Beskrivende statistik

Så blev det tid til at introducere den beskrivende statistik i min 1g-klasse, der har matematik på A-niveau.
Et kig i formelsamlingen for 9-10 klasse viser, at der præsenteres kort stort set alle de statistiske begreber, som vi også skal arbejde med i gymnasiet (link).
Eleverne fik disse sider for som lektie, hvor de selvfølgelig skulle fokusere på begrebernes betydning og hvordan de findes ud fra et talmateriale. Heldigvis kunne eleverne huske langt de fleste begreber fra formelsamlingen.
som lille tjek på eleverne, præsenterede jeg dem for følgende citat:

Heldigvis gennemskuede nogle af eleverne, at der nok skulle stå median i stedet for gennemsnit. Det gav en god snak om forskellen på median og middelværdi.

I de kommende timer vil vi repetere begreberne med forskellige lege (f.eks. pecha kucha eller Hvem husker det først?) og ved at regne opgaver.
Når eleverne har styr på begrebernes betydning og tilhørende regnemetoder, præsenteres eleverne for relevante Maple-kommandoer, der kan benyttes i statistikopgaver.

Trigonometriske funktioner

Jeg plejer altid at introducerer sinus og cosinus i forbindelse med trigonometri. Min 1g-klasses fysiklærer vil arbejde med harmoniske svingninger, så det vil jo være naturligt, at vi laver et samarbejde. Klassen har imidlertid ikke arbejdet med trigonometri endnu, så jeg valgte derfor at indføre sinus og cosinus som funktioner i stedet for nyttige kommandoer til trigonometri.
Jeg tilrettelagte forløbet eksperimenterende så eleverne i nævnte rækkefølge skulle:
- Konstruere enhedscirkel og til udvalgte vinkler mellem 0 og 90 grader aflæse x- og y-værdi for det tilhørende retningspunkt.
- Sprogligt opstille regler for bestemmelse af x- og y-værdi for alle tænkelige retningspunkter ud fra de aflæste værdier mellem 0 og 90 grader.
- Vi definerer nu sinus og cosinus (det er jo blot nogle navne!) og eleverne skal opstille de fundne regler matematisk
- Brug reglerne til at tegne funktionerne sin(x) og cos(x) på millimeterpapir i intervallet 0 til 800 grader.
- Radianer indføres og der arbejdes med sammenhængen mellem grader og radianer samt forskelle på de tilhørende funktioner for sinus og cosinus..
- Endelig undersøger eleverne den trigonometriske funktion f(x) = A Sin(bx + c) + d ved hjælp af skydere.

De tre arbejdsark, som eleverne arbejdede med ligger her (Link).
Jeg blev positivt overrasket over, hvor hurtigt eleverne fangede begreberne. De var rigtig gode til selv at konkludere ud fra deres eksperimenter.
Nu er det blot spændende at se, hvor meget der hænger fast efter påske, når de trigonometriske funktioner skal bruges i fysik, og de dukker op i hjemmeopgaver i matematik.
 

Eksperimenter i Maple - ligninger

Maple bliver bedre og bedre til at komme med forslag til de operationer,som kan/skal udføres i relation til et indtastet udtryk. Det kan der selvfølgelig sige både godt og dårligt om, men måske nedenstående kan benyttes ved træning af ligningsløsning. Jeg har ikke selv prøvet det med en klasse, så jeg ved ikke,hvor godt det fungerer.
Den facilitet i Maple, som jeg udnytter, er markering af et Maple resultat. I nedenstående eksempel har jeg indtastet en ligning og efterfølgende trykket på Retur-tasten, så ligningen fremstår som et resultat. Herefter har jeg markeret hele Maples resultat og ventet lidt (musen skal være placeret over det fremhævede område). Så viser Maple følgende muligheder:

Jeg kan altså hurtigt får tegnet, løst eller bytter rundt på siderne.
Det smarte er nu, at man også kan fremhæve enkelte udtryk/tal i ligningen, og så vil Maple vise, hvilken effekt det vil have. Her er et par eksempler, hvor forskellige dele er af ligningen er fremhævet:

  

Når man så har fundet den operation, som giver mest mening, klikkes blot på det foreslåede, hvorefter Maple klarer resten - se nedenfor.

