Det har godt nok været sløjt med mine indlæg i efteråret 2016. Det er ikke nye ideer, som har manglet men snarere tid. Der har været mange andre gøremål. Her på falderebet til 2017 vil jeg præsentere en form for repetition, som jeg har lavet med min 3g-klasse.
Repetitionen handlede om vektorer i 2 dimensioner, men formen på øvelsen kan kopieres til andre former for repetition. I bunden af indlægget er der angivet et par andre ideer.
Efter en pause med vektorer var det tid til at få gennemgået vektorer i rummet, hvorfor det var naturligt at indlede med en repetition af vektorer i planen. Jeg fandt alle relevante formler frem (tak til formelsamlingen) og klippede dem ud, så der var en formel på hvert ark. Disse ark satte jeg op i et af vores fællesarealer.
Eleverne blev nu sat sammen i par, hvor hvert par blev udstyret med sedler i 3 forskellige farver. Jeg brugte grøn, gul og rød.
Farverne på sedlerne havde en betydning i relation til, hvad der skulle skrives på sedlen:
Grøn: Grafisk illustration af formlen (hvor det er muligt)
Gul: Sproglig beskrivelse af hvad formlen kan bruges til
Rød: Eksempel på opgave, hvor formlen kan benyttes.
Hvert par vælger nu en af de ophængte formler og udfylde en grøn, gul eller rød seddel. Sedlen hænges op ved siden af formlen med bagsiden udad, så det ikke kan ses, hvad der er skrevet på sedlen.
Parret går nu videre til en ny formel. Der skal være så mange formler at jeg kan kræve at der ikke må stå to par ved samme formel.
I første omgang må der ved hver formel kun hænge en rød, gul og grøn seddel. Så hvis man kommer til en formel, hvor der allerede hænger en grøn seddel, så skal parret vælge en rød eller gul seddel.
I og med at parrene har 2-3 sedler af hver farve, så kan man ikke nøjes med kun at lave f.eks. grafiske illustration. Det er først når et par har brugt alle deres sedler, at de kan få ekstra sedler af mig.
Kommer man til en formel, hvor der også hænger farvede sedler, så tales først om, hvad der mon står på sedlerne og efterfølgende tjekkes ved at vende sedlen. Herefter må parret udfylde en ny seddel.
Der kan evt. tillades flere sedler af samme farve, hvis der er flere muligheder ved en formel.
Da alle formler var blevet beskrevet, skulle parrene gennemgå alle formler, hvor det først skulle diskuteres, hvad der forventes at stå på de farvede sedler og efterfølgende tjekkes det, hvad der rent faktisk står på sedlerne.
Jeg forestiller mig at denne form for repetition f.eks. kan benyttes ved
- almindelig repetition af formler
- ved at angive forskrift for forskellige funktioner
- ved at angive grafer for forskellige funktioner
- ved eksamensopgaver, hvor man skal finde relevant formel
Eksempel med vektorformler.
- ...
Viser opslag med etiketten Aktivering. Vis alle opslag
Viser opslag med etiketten Aktivering. Vis alle opslag
onsdag den 28. december 2016
onsdag den 24. august 2016
Differentialkvotienter - eksprimentelt bestemt
Så blev det tid til at introducere min 2g-klasse for den mere formelle matematik hørende til differentialregning. I stedet for at indføre tretrinsreglen fra starten har jeg i stedet for ladet eleverne bestemme differentialkvotienter for x2, x3, xn, k*xn og xn+xm eksperimentelt i Geogebra.
Vi benyttede samme metode som beskrevet under indlægget Komplekse matematiske problemer, så eleverne var fortrolige med metoden.
Når først eleverne har fundet differentialkvotienten for x2, så er det blot et spørgsmål om at udskifte funktionerne.
Eleverne arbejdede med dette arbejdsark Link
Min oplevelse her efter introduktionen er, at eleverne ved at selv at finde regnereglerne nemmere husker reglerne. Sådan opleves det i hvert fald lige nu.
Nu er det tid til at få introduceret sekant, tangent og tretrinsregel mere formelt - det vil jeg gøre på samme måde som sidste år. Der står lidt om metoden i disse to indlæg:
Differentialregning - intro
Tretrinsreglen
Vi benyttede samme metode som beskrevet under indlægget Komplekse matematiske problemer, så eleverne var fortrolige med metoden.
Når først eleverne har fundet differentialkvotienten for x2, så er det blot et spørgsmål om at udskifte funktionerne.
Eleverne arbejdede med dette arbejdsark Link
Min oplevelse her efter introduktionen er, at eleverne ved at selv at finde regnereglerne nemmere husker reglerne. Sådan opleves det i hvert fald lige nu.
Nu er det tid til at få introduceret sekant, tangent og tretrinsregel mere formelt - det vil jeg gøre på samme måde som sidste år. Der står lidt om metoden i disse to indlæg:
Differentialregning - intro
Tretrinsreglen
lørdag den 13. august 2016
Komplekse matematiske problemer
Det er svært at løse mere komplekse matematiske problemer, hvor løsningsmetoden måske ikke er helt tydelig, når man læser opgaveteksten. Det er jo ikke fordi vi har mange af denne type opgaver i gymnasiet, men opstilling af funktionsudtryk hørende til optimeringsopgaver falder i den kategori.
Som introduktion til teorien bag differentialregning (eleverne er bekendte med f '(x), hvad differentialkvotienten benyttes til i forbindelse med optimering og hvordan man benytter Geogebra/Maple til at løse sådanne optimeringsopgaver) har jeg valgt at starte skoleåret for min 2g-klasse med træning i opstilling af funktionsudtryk og optimering af disse.
Jeg har introduceret eleverne til følgende 7 trin, som kan være med til at skabe lidt struktur på opstillingen af funktionsudtryk:
1) Forståelse
Hvad handler opgaven om? Hvad skal bestemmes?
2) Visualisering
Skitser situationen hvis det er muligt.
Lav situationen i virkeligheden, hvis det er muligt.
3) Sortering
Sorter evt. irrelevante informationer fra og sorter de relevante informationer
Hvilken type matematik kan anvendes? Hvilke kendte formler kan anvendes?
4) Symboler og eksempel
Indfør passende symboler og udregn/konstruer evt. eksempler.
Kan situationen eventuelt konstrueres i Geogebra (se evt. tips nedenfor)?
5) Formel
Opstil en formel til løsning af problemet
6) Beregning
Beregn løsningen
7) Konklusion
Sørg for at få konkluderet på udregninger i relation til det emne opgaven handler om
Specielt delen med konstruktion af fysisk model, udregning af eksempler og løsning i Geogebra lægger jeg vægt på. Alle disse dele er med til at give eleverne inputs til, hvordan selve funktionsforskriften opstilles.
Det er klart at når eleverne bliver mere rutinerede til at opstille funktionsudtryk, så er flere af ovenstående punkter ikke så nødvendige.
Løsningen i Geogebra kan typisk laves med en skyder, opsamling i regneark og efterfølgende regression. Jeg viste kort eleverne metoden med punkterne på grafen for f(x) = x2 som eksempel og gav efterfølgende eleverne metoden på papir (Link). Det var dog ikke nødvendigt for eleverne at søge hjælp i arket efterfølgende.
Vi startede forløbet med at løse en tidligere eksamensopgave, hvor vi gennemløbe de enkelte trin på tavlen med små arbejdspauser i par ved hvert punkt. Herefter blev eleverne inddelt i grupper, som fik hver deres optimeringsproblem. Når eleverne havde løst "deres problem" kunne de gå videre til et af de andre problemer.
I slutningen af modulet præsenterede eleverne problemer og løsningsmetoder for hinanden i matrixgrupper. Formålet med dette var at eleverne skulle konstatere, at løsningsmetoden for sådanne opgaver er den samme.
Eleverne fik udleveret disse opgaver - Link.
Den første hjemmeopgave for eleverne bliver et projekt med optimering af én henholdsvis to kegler, hvor fokus også vil være ovenstående 7 punkter (Link).
Min dynamiske løsning i Geogebra ses nedenfor (Link).
Som introduktion til teorien bag differentialregning (eleverne er bekendte med f '(x), hvad differentialkvotienten benyttes til i forbindelse med optimering og hvordan man benytter Geogebra/Maple til at løse sådanne optimeringsopgaver) har jeg valgt at starte skoleåret for min 2g-klasse med træning i opstilling af funktionsudtryk og optimering af disse.
