Kvadratsætninger - klip et bevis

Hvordan får man lært sine elever kvadratsætningerne?
Efter mange års forsøg er det ikke rigtig lykkedes mig særligt godt. Når jeg taler med eleverne om kvadratsætningerne, så er de helt med på, at de skal huske det dobbelte produkt, men når jeg så spørger eleverne i den efterfølgende time, er det dobbelte produkt på forunderlig vis forsvundet ud af elevernes hukommelse igen.
I år har jeg forsøgt at synliggøre nødvendigheden af det dobbelte produkt ved at lade eleverne "klippe kvadratsætningerne". Eleverne arbejdede med dette arbejdsark (link).
Vi har således arbejdet med at forstå at to tal ganget med hinanden kan opfattes som et areal.
Efter eleverne havde fået konstrueret og forstået beviset, skulle de som en del af deres hjemmeopgave lave en videooptagelse (deres første), hvor de forklarer sætningen.
Et eksempel på elevernes video kan ses nedenfor:

Flipped learning - med forpligtende lektie

Jeg har tidligere skrevet et indlæg om flipped learning, hvor jeg lidt diskuterer fordele og ulemper ved flipped classroom (se mit indlæg her). Jeg kommenterede bl.a. at det ikke er nok at bede eleverne se et videoklip igennem hjemme. Der skal stilles krav til, hvordan der skal arbejdes med videoklippet.
Jeg er nu faldet over et program, der gør det muligt at indsætte spørgsmål løbende i allerede eksisterende videoer. Det smarte er, at svarene gemmes, så jeg kan se, hvem der har svaret hvad. Altså fuldstændig som en online quiz. Systemet har også en facilitet, som registrerer, hvis eleven overspringer dele af videoklippet.
Hjemmesiden hedder Zaption.
For at oprette en video med spørgsmål på Zaption skal man logge ind (kan f.eks. bruge gmail eller Facebook). Efter login oprettes en Lesson, hvortil man kan indlæse videoklip. Man kan derefter løbende i videoen indsætte tekst, mulitple choice, checkbokxe, tekstfelter mm. Når disse elementer indsættes kan videoen stoppes, indtil der er svaret.
Design-vinduet ser således ud;

 

Til mine 1g-ere har jeg lavet en video knyttet til en læselektie, hvor jeg beder dem læse teksten i mindre dele, hvor der så er nogle spørgsmål efter hver del.

Jeg tænker, at man måske også kan benytte metoden til at indlægge pauser ved f.eks. beviser optaget på video. der findes jo mange beviser på Youtube, man bare kan benytte. Jeg har dog ikke fået afprøvet det endnu.

Jeg har dog lavet et lille eksempel, som blot bruges til at vise forskellige elementer. Der er ikke rigtig nogen sammenhæng mellem video og spørgsmålene - jeg ville blot teste mulighederne. Du skal være velkommen til at prøve eksemplet. Det ligger på http://zapt.io/tffstfae.

Når der er svaret på spørgsmålene kan jeg udtrække en del statistik:

- hvem har svaret hvad?

- hvad er der svaret på de enkelte spørgsmål?

- hvor lang tid har det taget at svare på spørgsmålene?

- hvor mange af spørgsmålene er der svaret på?

- Er der sprunget noget at videoen over?

- ...

I første omgang tester jeg kun freeware-versionen, men der findes også en Pro-version som selvfølgelig har nogle ekstra elementer. F.eks. download af csv-fil med alle svar.



Lineære funktioner

Jeg lader mine 1g-elever arbejde i grupper, når vi skal have gennemgået de teoretiske dele knyttet til lineære funktioner.
Eleverne skal skrive en lille lærebog (temarapport) om lineære funktioner med 9.klasses elever som målgruppe, så de kan vise, hvor meget de har lært her i starten af gymnasiet.
Lærebogen skal laves som en hjemmeside, hvor der er krav om at egen video af f.eks. et bevis og dynamisk Geogebra-animation skal indgå.
Formålet er selvfølgelig at få eleverne til at få trænet små beviser og arbejde med ræsonnement.
Selve oplægget til opgaven består af
 - eksperimentelle øvelser
 - opgaver
 - beviser
Alle tre dele supplerer hinanden og er med til at give eleverne en større forståelse for emnet lineære funktioner. Det er dog ikke nogen tvungen rækkefølge i, hvordan eleverne skal arbejde med emnet.
Vedhæftet det opgaveark som eleverne får udleveret (Link).