 

Der kan nu fortsættes. Hvis en side skal reduceres, så markeres blot den pågældende side.

 

Jeg tænker, at denne facilitet måske kan benyttes med elever, som har svært ved at gennemskue, hvad næste skridt i en ligningsløsning. Det er umiddelbart synligt, hvad der sker ved de forskellige operationer.

Eksperimenter i Maple

Normalt foretrækker jeg at eksperimentere i matematikprogrammet Geogebra, selvom jeg også anvender Maple. Jeg synes ikke Maple er god nok til at understøtte eksperimenter og specielt ikke den grafiske del.
Maple har dog nogle elementer, som kan benyttes til eksperimenter. Et af disse elementer er Explore:
Jeg har netop arbejdet med logaritmer i min 1g-klasse, hvor vi undersøgte de forskellige logaritmer. Eleverne undersøgte bl.a.. forskelle og ligheder på graferne.
I Maple indtastes logaritmen med grundtallet b som log_b(x).
Jeg ville undersøge betydningen af grafen, når grundtallet ændres, så jeg indtaster følgende plot-kommando:

Hvis jeg nu højreklikker på kommandoen og vælger Explore, får jeg mulighed for at vælge parameteren b som skyder, hvor jeg også kan indstille området skyderen løber imellem. Når det er gjort får jeg følgende billede, hvor jeg kan trække i skyderne nederst i vinduet:

Jeg synes stadig ikke, det er lige så illustrativt, som når jeg bruger skyder i Geogebra, men det er muligt. Og desværre er der også lidt uhensigtsmæssigheder:
1) Man kan ikke definere funktionen først og så blot angive funktionsnavnet i plot-kommandoen.
2) Man skal huske at sætte begrænsninger på vinduet for ellers ændres vinduets akser, når der trækkes i skyderen.
3) Ved genberegning glemmer Maple at det var kommandoen Explore, som var anvendt.

Hurtig walk and talk

Walk and talk er en kendt øvelse, som benyttes af mange lærere: Hver elev udstyres med en seddel med begreb/spørgsmål eller lignende. Man går så en lille tur, hvor eleverne går sammen to og to og forklarer hinandens sedler. Efter forklaring byttes sedler og man finde en ny kammerat at tale med.
I går var mine elever temmelig trætte, så jeg besluttede mig for en lille gåtur med Walk and talk.
Det var en hurtig indskydelse, så jeg havde ikke forberedt sedler til eleverne.
I stedet for fik alle elever udleveret et blankt stykke papir. Eleverne blev inddelt i grupper, hvor hver gruppe fik et matematisk emne. lineær funktion, potensregneregler, ligninger, ...
Hver elev skulle så lave en opgave/angive begreb/... knyttet til deres emne. Hvis der blev lavet en opgave, så var kravet selvfølgelig at opgaven skulle kunne løses uden at foretage udregninger.
Så var vi klar til en Walk and talk...

Træning af ræsonnement og problemløsning

Vi kender sikkert alle til problemer med, at eleverne har svært ved at løse opgaver, som adskiller sig (lidt) fra standardopgaver. Den bedste måde at træne eleverne i sådanne opgaver er efter min mening at udfordre eleverne med netop sådanne lidt skæve opgaver.
Jeg bruger selv sådanne opgaver som afveksling i undervisningen ((pauseopgaver"), som (ekstra-)opgaver ved afleveringer samt til at illustrere vigtigheden af kendskab til basale matematiske færdigheder.
Specielt de gode elever gerne vil have denne type opgaver i hjemmeopgaver. De er ofte trætte af at løse de samme typeopgaver uge efter uge, nu hvor de har forstået metoden. Men de svagere elever synes også det er lidt sjovt med "anderledes matematik"
Når jeg vælger opgaver, sørger jeg for at blande i forhold til den matematik, der skal anvendes. Opgaverne kan f.eks. dreje sig om:

• skjulte ligninger
• geometriske argumenter
• genkende systemer
• forklare og argumentere for, hvad der sker (f.eks. ved animationer)
• simpel talteori

Af og til får eleverne en opgave, som ikke kan løses eller hvor der ikke er et entydigt svar - jeg siger det dog ikke til eleverne. Her er jeg selvsagt mere interesseret i argumentation og ræsonnement.
Hvilken figur mangler f.eks. nedenfor?