Jeg har introduceret eleverne til følgende 7 trin, som kan være med til at skabe lidt struktur på opstillingen af funktionsudtryk:
1) Forståelse
Hvad handler opgaven om? Hvad skal bestemmes?
2) Visualisering
Skitser situationen hvis det er muligt.
Lav situationen i virkeligheden, hvis det er muligt.
3) Sortering
Sorter evt. irrelevante informationer fra og sorter de relevante informationer
Hvilken type matematik kan anvendes? Hvilke kendte formler kan anvendes?
4) Symboler og eksempel
Indfør passende symboler og udregn/konstruer evt. eksempler.
Kan situationen eventuelt konstrueres i Geogebra (se evt. tips nedenfor)?
5) Formel
Opstil en formel til løsning af problemet
6) Beregning
Beregn løsningen
7) Konklusion
Sørg for at få konkluderet på udregninger i relation til det emne opgaven handler om
Specielt delen med konstruktion af fysisk model, udregning af eksempler og løsning i Geogebra lægger jeg vægt på. Alle disse dele er med til at give eleverne inputs til, hvordan selve funktionsforskriften opstilles.
Det er klart at når eleverne bliver mere rutinerede til at opstille funktionsudtryk, så er flere af ovenstående punkter ikke så nødvendige.
Løsningen i Geogebra kan typisk laves med en skyder, opsamling i regneark og efterfølgende regression. Jeg viste kort eleverne metoden med punkterne på grafen for f(x) = x2 som eksempel og gav efterfølgende eleverne metoden på papir (Link). Det var dog ikke nødvendigt for eleverne at søge hjælp i arket efterfølgende.
Vi startede forløbet med at løse en tidligere eksamensopgave, hvor vi gennemløbe de enkelte trin på tavlen med små arbejdspauser i par ved hvert punkt. Herefter blev eleverne inddelt i grupper, som fik hver deres optimeringsproblem. Når eleverne havde løst "deres problem" kunne de gå videre til et af de andre problemer.
I slutningen af modulet præsenterede eleverne problemer og løsningsmetoder for hinanden i matrixgrupper. Formålet med dette var at eleverne skulle konstatere, at løsningsmetoden for sådanne opgaver er den samme.
Eleverne fik udleveret disse opgaver - Link.
Den første hjemmeopgave for eleverne bliver et projekt med optimering af én henholdsvis to kegler, hvor fokus også vil være ovenstående 7 punkter (Link).
Min dynamiske løsning i Geogebra ses nedenfor (Link).
mandag den 8. august 2016
Første skoledag - med "julegave"
Så blev det første skoledag i hvert fald for os lærere.
I år med en glædelig overraskelse:
Stort set alle vores klasselokaler er blevet installeret med tavler på alle vægge. Det er næste som juleaften. Sådan ser vores sædvanlige klasseværelser ud:
Jeg har i flere år efterspurgt flere tavler i lokalerne og i fællesområder, så det var en stor dag i dag.
Jeg har sat mig som princip, at eleverne skal op og stå ved tavlerne i alle mine timer.
Det er min erfaring at aktivitetsniveauet og eleverne kommunikation vokser en hel del, når der arbejdes i små grupper ved tavlen. På ICME13 konferencen var der et oplæg fra Canada, der beskrev et forsøg, som også var nået frem til samme konklusion.
Jeg kan se mange fordele ved brug af disse tavler:
1) Gruppearbejde bliver nemmere, da alle i gruppen nemt kan følge med
2) Jeg kan hurtigt se hvad eleverne har lavet - er der behov for at jeg skal blande mig
3) Jeg får langt lettere ved at få de svage elever i tale, når vi i fællesskab i en mindre gruppe diskuterer matematisk teori eller opgaveløsning.
4) Eleverne kan nemmere tjekke hinandens udregninger ved at skifte tavle, hvis der f.eks. regnes forskellige opgaver
5) Alle er ved tavlen - dermed kommer der ekstra fokus på træning af mundtlighed.
Og så håber jeg selvfølgelig at også andre fordele dukker op, når jeg kommer i gang med arbejdet.
I år med en glædelig overraskelse:
Stort set alle vores klasselokaler er blevet installeret med tavler på alle vægge. Det er næste som juleaften. Sådan ser vores sædvanlige klasseværelser ud:
Foto taget bagerst i lokalet fra vinduessiden
Foto taget ved tavlen i vinduessiden
Jeg har i flere år efterspurgt flere tavler i lokalerne og i fællesområder, så det var en stor dag i dag.
Jeg har sat mig som princip, at eleverne skal op og stå ved tavlerne i alle mine timer.
Det er min erfaring at aktivitetsniveauet og eleverne kommunikation vokser en hel del, når der arbejdes i små grupper ved tavlen. På ICME13 konferencen var der et oplæg fra Canada, der beskrev et forsøg, som også var nået frem til samme konklusion.
Jeg kan se mange fordele ved brug af disse tavler:
1) Gruppearbejde bliver nemmere, da alle i gruppen nemt kan følge med
2) Jeg kan hurtigt se hvad eleverne har lavet - er der behov for at jeg skal blande mig
3) Jeg får langt lettere ved at få de svage elever i tale, når vi i fællesskab i en mindre gruppe diskuterer matematisk teori eller opgaveløsning.
4) Eleverne kan nemmere tjekke hinandens udregninger ved at skifte tavle, hvis der f.eks. regnes forskellige opgaver
5) Alle er ved tavlen - dermed kommer der ekstra fokus på træning af mundtlighed.
Og så håber jeg selvfølgelig at også andre fordele dukker op, når jeg kommer i gang med arbejdet.
fredag den 5. august 2016
Integral - arealer - eksperimentielt
Mine 3g-elever har siden 1g vidst at integralet under en positiv funktion giver det tilhørende areal. De er ligeledes vant til at bruge integraltegnet i Maple til at løse sådanne opgaver.
Nu er det tid til at få teorien hørende til integralregning på plads.
I stedet for den traditionelle indføring via stamfunktioner og sammenhængen med differentialregning vil jeg i år tage udgangspunkt i netop arealer og så eksperimentelt finde frem til stamfunktioner for udvalgte funktioner.
Jeg starter forløbet med at eleverne skal udregne givne arealer under linjer (vandrette linjer og skrå voksende linjer gennem (0,0)). Hertil benyttes blot kendte arealformler. Ud fra eksemplerne skal eleverne opstille formler til bestemmelse af arealer under funktionerne f(x)=k og f(x) = kx.
Efterfølgende benyttes Geogebra til at bestemme arealer under f(x) = x2 for så at eksperimentere sig frem til arealfunktionen. Proceduren er som følger:
1) Opret skyder k (fra x=0 til x=5) samt funktionen f(x) = x2.
2) Definer variabel, der angiver arealet under f(x) fra x=0 til x=k.
3) I regneark opsamles nu værdier for k samt de tilhørende arealer
4) Der laves nu regression over de opsamlede punkter og så fås forhåbentlig den korrekte stamfunktion.
Eleverne skal til slut ved hjælp af eksperimenter i deres Geogebra regneark komme med bud på stamfunktioner hørende til xn, kxn og xn + xm.
Arbejdsarket eleverne skal arbejde med ligger her: Link
Når dette er på plads, har jeg tænkt mig at lade eleverne arbejde med sætningen, som beviser sammenhængen mellem integral og areal. Men vil dog overveje om dette bevis er for svært at introducere så tidligt i forløbet.
Nu er det tid til at få teorien hørende til integralregning på plads.
I stedet for den traditionelle indføring via stamfunktioner og sammenhængen med differentialregning vil jeg i år tage udgangspunkt i netop arealer og så eksperimentelt finde frem til stamfunktioner for udvalgte funktioner.
Jeg starter forløbet med at eleverne skal udregne givne arealer under linjer (vandrette linjer og skrå voksende linjer gennem (0,0)). Hertil benyttes blot kendte arealformler. Ud fra eksemplerne skal eleverne opstille formler til bestemmelse af arealer under funktionerne f(x)=k og f(x) = kx.
Efterfølgende benyttes Geogebra til at bestemme arealer under f(x) = x2 for så at eksperimentere sig frem til arealfunktionen. Proceduren er som følger:
1) Opret skyder k (fra x=0 til x=5) samt funktionen f(x) = x2.
2) Definer variabel, der angiver arealet under f(x) fra x=0 til x=k.
3) I regneark opsamles nu værdier for k samt de tilhørende arealer
4) Der laves nu regression over de opsamlede punkter og så fås forhåbentlig den korrekte stamfunktion.
Eleverne skal til slut ved hjælp af eksperimenter i deres Geogebra regneark komme med bud på stamfunktioner hørende til xn, kxn og xn + xm.
Arbejdsarket eleverne skal arbejde med ligger her: Link
Når dette er på plads, har jeg tænkt mig at lade eleverne arbejde med sætningen, som beviser sammenhængen mellem integral og areal. Men vil dog overveje om dette bevis er for svært at introducere så tidligt i forløbet.
tirsdag den 22. marts 2016
Trigonometriske funktioner
Jeg plejer altid at introducerer sinus og cosinus i forbindelse med trigonometri. Min 1g-klasses fysiklærer vil arbejde med harmoniske svingninger, så det vil jo være naturligt, at vi laver et samarbejde. Klassen har imidlertid ikke arbejdet med trigonometri endnu, så jeg valgte derfor at indføre sinus og cosinus som funktioner i stedet for nyttige kommandoer til trigonometri.
Jeg tilrettelagte forløbet eksperimenterende så eleverne i nævnte rækkefølge skulle:
- Konstruere enhedscirkel og til udvalgte vinkler mellem 0 og 90 grader aflæse x- og y-værdi for det tilhørende retningspunkt.
- Sprogligt opstille regler for bestemmelse af x- og y-værdi for alle tænkelige retningspunkter ud fra de aflæste værdier mellem 0 og 90 grader.
- Vi definerer nu sinus og cosinus (det er jo blot nogle navne!) og eleverne skal opstille de fundne regler matematisk
- Brug reglerne til at tegne funktionerne sin(x) og cos(x) på millimeterpapir i intervallet 0 til 800 grader.
- Radianer indføres og der arbejdes med sammenhængen mellem grader og radianer samt forskelle på de tilhørende funktioner for sinus og cosinus..
- Endelig undersøger eleverne den trigonometriske funktion f(x) = A Sin(bx + c) + d
ved hjælp af skydere.
De tre arbejdsark, som eleverne arbejdede med ligger her (Link).
Jeg blev positivt overrasket over, hvor hurtigt eleverne fangede begreberne. De var rigtig gode til selv at konkludere ud fra deres eksperimenter.
Nu er det blot spændende at se, hvor meget der hænger fast efter påske, når de trigonometriske funktioner skal bruges i fysik, og de dukker op i hjemmeopgaver i matematik.
Jeg tilrettelagte forløbet eksperimenterende så eleverne i nævnte rækkefølge skulle:
- Konstruere enhedscirkel og til udvalgte vinkler mellem 0 og 90 grader aflæse x- og y-værdi for det tilhørende retningspunkt.
- Sprogligt opstille regler for bestemmelse af x- og y-værdi for alle tænkelige retningspunkter ud fra de aflæste værdier mellem 0 og 90 grader.
- Vi definerer nu sinus og cosinus (det er jo blot nogle navne!) og eleverne skal opstille de fundne regler matematisk
- Brug reglerne til at tegne funktionerne sin(x) og cos(x) på millimeterpapir i intervallet 0 til 800 grader.
- Radianer indføres og der arbejdes med sammenhængen mellem grader og radianer samt forskelle på de tilhørende funktioner for sinus og cosinus..
- Endelig undersøger eleverne den trigonometriske funktion f(x) = A Sin(bx + c) + d
Jeg blev positivt overrasket over, hvor hurtigt eleverne fangede begreberne. De var rigtig gode til selv at konkludere ud fra deres eksperimenter.
Nu er det blot spændende at se, hvor meget der hænger fast efter påske, når de trigonometriske funktioner skal bruges i fysik, og de dukker op i hjemmeopgaver i matematik.
onsdag den 9. marts 2016
Hurtig walk and talk
Walk and talk er en kendt øvelse, som benyttes af mange lærere: Hver elev udstyres med en seddel med begreb/spørgsmål eller lignende. Man går så en lille tur, hvor eleverne går sammen to og to og forklarer hinandens sedler. Efter forklaring byttes sedler og man finde en ny kammerat at tale med.
I går var mine elever temmelig trætte, så jeg besluttede mig for en lille gåtur med Walk and talk.
Det var en hurtig indskydelse, så jeg havde ikke forberedt sedler til eleverne.
I stedet for fik alle elever udleveret et blankt stykke papir. Eleverne blev inddelt i grupper, hvor hver gruppe fik et matematisk emne. lineær funktion, potensregneregler, ligninger, ...
Hver elev skulle så lave en opgave/angive begreb/... knyttet til deres emne. Hvis der blev lavet en opgave, så var kravet selvfølgelig at opgaven skulle kunne løses uden at foretage udregninger.
Så var vi klar til en Walk and talk...
I går var mine elever temmelig trætte, så jeg besluttede mig for en lille gåtur med Walk and talk.
Det var en hurtig indskydelse, så jeg havde ikke forberedt sedler til eleverne.
I stedet for fik alle elever udleveret et blankt stykke papir. Eleverne blev inddelt i grupper, hvor hver gruppe fik et matematisk emne. lineær funktion, potensregneregler, ligninger, ...
Hver elev skulle så lave en opgave/angive begreb/... knyttet til deres emne. Hvis der blev lavet en opgave, så var kravet selvfølgelig at opgaven skulle kunne løses uden at foretage udregninger.
Så var vi klar til en Walk and talk...
onsdag den 24. februar 2016
Træning af ræsonnement og problemløsning
Vi kender sikkert alle til problemer med, at eleverne har svært ved at løse opgaver, som adskiller sig (lidt) fra standardopgaver. Den bedste måde at træne eleverne i sådanne opgaver er efter min mening at udfordre eleverne med netop sådanne lidt skæve opgaver.
Jeg bruger selv sådanne opgaver som afveksling i undervisningen ((pauseopgaver"), som (ekstra-)opgaver ved afleveringer samt til at illustrere vigtigheden af kendskab til basale matematiske færdigheder.
Specielt de gode elever gerne vil have denne type opgaver i hjemmeopgaver. De er ofte trætte af at løse de samme typeopgaver uge efter uge, nu hvor de har forstået metoden. Men de svagere elever synes også det er lidt sjovt med "anderledes matematik"
Når jeg vælger opgaver, sørger jeg for at blande i forhold til den matematik, der skal anvendes. Opgaverne kan f.eks. dreje sig om:
Hvilken figur mangler f.eks. nedenfor?
Jeg bruger selv sådanne opgaver som afveksling i undervisningen ((pauseopgaver"), som (ekstra-)opgaver ved afleveringer samt til at illustrere vigtigheden af kendskab til basale matematiske færdigheder.
Specielt de gode elever gerne vil have denne type opgaver i hjemmeopgaver. De er ofte trætte af at løse de samme typeopgaver uge efter uge, nu hvor de har forstået metoden. Men de svagere elever synes også det er lidt sjovt med "anderledes matematik"
Når jeg vælger opgaver, sørger jeg for at blande i forhold til den matematik, der skal anvendes. Opgaverne kan f.eks. dreje sig om:
- skjulte ligninger
- geometriske argumenter
- genkende systemer
- forklare og argumentere for, hvad der sker (f.eks. ved animationer)
- simpel talteori
Hvilken figur mangler f.eks. nedenfor?
Jeg kender ikke svaret, men det gør heller ikke så meget. Så må eleverne overbevise hinanden. Er der nogen af jer læsere, som i kommentarfeltet tør komme med et bud på løsningen?
Der findes mange sådanne opgaver rundt omkring. Jeg bruger ofte opgaver fra Georg Mohr's 1 runde (Link).
I dag er jeg lige faldet over et dokument med 100 opgaver til kompetencetræning fra matematikbanken.dk (opgaver til folkeskolen), Der er mange sjove opgaver, som også kan bruges på STX og HF (Link).
Endelig har jeg i det vedhæftede dokument angivet 9 små opgaver af forskellig type. Løsningerne står på sidste side (Link).
Sådanne opgaver mener jeg er gode til at træne elevernes innovative kompetencer, idet de netop ikke får en opgave, hvor løsningsmetoden ikke er givet på forhånd. Det skal helst ikke være sådan, at eleven uden videre kan gå i gang med løsningen. Opgaverne bør fordre ofte eksperimenter, eksempler, afprøvning af løsningsstrategier, udelukke svar, grafisk illustration ...
