Første skoledag - med "julegave"

Så blev det første skoledag i hvert fald for os lærere.
I år med en glædelig overraskelse:
Stort set alle vores klasselokaler er blevet installeret med tavler på alle vægge. Det er næste som juleaften. Sådan ser vores sædvanlige klasseværelser ud:

 Foto taget bagerst i lokalet fra vinduessiden

Foto taget ved tavlen i vinduessiden

Jeg har i flere år efterspurgt flere tavler i lokalerne og i fællesområder, så det var en stor dag i dag.
Jeg har sat mig som princip, at eleverne skal op og stå ved tavlerne i alle mine timer.
Det er min erfaring at aktivitetsniveauet og eleverne kommunikation vokser en hel del, når der arbejdes i små grupper ved tavlen. På ICME13 konferencen var der et oplæg fra Canada, der beskrev et forsøg, som også var nået frem til samme konklusion.
Jeg kan se mange fordele ved brug af disse tavler:
1) Gruppearbejde bliver nemmere, da alle i gruppen nemt kan følge med
2) Jeg kan hurtigt se hvad eleverne har lavet - er der behov for at jeg skal blande mig
3) Jeg får langt lettere ved at få de svage elever i tale, når vi i fællesskab i en mindre gruppe diskuterer matematisk teori eller opgaveløsning.
4) Eleverne kan nemmere tjekke hinandens udregninger ved at skifte tavle, hvis der f.eks. regnes forskellige opgaver
5) Alle er ved tavlen - dermed kommer der ekstra fokus på træning af mundtlighed.
Og så håber jeg selvfølgelig at også andre fordele dukker op, når jeg kommer i gang med arbejdet.

Differentialligninger - sådan gik det...

Det var så emnet differentialligninger - et emne som altid volder eleverne store problemer. I år har jeg struktureret gennemgangen på følgende måde:

• Kort introduktion til hvad en differentialligning er.
• Løsning af opgaver med differentialligninger til prøven uden hjælpemidler
• Løsning af opgaver med differentialligninger til prøven med hjælpemidler
• Grundigt arbejde med hvad en differentialligning er for noget og hvordan løsningerne hørende til differentialligninger ser ud - fokus på linjeelementer og plot af linjeelementer
• To beviser for differentialligningen y' = k*y (eksistens og entydighed samt brug af separationsmetoden) - de fagligt stærke elever fik også lov til at bevise separationsmetodens gyldighed.
• Projekt om logistisk vækst (afleveret som hjemmeopgave), hvor der blev fokuseret på karakteristika og beviser for løsningsformlen.
• I denne uge har vi haft 4 moduler (95 minutter). I de moduler har vi samlet op, holdt oplæg for hinanden (karakteristika og beviser) og indspillet en række videoer:
  mandag: Videoer der generelt beskriver differentialligninger samt video der forklarer karakteristika ved logistisk vækst (indledning til mundtlig eksamen)
  Tirsdag: Videoer med beviser (eksistens/entydighed samt separation) på løsningsformlen for y' = k*y
  Torsdag: Videoer med eksistens og entydighedsbevis for logistisk vækst
  Fredag: Videoer med separationsbevis for logistisk vækst samt arbejde med opstilling af differentialligninger ud fra sproglig forklaring.

De tre første dage skulle der optages to videoer. Jeg strukturerede det således, at eleverne var opdelt i grupper på 4-6. Halvdelen i hver gruppe forberedte grundigt den ene video, mens den anden gruppe forberedte den anden video. Inden videoerne måtte optages skulle gennemgangene vises for mig og den anden halvdel af gruppen.
Den sidste dag var eleverne også opdelt i mindre grupper. Alle forberedte samme bevis. Der blev trukket lod om hvem der skulle vise beviset for mig og hvem der skulle optage beviset på video.
Vi afsluttede forløbet med at evaluere forløbet og jeg blev lidt overrasket over elevernes feedback. Eleverne er langt mindre afskrækket af differentialligninger end min erfaring fra tidligere hold. Og det gælder både i relation til mundtlig og skriftlig eksamen. De fleste synes ikke differentialligninger er et sværere emne end andre emner. Det overrasker mig noget.
Hvorfor gik det tilsyneladende så godt?
Flere nævner at det er rart at starte med at løse opgaver, så man får en fornemmelse for emnet.
Selv tror jeg linjeelementerne er med til at give eleverne en god forståelse for løsningsfunktionerne og så at vi har brugt den sidste uge på at samle op på de relevante ting omkring differentialligninger. Her har eleverne haft tid til at fordybe sig i emnet og har haft mulighed for at arbejde grundigt med stoffet i mindre grupper.
Det var min fornemmelse, at det fungerede godt, at beviserne blev gennemgået to gange med en lille pause imellem. I første omgang arbejdede eleverne lidt mere uforpligtende med beviser - der fokuserede vi mest på bevisstrukturerne. Den grundige behandling af beviserne kom så her i denne sidste uge, da eleverne skulle gennemgå beviserne for hinanden og optage beviserne på video.
Jeg tror, jeg vil afprøve denne metode igen på et senere forløb - altså at afslutte et forløb med at lave en intensiv opsamling med beviser gerne optaget på video.

Opsamling på beviser

I sidste modul i min 2g-klasse arbejdede eleverne i grupper med forskellige trigonometriske beviser (Se indlægget Bevisgennemgang), hvor de bl.a. lavede videoer med beviserne.
I dag var det så tid til at få erfaringsudvekslet beviserne. Lektien til i dag var at træne eget bevis, samt at se og forberede en af de andre bevisvideoer.
Eleverne blev opdelt i matrixgrupper, så der var en ekspert på hvert bevis i hver gruppe. Eleverne gennemgik nu beviserne for hinanden og søgte hjælp i videoerne, hvis der var problemer med et bevis, og jeg ikke lige var i nærheden.
Jeg cirkulerede mellem grupperne og fik set en hel del flotte bevisgennemgange.
Timen sluttede med dynamisk konstruktion af de forskellige trekanttilfælde i Geogebra - disse konstruktioner er det planen at optage med screencast i næste modul.
Eleverne feedback fra timen var, at de havde lært en del om ræsonnement (ikke lige elevernes ord :-) ), og at de havde fået en god forståelse for cosinus- og sinusrelationerne.

Bevisgennemgang

Efter eleverne nu har fået gennemgået de centrale beviser hørende til trigonometri, så skal vi i dag træne beviser. Jeg vil bl.a. bede eleverne fokusere på starten af beviset (se evt. indlægget Start på bevis).
Det er vigtigt for mig, at eleverne aktives også under bevisgennemgangen. Så derfor har eleverne til dagens time fået ét bevis, som de skal forberede hjemme, så beviset kan gennemgås i klassen. Jeg har fordelt beviserne (cosinusrelation (2 forskellige beviser, cosinusrelation i stumpvinklet trekant, samt arealformel og sinusrelation), så de bedste elever får de sværeste beviser (cosinusrelationen i stumpvinklet trekant - de skal selv lave beviset).
På en tavle gennemgår eleverne nu i grupper på 6 gennemgå eleverne nu i fællesskab deres forberedte bevis. Jeg har sørget for et klasselokale til hver gruppe. Herefter opdeles hver 6-mands gruppe i 2 undergrupper på hver 3 medlemmer. I disse mindre grupper skal beviset optages på video og efterfølgende uploades til vores trigonometri-hjemmeside. Vi får således hvert bevis gennemgået i to videoer.
Hver elev får selvfølgelig kun repeteret ét bevis, men videoerne vil bliver brugt som forberedelse til næste modul, hvor vi vil lege "Kom og lær et bevis".
Vi  bruger ikke hele modulet på beviserne - resten af modulet benyttes til træning i at gennemskue hvilken trekantformel, der skal bruges i hvilken situation.

Forskellige beviser

Jeg bryder mig ikke om at gennemgå beviser på tavlen, da det stort set er umuligt at ramme et niveau i gennemgangen, som passer til de fleste elever:
- de gode elever synes ofte gennemgangen går for langsomt
- de svage elever har svært ved at følge med og er med til at trække tempoet i gennemgangen ned. Og dermed kommer de gode elever til at kede sige endnu mere
- middeleleverne derimod er glade for fælles gennemgang i klassen, da tempo passer til deres niveau.

Dette synes jeg giver alt for meget spildtid. Så fælles tavlegennemgang forsøger jeg at undgå. I dag gjorde vi følgende:

Til dagens time havdew eleverne i min 2g-klasse forberedt to forskellige beviser på cosinusrelationen - det ene bevis lavet som Powerpoint-præsentation uden forklaringer og det andet bevis skulle laves ved hjælp af en "opskrift".
Link til beskrivelse af opgaven, powerpoint-præsentationen (vælg download).

Jeg opdelte eleverne i grupper på 4, således at alle elever i hver gruppe havde forberedt sig på det samme bevis. Grupperne blev fordelt i forskellige lokaler, hvor de så i fællesskab skulle gennemgå "deres" bevis ved tavlen. De hurtige grupper regner efterfølgende opgaver.
Den sidste halve time af modulet blev grupperne splittet op, således at de nye grupper består af 4 elever, hvor 2 personer er eksperter på hvert deres bevis. Eleverne gennemgår nu "deres" bevis for hinanden.
Jeg bruger forskellige beviser for at skærpe elevernes koncentration ved gennemgang. Det er for nemt at melde sig ud, hvis man allerede selv har arbejdet med beviset. Og så synes jeg også eleverne skal se, at der ikke nødvendigvis findes ét bevis.
At beviset bliver gennemgået i små grupper gør også, at eleverne diskuterer og erfaringsudveksler langt mere. Og så gør det ikke noget at eleverne har forskelligt fagligt niveau. Nogle gange laver jeg dog grupper, hvor der tages hensyn til elevernes niveau. Det vil jeg typisk gøre, hvis vi skal gennemgå beviser af forskellige sværhedsgrad.