Eksperimenter i Maple - ligninger

Maple bliver bedre og bedre til at komme med forslag til de operationer,som kan/skal udføres i relation til et indtastet udtryk. Det kan der selvfølgelig sige både godt og dårligt om, men måske nedenstående kan benyttes ved træning af ligningsløsning. Jeg har ikke selv prøvet det med en klasse, så jeg ved ikke,hvor godt det fungerer.
Den facilitet i Maple, som jeg udnytter, er markering af et Maple resultat. I nedenstående eksempel har jeg indtastet en ligning og efterfølgende trykket på Retur-tasten, så ligningen fremstår som et resultat. Herefter har jeg markeret hele Maples resultat og ventet lidt (musen skal være placeret over det fremhævede område). Så viser Maple følgende muligheder:

Jeg kan altså hurtigt får tegnet, løst eller bytter rundt på siderne.
Det smarte er nu, at man også kan fremhæve enkelte udtryk/tal i ligningen, og så vil Maple vise, hvilken effekt det vil have. Her er et par eksempler, hvor forskellige dele er af ligningen er fremhævet:

  

Når man så har fundet den operation, som giver mest mening, klikkes blot på det foreslåede, hvorefter Maple klarer resten - se nedenfor.

 

Der kan nu fortsættes. Hvis en side skal reduceres, så markeres blot den pågældende side.

 

Jeg tænker, at denne facilitet måske kan benyttes med elever, som har svært ved at gennemskue, hvad næste skridt i en ligningsløsning. Det er umiddelbart synligt, hvad der sker ved de forskellige operationer.

Eksperimenter i Maple

Normalt foretrækker jeg at eksperimentere i matematikprogrammet Geogebra, selvom jeg også anvender Maple. Jeg synes ikke Maple er god nok til at understøtte eksperimenter og specielt ikke den grafiske del.
Maple har dog nogle elementer, som kan benyttes til eksperimenter. Et af disse elementer er Explore:
Jeg har netop arbejdet med logaritmer i min 1g-klasse, hvor vi undersøgte de forskellige logaritmer. Eleverne undersøgte bl.a.. forskelle og ligheder på graferne.
I Maple indtastes logaritmen med grundtallet b som log_b(x).
Jeg ville undersøge betydningen af grafen, når grundtallet ændres, så jeg indtaster følgende plot-kommando:

Hvis jeg nu højreklikker på kommandoen og vælger Explore, får jeg mulighed for at vælge parameteren b som skyder, hvor jeg også kan indstille området skyderen løber imellem. Når det er gjort får jeg følgende billede, hvor jeg kan trække i skyderne nederst i vinduet:

Jeg synes stadig ikke, det er lige så illustrativt, som når jeg bruger skyder i Geogebra, men det er muligt. Og desværre er der også lidt uhensigtsmæssigheder:
1) Man kan ikke definere funktionen først og så blot angive funktionsnavnet i plot-kommandoen.
2) Man skal huske at sætte begrænsninger på vinduet for ellers ændres vinduets akser, når der trækkes i skyderen.
3) Ved genberegning glemmer Maple at det var kommandoen Explore, som var anvendt.

Introduktion til Maple

Der har været temmelig stille på min blog den seneste måned. Jeg har været ramt af en række ekstra arbejdsopgaver, så tiden har ikke været til at skrive indlæg her.
Jeg vil i den kommende tid prøve at få skrevet nogle af de indlæg, som jeg ikke lige har overskud til at skrive tidligere.
I dette indlæg vil jeg skrive lidt om, hvordan jeg har introduceret min 1g-klasse til Maple.
Som tidligere beskrevet, har vi i starten arbejdet en del med Geogebra, da langt de fleste elever i forvejen kender programmet fra folkeskolen og fordi det er et nemmere program at gå til.
Fro 14 dage siden begyndte eleverne så småt at spørge til Maple: "Hvornår skal vi starte på det program?". Nu var det tid...
Jeg valgte i starten at gentage de samme opgaver, som vi allerede har lavet en gang i Geogebra. Det gjorde jeg for at eleverne ikke både skal udfordres af matematikken og indlæring af Maple. Jeg vil gerne have fokus på Maple. Samtidig fik vi også løbende talt om de to programmers styrker og svagheder.
I første omgang arbejdede eleverne med følgende basale faciliteter:
1) Grundlæggende egenskaber (layout, indtastning, format, ...)
2) Grafer
3) Ligninger
4) Funktioner
Jeg har med vilje set bort fra en del parametre, som kan bruges i kommandoerne. I første omgang kigger vi kun på de mest brugte parametre.
Eleverne fik udleveret det vedhæftede dokument (Link) som kort beskriver ovenstående faciliteter. Til hver facilitet hører også en lille screencast. Min erfaring er at mange elever foretrækker en screencast frem for en skreven forklaring.
Ofte har eleverne problemer med syntaksen og at huske kommandoerne. Derfor giver jeg i hver time eleverne en række små opgaver, som er indtastet forkert i Maple. Opgaven er nu at kunne finde fejlen(-e). Opgaverne kan f.eks. være designet som et diasshow, hvor der er 30 sekunder til at finde fejlene. Dermed tvinges eleverne til at tænke hurtigt.