Det er vigtigt, at eleverne trænes i ikke at give op, selvom de ikke umiddelbart har noget bud på løsningsmetoden. Det er disse skæve opgaver også med til at fremme.
tirsdag den 5. januar 2016
Læsning af matematiktekster
"Der er ingen idé i at lade eleverne læse i matematik: Det kan de alligevel ikke finde ud af!"
Sådanne og lignende bemærkninger synes jeg tit, man hører. Og ja eleverne er ikke gode til at læse matematik, men så må vi da lære dem det.
Og løsningen er efter min mening ikke at droppe læselektier. Specielt ikke for hold, hvor der er mulighed for at eleverne vælger at skrive SRP i blandt andet matematik.
Vi er nødt til at træne eleverne i læsning af matematiske tekster. Vi skal starte med små simple tekster med megen hjælp og langsomt introducere mere og mere komplekse tekster med mindre og mindre hjælp. Vi kan ikke forvente at eleverne ved hvordan de læser og bearbejder en matematisk tekst.
I min 2g-klasse er vi netop begyndt på plangeometri. Det er en klasse, som gerne vil arbejde selvstændigt med stoffet, så i dette forløb har jeg besluttet, at den enkelte elev kan vælge, om de vil arbejde med stoffet selv ud fra en overordnet plan, jeg har lavet, eller de vil være knapt så frit stillet, hvor jeg styrer stofgennemgangen noget mere.
Vektorer er ikke specielt svært matematik (selvom abstraktionsniveauet kan drille eleverne lidt), så jeg tør godt kaste eleverne ud i selv at sætte sig ind i stoffet.
Eleverne, som arbejder selv, vil jeg give en del frirum men samtidig selvfølgelig også indlægge nogle perioder i timerne, hvor de skal holde mindre oplæg for mig. De skal selv sørge for at sætte sig ind i stof, som er relevant til den mundlige henholdsvis skriftlige eksamen.
Jeg har opdelt arbejdsplanen i mindre områder, hvortil jeg har knyttet centrale nøgleord. Det har jeg gjort for at gøre stoffet mere overskueligt at gå til og for at vise eleverne, hvilke elementer der er specielt centrale i hvert område.
Til hvert område er der tilknyttet valgfrie dokumenter samt relevante sider fra matematikbogen. Starten på arbejdsarket ser således ud:
Sådanne og lignende bemærkninger synes jeg tit, man hører. Og ja eleverne er ikke gode til at læse matematik, men så må vi da lære dem det.
Og løsningen er efter min mening ikke at droppe læselektier. Specielt ikke for hold, hvor der er mulighed for at eleverne vælger at skrive SRP i blandt andet matematik.
Vi er nødt til at træne eleverne i læsning af matematiske tekster. Vi skal starte med små simple tekster med megen hjælp og langsomt introducere mere og mere komplekse tekster med mindre og mindre hjælp. Vi kan ikke forvente at eleverne ved hvordan de læser og bearbejder en matematisk tekst.
I min 2g-klasse er vi netop begyndt på plangeometri. Det er en klasse, som gerne vil arbejde selvstændigt med stoffet, så i dette forløb har jeg besluttet, at den enkelte elev kan vælge, om de vil arbejde med stoffet selv ud fra en overordnet plan, jeg har lavet, eller de vil være knapt så frit stillet, hvor jeg styrer stofgennemgangen noget mere.
Vektorer er ikke specielt svært matematik (selvom abstraktionsniveauet kan drille eleverne lidt), så jeg tør godt kaste eleverne ud i selv at sætte sig ind i stoffet.
Eleverne, som arbejder selv, vil jeg give en del frirum men samtidig selvfølgelig også indlægge nogle perioder i timerne, hvor de skal holde mindre oplæg for mig. De skal selv sørge for at sætte sig ind i stof, som er relevant til den mundlige henholdsvis skriftlige eksamen.
Jeg har opdelt arbejdsplanen i mindre områder, hvortil jeg har knyttet centrale nøgleord. Det har jeg gjort for at gøre stoffet mere overskueligt at gå til og for at vise eleverne, hvilke elementer der er specielt centrale i hvert område.
Til hvert område er der tilknyttet valgfrie dokumenter samt relevante sider fra matematikbogen. Starten på arbejdsarket ser således ud:
torsdag den 31. december 2015
Flipped learning - med forpligtende lektie
Jeg har tidligere skrevet et indlæg om flipped learning, hvor jeg lidt diskuterer fordele og ulemper ved flipped classroom (se mit indlæg her). Jeg kommenterede bl.a. at det ikke er nok at bede eleverne se et videoklip igennem hjemme. Der skal stilles krav til, hvordan der skal arbejdes med videoklippet.
Jeg er nu faldet over et program, der gør det muligt at indsætte spørgsmål løbende i allerede eksisterende videoer. Det smarte er, at svarene gemmes, så jeg kan se, hvem der har svaret hvad. Altså fuldstændig som en online quiz. Systemet har også en facilitet, som registrerer, hvis eleven overspringer dele af videoklippet.
Hjemmesiden hedder Zaption.
For at oprette en video med spørgsmål på Zaption skal man logge ind (kan f.eks. bruge gmail eller Facebook). Efter login oprettes en Lesson, hvortil man kan indlæse videoklip. Man kan derefter løbende i videoen indsætte tekst, mulitple choice, checkbokxe, tekstfelter mm. Når disse elementer indsættes kan videoen stoppes, indtil der er svaret.
Design-vinduet ser således ud;
Jeg er nu faldet over et program, der gør det muligt at indsætte spørgsmål løbende i allerede eksisterende videoer. Det smarte er, at svarene gemmes, så jeg kan se, hvem der har svaret hvad. Altså fuldstændig som en online quiz. Systemet har også en facilitet, som registrerer, hvis eleven overspringer dele af videoklippet.
Hjemmesiden hedder Zaption.
For at oprette en video med spørgsmål på Zaption skal man logge ind (kan f.eks. bruge gmail eller Facebook). Efter login oprettes en Lesson, hvortil man kan indlæse videoklip. Man kan derefter løbende i videoen indsætte tekst, mulitple choice, checkbokxe, tekstfelter mm. Når disse elementer indsættes kan videoen stoppes, indtil der er svaret.
Design-vinduet ser således ud;
Til mine 1g-ere har jeg lavet en video knyttet til en læselektie, hvor jeg beder dem læse teksten i mindre dele, hvor der så er nogle spørgsmål efter hver del.
Jeg tænker, at man måske også kan benytte metoden til at indlægge pauser ved f.eks. beviser optaget på video. der findes jo mange beviser på Youtube, man bare kan benytte. Jeg har dog ikke fået afprøvet det endnu.
Jeg har dog lavet et lille eksempel, som blot bruges til at vise forskellige elementer. Der er ikke rigtig nogen sammenhæng mellem video og spørgsmålene - jeg ville blot teste mulighederne. Du skal være velkommen til at prøve eksemplet. Det ligger på http://zapt.io/tffstfae.
Når der er svaret på spørgsmålene kan jeg udtrække en del statistik:
- hvem har svaret hvad?
- hvad er der svaret på de enkelte spørgsmål?
- hvor lang tid har det taget at svare på spørgsmålene?
- hvor mange af spørgsmålene er der svaret på?
- Er der sprunget noget at videoen over?
- ...
I første omgang tester jeg kun freeware-versionen, men der findes også en Pro-version som selvfølgelig har nogle ekstra elementer. F.eks. download af csv-fil med alle svar.
mandag den 28. september 2015
Tretrinsreglen
Ved tidligere gennemgange af emnet differentialregning har jeg i starten af forløbet været meget stringent med at indføre f.eks. definitionen på differentiabilitet i et punkt, differenskvotient, differentialkvotient, ...
I år har jeg har jeg fokuseret på metoden i selve tretrinsreglen (som for øvrigt i min version har 4 trin - der skal konkluderes til sidst). Ved at bruge en del tid på at tale om metoden (læs evt. indlægget Differentialregning Intro) og udregne specifikke differentialkvotienter har jeg en fornemmelse af at eleverne har fuldstændig styr på metoden.
Inden vi beviste regnereglerne for differentiation af sum, subtraktion og multiplikation med konstant introducerede jeg den formelle definition. Og den accepterede eleverne overraskende let - "det er jo bare det vi har gjort hele tiden..."
Eleverne lavede selv meget hurtigt beviserne for sum og multiplikation med konstant, mens differentiation med subtraktion lidt voldte de sædvanlige problemer med minusset.
At det gik så godt, tror jeg også skyldes, at vi i de tidligere beviser også har fokuseret på de kendte regneregler, som anvendes undervejs i tretrinsreglen. Det har været med til at spore eleverne ind på, hvilke regneregler som er anvendelige, når der reduceres. Og det hjælper når eleverne selv skal lave beviserne uden hjælp. De gode elever kunne lave beviserne selv, mens de svagere elever fik hjælp af mig eller udleveret beviset på papir - dog ikke i den korrekte rækkefølge. Beviset for multiplikation med konstant ligger her (Link).
Jeg har stadig et lille hængeparti omkring grænseværdier og uendelighedsbegrebet, men det vil vi samle op på senere. Det er ikke så centralt nu.
I år har jeg har jeg fokuseret på metoden i selve tretrinsreglen (som for øvrigt i min version har 4 trin - der skal konkluderes til sidst). Ved at bruge en del tid på at tale om metoden (læs evt. indlægget Differentialregning Intro) og udregne specifikke differentialkvotienter har jeg en fornemmelse af at eleverne har fuldstændig styr på metoden.
Inden vi beviste regnereglerne for differentiation af sum, subtraktion og multiplikation med konstant introducerede jeg den formelle definition. Og den accepterede eleverne overraskende let - "det er jo bare det vi har gjort hele tiden..."
Eleverne lavede selv meget hurtigt beviserne for sum og multiplikation med konstant, mens differentiation med subtraktion lidt voldte de sædvanlige problemer med minusset.
At det gik så godt, tror jeg også skyldes, at vi i de tidligere beviser også har fokuseret på de kendte regneregler, som anvendes undervejs i tretrinsreglen. Det har været med til at spore eleverne ind på, hvilke regneregler som er anvendelige, når der reduceres. Og det hjælper når eleverne selv skal lave beviserne uden hjælp. De gode elever kunne lave beviserne selv, mens de svagere elever fik hjælp af mig eller udleveret beviset på papir - dog ikke i den korrekte rækkefølge. Beviset for multiplikation med konstant ligger her (Link).
Jeg har stadig et lille hængeparti omkring grænseværdier og uendelighedsbegrebet, men det vil vi samle op på senere. Det er ikke så centralt nu.
søndag den 27. september 2015
Innovativt forløb med matematik
Jeg har tidligere i indlægget "Innovation i matematik" (Link) beskrevet, hvordan jeg mener, vi kan have glæde af den innovative tankegang i matematik.
Jeg har nu gennemført vandledningsprojektet, som jeg præsenterede i ovenstående indlæg.
Da fokus bl.a. var på innovative processer, havde jeg valgt en relativ stram styring af første del af projektet, hvor eleverne løbende fik en række små diskussionspunkter. Det hele styrede jeg via denne PowerPoint (Link). Via præsentation arbejdede vi specielt med fase 1 og 2 i den model, som er udviklet af en gruppe af matematiklærere nedsat af fagkonsulenten i matematik (Link til materialet).
Det var lidt hårdt for eleverne at bevare koncentrationen under den styrede del, så næste gang jeg vil lave et lignende projekt, vil jeg behandle de to faser i to forskellige matematiktimer. Og måske ikke være lige grundig med begge faser.
Specielt delen med at få matematik i spil, ville jeg godt have brugt mere tid på - altså ved hjælp af matematiske begrebskort at tvinge eleverne til at benytte en speciel metode. For en uddybning af metoden henvises til side 11 i arbejdsgruppens dokument, som jeg linker til ovenfor.
Et eksempel på en af gruppernes løsning:
Jeg har nu gennemført vandledningsprojektet, som jeg præsenterede i ovenstående indlæg.
Da fokus bl.a. var på innovative processer, havde jeg valgt en relativ stram styring af første del af projektet, hvor eleverne løbende fik en række små diskussionspunkter. Det hele styrede jeg via denne PowerPoint (Link). Via præsentation arbejdede vi specielt med fase 1 og 2 i den model, som er udviklet af en gruppe af matematiklærere nedsat af fagkonsulenten i matematik (Link til materialet).
Det var lidt hårdt for eleverne at bevare koncentrationen under den styrede del, så næste gang jeg vil lave et lignende projekt, vil jeg behandle de to faser i to forskellige matematiktimer. Og måske ikke være lige grundig med begge faser.
Specielt delen med at få matematik i spil, ville jeg godt have brugt mere tid på - altså ved hjælp af matematiske begrebskort at tvinge eleverne til at benytte en speciel metode. For en uddybning af metoden henvises til side 11 i arbejdsgruppens dokument, som jeg linker til ovenfor.
Et eksempel på en af gruppernes løsning:
Det er mit indtryk, at eleverne fik rigtig meget ud af projektet. Det kan selvfølgelig diskuteres, hvor meget matematik der er i ovenstående løsning, men jeg hørte eleverne diskutere:
lineære, eksponentielle og potensfunktioner, regression, korteste vej fra et hus til en hovedledning, forskellige løsningsforslag, om løsningsforslag kan/skal forbedres eller forkastes.
Derudover fik eleverne også trænet en hel del i brugen af Geogebra.
Så alt i alt et godt projekt, som også optog og interesserede eleverne.
Jeg brugte 4-5 moduler (a 90 min) på projektet, men der kan nok skæres lidt i det. Eleverne afleverede både en rapport og fremlagde deres konklusioner via en planche.
onsdag den 9. september 2015
Innovation i matematik
Kan man arbejde innovativt i matematik? Tja - det kommer lidt an på, hvilken definition man vælger for begrebet innovation.
Jeg er dog ikke i tvivl om, at vi i matematik kan fremme elevernes innovative kompetencer, og at det vil være med til at stille eleverne bedre til den skriftlige eksamen.
Jeg tænker her primært på evner som vedholdenhed (ikke give op ved problemer) og kreativitet (kunne afsøge løsningsmuligheder, når løsningsmetoden ikke umiddelbart er givet).
Fagkonsulenten i Matematik Bodil Bruun nedsatte sidste skoleår en arbejdsgruppe, som skulle komme med eksempler på, hvordan der kan arbejdes med innovation i og med matematik. Resultatet af dette arbejde kan ses på EMU'en (Link). Materialerne er både af overordnet karakter men indeholder også eksempler på forløb både i matematik alene og i samarbejde med andre fag (AT).
Matematiklærerforeningen har i dette skoleår nedsat en større arbejdsgruppe (støttet af undervisningsministeriet), som skal arbejde videre med innovation, hvor formålet hovedsagelig er at udvikle flere eksempler, der kan inspirere matematiklærere.
Jeg kan godt lide at udfordre eleverne, så jeg har netop stillet både min 1g- og 2g-klasse nedenstående opgave. Rigtig innovation kan man nok ikke kalde det, men eleverne får i hvert fald mulighed for at diskutere og afprøve forskellige løsningsforslag.
Ovenfor ses en illustration af et
problem der svarer til ovenstående beskrivelse. Husene er de sorte prikker og
starten på hovedledningen er det røde kvadrat placeret i (0, 1). Den stiplede
røde linje øverst til højre markerer det område, hvor hovedledningen skal
stoppe.
Jeg aner ikke selv, hvad svaret på problemet er. Så jeg er lidt spændt på, hvordan eleverne griber opgaven an.
Er det matematik? Tja - ikke nødvendigvis, så jeg har stillet krav om matematiske elementer i besvarelse.
Jeg laver lige en cliffhanger.
I et senere indlæg vil jeg beskrive, hvordan jeg helt konkret har tilrettelagt forløbet og hvordan det gik.
Jeg er dog ikke i tvivl om, at vi i matematik kan fremme elevernes innovative kompetencer, og at det vil være med til at stille eleverne bedre til den skriftlige eksamen.
Jeg tænker her primært på evner som vedholdenhed (ikke give op ved problemer) og kreativitet (kunne afsøge løsningsmuligheder, når løsningsmetoden ikke umiddelbart er givet).
