Gange to tal - sjov egenskab...

Jeg kan godt lide at give eleverne opgaver, hvor de selv skal komme med teorier/påstande, som vi så kan undersøge rigtigheden af.

En sådan lille opgave kunne f.eks. være:
1) Tegn f.eks. i Geogebra funktionen f(x)=x².
2) Placer to punkter på parablen, hvor det ene skal have negativ x-værdi og det andet skal have positiv x-værdi. Vælg i første omgang hele tal som x-værdier.
3) Forbind de to punkter med en ret linje.
4) Hvilken sammenhæng er der mellem de to punkter på parablen og linjens skæring med y-aksen? Prøv forskellige ”pæne” punkter, som nedskrives i en tabel.
5) Kan du bevise din påstand? Start med udregning for to konkrete punkter og prøv så med x-værdierne x₁ og x₂.

En anden måske lidt sværere opgave er:
1) Afsæt 4 tilfældige punkter og forbind dem til en firkant.
2) Konstruer midtpunkterne på de 4 sider og forbind disse punkter til en ny firkant.
3) Hvad ser du? Er det altid sådan? Kan du bevise det?

Læsning af matematiktekster

"Der er ingen idé i at lade eleverne læse i matematik: Det kan de alligevel ikke finde ud af!"
Sådanne og lignende bemærkninger synes jeg tit, man hører. Og ja eleverne er ikke gode til at læse matematik, men så må vi da lære dem det.
Og løsningen er efter min mening ikke at droppe læselektier. Specielt ikke for hold, hvor der er mulighed for at eleverne vælger at skrive SRP i blandt andet matematik.
Vi er nødt til at træne eleverne i læsning af matematiske tekster. Vi skal starte med små simple tekster med megen hjælp og langsomt introducere mere og mere komplekse tekster med mindre og mindre hjælp. Vi kan ikke forvente at eleverne ved hvordan de læser og bearbejder en matematisk tekst.
I min 2g-klasse er vi netop begyndt på plangeometri. Det er en klasse, som gerne vil arbejde selvstændigt med stoffet, så i dette forløb har jeg besluttet, at den enkelte elev kan vælge, om de vil arbejde med stoffet selv ud fra en overordnet plan, jeg har lavet, eller de vil være knapt så frit stillet, hvor jeg styrer stofgennemgangen noget mere.
Vektorer er ikke specielt svært matematik (selvom abstraktionsniveauet kan drille eleverne lidt), så jeg tør godt kaste eleverne ud i selv at sætte sig ind i stoffet.
Eleverne, som arbejder selv, vil jeg give en del frirum men samtidig selvfølgelig også indlægge nogle perioder i timerne, hvor de skal holde mindre oplæg for mig. De skal selv sørge for at sætte sig ind i stof, som er relevant til den mundlige henholdsvis skriftlige eksamen.
Jeg har opdelt arbejdsplanen i mindre områder, hvortil jeg har knyttet centrale nøgleord. Det har jeg gjort for at gøre stoffet mere overskueligt at gå til og for at vise eleverne, hvilke elementer der er specielt centrale i hvert område.
Til hvert område er der tilknyttet valgfrie dokumenter samt relevante sider fra matematikbogen. Starten på arbejdsarket ser således ud:

Introduktion til chi2

I dag er jeg i min 1g-klasse startet på chi2-test. Det bliver en lidt forhastet gennemgang, da vi skal benytte chi2-test i et AT-forløb efter påske.
I det første modul har jeg med klassen arbejdet med, hvordan man kan afgøre, om der er forskel på observerede værdier og forventede værdier. Eleverne arbejder med opgaver, hvor de bl.a. skal komme med forslag til, hvordan man vurdere forskel mellem observerede og forventede værdier.
Opgaverne er også designet, så stikprøvens størrelse kan diskuteres.
Det er selvfølgelig meningen at vi ved fælles hjælp, når frem til formlen for bestemmelse af chi2-teststørrelsen.
Om den fundne teststørrelse så er stor eller lille lader jeg hænge lidt i luften som en lille cliffhanger.