Differentialregning - opsamling

Vi er så småt ved at afslutte differentialregning på mit 2g matematik-A hold. Vi har lavet en hel del beviser og også brugt en del energi på at italesætte de matematiske metoder, som anvendes ved opbygning af en matematisk teori.
Ofte har fokus i beviserne været at forstå de enkelte reduktioner og så har der ikke været lagt så meget vægt på bevisstrukturer mm.
Jeg valgte derfor i samråd med eleverne at lave en opsamling på differentialregning, hvor vi repeterer beviserne og i den repetition specielt fokuserer på de mere overordnede argumenter. Hvorfor har vi f.eks. bestemt differentialkvotienten til en given funktion, når vi benytter tretrinsreglen?
Da alle ikke kan nå alle beviser, optages beviserne på video og bliver efterfølgende samlet på en hjemmeside, som alle i klassen kan benytte. Jeg har på forhånd opdelt hjemmesiden i følgende emner:

Introduktion:

Indledende ting omkring differentialregning bl.a. om sekant-tangent, definition på differentiabel funktion

Bevisteknikker:

Beskrivelse af overordnede bevisteknikker, som er blevet anvendt i de forskellige beviser (tretrinsreglen, induktionsbevis samt matematikkens indre struktur)

Basale funktioner:

Beviser for en række af de mere basale funktioner (f.eks. x², ax+b, konstant, ...

Regneregler:

Beviser for hvordan man differentierer funktioner, som er kombinationer af basale funktioner
Tangentligningen

Her bevises formlen for tangentligningen.

Eleverne vælger sig selv ind på beviser efter fagligt niveau - dog stiller jeg krav til at alle elever er med til forskellige typer beviser. Jeg sikrer desuden, at der laves mindst to videoer med hvert bevis, så eleverne kan se forskellige fremstillinger af beviserne.

Eleverne er fortrolige med at arbejde med disse hjemmesider (Google sites), så de lægger selv deres videoer ind på hjemmesiden.
Ud over videoerne stiller jeg krav om at hver hjemmeside også skal indeholder:
- præcis beskrivelse af sætningens ordlyd
- overordnet beskrivelse som forklarer, hvordan beviset er opbygget 
- evt. andre relevante oplysninger.
Der stilles også krav til de elementer som videoerne skal indeholder. Bl.a. er definitionen på differentiabilitet obligatorisk i videoen.

Sammensatte funktioner - differentiation

Jeg synes ofte, der er problemer med at få elever til at forstå og genkende sammensatte funktioner.
I min 2g-klasse har jeg i år forsøgt mig med følgende metoder til træning af sammensatte funktioner:

1. Skema hvor manglende felter skal udfyldes - i nogle rækker er den sammensatte funktion angivet, mens det i andre rækker er elevernes opgave selv at konstruere de sammensatte funktioner (Link)
2. Jeg har lavet en Tarsia (form som diamant), hvor alle sider har simple funktioner. Eleverne har i par dannet en tilfældig korrekt formet diamant. De funktioner, som nu ligger opad hinanden, skal eleverne nu kombinere til en af de to mulige sammensatte funktioner. Disse sammensatte funktioner nedskrives på papir. Når alle nabofunktioner er kombineret, gives alle brikker samt de nedskrevne sammensatte funktioner til en anden gruppe, som så skal genskabe figuren ud fra de sammensatte funktioner (Link)
3. Jeg har i en del timer givet eleverne få opgaver med sammensatte funktioner - både med at skille funktioner ad og hvor eleverne selv skal sammensætte funktioner.

Som opstart til differentiation af sammensatte funktioner skulle eleverne ud fra nogle givne funktioner forsøge at gætte sig til formlen for differentiation af sammensatte funktioner. Eleverne differentierede de indre og ydre funktioner i hånden (en del af skemaet under punkt 1. ovenfor). Efterfølgende blev den sammensatte funktion differentieret i Maple, hvor eleverne så ledte efter et system i forhold de differentialkvotienterne for den indre og ydre funktion. De sammensatte funktioner skal vælges lidt smart - ellers laver Maple forkortninger, så formlen ikke kan gættes.
Formlen for differentiation af sammensat funktion er en af de formler i gymnasiet, som jeg oplever, de svage elever har sværest ved at forstå. Heldigvis er der ingen grund til at prøve at huske formlen, for det er meget nemmere at huske metoden:
Jeg beder mine elever opskrive y=g(x) (indre funktion), f(y) (ydre funktion) samt de tilhørende afledede funktioner i en tabel.
Differentialkvotienten er så blot de to differentierede funktioner ganget sammen. Det er meget nemmere at huske.