Fagkonsulenten i Matematik Bodil Bruun nedsatte sidste skoleår en arbejdsgruppe, som skulle komme med eksempler på, hvordan der kan arbejdes med innovation i og med matematik. Resultatet af dette arbejde kan ses på EMU'en (Link). Materialerne er både af overordnet karakter men indeholder også eksempler på forløb både i matematik alene og i samarbejde med andre fag (AT).
Matematiklærerforeningen har i dette skoleår nedsat en større arbejdsgruppe (støttet af undervisningsministeriet), som skal arbejde videre med innovation, hvor formålet hovedsagelig er at udvikle flere eksempler, der kan inspirere matematiklærere.
Jeg kan godt lide at udfordre eleverne, så jeg har netop stillet både min 1g- og 2g-klasse nedenstående opgave. Rigtig innovation kan man nok ikke kalde det, men eleverne får i hvert fald mulighed for at diskutere og afprøve forskellige løsningsforslag.
I skal bestemme placeringen af et
system af vandledninger, som skal forsyne 8 huse med vand. Der findes to typer
vandledninger: Hovedledningen til 822.000 kr. pr. km. og stikledninger til
556.000 kr. pr. km. Stikledninger kan kun transportere vand til ét hus.
Husenes placering er fastlagt med koordinater og er alle
placeret i et kvadrat med en sidelængde på 10 km.
Vandledningen skal starte i punktet (0,1). Derudover skal
hovedledningen slutte et eller andet sted mellem punkterne (10,8) og (10,10).
Jeg aner ikke selv, hvad svaret på problemet er. Så jeg er lidt spændt på, hvordan eleverne griber opgaven an.
Er det matematik? Tja - ikke nødvendigvis, så jeg har stillet krav om matematiske elementer i besvarelse.
Jeg laver lige en cliffhanger.
I et senere indlæg vil jeg beskrive, hvordan jeg helt konkret har tilrettelagt forløbet og hvordan det gik.
søndag den 9. august 2015
Første skoledag - navnelege
Jeg skal være klasselærer/teamleder/klasseleder ("kært barn" har mange navne) for en ny 1g-klasse, så der skal findes forskellige navnelege frem fra gemmerne.
Jeg faldt over et dokument, som jeg vist nok har "hugget" fra skolekomkonferencen for matematiklærere i folkeskolen. Dokumentet er en form for domino med regnearternes hierarki, som jeg vil inddrage første skoledag på følgende måde:
Alle elever får en dominobrik, der i venstre side har et regnestykke og i højre side et tal, som er resultatet på en af de andre dominobrikkers regnestykke.
Først vil jeg sætte eleverne sammen to og to, hvor de skal blive enige om resultatet på deres to regnestykker.
Herefter gælder det om at finde resultatet på sit regnestykke blandt de andre elever. Hver gang man møder en ny person, siger begge først "Goddag <navn>" eller spørger om navnet på personen, hvis man ikke kan huske det. Først derefter må der spørges til tallet.
Det gælder nu om at få dannet en kæde, hvor enderne "hænger sammen". I den version af dominoen, jeg vil bruge, er der 32 brikker og de skulle gerne give 6 kæder af varierende længde. Det har jeg dog ikke tænkt mig at fortælle eleverne.
Der ligger link til mit dokument her (Link).
Jeg faldt over et dokument, som jeg vist nok har "hugget" fra skolekomkonferencen for matematiklærere i folkeskolen. Dokumentet er en form for domino med regnearternes hierarki, som jeg vil inddrage første skoledag på følgende måde:
Alle elever får en dominobrik, der i venstre side har et regnestykke og i højre side et tal, som er resultatet på en af de andre dominobrikkers regnestykke.
Herefter gælder det om at finde resultatet på sit regnestykke blandt de andre elever. Hver gang man møder en ny person, siger begge først "Goddag <navn>" eller spørger om navnet på personen, hvis man ikke kan huske det. Først derefter må der spørges til tallet.
Det gælder nu om at få dannet en kæde, hvor enderne "hænger sammen". I den version af dominoen, jeg vil bruge, er der 32 brikker og de skulle gerne give 6 kæder af varierende længde. Det har jeg dog ikke tænkt mig at fortælle eleverne.
Der ligger link til mit dokument her (Link).
mandag den 30. marts 2015
Goddag - ved du hvad...
Et eksempel på en lidt anderledes repetition:
Jeg har på forhånd på nogle ark skrevet en række repetitionsspørgsmål til et givet emne. I dette tilfælde havde jeg lavet 2 ark hver med 12 spørgsmål til trigonometri.
Hver elev får udleveret et af de to ark.
Den enkelte elev skal nu finde en klassekammerat, som kan besvare et af spørgsmålene. Eleven vælger fra arket, det spørgsmål, der skal besvares. Der må ikke vælges mellem spørgsmålene. Svaret skrives i stikordsform på arket og personen, som kunne svaret, skriver desuden under ud for spørgsmålet.
Eleven finder nu en ny klassekammerat, som stilles et af de øvrige spørgsmål på arket.
Det gælder selvfølgelig om at få udfyldt sit ark hurtigst muligt, dog med følgende regler:
1) Det skal være forskellige klassekammerater, der har svaret på spørgsmålene på arket.
2) Hvis en kammerat ikke kan besvare spørgsmålet, så skal man gå videre til en anden. Det er ikke tilladt at stille kammeraten et andet spørgsmål fra arket.
Ud over repetitionen, kommer eleverne op og stå og får rørt sig lidt - kan evt. kombineres med en Walk-and-Talk. Eller eleverne kan tvinges til lidt mere motion ved at placere dem på nogle poster, der har en vis indbyrdes afstand. Efter udveksling af spørgsmål skal eleven, der har stået længst tid på posten skifte til en anden post. Man kan desuden sige, at det ikke er er tilladt at stille spørgsmål til en på samme post mens der ventes på nye personer til posten.
Her er mine spørgsmål til trigonometri: Link
NB! Ideen har jeg "hugget" fra en deltager på matematiklærerforeningens HF-konference foråret 2015. Tak for ideen. Du kan se mere fra konferencen her: Link.
Jeg har på forhånd på nogle ark skrevet en række repetitionsspørgsmål til et givet emne. I dette tilfælde havde jeg lavet 2 ark hver med 12 spørgsmål til trigonometri.
Hver elev får udleveret et af de to ark.
Den enkelte elev skal nu finde en klassekammerat, som kan besvare et af spørgsmålene. Eleven vælger fra arket, det spørgsmål, der skal besvares. Der må ikke vælges mellem spørgsmålene. Svaret skrives i stikordsform på arket og personen, som kunne svaret, skriver desuden under ud for spørgsmålet.
Eleven finder nu en ny klassekammerat, som stilles et af de øvrige spørgsmål på arket.
Det gælder selvfølgelig om at få udfyldt sit ark hurtigst muligt, dog med følgende regler:
1) Det skal være forskellige klassekammerater, der har svaret på spørgsmålene på arket.
2) Hvis en kammerat ikke kan besvare spørgsmålet, så skal man gå videre til en anden. Det er ikke tilladt at stille kammeraten et andet spørgsmål fra arket.
Ud over repetitionen, kommer eleverne op og stå og får rørt sig lidt - kan evt. kombineres med en Walk-and-Talk. Eller eleverne kan tvinges til lidt mere motion ved at placere dem på nogle poster, der har en vis indbyrdes afstand. Efter udveksling af spørgsmål skal eleven, der har stået længst tid på posten skifte til en anden post. Man kan desuden sige, at det ikke er er tilladt at stille spørgsmål til en på samme post mens der ventes på nye personer til posten.
Her er mine spørgsmål til trigonometri: Link
tirsdag den 3. februar 2015
Grupperepetition med lidt bevægelse
I 1g har min kandidat afholdt opsamling på lineære og eksponentielle funktioner i form af en lille konkurrence mellem grupper.
Konkurrencen fungerede fint, men hvis jeg skulle bruge konkurrencen ville jeg nok designe den på følgende måde:
Eleverne opdeles i grupper på 3-4 personer (3 er bedst), hvor det sikres at grupperne er nogenlunde lige gode mht. matematiske evner.
Grupperne placeres lidt spredt fra hinanden og i en vis afstand fra læreren. Jo større afstand jo mere motion.
Der konstrueres en række opgaver (gerne af varierende sværhedsgrad) som klippes i stykker, så der er en stak med opgaver til hver gruppe. Disse stakke placeres på lærerens bord.
