Gange to tal - sjov egenskab...

Jeg kan godt lide at give eleverne opgaver, hvor de selv skal komme med teorier/påstande, som vi så kan undersøge rigtigheden af.

En sådan lille opgave kunne f.eks. være:
1) Tegn f.eks. i Geogebra funktionen f(x)=x².
2) Placer to punkter på parablen, hvor det ene skal have negativ x-værdi og det andet skal have positiv x-værdi. Vælg i første omgang hele tal som x-værdier.
3) Forbind de to punkter med en ret linje.
4) Hvilken sammenhæng er der mellem de to punkter på parablen og linjens skæring med y-aksen? Prøv forskellige ”pæne” punkter, som nedskrives i en tabel.
5) Kan du bevise din påstand? Start med udregning for to konkrete punkter og prøv så med x-værdierne x₁ og x₂.

En anden måske lidt sværere opgave er:
1) Afsæt 4 tilfældige punkter og forbind dem til en firkant.
2) Konstruer midtpunkterne på de 4 sider og forbind disse punkter til en ny firkant.
3) Hvad ser du? Er det altid sådan? Kan du bevise det?

Trigonometriske funktioner

Jeg plejer altid at introducerer sinus og cosinus i forbindelse med trigonometri. Min 1g-klasses fysiklærer vil arbejde med harmoniske svingninger, så det vil jo være naturligt, at vi laver et samarbejde. Klassen har imidlertid ikke arbejdet med trigonometri endnu, så jeg valgte derfor at indføre sinus og cosinus som funktioner i stedet for nyttige kommandoer til trigonometri.
Jeg tilrettelagte forløbet eksperimenterende så eleverne i nævnte rækkefølge skulle:
- Konstruere enhedscirkel og til udvalgte vinkler mellem 0 og 90 grader aflæse x- og y-værdi for det tilhørende retningspunkt.
- Sprogligt opstille regler for bestemmelse af x- og y-værdi for alle tænkelige retningspunkter ud fra de aflæste værdier mellem 0 og 90 grader.
- Vi definerer nu sinus og cosinus (det er jo blot nogle navne!) og eleverne skal opstille de fundne regler matematisk
- Brug reglerne til at tegne funktionerne sin(x) og cos(x) på millimeterpapir i intervallet 0 til 800 grader.
- Radianer indføres og der arbejdes med sammenhængen mellem grader og radianer samt forskelle på de tilhørende funktioner for sinus og cosinus..
- Endelig undersøger eleverne den trigonometriske funktion f(x) = A Sin(bx + c) + d ved hjælp af skydere.

De tre arbejdsark, som eleverne arbejdede med ligger her (Link).
Jeg blev positivt overrasket over, hvor hurtigt eleverne fangede begreberne. De var rigtig gode til selv at konkludere ud fra deres eksperimenter.
Nu er det blot spændende at se, hvor meget der hænger fast efter påske, når de trigonometriske funktioner skal bruges i fysik, og de dukker op i hjemmeopgaver i matematik.
 

Goddag - ved du hvad...

Et eksempel på en lidt anderledes repetition:
Jeg har på forhånd på nogle ark skrevet en række repetitionsspørgsmål til et givet emne. I dette tilfælde havde jeg lavet 2 ark hver med 12 spørgsmål til trigonometri.
Hver elev får udleveret et af de to ark.
Den enkelte elev skal nu finde en klassekammerat, som kan besvare et af spørgsmålene. Eleven vælger fra arket, det spørgsmål, der skal besvares. Der må ikke vælges mellem spørgsmålene. Svaret skrives i stikordsform på arket og personen, som kunne svaret, skriver desuden under ud for spørgsmålet.
Eleven finder nu en ny klassekammerat, som stilles et af de øvrige spørgsmål på arket.
Det gælder selvfølgelig om at få udfyldt sit ark hurtigst muligt, dog med følgende regler:
1) Det skal være forskellige klassekammerater, der har svaret på spørgsmålene på arket.
2) Hvis en kammerat ikke kan besvare spørgsmålet, så skal man gå videre til en anden. Det er ikke tilladt at stille kammeraten et andet spørgsmål fra arket.
Ud over repetitionen, kommer eleverne op og stå og får rørt sig lidt - kan evt. kombineres med en Walk-and-Talk. Eller eleverne kan tvinges til lidt mere motion ved at placere dem på nogle poster, der har en vis indbyrdes afstand. Efter udveksling af spørgsmål skal eleven, der har stået længst tid på posten skifte til en anden post. Man kan desuden sige, at det ikke er er tilladt at stille spørgsmål til en på samme post mens der ventes på nye personer til posten.
Her er mine spørgsmål til trigonometri: Link

NB! Ideen har jeg "hugget" fra en deltager på matematiklærerforeningens HF-konference foråret 2015. Tak for ideen. Du kan se mere fra konferencen her: Link.

Udveksling af beviser

Lektien til dagens time i 2g var 4 små trigonometri-beviser. Eleverne var på forhånd delt op så eleverne hver skulle forberede et bevis grundigt samt et bevis mindre grundigt.
Jeg havde fundet beviserne på Youtube - ikke alle var eksemplariske men det var blot med til at gøre eleverne mere opmærksomme ved forberedelsen.
I starten af timen blev eleverne samlet i grupper, hvor alle havde forberedt sig grundigt på samme bevis. Disse grupper skulle nu på 20 minutter få fuldstændig styr på beviset samt optage en eksemplarisk fremlæggelse af beviset på video. Videoen blev straks uploadet til Youtube og vores trigonometri-hjemmeside. Der var 6 elever i hver gruppe.
Eleverne var blevet bedt om specielt at være opmærksomme på at præcisere, hvad sætningen siger samt selve starten på bevist (se tidligere indlæg: Start på bevis...).
Resten af modulet var opdelt i sekevenser på 15 minutter efter følgende princip:
2 elever bliver i lokalet mens de 4 øvrige elever går videre til næste lokale for at se et af de andre beviser. De samme to elever må ikke blive under to seancer i samme lokale. Det burde skærpe tilhørernes opmærksomhed, da de kan blive de næste som skal fremlægge beviset.
Jeg ved ikke om det var fordi eleverne gik døde (det virkede ikke sådan), men eleverne blev hurtigere og hurtigere til at gennemgå beviserne.
På 95 minutter fik vi gennemgået 4 beviser oven i købet optaget på video og alle elever nåede at fremlægge mindst et bevis. Det var en god og effektiv time, hvilket også eleverne gav udtryk for.
Vedhæftet lektien til dagens time: Link.

Bevisgennemgang

Efter eleverne nu har fået gennemgået de centrale beviser hørende til trigonometri, så skal vi i dag træne beviser. Jeg vil bl.a. bede eleverne fokusere på starten af beviset (se evt. indlægget Start på bevis).
Det er vigtigt for mig, at eleverne aktives også under bevisgennemgangen. Så derfor har eleverne til dagens time fået ét bevis, som de skal forberede hjemme, så beviset kan gennemgås i klassen. Jeg har fordelt beviserne (cosinusrelation (2 forskellige beviser, cosinusrelation i stumpvinklet trekant, samt arealformel og sinusrelation), så de bedste elever får de sværeste beviser (cosinusrelationen i stumpvinklet trekant - de skal selv lave beviset).
På en tavle gennemgår eleverne nu i grupper på 6 gennemgå eleverne nu i fællesskab deres forberedte bevis. Jeg har sørget for et klasselokale til hver gruppe. Herefter opdeles hver 6-mands gruppe i 2 undergrupper på hver 3 medlemmer. I disse mindre grupper skal beviset optages på video og efterfølgende uploades til vores trigonometri-hjemmeside. Vi får således hvert bevis gennemgået i to videoer.
Hver elev får selvfølgelig kun repeteret ét bevis, men videoerne vil bliver brugt som forberedelse til næste modul, hvor vi vil lege "Kom og lær et bevis".
Vi  bruger ikke hele modulet på beviserne - resten af modulet benyttes til træning i at gennemskue hvilken trekantformel, der skal bruges i hvilken situation.

Trigonometri

Så blev det hverdag - alt for tidligt....
Med min 2g-klasse skal vi i gang med trigonometri. Jeg skyder altid dette emne til 2g, da beviserne er så simple at eleverne faktisk selv kan udlede dem, hvis de får lidt hjælp (stikord).
Eleverne skal i første omgang eksperimentere med Geogebra (www.geogebra.org), som er et fantastisk program til at "prøv dig frem og konkluder".
Jeg har aftalt med eleverne, at de i grupper skal lave en interaktive lærebog i form af en hjemmeside (Google sites), der bl.a. skal indeholde video (gemt på YouTube) samt en Screencast (www.screencast-o-matic.com).

Link til elevernes arbejdsdokument: Ensvinklede og retvinklede trekanter