Her efter arbejdet med at forstå sammensatte funktioner i relation til differentiation er jeg kommet til at tænke over, om det måske er smartere at introducere sammensatte funktioner, når man arbejder med elevernes forståelse af funktionsbegrebet i 1g.
Vi kender alle til problemerne med at forstå betydningen af f.eks. f(2) i forhold til f(x) = 2 osv. Jeg tror, jeg allerede i år vil forsøge mig med introducere sammensatte funktioner i min 1g-klasse.

Introduktion til Maple

Der har været temmelig stille på min blog den seneste måned. Jeg har været ramt af en række ekstra arbejdsopgaver, så tiden har ikke været til at skrive indlæg her.
Jeg vil i den kommende tid prøve at få skrevet nogle af de indlæg, som jeg ikke lige har overskud til at skrive tidligere.
I dette indlæg vil jeg skrive lidt om, hvordan jeg har introduceret min 1g-klasse til Maple.
Som tidligere beskrevet, har vi i starten arbejdet en del med Geogebra, da langt de fleste elever i forvejen kender programmet fra folkeskolen og fordi det er et nemmere program at gå til.
Fro 14 dage siden begyndte eleverne så småt at spørge til Maple: "Hvornår skal vi starte på det program?". Nu var det tid...
Jeg valgte i starten at gentage de samme opgaver, som vi allerede har lavet en gang i Geogebra. Det gjorde jeg for at eleverne ikke både skal udfordres af matematikken og indlæring af Maple. Jeg vil gerne have fokus på Maple. Samtidig fik vi også løbende talt om de to programmers styrker og svagheder.
I første omgang arbejdede eleverne med følgende basale faciliteter:
1) Grundlæggende egenskaber (layout, indtastning, format, ...)
2) Grafer
3) Ligninger
4) Funktioner
Jeg har med vilje set bort fra en del parametre, som kan bruges i kommandoerne. I første omgang kigger vi kun på de mest brugte parametre.
Eleverne fik udleveret det vedhæftede dokument (Link) som kort beskriver ovenstående faciliteter. Til hver facilitet hører også en lille screencast. Min erfaring er at mange elever foretrækker en screencast frem for en skreven forklaring.
Ofte har eleverne problemer med syntaksen og at huske kommandoerne. Derfor giver jeg i hver time eleverne en række små opgaver, som er indtastet forkert i Maple. Opgaven er nu at kunne finde fejlen(-e). Opgaverne kan f.eks. være designet som et diasshow, hvor der er 30 sekunder til at finde fejlene. Dermed tvinges eleverne til at tænke hurtigt.

Regression - hvordan findes bedste funktion

Men min 1g har vi nu i lidt tid lavet regressioner for de sædvanlige funktioner lineær, eksponentiel og potens.
Men hvordan er det lige vores matematikprogram bestemmer den bedste funktion. Vi benytter lige nu Geogebra.
I morgen vil jeg give eleverne 3 punkter: (1; 2), (4; 5) og (10; 5).

Jeg har tænkt mig at eleverne skal arbejde med følgende spørgsmål:
1) Bestem ved hjælp af skydere den lineære funktion, du mener er den "bedste".
2) Hvilke kriterier har du anvendt for at kunne kalde din funktion for den "bedst mulige"?
3) Kan du finde et tal, der kan benyttes som mål for, hvor godt en funktion passer til de opgivne punkter?
4) Lad Geogebra bestemme den bedste lineære funktion - Er I enige?
5) Lad desuden Geogebra finde den bedste eksponentielle funktion og potensfunktion.
6) Hvilken af Geogebras 3 funktioner er bedst?
Kommandoen Rkvadreret[{<liste af punkter>},<given funktion>] (skrives som R² i de fleste andre matematikprogrammer) er et mål for, hvor godt funktionen passer til punkterne. Jo tættere R² ligger på 1, jo bedre passer regressionsfunktionen.
7) Bestem R² for de tre funktioner og undersøge om Geogebra er enig med dig i, hvilken funktion der er bedst.
Som du nok har konstateret, så bestemmer Geogebra ikke helt på samme måde som dig, hvor godt en funktion ligger i forhold til de opgivne punkter. Der skal lidt mere matematik til - det springer vi over i denne omgang. Den nysgerrige kan dog se følgende video fundet på Youtube:

Jeg forventer selvfølgelig ikke, at eleverne kan arbejde sig frem til den korrekt metode, men jeg har et håb om, at de vil kigge på den lodrette eller vinkelrette afstand mellem punkterne og funktionen, når de skal afgøre, hvor godt funktionerne passer med punkterne.