Gruppernes opgave er nu at løse så mange af opgaverne som muligt på tid. Vi spillede i ca. 30 min og det var et passende tidsinterval. Ved længere tid tror jeg eleverne vil miste lysten.
Spillet startes ved at en fra hver gruppe henter opgave 1, som så skal løses af gruppen i fællesskab. Når gruppen har et bud på opgavens resultat, bringes svaret til læreren, som skal godkende svaret. Hvis svaret er forkert må eleven returnere til gruppen, som forsøger at bestemme den korrekte løsning. Ved korrekt svar går gruppen gå videre til næste opgave.
Lærerne noterer løbende på tavlen, hvilke grupper der har løst hvilke opgaver. Det fungerer i hvert fald udfordrende i klasser, der kan lide at konkurrere.
Hvis en gruppe ikke kan løse en opgave, så må de gerne fortsætte til næste opgave. Senere kan gruppen, hvis tiden tillader det, vende tilbage til oversprungne opgaver.
Sørg for at opgave1 ikke er for svær. Ellers kan man risikere, at grupper "falder sammen" inden spillet rigtigt er kommet i gang.
Konkurrencen fungerede fint, men hvis jeg skulle bruge konkurrencen ville jeg nok designe den på følgende måde:
Eleverne opdeles i grupper på 3-4 personer (3 er bedst), hvor det sikres at grupperne er nogenlunde lige gode mht. matematiske evner.
Grupperne placeres lidt spredt fra hinanden og i en vis afstand fra læreren. Jo større afstand jo mere motion.
Der konstrueres en række opgaver (gerne af varierende sværhedsgrad) som klippes i stykker, så der er en stak med opgaver til hver gruppe. Disse stakke placeres på lærerens bord.
Gruppernes opgave er nu at løse så mange af opgaverne som muligt på tid. Vi spillede i ca. 30 min og det var et passende tidsinterval. Ved længere tid tror jeg eleverne vil miste lysten.
Spillet startes ved at en fra hver gruppe henter opgave 1, som så skal løses af gruppen i fællesskab. Når gruppen har et bud på opgavens resultat, bringes svaret til læreren, som skal godkende svaret. Hvis svaret er forkert må eleven returnere til gruppen, som forsøger at bestemme den korrekte løsning. Ved korrekt svar går gruppen gå videre til næste opgave.
Lærerne noterer løbende på tavlen, hvilke grupper der har løst hvilke opgaver. Det fungerer i hvert fald udfordrende i klasser, der kan lide at konkurrere.
Hvis en gruppe ikke kan løse en opgave, så må de gerne fortsætte til næste opgave. Senere kan gruppen, hvis tiden tillader det, vende tilbage til oversprungne opgaver.
Sørg for at opgave1 ikke er for svær. Ellers kan man risikere, at grupper "falder sammen" inden spillet rigtigt er kommet i gang.
torsdag den 22. januar 2015
Hvem husker det først... ?
Jeg havde behov for lidt afveksling til at træne 1g-ernes forståelse af diverse begreber. Konkret i relation til lineære og eksponentielle funktioner.
Eleverne blev inddelt i grupper på helst 4 personer og helst på samme faglige niveau. Grupperne placerede sig omkring hver sit et bord, hvor alle kunne nå den genstand, som lå midt på bordet. Det kan f.eks. være et viskelæder, en tusch... Vælg ikke noget der kan gå i stykker (mobiltelefon) eller noget der er skarpt (blyant). I enkelte grupper kan det gå lidt vildt til.
Jeg havde lavet en række spørgsmål, som hver gruppe fik udleveret. Spørgsmålene havde jeg limet op på gamle spillekort. Tykt papir eller laminering er selvfølgelig også en mulighed.
Der trækkes lod om, hvem der skal læse første spørgsmål op, da den der læser op ikke må svare på spørgsmålet.
Når spørgsmålet er læst op, tager man genstanden på bordet, hvis man kender svaret. Den der er hurtigst får lov til at svare. Svares der forkert, straffes man med at skulle læste næste spørgsmål op (så må man nemlig ikke svare). Spørgsmålet, der ikke blev besvaret korrekt, lægges nederst i bunken med spørgsmål.
Ved korrekt svar (de andre i gruppen skal godkende svaret) får man et point og skal samtidig læse næste spørgsmål op.
Dokumentet med spørgsmålene ligger her (Link).
Jeg tror dokumentet overholder Sidsels regler (Et lærervenligt layout). Hvis ikke beklager jeg selvfølgelig, men det er et dokument, jeg har lavet for nogle år siden :-).
Eleverne blev inddelt i grupper på helst 4 personer og helst på samme faglige niveau. Grupperne placerede sig omkring hver sit et bord, hvor alle kunne nå den genstand, som lå midt på bordet. Det kan f.eks. være et viskelæder, en tusch... Vælg ikke noget der kan gå i stykker (mobiltelefon) eller noget der er skarpt (blyant). I enkelte grupper kan det gå lidt vildt til.
Jeg havde lavet en række spørgsmål, som hver gruppe fik udleveret. Spørgsmålene havde jeg limet op på gamle spillekort. Tykt papir eller laminering er selvfølgelig også en mulighed.
Der trækkes lod om, hvem der skal læse første spørgsmål op, da den der læser op ikke må svare på spørgsmålet.
Når spørgsmålet er læst op, tager man genstanden på bordet, hvis man kender svaret. Den der er hurtigst får lov til at svare. Svares der forkert, straffes man med at skulle læste næste spørgsmål op (så må man nemlig ikke svare). Spørgsmålet, der ikke blev besvaret korrekt, lægges nederst i bunken med spørgsmål.
Ved korrekt svar (de andre i gruppen skal godkende svaret) får man et point og skal samtidig læse næste spørgsmål op.
Dokumentet med spørgsmålene ligger her (Link).
Jeg tror dokumentet overholder Sidsels regler (Et lærervenligt layout). Hvis ikke beklager jeg selvfølgelig, men det er et dokument, jeg har lavet for nogle år siden :-).
mandag den 10. november 2014
Animerede beviser
Som oplæg til eksponentielle funktioner har vi i 1g arbejdet med potensregnereglerne med heltallige eksponenter.
Efter en række praktiske opgaver fik vi opstillet potensregnereglerne (formel 10-16 i formelsamlingen til A-niveau).
Som træning sammensatte jeg eleverne i par. De skulle nu bevise alle potensregneregler to og to.
Hvert par fik herefter til opgave at videooptage to af beviserne ved hjælpe af små stykker papir. Hvis et stykke papir symboliserede et a, så ville en mængde lignende stykker svarer til an.
Eleverne skulle så flytte rundt/samle/forkorte de små stykker papir og dermed sandsynliggøre potensregnereglerne.
Det var ikke imponerende beviser/argumentationer, som eleverne fremkom med, men jeg oplevede det som en god øvelse i at tale matematik. Eleverne fik lært at arbejde med nogle af de begreber og ord, som er knyttet til potensregneregler.
Og så synes eleverne også det var lidt sjovt med en anden form for bevis end blot at nedskrive et bevis på tavlen.
Beviserne blev optaget med elevernes smartphone og lagt ind på klassens fælles Youtube-konto.
Der findes flere af denne type beviser, som jeg måske vil benytte senere. Et par eksempler er kvadratsætningerne og Pythagoras sætning.
Efter en række praktiske opgaver fik vi opstillet potensregnereglerne (formel 10-16 i formelsamlingen til A-niveau).
Som træning sammensatte jeg eleverne i par. De skulle nu bevise alle potensregneregler to og to.
Hvert par fik herefter til opgave at videooptage to af beviserne ved hjælpe af små stykker papir. Hvis et stykke papir symboliserede et a, så ville en mængde lignende stykker svarer til an.
Eleverne skulle så flytte rundt/samle/forkorte de små stykker papir og dermed sandsynliggøre potensregnereglerne.
Det var ikke imponerende beviser/argumentationer, som eleverne fremkom med, men jeg oplevede det som en god øvelse i at tale matematik. Eleverne fik lært at arbejde med nogle af de begreber og ord, som er knyttet til potensregneregler.
Og så synes eleverne også det var lidt sjovt med en anden form for bevis end blot at nedskrive et bevis på tavlen.
Beviserne blev optaget med elevernes smartphone og lagt ind på klassens fælles Youtube-konto.