Eksperimenter med Maple

Normalt foretrækker jeg at benytte Geogebra som program, når jeg laver eksperimenterende øvelser til mine elever. Det skyldes primært, at det er nemt at gå til, og at jeg ikke nødvendigvis behøver at lave skabelonerne for eleverne. Oftest kan eleverne selv konstruere eksemplerne.
Maple indeholder også nogle muligheder for eksperimenter, som er af lidt mere avanceret art. Men det betyder også nogle lidt mere smarte eksperimenter. Jeg har dog ikke turde kaste eleverne ud i at konstruere sådanne sider selv, da det kræver lidt programmering.
Maple har en række komponenter, som kan tilknyttes almindelige Maple-sider

I nedenstående eksempel viser Maple-siden logistisk vækst y' = ay(M-y), hvor der kan ændres på parametrene a og M, samt at der kan ændres på det punkt, som løsningsfunktionen skal gå igennem.
Dermed vil eleverne både kunne analysere betydningen af konstanterne i ligningen og få de forskellige typer løsningsfunktioner frem ved at ændre på punktet.

Maple-arket gør således brug af komponenterne Skyder og Graftegning. Den aktuelle værdi for hver af parametrene er desuden gemt i "Label" (område med tekst).
I hver skyder er placeret følgende kode:

Do(%p1=DEplot(diff(y(x), x) = %a*y(x)*(%M-y(x)), y(x), x = -100 .. 300, y(x) = -200 .. 1100,color=y(x),[y(%sx)=%sy],linecolor=[blue]));

I linjen bruges DEplot (tegner linjeelement og løsningen gennem givet punkt) som gemmes i Graftegningen med navnet p1. Derfor skrives %p1= først i linjen.
Skyderne hørende til a og M hedder a og M mens punktet er gemt i (sx, sy)
Dette betyder, at når der ændres på skyderen, så ændres der ligeledes i figuren.
Hvis du benytter Maple, kan du hente Maple-filen her (Link - dokumentet ser meget underligt ud, men hvis du vælger download, så kan filen åbnes i Maple).

Linjeelementer - Differentialligninger

Jeg har sidste år (4/2 2014 og 23/3 2014) skrevet om de udfordringer, som differentialligninger giver i matematikundervisningen. Mange elever har rigtig svært ved at forstå, hvad en differentialligning er for noget.
Med min 3g-hold i år har jeg brugt en del tid på at forstå begrebet differentialligning. Vi har kigget på de forskellige opgaver med differentialligninger, der optræder til eksamen. Og så har vi arbejdet en del med forståelsen af disse ligninger.
I den forbindelse har linjeelementer og plots af disse haft en fremtrædende position. Vi benytter Maple og her er det nemt med kommandoen DEplot at få tegnet figurer med linjeelementer. Det er endog muligt at tilføje specifikke løsningsfunktioner til figurerne ved at tilføje et punkt som løsningsfunktionen skal gå gennem. Et eksempel ses nedenfor (differentialligningen y' = y + e^x med 3 specifikke løsningsfunktioner indtegnet):

 

Eleverne har i grupper på 3-5 arbejdet med det vedhæftede dokument (Link), hvor jeg har så har gået rundt og assisteret/testet gruppernes læring om differentialligninger. Det har været vigtigt at have tid til at få snakket grundigt med grupperne, så de både får testet/opdateret deres viden og samtidig træner i at tale om differentialligninger (begreberne). Specielt vellykket var det at vise et plot med linjeelementer på projekter og så lade eleverne i gruppen på skift  "gætte" løsningsfunktion gennem et givent punkt. Det virkede som om det hjalp voldsomt på forståelsen. Så selvom linjeelementer ikke er en del af kernestoffet, så synes jeg de er svære at undvære i forståelsen af differentialligninger. De bidrager med rigtig meget forståelsesmæssigt.