Helt bevist introducerer jeg ikke de smarte kommandoer i Maple til udregning af teststørrelse og p-værdi. Det er vigtigt for mig, at eleverne kan foretage beregningerne "manuelt". Det er med til at give eleverne en bedre forståelse for, hvad der sker. Der kan jo afhængig af antal frihedsgrader være lidt mange beregninger, så det er planen, at eleverne selv skal opbygge et regneark, der kan benyttes til at bestemme teststørrelsen.
Det benyttede arbejdsark ligger her: Link
Selve modulet var struktureret som en vekselvirkning mellem diskussioner i par og opsamling på klassen. Vi nåede næsten at gennemgå hele arbejdsarket.
Nu er det blot spændende om eleverne overhovedet kan huske noget, når vi mødes igen efter påske. Jeg tror lektien bliver, at de skal løse en lignende opgave - sikkert en stilladseret version af en tidligere eksamensopgave.

Eksamensopgaver - anderledes aflevering

Når eksamen nærmer sig, regner vores hold typisk rigtig mange eksamensopgaver. Jeg tror godt, vi kan få mere ud af elevtiden ved ikke kun at bede eleverne regne en masse eksamensopgaver, som de skal kunne ved den skriftlige eksemen.
Nedenfor er lidt forskellige ideer til, hvordan man kan arbejde lidt anderledes med f.eks. eksamensopgaver (nogle af ideerne har jeg beskrevet tidligere) :
1) Fokus på kommentarer i besvarelsen
Jeg har regnet alle opgaver. Elevernes opgave er nu at skrive de ledsagende kommentarer, så besvarelsen opfylder de "5 pinde" til layout.
En lille sidegevinst er, at jeg f.eks. kan vise eleverne smarte løsningsmetoder i matematikprogrammet.
2) Fokus på udregninger
Jeg har skrevet de ledsagende kommentarer og eleverne skal så udfylde med beregninger. Alternativt kan man bede eleverne alene fokusere på beregninger, så de ikke behøver bruge så meget tid på skrivning af tekst.
3) Specielt fokus i besvarelsen
Jeg angiver en række fokuspunkter, som eleverne skal væres specielt opmærksomme på i besvarelse. Det kunne f.eks. være at medtage ledsagende grafer og at markere beregnede løsninger på grafen. Eller det kunne være at der skal opstilles og argumenteres for ligninger, inden der indsættes i solve.
Man kunne også bede eleverne selv finde 5 fokuspunkter fra feedback, de har fået i tidligere hjemmeopgaver.
Bed altid eleverne angive fokuspunkterne i starten af deres besvarelse. Det skærper forhåbentlig deres opmærksomhed på punkterne.
4) Fokus på metoden
I stedet for at regne alle opgaver i et eksamenssæt, så kunne man i nogle af opgaverne bede eleverne forklare den metode, der skal benyttes til at løse opgaven.
5) Flere om et eksamenssæt
Lad eleverne være sammen 2 og 2 om at regne et eksamenssæt. I et modul med omlagt undervisning gennemgår eleverne i par alle opgaver og nedskriver metoder. Herefter uddeler eleverne opgaverne og regner individuelt.
Lige før aflevering (f.eks. i en matematiktime) får parrene tid til at sammensætte deres besvarelse og til at gennemgå hele besvarelsen, så begge synes hele besvarelsen er tilfredsstillende.
Alternativt kan eleverne indledningsvis blot fordele opgaverne som de hver i sær skal regne. Der er så afsat et modul med omlagt skriftlighed lige inden aflevering, hvor eleverne finpudser den samlede besvarelse. Det er vigtigt her, at eleverne bruger tid på at gennemgå alle opgaveløsninger.
6) Hele klassen indleder i fællesskab
Alle elever i klassen har et blankt stykke papir og en blyant.
Første spørgsmål i hjemmeopgaven vises på storskærm og eleverne har nu 1 minut til at nedskrive ideer/løsningsmetode til spørgsmålet.
Efter 1 minut rækkes papir til sidemanden og alle har nu 1 minut til at kommentere 2. spørgsmål.
Processen fortsætter gennem hele opgavesættet.
Dermed får alle stikord, der kan bruges ved løsning af hjemmeopgaven.
Det er nok de svageste elever, som får mest ud af stikordene, men de gode elever får fin træning i hurtigt at spotte løsningmetoder.
7) Fokus på tjek af løsninger
Find en gammel hjemmeopgave frem - evt. den eleverne lige har fået tilbage. Elevernes skal nu finde på måder at tjekke resultaterne på.

Begrebsindlæring med matematikprogram (Geogebra)

I disse uger holder jeg en række oplæg om brugen af matematikprogram til bl.a. styrkelse af elevernes begrebsindlæring og træning af ræsonnementskomptence.
Det er min erfaring, at hvis eleverne selv eksperimenterer sig frem til erkendelser, så er det også nemmere at huske frem for, at læreren står ved tavlen og forklarer f.eks. begrebers betydning. Og til dette kan vi med fordel benytte matematikprogrammerne.
Vi kan gøre brug af skyder, spor, regression, trække i objekter, funktionsundersøgelse ... Muligheder er der nok af. Det er nok mere et spørgsmål om at se mulighederne.
Vedhæftet min powerpointpræsentation med ledsagende materiale, der giver eksempler på, hvordan Geogebra kan benyttes til sådanne eksperimenter. Hvis du bruger nSpire, er jeg sikker på, det er nemt at overføre eksemplerne dertil.
Til hvert eksempel har jeg lavet en lille screencast, der demonstrerer, hvordan eksemplet et konstrueret. For de fleste dias er der også tilknyttet en Geogebrafil hørende til eksemplet.
Det vedhæftede dokument er en zippet-fil. Pak filen ud og start powerpointfilen Geogebra præsentation (Link).

Hjemmeopgaver til de gode elever

Jeg oplever tit, at de gode elever synes hjemmeopgaverne er meget kedelige, og at der er alt for mange gentagelser. Det synes jeg er synd, for det kan være med til at dræbe disse elevers interesse for matematik. Derfor er det vigtigt, at der også er udfordrende opgaver til de gode elever i hjemmeopgaverne. Det kan gøres på mange måder. Her er et par eksempler:
1) Giv eleverne for mange opgaver i forhold til elevtiden. Lad så eleverne selv vælge, hvilke opgaver de vil regne. Læreren kan evt. markere opgaverne med sværhedsgrader.
2) Lad nogle opgaver være frivillige.
3) Lad nogle opgaver have det prædikat at de kun skal regnes, hvis eleven ikke allerede har brugt den afsatte tid på de regnede opgaver.
De ekstra opgaver kan være svære opgaver fra tidligere eksamenssæt, men det kan også være lidt skæve opgaver, der udfordrer eleverne lidt utraditionelt i forhold til sædvanlige opgaver. Hertil kan man f.eks. bruge gamle Georg Mohr opgaver - ofte får eleverne uden svarmuligheder. Den norske Abelkonkurranse er en anden mulighed for utraditionelle opgaver.
I denne uge har jeg fundet denne lille opgave:
Lad os tage et tre-cifret tal (f.eks. 436)
Skriv tallet to gange efter hinanden, så du får et seks-cifret tal (her 436436)
Der gælder nu at 7, 11 og 13 går op i det nye tal (436436/7=62348, 436436/11=39676 og 436436/13=33572)
Det "underlige" er, at uanset hvilket tre-cifret tal du starter med, så går 7, 11 og 13 altid op i tallet!
HVORFOR?????
Kan man gøre noget tilsvarende med fire-cifrede tal?

Tilsvarende burde man også tilbyde de dårligere elever mulighed for hjælp til løsning af opgaver. Det kunne være i form af hjælpespørgsmål. Det har jeg ikke selv været særlig god til. Hvis jeg giver tips til løsning af opgaver, så har alle eleverne fået tippet. Det er måske igen lidt synd for de gode elever at de får løsningsmetoden foræret.
Et hjælpeark som eleverne kan søge assistance i ved problemer kunne være en mulighed, men det tager jo tid at udarbejde et sådant ark så...