Der findes flere af denne type beviser, som jeg måske vil benytte senere. Et par eksempler er kvadratsætningerne og Pythagoras sætning.
tirsdag den 28. oktober 2014
24 elever til tavlen
I 3g kæmper jeg i disse dage med at få lært eleverne substitutionsmetoden ved integration. Jeg synes, jeg gennem årene har prøvet rigtig mange forskellige tilgange/metoder, men lige lidt hjælper det. Eleverne har åbenbart bare meget svært ved substitution.
Lektien til i dag var løsning af 4 integraler med substitution - de var samlet i par. De to funktioner skulle integreres henholdsvis med og uden grænser.
Da jeg kort før timen skulle finde ud af, i hvilket lokale timen foregik, viste det sig, at vi skulle være i et af "HF-lokalerne" (HF-elevernes stamlokale). Disse lokaler (vi har to af dem) er lidt specielle, da der er glastavler på side- og bagvæg.
Jeg udnyttede straks situationen til at sætte eleverne sammen to og to for derefter at tildele hvert par et tavleområde. Så skulle lektierne regnes - selvfølgelig uden at kigge på det forberedte.
Jeg skulle godkende alle udregninger, inden det var tilladt at gå videre til næste opgave. Det fungerede rigtig godt og eleverne var desuden gode til at hjælpe hinanden.
Dagens program indeholdt også beviset for substitutionsmetoden (var ikke forberedt). Efter en kort introduktion skulle eleverne genskabe beviset fra udleverede noter. Når beviset var lavet, måtte eleverne fortsætte med ugemat. Dog var det et krav, at alle skulle gennemgå beviset for mig i løbet af timen.
Hold da op for en aktiv time - alle eleverne var deltagende og jeg tror nogle blev rykket.
Jeg har længe kæmpet med ledelsen og skolens kunstudvalg om at få opsat tavler i gangarealer og arbejdsområder, men det er godt nok op af bakke. Det er mig en gåde, at det skal være så forfærdeligt med tavler i fællesarealer. Jeg synes netop sådanne tavler er med til at skabe liv på skolen.
Efter dagens succes overvejer jeg at skifte strategi og i stedet for foreslå at nogle flere klasselokaler "dekoreres" med tavler. For "HF-lokalerne" er desværre alt for ofte optaget.
Lektien til i dag var løsning af 4 integraler med substitution - de var samlet i par. De to funktioner skulle integreres henholdsvis med og uden grænser.
Da jeg kort før timen skulle finde ud af, i hvilket lokale timen foregik, viste det sig, at vi skulle være i et af "HF-lokalerne" (HF-elevernes stamlokale). Disse lokaler (vi har to af dem) er lidt specielle, da der er glastavler på side- og bagvæg.
Jeg udnyttede straks situationen til at sætte eleverne sammen to og to for derefter at tildele hvert par et tavleområde. Så skulle lektierne regnes - selvfølgelig uden at kigge på det forberedte.
Jeg skulle godkende alle udregninger, inden det var tilladt at gå videre til næste opgave. Det fungerede rigtig godt og eleverne var desuden gode til at hjælpe hinanden.
Dagens program indeholdt også beviset for substitutionsmetoden (var ikke forberedt). Efter en kort introduktion skulle eleverne genskabe beviset fra udleverede noter. Når beviset var lavet, måtte eleverne fortsætte med ugemat. Dog var det et krav, at alle skulle gennemgå beviset for mig i løbet af timen.
Hold da op for en aktiv time - alle eleverne var deltagende og jeg tror nogle blev rykket.
Jeg har længe kæmpet med ledelsen og skolens kunstudvalg om at få opsat tavler i gangarealer og arbejdsområder, men det er godt nok op af bakke. Det er mig en gåde, at det skal være så forfærdeligt med tavler i fællesarealer. Jeg synes netop sådanne tavler er med til at skabe liv på skolen.
Efter dagens succes overvejer jeg at skifte strategi og i stedet for foreslå at nogle flere klasselokaler "dekoreres" med tavler. For "HF-lokalerne" er desværre alt for ofte optaget.
torsdag den 4. september 2014
Begrebsbanko
Jeg har lige været på hyttetur med min nye 1g-klasser.
Da vi inden turen talte om mulige aktiviteter, foreslog en elev brøkregning for sjov. Det gør man ikke ustraffet...
Jeg synes brøkregning er dybt uinteressant om end det jo er temmelig vigtigt ved løsning af opgaver og i beviser. Jeg satte mig derfor for at finde på en leg, hvor brøkregning trænes. Det endte med en brøkbanko:
Eleverne blev inddelt i grupper på 4-5 personer, hvor hver gruppe fik en bankoplade, hvorpå der stod 9 tal mellem 1 og 50.
Jeg havde desuden på sedler nedskrevet 50 opgaver med brøker. Disse sedler var nummereret A1, A2, A3, ... A50.
Jeg ville gerne have lidt aktivitet i legen, så svarene på de 50 opgaver blev tapet fast på 50 musemåtter, som jeg havde placeret lidt væk fra eleverne.
Princippet i legen var, at hver gruppe hentede en opgave, som de så løste. Jeg havde lavet et ark, hvorpå opgave og mellemregninger skulle angives. Formen var således:
Når eleverne havde løst en opgave, skulle de finde musemåtten med det korrekte svar. På bagsiden af hver løsning, havde jeg så skrevet det tilhørende nummer til bankopladen.
Eleverne "bringer", så bankonummeret tilbage og håber det er med på deres bankoplade.
Nu hentes afleveres sedlen med den regnede opgave og en ny opgave vælges. Fremgangsmåden fortsætter indtil en gruppe har fået alle numre på deres spilleplade.
Eleverne gik meget op i spillet (måske fordi der er mange drenge i klassen), og de fik regnet/diskuteret en del brøkregning.
Det var dog lidt svært at holde dampen oppe mere end 15 min, så jeg stoppede spillet og vi var nødt til at tælle, hvem der havde flest "rigtige". Derfor vil jeg en anden gang vælge færre opgaver - sandsynligvis 30.
Jeg kan sagtens forestille mig at bruge spillet til andre "emner". Det kunne f.eks. være begreber, simple ligninger, potensregneregler, ...
Det er i hvert fald ikke sidste gang, jeg laver et spil af den type.
Da vi inden turen talte om mulige aktiviteter, foreslog en elev brøkregning for sjov. Det gør man ikke ustraffet...
Jeg synes brøkregning er dybt uinteressant om end det jo er temmelig vigtigt ved løsning af opgaver og i beviser. Jeg satte mig derfor for at finde på en leg, hvor brøkregning trænes. Det endte med en brøkbanko:
Eleverne blev inddelt i grupper på 4-5 personer, hvor hver gruppe fik en bankoplade, hvorpå der stod 9 tal mellem 1 og 50.
Jeg havde desuden på sedler nedskrevet 50 opgaver med brøker. Disse sedler var nummereret A1, A2, A3, ... A50.
Jeg ville gerne have lidt aktivitet i legen, så svarene på de 50 opgaver blev tapet fast på 50 musemåtter, som jeg havde placeret lidt væk fra eleverne.
Princippet i legen var, at hver gruppe hentede en opgave, som de så løste. Jeg havde lavet et ark, hvorpå opgave og mellemregninger skulle angives. Formen var således:
| Opgnr | Opgave og løsning | Bankonr |
| A1 | ||
| A2 | ||
| ... |
Når eleverne havde løst en opgave, skulle de finde musemåtten med det korrekte svar. På bagsiden af hver løsning, havde jeg så skrevet det tilhørende nummer til bankopladen.
Eleverne "bringer", så bankonummeret tilbage og håber det er med på deres bankoplade.
Nu hentes afleveres sedlen med den regnede opgave og en ny opgave vælges. Fremgangsmåden fortsætter indtil en gruppe har fået alle numre på deres spilleplade.
Eleverne gik meget op i spillet (måske fordi der er mange drenge i klassen), og de fik regnet/diskuteret en del brøkregning.
Det var dog lidt svært at holde dampen oppe mere end 15 min, så jeg stoppede spillet og vi var nødt til at tælle, hvem der havde flest "rigtige". Derfor vil jeg en anden gang vælge færre opgaver - sandsynligvis 30.
Jeg kan sagtens forestille mig at bruge spillet til andre "emner". Det kunne f.eks. være begreber, simple ligninger, potensregneregler, ...
Det er i hvert fald ikke sidste gang, jeg laver et spil af den type.
Abonner på:
Opslag (Atom)