.
Eleverne opdeles i hold på 2-3 personer, som får en opgaveformulering der enten tager udgangspunkt i den analytiske eller den geometriske definition af skalarproduktet.
Eleverne skal herefter arbejde med beviser, hvor deres definition anvendes. Det er tanken, at eleverne skal lære, at det ikke altid er entydigt, hvad man skal vælge som definition. Samtidig skal eleverne se, at bevis for sætninger kan have varierende sværhedsgrad alt efter valg af definition.
Eleverne laver en lille lærebog om skalarproduktet - afleveres som hjemmeside.
Til sidst i forløbet dannes grupper bestående af elever som har arbejdet med geometrisk henholdsvis analytisk definition. Eleverne gennemgår nu "deres" beviser for hinanden.
De udleverede opgaveformuleringer: Analytisk, Geometrisk.

Vektorer opstart

Jeg prøvede for første gang sidste år at gennemgå plangeometrien i 2g. Det havde jeg gode erfaringer med, så det vil jeg gentage med min 2g i år.
Det indledende om vektorer er jo mest en forståelse for begrebet vektorer samt hvordan man kan regne med disse - både algebraisk og geometrisk.
Jeg foretrækker, at eleverne selv arbejder med stoffet, så de forhåbentlig selv kan erkende karakteristika ved vektorer.
Eleverne arbejder i par med en række eksperimenterende opgaver, som løses ved hjælp af Geogebra. Det er vigtigt, at elevernes fokus er på matematik. De skal således nedskrive deres erkendelser, så disse senere kan udveksles og diskuteres. Det er vigtigt at elevernes konklusioner bruger forskellige repræsentationer: grafisk, algebraisk og de opfordres desuden til at komme med bud på gyldige formler.
Jeg udleverer følgende to dokumenter til eleverne:
1) Introduktion til vektorer (Link)
2) Introduktion til skalarprodukt (Link)