Det beskrevne dokument er forholdsvis detaljeret og mest rettet mod de knapt så gode matematikelever. For at udfordre de gode elever, som også typisk fanger emnet differentialligninger hurtigt, havde jeg lavet et arbejdsark (Link), der lagde op til langt flere selvstændige eksperimenter. Selvom der var flere udfordringer i dette dokument, blev de gode elever alligevel først færdige.

Når vi skal behandle teorien bag differentialligninger, vil jeg beholde denne opdeling af klassen. De gode elever skal udfordres med lidt flere beviser og arbejdsark, som er ikke er så opskriftsagtige.

Tangent i starten af 1g

Som tidligere nævnt starter jeg normalt i mine nye klasser med funktioner og deres karakteristika. Og her er monotoniforhold et væsentligt begreb til at beskrive funktioners forløb.
Når eleverne er blevet fortrolige med monotoni-begrebet, introducerer jeg tangenter. I første omgang arbejder vi med tangenter i Geogebra, hvor det er nemt at få sådanne konstrueret. Samtidig kan eleverne undersøge tangenternes egenskaber ved at trække i punkterne på grafen, hvor tangenterne er placeret.
Koblingen til monotoniforhold og til  lineære funktioner, som eleverne har et vist kendskab til fra folkeskolen, fanger eleverne hurtigt. I hvert fald på det mere overordnede plan.
Når jeg inden længe introducerer Maple, så vil f '(x) ligeledes blive præsenteret. Jeg går ikke i dybden men forklarer blot eleverne, at Maple kan bestemme hældningen i x=2 ved at udregne f '(2). De finder selv hurtigt ud af at bestemme ekstremumspunkter ved at løse f '(x)=0 med solve.
Fordelen ved at introducere begrebet tangent og tilhørende opgaver gør, at eleverne er fortrolige med tangentbegrebet, når vi kommer til differentialregning. Differentialregning er jo svært nok i sig selv. Hvis eleverne allerede kender f '(x) og dens betydning, er de godt på vej. Emnet virker knapt så overvældende og underligt. Og så er der selvfølgelig også et fint pædagogisk argument i, at eleverne efter en del tid at have arbejdet med f '(x) som en "sort boks", lærer selv at bestemme f ' (x).
Den tidlige introduktion af f '(x) giver mig desuden mulighed for at stille langt flere interessante hjemmeopgaver til eleverne, idet optimeringsopgaver jo er i spil. Dermed har jeg også større mulighed for at give eleverne mere virkelighedsnære opgaver knyttet til deres studieretning..

Lav opgaver som lektie

I timen i dag havde jeg planlagt, at eleverne skulle træne bruge af deres IT-program (Maple) til at løse vektoropgaver.
I stedet for at give eleverne nogle opgaver de skulle regne hjemme, så bad jeg eleverne digte nogle opgaver, der benyttede udvalgte kommandoer i Maple. De skulle desuden regne deres egne opgaver hjemmefra - løsning kan passende skjules i en sektion (man kan skjule afsnit i Maple), så den ikke umiddelbart er synlig, når klassekammerater løser opgaverne.
I timen satte jer eleverne samme to og to. To elever havde ikke lavet lektier (den ene havde nu en god forklaring), så de fik lov til at passe sig selv. Jeg tror de følte sig lidt uden for - håber det er med til at fremme lektielæsningen, selvom det nu sjældent er et problem i den klasse.
Eleverne arbejdede i par med deres opgaver på følgende måde:
Den ene elevs opgaver blev åbnet i Maple. Eleven som havde lavet opgaven var sekretær, mens kammeraten dikterede, hvordan opgaverne skulle løses.
Dermed fik vi både trænet elevernes mundtlighed og eleverne fik desuden mulighed for at udveksle forskellige stile ved opgaveløsning.
Elevernes syntes det var sjovt med en lidt anderledes måde at lave lektier på.