Jeg kender ikke svaret, men det gør heller ikke så meget. Så må eleverne overbevise hinanden. Er der nogen af jer læsere, som i kommentarfeltet tør komme med et bud på løsningen?

Der findes mange sådanne opgaver rundt omkring. Jeg bruger ofte opgaver fra Georg Mohr's 1 runde (Link).

I dag er jeg lige faldet over et dokument med 100 opgaver til kompetencetræning fra matematikbanken.dk (opgaver til folkeskolen), Der er mange sjove opgaver, som også kan bruges på STX og HF (Link).

Endelig har jeg i det vedhæftede dokument angivet 9 små opgaver af forskellig type. Løsningerne står på sidste side (Link).

Sådanne opgaver mener jeg er gode til at træne elevernes innovative kompetencer, idet de netop ikke får en opgave, hvor løsningsmetoden ikke er givet på forhånd. Det skal helst ikke være sådan, at eleven uden videre kan gå i gang med løsningen. Opgaverne bør fordre ofte eksperimenter, eksempler, afprøvning af løsningsstrategier, udelukke svar, grafisk illustration ...

Det er vigtigt, at eleverne trænes i ikke at give op, selvom de ikke umiddelbart har noget bud på løsningsmetoden. Det er disse skæve opgaver også med til at fremme.



Læsning af matematiktekster

"Der er ingen idé i at lade eleverne læse i matematik: Det kan de alligevel ikke finde ud af!"
Sådanne og lignende bemærkninger synes jeg tit, man hører. Og ja eleverne er ikke gode til at læse matematik, men så må vi da lære dem det.
Og løsningen er efter min mening ikke at droppe læselektier. Specielt ikke for hold, hvor der er mulighed for at eleverne vælger at skrive SRP i blandt andet matematik.
Vi er nødt til at træne eleverne i læsning af matematiske tekster. Vi skal starte med små simple tekster med megen hjælp og langsomt introducere mere og mere komplekse tekster med mindre og mindre hjælp. Vi kan ikke forvente at eleverne ved hvordan de læser og bearbejder en matematisk tekst.
I min 2g-klasse er vi netop begyndt på plangeometri. Det er en klasse, som gerne vil arbejde selvstændigt med stoffet, så i dette forløb har jeg besluttet, at den enkelte elev kan vælge, om de vil arbejde med stoffet selv ud fra en overordnet plan, jeg har lavet, eller de vil være knapt så frit stillet, hvor jeg styrer stofgennemgangen noget mere.
Vektorer er ikke specielt svært matematik (selvom abstraktionsniveauet kan drille eleverne lidt), så jeg tør godt kaste eleverne ud i selv at sætte sig ind i stoffet.
Eleverne, som arbejder selv, vil jeg give en del frirum men samtidig selvfølgelig også indlægge nogle perioder i timerne, hvor de skal holde mindre oplæg for mig. De skal selv sørge for at sætte sig ind i stof, som er relevant til den mundlige henholdsvis skriftlige eksamen.
Jeg har opdelt arbejdsplanen i mindre områder, hvortil jeg har knyttet centrale nøgleord. Det har jeg gjort for at gøre stoffet mere overskueligt at gå til og for at vise eleverne, hvilke elementer der er specielt centrale i hvert område.
Til hvert område er der tilknyttet valgfrie dokumenter samt relevante sider fra matematikbogen. Starten på arbejdsarket ser således ud: