Jeg havde egentlig lukket min blog ned (manglende tid og for få besøgende til det var umagen værd at skrive nye indlæg), men her er lidt links til tidligre indlæg, som kan (lettere tilrettet) bruges til udendørs aktiviteter i disse Corona-tider.
Måske du kan blive inspireret af nogle af ideerne, når nu afgangseleverne vender tilbage til undervisningen.
Link til Pecha Kucha
Link til O-løb
Link til Goddag - ved du hvad?
Link til Hurtig walk and talk
Hvis du har spørgsmål til aktiviteterne må du gerne skrive til Jes S. Jørgensen.
torsdag den 16. april 2020
torsdag den 9. februar 2017
Differenttialligninger - tryghed og sikkerhed
Til den skriftlige eksamen på A-niveau er der jo typisk en opgave med differentialligninger. Når man retter sådanne opgaver, så ser jeg ofte, at eleverne ikke får løst differentialligningen pga. en eller anden dum indtastningsfejl.
Det har derfor været vigtigt for mig at træne eleverne i
1) at have et beredskab, hvis man ikke kan finde fejl i sin indtastning (eller hvis værktøjsprogrammet af en eller anden grund ikke kan løse ligning)
2) at finde fejl i egne indtastninger
Som afslutning på forløbet har eleverne derfor arbejdet med nogle opgaver, hvor de blev bedt om at løse differentialligningen med dsolve (Maple), formel fra formelsamling, separation af variable (hvis det er muligt).
Det gav eleverne en god træning i at have flere strategier ved opgaveløsningen. Separation af variable er selvfølgelig noget bøvlet, men omvendt kunne eleverne også se, at det var en stærk formel at råde over.
Eleverne arbejdede med dette ark: Link
Mht. træning i fejlsøgning lavede jeg en lille test i klassen, hvor eleverne fik udleveret 12 forskellige indtastninger af en differentialligning, som i alle tilfælde fejlede. Eleverne skulle så rette fejlene. Eleverne fik opgaverne udleveret i et Maple-dokument, så de direkte kunne rette fejlene til.
I dokumentet var det desuden meningen at eleverne skulle beskrive fejlen i ord. En opgave kunne f.eks. se således ud:
Det har derfor været vigtigt for mig at træne eleverne i
1) at have et beredskab, hvis man ikke kan finde fejl i sin indtastning (eller hvis værktøjsprogrammet af en eller anden grund ikke kan løse ligning)
2) at finde fejl i egne indtastninger
Som afslutning på forløbet har eleverne derfor arbejdet med nogle opgaver, hvor de blev bedt om at løse differentialligningen med dsolve (Maple), formel fra formelsamling, separation af variable (hvis det er muligt).
Det gav eleverne en god træning i at have flere strategier ved opgaveløsningen. Separation af variable er selvfølgelig noget bøvlet, men omvendt kunne eleverne også se, at det var en stærk formel at råde over.
Eleverne arbejdede med dette ark: Link
Mht. træning i fejlsøgning lavede jeg en lille test i klassen, hvor eleverne fik udleveret 12 forskellige indtastninger af en differentialligning, som i alle tilfælde fejlede. Eleverne skulle så rette fejlene. Eleverne fik opgaverne udleveret i et Maple-dokument, så de direkte kunne rette fejlene til.
I dokumentet var det desuden meningen at eleverne skulle beskrive fejlen i ord. En opgave kunne f.eks. se således ud:
søndag den 5. februar 2017
Gange to tal - sjov egenskab...
Jeg kan godt lide at give eleverne opgaver, hvor de selv skal komme med teorier/påstande, som vi så kan undersøge rigtigheden af.
En sådan lille opgave kunne f.eks. være:
1) Tegn f.eks. i Geogebra funktionen f(x)=x2.
2) Placer to punkter på parablen, hvor det ene skal have negativ x-værdi og det andet skal have positiv x-værdi. Vælg i første omgang hele tal som x-værdier.
3) Forbind de to punkter med en ret linje.
4) Hvilken sammenhæng er der mellem de to punkter på parablen og linjens skæring med y-aksen? Prøv forskellige ”pæne” punkter, som nedskrives i en tabel.
5) Kan du bevise din påstand? Start med udregning for to konkrete punkter og prøv så med x-værdierne x1 og x2.
En anden måske lidt sværere opgave er:
1) Afsæt 4 tilfældige punkter og forbind dem til en firkant.
2) Konstruer midtpunkterne på de 4 sider og forbind disse punkter til en ny firkant.
3) Hvad ser du? Er det altid sådan? Kan du bevise det?
En sådan lille opgave kunne f.eks. være:
1) Tegn f.eks. i Geogebra funktionen f(x)=x2.
2) Placer to punkter på parablen, hvor det ene skal have negativ x-værdi og det andet skal have positiv x-værdi. Vælg i første omgang hele tal som x-værdier.
3) Forbind de to punkter med en ret linje.
4) Hvilken sammenhæng er der mellem de to punkter på parablen og linjens skæring med y-aksen? Prøv forskellige ”pæne” punkter, som nedskrives i en tabel.
5) Kan du bevise din påstand? Start med udregning for to konkrete punkter og prøv så med x-værdierne x1 og x2.
En anden måske lidt sværere opgave er:
1) Afsæt 4 tilfældige punkter og forbind dem til en firkant.
2) Konstruer midtpunkterne på de 4 sider og forbind disse punkter til en ny firkant.
3) Hvad ser du? Er det altid sådan? Kan du bevise det?
onsdag den 28. december 2016
Repetition - med lidt bevægelse
Det har godt nok været sløjt med mine indlæg i efteråret 2016. Det er ikke nye ideer, som har manglet men snarere tid. Der har været mange andre gøremål. Her på falderebet til 2017 vil jeg præsentere en form for repetition, som jeg har lavet med min 3g-klasse.
Repetitionen handlede om vektorer i 2 dimensioner, men formen på øvelsen kan kopieres til andre former for repetition. I bunden af indlægget er der angivet et par andre ideer.
Efter en pause med vektorer var det tid til at få gennemgået vektorer i rummet, hvorfor det var naturligt at indlede med en repetition af vektorer i planen. Jeg fandt alle relevante formler frem (tak til formelsamlingen) og klippede dem ud, så der var en formel på hvert ark. Disse ark satte jeg op i et af vores fællesarealer.
Eleverne blev nu sat sammen i par, hvor hvert par blev udstyret med sedler i 3 forskellige farver. Jeg brugte grøn, gul og rød.
Farverne på sedlerne havde en betydning i relation til, hvad der skulle skrives på sedlen:
Grøn: Grafisk illustration af formlen (hvor det er muligt)
Gul: Sproglig beskrivelse af hvad formlen kan bruges til
Rød: Eksempel på opgave, hvor formlen kan benyttes.
Hvert par vælger nu en af de ophængte formler og udfylde en grøn, gul eller rød seddel. Sedlen hænges op ved siden af formlen med bagsiden udad, så det ikke kan ses, hvad der er skrevet på sedlen.
Parret går nu videre til en ny formel. Der skal være så mange formler at jeg kan kræve at der ikke må stå to par ved samme formel.
I første omgang må der ved hver formel kun hænge en rød, gul og grøn seddel. Så hvis man kommer til en formel, hvor der allerede hænger en grøn seddel, så skal parret vælge en rød eller gul seddel.
I og med at parrene har 2-3 sedler af hver farve, så kan man ikke nøjes med kun at lave f.eks. grafiske illustration. Det er først når et par har brugt alle deres sedler, at de kan få ekstra sedler af mig.
Kommer man til en formel, hvor der også hænger farvede sedler, så tales først om, hvad der mon står på sedlerne og efterfølgende tjekkes ved at vende sedlen. Herefter må parret udfylde en ny seddel.
Der kan evt. tillades flere sedler af samme farve, hvis der er flere muligheder ved en formel.
Da alle formler var blevet beskrevet, skulle parrene gennemgå alle formler, hvor det først skulle diskuteres, hvad der forventes at stå på de farvede sedler og efterfølgende tjekkes det, hvad der rent faktisk står på sedlerne.
Jeg forestiller mig at denne form for repetition f.eks. kan benyttes ved
- almindelig repetition af formler
- ved at angive forskrift for forskellige funktioner
- ved at angive grafer for forskellige funktioner
- ved eksamensopgaver, hvor man skal finde relevant formel
Eksempel med vektorformler.
- ...
Repetitionen handlede om vektorer i 2 dimensioner, men formen på øvelsen kan kopieres til andre former for repetition. I bunden af indlægget er der angivet et par andre ideer.
Efter en pause med vektorer var det tid til at få gennemgået vektorer i rummet, hvorfor det var naturligt at indlede med en repetition af vektorer i planen. Jeg fandt alle relevante formler frem (tak til formelsamlingen) og klippede dem ud, så der var en formel på hvert ark. Disse ark satte jeg op i et af vores fællesarealer.
Eleverne blev nu sat sammen i par, hvor hvert par blev udstyret med sedler i 3 forskellige farver. Jeg brugte grøn, gul og rød.
Farverne på sedlerne havde en betydning i relation til, hvad der skulle skrives på sedlen:
Grøn: Grafisk illustration af formlen (hvor det er muligt)
Gul: Sproglig beskrivelse af hvad formlen kan bruges til
Rød: Eksempel på opgave, hvor formlen kan benyttes.
Hvert par vælger nu en af de ophængte formler og udfylde en grøn, gul eller rød seddel. Sedlen hænges op ved siden af formlen med bagsiden udad, så det ikke kan ses, hvad der er skrevet på sedlen.
Parret går nu videre til en ny formel. Der skal være så mange formler at jeg kan kræve at der ikke må stå to par ved samme formel.
I første omgang må der ved hver formel kun hænge en rød, gul og grøn seddel. Så hvis man kommer til en formel, hvor der allerede hænger en grøn seddel, så skal parret vælge en rød eller gul seddel.
I og med at parrene har 2-3 sedler af hver farve, så kan man ikke nøjes med kun at lave f.eks. grafiske illustration. Det er først når et par har brugt alle deres sedler, at de kan få ekstra sedler af mig.
Kommer man til en formel, hvor der også hænger farvede sedler, så tales først om, hvad der mon står på sedlerne og efterfølgende tjekkes ved at vende sedlen. Herefter må parret udfylde en ny seddel.
Der kan evt. tillades flere sedler af samme farve, hvis der er flere muligheder ved en formel.
Da alle formler var blevet beskrevet, skulle parrene gennemgå alle formler, hvor det først skulle diskuteres, hvad der forventes at stå på de farvede sedler og efterfølgende tjekkes det, hvad der rent faktisk står på sedlerne.
Jeg forestiller mig at denne form for repetition f.eks. kan benyttes ved
- almindelig repetition af formler
- ved at angive forskrift for forskellige funktioner
- ved at angive grafer for forskellige funktioner
- ved eksamensopgaver, hvor man skal finde relevant formel
Eksempel med vektorformler.
- ...
torsdag den 3. november 2016
Arealet af enhedscirklen
Som afslutning på integralforløbet har mine 3g-ere i denne uge arbejdet med forskellige måder at bestemme areal på.
Hel konkret blev eleverne bedt om at udregne (en tilnærmelse til) arealet af enhedscirklen på forskellige måder.
Som lektie til første modul skulle eleverne komme med ideer til metoder, som kan benyttes til at bestemme enhedscirklens areal. De skulle både komme med forslag med og uden brug af hjælpemidler. Og de blev opfordret til at have integralregning i baghovedet.
I timen udvekslede eleverne deres ideer og forslagene blev præsenteret på tavlen. Der kom mange gode forslag.
Jeg havde på forhånd besluttet at fokusere på integralregning, så jeg tillod mig at forkaste geometriske metoder som f.eks. minder om Archimedes bestemmelse af pi.
Eleverne, som nu blev delt op i grupper, fik til opgave at skrive en lærebog om bestemmelse af arealet af enhedscirklen, hvor følgende beregningsmetoder skulle benyttes:
1) Brug af funktion med hjælp af Maple
2) Løsning i hånden ud fra stamfunktion fundet i gammel bog fyldt med stamfunktioner til alle mulige funktioner
3) Brug af summer
4) Brug af Taylorrækker
Vi har tidligere arbejdet med forberedelsesmaterialet om rækker og følger, så Taylorpolynomier er allerede kendte.
Delen med summer og Taylorrækker benyttes som minitræning frem mod SRP, idet eleverne selv skulle finde relevante materialer om summer (har ikke tidligere været gennemgået) og materialer til et lille teoriafsnit om Taylorrækker,. Materialerne skulle findes på nettet.
I den forbindelse benyttede jeg lejligheden til med eleverne, hvordan man gør den læste kilde til ens egen tekst og ikke bare skriver af fra kilden.
Vi diskuterede selvfølgelig også de forskellige løsningsmetoders styrker.
Jeg forventer, at dette projekt får en fremtrædende plads i et at mine spørgsmål til den mundtlige eksamen.
Du kan se den opgave eleverne fik udleveret efter deres brainstorm her.
Hel konkret blev eleverne bedt om at udregne (en tilnærmelse til) arealet af enhedscirklen på forskellige måder.
Som lektie til første modul skulle eleverne komme med ideer til metoder, som kan benyttes til at bestemme enhedscirklens areal. De skulle både komme med forslag med og uden brug af hjælpemidler. Og de blev opfordret til at have integralregning i baghovedet.
I timen udvekslede eleverne deres ideer og forslagene blev præsenteret på tavlen. Der kom mange gode forslag.
Jeg havde på forhånd besluttet at fokusere på integralregning, så jeg tillod mig at forkaste geometriske metoder som f.eks. minder om Archimedes bestemmelse af pi.
Eleverne, som nu blev delt op i grupper, fik til opgave at skrive en lærebog om bestemmelse af arealet af enhedscirklen, hvor følgende beregningsmetoder skulle benyttes:
1) Brug af funktion med hjælp af Maple
2) Løsning i hånden ud fra stamfunktion fundet i gammel bog fyldt med stamfunktioner til alle mulige funktioner
3) Brug af summer
4) Brug af Taylorrækker
Delen med summer og Taylorrækker benyttes som minitræning frem mod SRP, idet eleverne selv skulle finde relevante materialer om summer (har ikke tidligere været gennemgået) og materialer til et lille teoriafsnit om Taylorrækker,. Materialerne skulle findes på nettet.
I den forbindelse benyttede jeg lejligheden til med eleverne, hvordan man gør den læste kilde til ens egen tekst og ikke bare skriver af fra kilden.
Vi diskuterede selvfølgelig også de forskellige løsningsmetoders styrker.
Jeg forventer, at dette projekt får en fremtrædende plads i et at mine spørgsmål til den mundtlige eksamen.
Du kan se den opgave eleverne fik udleveret efter deres brainstorm her.
lørdag den 15. oktober 2016
Induktion - differentiation og legoklodser
Vi kigger på små forskellige sætninger, som kan bevises med induktionsprincippet:
1) Vinkelsummen i en n-kant
2) Summen af tallene fra 1 til n
3)
Vi vil også "lege" lidt med fysiske legoklodser, idet eleverne skal kigge på kvadrater, som bygges ud fra kvadratiske klodser på formen
Eleverne skal nu når de bygger kvadraterne udfylde nedenstående skema (Bredde er antal klodser på kantsiden)
I sidste linje skal eleverne opstille formler hørende til kolonneoverskriften, og det er så meningen, at eleverne skal bevise udvalgte formler.
Opgaven indeholder som det ses også en træning i at opstille funktionsudtryk, så man kan evt. nøjes med at opstille funktionsforskrifterne uden at bevise påstandene formelt ved hjælp af induktion.Ideen til opgaven har jeg fået fra bogen "Fagdidaktik i matematik" af Morten Blomhøj, som er udgivet på forlaget Frydenlund i 2016, hvor det bl.a. diskuteres, hvordan man også kan arbejde med problemet i folkeskolen.
Mit arbejdsark til lego-opgaven finder du her.
De indledende øvelser mht. differentiation af xn er vedhæftet her.
mandag den 29. august 2016
Hjemmeopgaver - Ikke kun en løsningsmetode og tjek af løsning
Eleverne skal have et beredskab, de kan benytte, hvis de har problemer med at løse en opgave. Problemet kan skyldes, at de ikke kan finde ud af at løse opgaven eller at matematikprogrammet driller.
Jeg gør en del ud af at træne forskellige løsningstyper, så eleverne ikke altid er bundet til en bestemt løsningsmetode.
Det er selvfølgelig ikke altid, det er muligt at konstruere en alternativ løsning, der giver fuldt point, men få point er bedre end ingen.
De stærke matematikelever får også noget ud at arbejdet med alternative løsningsmetoder, da disse kan benyttes som tjek.
Når eleverne har arbejdet med forskellige løsningsstrategier, så oplever jeg, at eleverne i fremtidige besvarelser vælger forskellige metoder. Eleverne er altså ikke enige om, hvilke metoder de foretrækker. Det gør det også vigtigt, at vise forskellige strategier og metoder, da det er med til at stille den enkelte elev bedre til eksamen.
Mine elever afleverer i denne uge bl.a. følgende opgave - inspireret af en tidligere eksamensopgave:
Jeg gør en del ud af at træne forskellige løsningstyper, så eleverne ikke altid er bundet til en bestemt løsningsmetode.
Det er selvfølgelig ikke altid, det er muligt at konstruere en alternativ løsning, der giver fuldt point, men få point er bedre end ingen.
De stærke matematikelever får også noget ud at arbejdet med alternative løsningsmetoder, da disse kan benyttes som tjek.
Når eleverne har arbejdet med forskellige løsningsstrategier, så oplever jeg, at eleverne i fremtidige besvarelser vælger forskellige metoder. Eleverne er altså ikke enige om, hvilke metoder de foretrækker. Det gør det også vigtigt, at vise forskellige strategier og metoder, da det er med til at stille den enkelte elev bedre til eksamen.
Mine elever afleverer i denne uge bl.a. følgende opgave - inspireret af en tidligere eksamensopgave:
Det er et krav, at opgaven løses i Maple.
I næste uge skal eleverne aflevere samme opgave, men denne gang skal løsningerne bestemmes i Geogebra.
Det er svært at få hele dokumentationen og centrale kommentarer med ved løsning af opgaver i Geogebra . Derfor får eleverne følgende huskeregler til løsning af opgaver med Geogebra:
Det er svært at få vænnet eleverne til at tjekke om resultatet på et spørgsmål er rimeligt/korrekt. Jeg vil derfor inden længe give eleverne en hjemmeopgave, hvor svarene er angivet.
Eleverne skal så i stedet for at løse opgaverne tjekke om svarene er korrekte - det vil de selvfølgelig ikke være alle sammen.
onsdag den 24. august 2016
Differentialkvotienter - eksprimentelt bestemt
Så blev det tid til at introducere min 2g-klasse for den mere formelle matematik hørende til differentialregning. I stedet for at indføre tretrinsreglen fra starten har jeg i stedet for ladet eleverne bestemme differentialkvotienter for x2, x3, xn, k*xn og xn+xm eksperimentelt i Geogebra.
Vi benyttede samme metode som beskrevet under indlægget Komplekse matematiske problemer, så eleverne var fortrolige med metoden.
Når først eleverne har fundet differentialkvotienten for x2, så er det blot et spørgsmål om at udskifte funktionerne.
Eleverne arbejdede med dette arbejdsark Link
Min oplevelse her efter introduktionen er, at eleverne ved at selv at finde regnereglerne nemmere husker reglerne. Sådan opleves det i hvert fald lige nu.
Nu er det tid til at få introduceret sekant, tangent og tretrinsregel mere formelt - det vil jeg gøre på samme måde som sidste år. Der står lidt om metoden i disse to indlæg:
Differentialregning - intro
Tretrinsreglen
Vi benyttede samme metode som beskrevet under indlægget Komplekse matematiske problemer, så eleverne var fortrolige med metoden.
Når først eleverne har fundet differentialkvotienten for x2, så er det blot et spørgsmål om at udskifte funktionerne.
Eleverne arbejdede med dette arbejdsark Link
Min oplevelse her efter introduktionen er, at eleverne ved at selv at finde regnereglerne nemmere husker reglerne. Sådan opleves det i hvert fald lige nu.
Nu er det tid til at få introduceret sekant, tangent og tretrinsregel mere formelt - det vil jeg gøre på samme måde som sidste år. Der står lidt om metoden i disse to indlæg:
Differentialregning - intro
Tretrinsreglen
lørdag den 13. august 2016
Komplekse matematiske problemer
Det er svært at løse mere komplekse matematiske problemer, hvor løsningsmetoden måske ikke er helt tydelig, når man læser opgaveteksten. Det er jo ikke fordi vi har mange af denne type opgaver i gymnasiet, men opstilling af funktionsudtryk hørende til optimeringsopgaver falder i den kategori.
Som introduktion til teorien bag differentialregning (eleverne er bekendte med f '(x), hvad differentialkvotienten benyttes til i forbindelse med optimering og hvordan man benytter Geogebra/Maple til at løse sådanne optimeringsopgaver) har jeg valgt at starte skoleåret for min 2g-klasse med træning i opstilling af funktionsudtryk og optimering af disse.
Jeg har introduceret eleverne til følgende 7 trin, som kan være med til at skabe lidt struktur på opstillingen af funktionsudtryk:
1) Forståelse
Hvad handler opgaven om? Hvad skal bestemmes?
2) Visualisering
Skitser situationen hvis det er muligt.
Lav situationen i virkeligheden, hvis det er muligt.
3) Sortering
Sorter evt. irrelevante informationer fra og sorter de relevante informationer
Hvilken type matematik kan anvendes? Hvilke kendte formler kan anvendes?
4) Symboler og eksempel
Indfør passende symboler og udregn/konstruer evt. eksempler.
Kan situationen eventuelt konstrueres i Geogebra (se evt. tips nedenfor)?
5) Formel
Opstil en formel til løsning af problemet
6) Beregning
Beregn løsningen
7) Konklusion
Sørg for at få konkluderet på udregninger i relation til det emne opgaven handler om
Specielt delen med konstruktion af fysisk model, udregning af eksempler og løsning i Geogebra lægger jeg vægt på. Alle disse dele er med til at give eleverne inputs til, hvordan selve funktionsforskriften opstilles.
Det er klart at når eleverne bliver mere rutinerede til at opstille funktionsudtryk, så er flere af ovenstående punkter ikke så nødvendige.
Løsningen i Geogebra kan typisk laves med en skyder, opsamling i regneark og efterfølgende regression. Jeg viste kort eleverne metoden med punkterne på grafen for f(x) = x2 som eksempel og gav efterfølgende eleverne metoden på papir (Link). Det var dog ikke nødvendigt for eleverne at søge hjælp i arket efterfølgende.
Vi startede forløbet med at løse en tidligere eksamensopgave, hvor vi gennemløbe de enkelte trin på tavlen med små arbejdspauser i par ved hvert punkt. Herefter blev eleverne inddelt i grupper, som fik hver deres optimeringsproblem. Når eleverne havde løst "deres problem" kunne de gå videre til et af de andre problemer.
I slutningen af modulet præsenterede eleverne problemer og løsningsmetoder for hinanden i matrixgrupper. Formålet med dette var at eleverne skulle konstatere, at løsningsmetoden for sådanne opgaver er den samme.
Eleverne fik udleveret disse opgaver - Link.
Den første hjemmeopgave for eleverne bliver et projekt med optimering af én henholdsvis to kegler, hvor fokus også vil være ovenstående 7 punkter (Link).
Min dynamiske løsning i Geogebra ses nedenfor (Link).
Som introduktion til teorien bag differentialregning (eleverne er bekendte med f '(x), hvad differentialkvotienten benyttes til i forbindelse med optimering og hvordan man benytter Geogebra/Maple til at løse sådanne optimeringsopgaver) har jeg valgt at starte skoleåret for min 2g-klasse med træning i opstilling af funktionsudtryk og optimering af disse.
Jeg har introduceret eleverne til følgende 7 trin, som kan være med til at skabe lidt struktur på opstillingen af funktionsudtryk:
1) Forståelse
Hvad handler opgaven om? Hvad skal bestemmes?
2) Visualisering
Skitser situationen hvis det er muligt.
Lav situationen i virkeligheden, hvis det er muligt.
3) Sortering
Sorter evt. irrelevante informationer fra og sorter de relevante informationer
Hvilken type matematik kan anvendes? Hvilke kendte formler kan anvendes?
4) Symboler og eksempel
Indfør passende symboler og udregn/konstruer evt. eksempler.
Kan situationen eventuelt konstrueres i Geogebra (se evt. tips nedenfor)?
5) Formel
Opstil en formel til løsning af problemet
6) Beregning
Beregn løsningen
7) Konklusion
Sørg for at få konkluderet på udregninger i relation til det emne opgaven handler om
Specielt delen med konstruktion af fysisk model, udregning af eksempler og løsning i Geogebra lægger jeg vægt på. Alle disse dele er med til at give eleverne inputs til, hvordan selve funktionsforskriften opstilles.
Det er klart at når eleverne bliver mere rutinerede til at opstille funktionsudtryk, så er flere af ovenstående punkter ikke så nødvendige.
Løsningen i Geogebra kan typisk laves med en skyder, opsamling i regneark og efterfølgende regression. Jeg viste kort eleverne metoden med punkterne på grafen for f(x) = x2 som eksempel og gav efterfølgende eleverne metoden på papir (Link). Det var dog ikke nødvendigt for eleverne at søge hjælp i arket efterfølgende.
Vi startede forløbet med at løse en tidligere eksamensopgave, hvor vi gennemløbe de enkelte trin på tavlen med små arbejdspauser i par ved hvert punkt. Herefter blev eleverne inddelt i grupper, som fik hver deres optimeringsproblem. Når eleverne havde løst "deres problem" kunne de gå videre til et af de andre problemer.
I slutningen af modulet præsenterede eleverne problemer og løsningsmetoder for hinanden i matrixgrupper. Formålet med dette var at eleverne skulle konstatere, at løsningsmetoden for sådanne opgaver er den samme.
Eleverne fik udleveret disse opgaver - Link.
Den første hjemmeopgave for eleverne bliver et projekt med optimering af én henholdsvis to kegler, hvor fokus også vil være ovenstående 7 punkter (Link).
Min dynamiske løsning i Geogebra ses nedenfor (Link).
mandag den 8. august 2016
Første skoledag - med "julegave"
Så blev det første skoledag i hvert fald for os lærere.
I år med en glædelig overraskelse:
Stort set alle vores klasselokaler er blevet installeret med tavler på alle vægge. Det er næste som juleaften. Sådan ser vores sædvanlige klasseværelser ud:
Jeg har i flere år efterspurgt flere tavler i lokalerne og i fællesområder, så det var en stor dag i dag.
Jeg har sat mig som princip, at eleverne skal op og stå ved tavlerne i alle mine timer.
Det er min erfaring at aktivitetsniveauet og eleverne kommunikation vokser en hel del, når der arbejdes i små grupper ved tavlen. På ICME13 konferencen var der et oplæg fra Canada, der beskrev et forsøg, som også var nået frem til samme konklusion.
Jeg kan se mange fordele ved brug af disse tavler:
1) Gruppearbejde bliver nemmere, da alle i gruppen nemt kan følge med
2) Jeg kan hurtigt se hvad eleverne har lavet - er der behov for at jeg skal blande mig
3) Jeg får langt lettere ved at få de svage elever i tale, når vi i fællesskab i en mindre gruppe diskuterer matematisk teori eller opgaveløsning.
4) Eleverne kan nemmere tjekke hinandens udregninger ved at skifte tavle, hvis der f.eks. regnes forskellige opgaver
5) Alle er ved tavlen - dermed kommer der ekstra fokus på træning af mundtlighed.
Og så håber jeg selvfølgelig at også andre fordele dukker op, når jeg kommer i gang med arbejdet.
I år med en glædelig overraskelse:
Stort set alle vores klasselokaler er blevet installeret med tavler på alle vægge. Det er næste som juleaften. Sådan ser vores sædvanlige klasseværelser ud:
Foto taget bagerst i lokalet fra vinduessiden
Foto taget ved tavlen i vinduessiden
Jeg har i flere år efterspurgt flere tavler i lokalerne og i fællesområder, så det var en stor dag i dag.
Jeg har sat mig som princip, at eleverne skal op og stå ved tavlerne i alle mine timer.
Det er min erfaring at aktivitetsniveauet og eleverne kommunikation vokser en hel del, når der arbejdes i små grupper ved tavlen. På ICME13 konferencen var der et oplæg fra Canada, der beskrev et forsøg, som også var nået frem til samme konklusion.
Jeg kan se mange fordele ved brug af disse tavler:
1) Gruppearbejde bliver nemmere, da alle i gruppen nemt kan følge med
2) Jeg kan hurtigt se hvad eleverne har lavet - er der behov for at jeg skal blande mig
3) Jeg får langt lettere ved at få de svage elever i tale, når vi i fællesskab i en mindre gruppe diskuterer matematisk teori eller opgaveløsning.
4) Eleverne kan nemmere tjekke hinandens udregninger ved at skifte tavle, hvis der f.eks. regnes forskellige opgaver
5) Alle er ved tavlen - dermed kommer der ekstra fokus på træning af mundtlighed.
Og så håber jeg selvfølgelig at også andre fordele dukker op, når jeg kommer i gang med arbejdet.
fredag den 5. august 2016
Integral - arealer - eksperimentielt
Mine 3g-elever har siden 1g vidst at integralet under en positiv funktion giver det tilhørende areal. De er ligeledes vant til at bruge integraltegnet i Maple til at løse sådanne opgaver.
Nu er det tid til at få teorien hørende til integralregning på plads.
I stedet for den traditionelle indføring via stamfunktioner og sammenhængen med differentialregning vil jeg i år tage udgangspunkt i netop arealer og så eksperimentelt finde frem til stamfunktioner for udvalgte funktioner.
Jeg starter forløbet med at eleverne skal udregne givne arealer under linjer (vandrette linjer og skrå voksende linjer gennem (0,0)). Hertil benyttes blot kendte arealformler. Ud fra eksemplerne skal eleverne opstille formler til bestemmelse af arealer under funktionerne f(x)=k og f(x) = kx.
Efterfølgende benyttes Geogebra til at bestemme arealer under f(x) = x2 for så at eksperimentere sig frem til arealfunktionen. Proceduren er som følger:
1) Opret skyder k (fra x=0 til x=5) samt funktionen f(x) = x2.
2) Definer variabel, der angiver arealet under f(x) fra x=0 til x=k.
3) I regneark opsamles nu værdier for k samt de tilhørende arealer
4) Der laves nu regression over de opsamlede punkter og så fås forhåbentlig den korrekte stamfunktion.
Eleverne skal til slut ved hjælp af eksperimenter i deres Geogebra regneark komme med bud på stamfunktioner hørende til xn, kxn og xn + xm.
Arbejdsarket eleverne skal arbejde med ligger her: Link
Når dette er på plads, har jeg tænkt mig at lade eleverne arbejde med sætningen, som beviser sammenhængen mellem integral og areal. Men vil dog overveje om dette bevis er for svært at introducere så tidligt i forløbet.
Nu er det tid til at få teorien hørende til integralregning på plads.
I stedet for den traditionelle indføring via stamfunktioner og sammenhængen med differentialregning vil jeg i år tage udgangspunkt i netop arealer og så eksperimentelt finde frem til stamfunktioner for udvalgte funktioner.
Jeg starter forløbet med at eleverne skal udregne givne arealer under linjer (vandrette linjer og skrå voksende linjer gennem (0,0)). Hertil benyttes blot kendte arealformler. Ud fra eksemplerne skal eleverne opstille formler til bestemmelse af arealer under funktionerne f(x)=k og f(x) = kx.
Efterfølgende benyttes Geogebra til at bestemme arealer under f(x) = x2 for så at eksperimentere sig frem til arealfunktionen. Proceduren er som følger:
1) Opret skyder k (fra x=0 til x=5) samt funktionen f(x) = x2.
2) Definer variabel, der angiver arealet under f(x) fra x=0 til x=k.
3) I regneark opsamles nu værdier for k samt de tilhørende arealer
4) Der laves nu regression over de opsamlede punkter og så fås forhåbentlig den korrekte stamfunktion.
Eleverne skal til slut ved hjælp af eksperimenter i deres Geogebra regneark komme med bud på stamfunktioner hørende til xn, kxn og xn + xm.
Arbejdsarket eleverne skal arbejde med ligger her: Link
Når dette er på plads, har jeg tænkt mig at lade eleverne arbejde med sætningen, som beviser sammenhængen mellem integral og areal. Men vil dog overveje om dette bevis er for svært at introducere så tidligt i forløbet.
torsdag den 4. august 2016
Nyt skoleår nærmer sig
Så nærmer skolestart sig og dermed også forberedelserne til det kommende skoleår.
Jeg var ikke specielt flittig med at skrive på bloggen i foråret, så jeg vil prøve her i starten af skoleåret at få skrevet lidt flere indlæg.
Jeg har i ferien deltaget i ICME13-konferencen (www.icme13.org) i Hamborg. ICME er en verdensomspændende konference om undervisning i matematik, som afholdes hvert 4 år. I år deltog ca. 3400 personer fra 105 lande.
Det er en speciel oplevelse at deltage i en så stor konference, hvor man løber ind i fremragende oplæg og desværre også totalt intetsigende oplæg.
Jeg har fået en del ideer, der skal følges op på, og en række hjemmesider som skal undersøges nærmere.
Jeg vil senere skrive om nogle af de ideer og materialer fra konferencen, jeg har tænkt mig at benytte i min undervisning.
En lille sjov opgave fra konferencens, som jeg har tænkt mig at starte op med i min 3g-klasse er følgende:
Tegn i funktionen f(x)=x2.
Placer to punkter på parablen, hvor det ene skal have negativ x-værdi og det andet skal have positiv x-værdi. Forbind de to punkter med en ret linje.
Hvilken sammenhæng er der mellem de to punkter på parablen og linjens skæring med y-aksen?
Kan du bevise din teori?
Jeg var ikke specielt flittig med at skrive på bloggen i foråret, så jeg vil prøve her i starten af skoleåret at få skrevet lidt flere indlæg.
Jeg har i ferien deltaget i ICME13-konferencen (www.icme13.org) i Hamborg. ICME er en verdensomspændende konference om undervisning i matematik, som afholdes hvert 4 år. I år deltog ca. 3400 personer fra 105 lande.
Det er en speciel oplevelse at deltage i en så stor konference, hvor man løber ind i fremragende oplæg og desværre også totalt intetsigende oplæg.
Jeg har fået en del ideer, der skal følges op på, og en række hjemmesider som skal undersøges nærmere.
Jeg vil senere skrive om nogle af de ideer og materialer fra konferencen, jeg har tænkt mig at benytte i min undervisning.
En lille sjov opgave fra konferencens, som jeg har tænkt mig at starte op med i min 3g-klasse er følgende:
Tegn i funktionen f(x)=x2.
Placer to punkter på parablen, hvor det ene skal have negativ x-værdi og det andet skal have positiv x-værdi. Forbind de to punkter med en ret linje.
Hvilken sammenhæng er der mellem de to punkter på parablen og linjens skæring med y-aksen?
Kan du bevise din teori?
mandag den 13. juni 2016
Skriftlig eksamen - censurerfaringer
I år har jeg været skriftlig censor udelukkende på opgavebesvarelser fra netforsøget (A-niveau).
På netforsøget har eleverne to timer uden hjælpemidler (dog med formelsamling) efterfulgt af 3 timer med hjælpemidler. I delen med hjælpemidler stilles 3-5 spørgsmål i et forberedelsesmateriale, som eleverne modtager op til 3 uger før eksamen. Der skal så afsættes 6 klokketimer af matematiktimerne til elevernes arbejde med materialet. Lærerne må ikke undervise i materialet, men skal hjælpe eleverne, hvis de løber ind i problemer. Du kan finde de tidligere års forberedelsesmaterialer (fint som supplerende stof) samt eksamenssæt her - link.
I år handlede forberedelsesmaterialet om sfærisk geometri.
Jeg lærer altid en del af at rette en masse opgaver af samme type. Der er en del fejltyper som går igen og igen og igen og ... Nogle fejl skyldes selvfølgelig at opgaven er svær, men ofte undres jeg noget over elevernes svar. Det giver mig en fornemmelse af, hvilke elementer jeg skal lægge ekstra vægt på.
Jeg har en 3g-klasse til næste år og her er listen over ting, jeg vil arbejde ihærdigt på, at eleverne får styr på:
1) Overspring ikke mellemregninger - det går galt
2) Karakteristika ved de forskellige funktionstyper, så de kan genkendes og beskrives
3) Monotoniundersøgelse i hånden! Man behøver ikke kunne udregne hældning i bestemte punkter. Det er nok at bestemme fortegnet.
4) Foretag kun en udregning ad gangen, når der reduceres - og husk at beholde parenteser indtil udregningen med at hæve parentes udføres
5) Tegn de to ensvinklede trekanter ved siden af hinanden, så de ligger på samme måde
6) Funktionsværdier for specielle funktioner: ln(e), ln(1), log(1), log(100). e0, ...
7) Betydningen af konstanterne a og b i standardfunktioner skal beskrives i relation til opgavens praktiske indhold.
8) Nulreglen og at sætte værdi uden for parentes.
De svage elever skal være bedre til at dokumentere, hvad de gør. Mit generelle indtryk at de opgaver, de svage elever kan løse, sjældent indeholder nok ledsagende kommentarer, og det koster dyrebare point.
Min kommende 3g-klasse har til årsprøven i år prøvet eksamensformen for netforsøget, og deres tilbagemeldinger har været overvejende positive. Så det ender nok med, at vi vælger den eksamensform.
Hvis det bliver tilfældet, så skal vi træne en masse i brugen af formelsamlingen. Jeg var meget forundret over, hvor lidt eleverne havde anvendt formelsamlingen - f.eks. til at få differentieret eller integreret korrekt.
På netforsøget har eleverne to timer uden hjælpemidler (dog med formelsamling) efterfulgt af 3 timer med hjælpemidler. I delen med hjælpemidler stilles 3-5 spørgsmål i et forberedelsesmateriale, som eleverne modtager op til 3 uger før eksamen. Der skal så afsættes 6 klokketimer af matematiktimerne til elevernes arbejde med materialet. Lærerne må ikke undervise i materialet, men skal hjælpe eleverne, hvis de løber ind i problemer. Du kan finde de tidligere års forberedelsesmaterialer (fint som supplerende stof) samt eksamenssæt her - link.
I år handlede forberedelsesmaterialet om sfærisk geometri.
Jeg lærer altid en del af at rette en masse opgaver af samme type. Der er en del fejltyper som går igen og igen og igen og ... Nogle fejl skyldes selvfølgelig at opgaven er svær, men ofte undres jeg noget over elevernes svar. Det giver mig en fornemmelse af, hvilke elementer jeg skal lægge ekstra vægt på.
Jeg har en 3g-klasse til næste år og her er listen over ting, jeg vil arbejde ihærdigt på, at eleverne får styr på:
1) Overspring ikke mellemregninger - det går galt
2) Karakteristika ved de forskellige funktionstyper, så de kan genkendes og beskrives
3) Monotoniundersøgelse i hånden! Man behøver ikke kunne udregne hældning i bestemte punkter. Det er nok at bestemme fortegnet.
4) Foretag kun en udregning ad gangen, når der reduceres - og husk at beholde parenteser indtil udregningen med at hæve parentes udføres
5) Tegn de to ensvinklede trekanter ved siden af hinanden, så de ligger på samme måde
6) Funktionsværdier for specielle funktioner: ln(e), ln(1), log(1), log(100). e0, ...
7) Betydningen af konstanterne a og b i standardfunktioner skal beskrives i relation til opgavens praktiske indhold.
8) Nulreglen og at sætte værdi uden for parentes.
De svage elever skal være bedre til at dokumentere, hvad de gør. Mit generelle indtryk at de opgaver, de svage elever kan løse, sjældent indeholder nok ledsagende kommentarer, og det koster dyrebare point.
Min kommende 3g-klasse har til årsprøven i år prøvet eksamensformen for netforsøget, og deres tilbagemeldinger har været overvejende positive. Så det ender nok med, at vi vælger den eksamensform.
Hvis det bliver tilfældet, så skal vi træne en masse i brugen af formelsamlingen. Jeg var meget forundret over, hvor lidt eleverne havde anvendt formelsamlingen - f.eks. til at få differentieret eller integreret korrekt.
torsdag den 28. april 2016
Træning frem mod SRP - skrivning af SRO
Som skriftlig censor i SRP undrer jeg mig tit over hvor dårlige eleverne er til at skrive matematik. Det må skyldes, at vi ikke træner det nok og ikke har nok fokus på den disciplin af matematikken.
Jeg laver en del projektrapporter og temaforløb, hvor jeg synes eleverne får trænet disse dele, men ruster det dem godt nok til at skrive en SRP med matematik? Det er jeg ikke helt sikker på.
Jeg har i år en 2g, som skal skrive SRO i matematik og samfundsfag. På min skole har vi efter min mening ikke været gode nok til at udnytte SRO til at give eleverne træning frem mod SRP. Træningen har typisk bestået i lidt introduktion til opgaveformuleringen og så 3 dage fri til at skrive opgaven. Det tror jeg altså ikke, man lærer meget af.
Derfor besluttet jeg med samfundsfagslæreren, at vi her i foråret vil arbejde med forskellige aspekter af opgaveskrivningen med eleverne (Vores elever skriver SRO i starten af eksamensperioden).
I matematik har jeg således lavet:
1) et forløb om andengradspolynomier, hvor eleverne selv skal arbejde med relevante matematiske tekster. Efterfølgende skal hver elev skrive et lille teoretisk afsnit 2-3 sider. Inden jeg retter elevernes afsnit, sættes eleverne sammen i par, hvor de kommenterer hinandens tekst. Teksten rettes så inden den afleveres endeligt. Jeg vil beskrive selve forløbet lidt grundigere i et indlæg en af dagene.
I relation til at skrive en matematisk tekst har vi talt meget om at udvælge materiale fra forskellige kilder og at ensarte notationen. Vi har talt om at gøre matematikteksten til ens egen, så det ikke bare bliver en "afskrift" fra bogen. Dvs. tilføje ekstra kommentarer og mellemregninger samt at bogen ikke skal være åben, når teksten skrives. Teksten skrives ud fra de noter, man har skrevet, da man læste kilden.
2) Normalt stiller vi jo en masse spørgsmål, når eleverne skal løse en opgave i matematik. Men i SRP/SRO skal eleverne jo ofte selv "finde på" den matematik, de anvender. Det har vi forsøgt at træne ved at give eleverne en tabel, som de skal skrive et afsnit om. Her var opgaven blot at skrive et afsnit der behandler tabellen, hvor både matematik og samfundsfag inddrages - træning i at binde fagene sammen. Eleverne afleverede først opgaven i matematik og genafleverede efterfølgende i samfundsfag ugen efter.
3) Træning i søgning - vi vil målrette elevernes evne til at søge efter relevante materialer. Så de får til opgave at finde materialer af følgende typer: bog, matematikteoretisk tekst, samfundsteoretisk tekst, aktuel samfundsmæssig artikel, statistisk materiale. De fundne materialer samles, så alle elever kan få glæde af linkene.
4) Kort tid inden selve skrivningen vil vi bede eleverne udarbejde en indholdsfortegnelse/disposition for deres SRO, som diskuteres med lærere/klassekammerater.
5) På 2. skrivedag vil vi indlægge et tvunget møde med vejlederne, hvor eleverne skal fremlægge disposition mm. Samtidig vil der være krav om at noget af det skrevne skal læses og kommenteres af en klassekammerat.
6) Og så er der lige layout-delen. Her vil vi fokusere på, at gøre eleverne fortrolige med de vigtigste layout-elementer. Det vil vi gøre ved at opstille nogle layoutkrav til besvarelsen.
Jeg laver en del projektrapporter og temaforløb, hvor jeg synes eleverne får trænet disse dele, men ruster det dem godt nok til at skrive en SRP med matematik? Det er jeg ikke helt sikker på.
Jeg har i år en 2g, som skal skrive SRO i matematik og samfundsfag. På min skole har vi efter min mening ikke været gode nok til at udnytte SRO til at give eleverne træning frem mod SRP. Træningen har typisk bestået i lidt introduktion til opgaveformuleringen og så 3 dage fri til at skrive opgaven. Det tror jeg altså ikke, man lærer meget af.
Derfor besluttet jeg med samfundsfagslæreren, at vi her i foråret vil arbejde med forskellige aspekter af opgaveskrivningen med eleverne (Vores elever skriver SRO i starten af eksamensperioden).
I matematik har jeg således lavet:
1) et forløb om andengradspolynomier, hvor eleverne selv skal arbejde med relevante matematiske tekster. Efterfølgende skal hver elev skrive et lille teoretisk afsnit 2-3 sider. Inden jeg retter elevernes afsnit, sættes eleverne sammen i par, hvor de kommenterer hinandens tekst. Teksten rettes så inden den afleveres endeligt. Jeg vil beskrive selve forløbet lidt grundigere i et indlæg en af dagene.
I relation til at skrive en matematisk tekst har vi talt meget om at udvælge materiale fra forskellige kilder og at ensarte notationen. Vi har talt om at gøre matematikteksten til ens egen, så det ikke bare bliver en "afskrift" fra bogen. Dvs. tilføje ekstra kommentarer og mellemregninger samt at bogen ikke skal være åben, når teksten skrives. Teksten skrives ud fra de noter, man har skrevet, da man læste kilden.
2) Normalt stiller vi jo en masse spørgsmål, når eleverne skal løse en opgave i matematik. Men i SRP/SRO skal eleverne jo ofte selv "finde på" den matematik, de anvender. Det har vi forsøgt at træne ved at give eleverne en tabel, som de skal skrive et afsnit om. Her var opgaven blot at skrive et afsnit der behandler tabellen, hvor både matematik og samfundsfag inddrages - træning i at binde fagene sammen. Eleverne afleverede først opgaven i matematik og genafleverede efterfølgende i samfundsfag ugen efter.
3) Træning i søgning - vi vil målrette elevernes evne til at søge efter relevante materialer. Så de får til opgave at finde materialer af følgende typer: bog, matematikteoretisk tekst, samfundsteoretisk tekst, aktuel samfundsmæssig artikel, statistisk materiale. De fundne materialer samles, så alle elever kan få glæde af linkene.
4) Kort tid inden selve skrivningen vil vi bede eleverne udarbejde en indholdsfortegnelse/disposition for deres SRO, som diskuteres med lærere/klassekammerater.
5) På 2. skrivedag vil vi indlægge et tvunget møde med vejlederne, hvor eleverne skal fremlægge disposition mm. Samtidig vil der være krav om at noget af det skrevne skal læses og kommenteres af en klassekammerat.
6) Og så er der lige layout-delen. Her vil vi fokusere på, at gøre eleverne fortrolige med de vigtigste layout-elementer. Det vil vi gøre ved at opstille nogle layoutkrav til besvarelsen.
fredag den 8. april 2016
Sandsynlighedsfunktioner - introduktion til chi2-test
I år har jeg besluttet mig for at vende lidt rundt på den måde jeg vil lære eleverne Chi2.I stedet for at starte med Chi2, har jeg valgt at arbejde med forskellige sandsynlighedsfunktioner. Dermed håber jeg, eleverne får en forståelse af, at disse funktioner kan benyttes til at beskrive sandsynligheder.
Eleverne arbejder via opgaver med forskellige sandsynlighedsfunktioner - først nogle tilfældige funktioner som opfylder kravene til en sandsynlighedsfunktion og efterfølgende normalfordeling og til sidst forskellige Chi2-funktioner.
Dette arbejde skulle gerne munde ud i en forståelse af
- betydningen af areal under sandsynlighedsfunktioner
- sammenhængen mellem sandsynlighedsfunktioner og de tilhørende fordelingsfunktioner
- forskellen på normalfordelingsfunktionerne (hvilken betydning har middelværdi og spredning for grafens udseende og dermed for sandsynlighedsfordelingen under grafen)
- forskellen på Chi2-funktionerne (hvilken betydning har antal frihedsgrader for grafens udseende og sandsynlighedsfordelingen)
I forbindelse med funktionerne hørende til normalfordeling og Chi2-funktionerne, repeterer vi selvfølgelig også de grundlæggende funktionsbegreber.
Jeg benytter to arbejdsark til denne introduktion:
Indledende om sandsynlighedsfunktioner (Link)
Chi2-funktioner (Link)
Eleverne arbejder via opgaver med forskellige sandsynlighedsfunktioner - først nogle tilfældige funktioner som opfylder kravene til en sandsynlighedsfunktion og efterfølgende normalfordeling og til sidst forskellige Chi2-funktioner.
Dette arbejde skulle gerne munde ud i en forståelse af
- betydningen af areal under sandsynlighedsfunktioner
- sammenhængen mellem sandsynlighedsfunktioner og de tilhørende fordelingsfunktioner
- forskellen på normalfordelingsfunktionerne (hvilken betydning har middelværdi og spredning for grafens udseende og dermed for sandsynlighedsfordelingen under grafen)
- forskellen på Chi2-funktionerne (hvilken betydning har antal frihedsgrader for grafens udseende og sandsynlighedsfordelingen)
Jeg benytter to arbejdsark til denne introduktion:
Indledende om sandsynlighedsfunktioner (Link)
Chi2-funktioner (Link)
lørdag den 2. april 2016
Beskrivende statistik
Så blev det tid til at introducere den beskrivende statistik i min 1g-klasse, der har matematik på A-niveau.
Et kig i formelsamlingen for 9-10 klasse viser, at der præsenteres kort stort set alle de statistiske begreber, som vi også skal arbejde med i gymnasiet (link).
Eleverne fik disse sider for som lektie, hvor de selvfølgelig skulle fokusere på begrebernes betydning og hvordan de findes ud fra et talmateriale. Heldigvis kunne eleverne huske langt de fleste begreber fra formelsamlingen.
som lille tjek på eleverne, præsenterede jeg dem for følgende citat:
I de kommende timer vil vi repetere begreberne med forskellige lege (f.eks. pecha kucha eller Hvem husker det først?) og ved at regne opgaver.
Når eleverne har styr på begrebernes betydning og tilhørende regnemetoder, præsenteres eleverne for relevante Maple-kommandoer, der kan benyttes i statistikopgaver.
Et kig i formelsamlingen for 9-10 klasse viser, at der præsenteres kort stort set alle de statistiske begreber, som vi også skal arbejde med i gymnasiet (link).
Eleverne fik disse sider for som lektie, hvor de selvfølgelig skulle fokusere på begrebernes betydning og hvordan de findes ud fra et talmateriale. Heldigvis kunne eleverne huske langt de fleste begreber fra formelsamlingen.
som lille tjek på eleverne, præsenterede jeg dem for følgende citat:
Heldigvis gennemskuede nogle af eleverne, at der nok skulle stå median i stedet for gennemsnit. Det gav en god snak om forskellen på median og middelværdi.
I de kommende timer vil vi repetere begreberne med forskellige lege (f.eks. pecha kucha eller Hvem husker det først?) og ved at regne opgaver.
Når eleverne har styr på begrebernes betydning og tilhørende regnemetoder, præsenteres eleverne for relevante Maple-kommandoer, der kan benyttes i statistikopgaver.
tirsdag den 22. marts 2016
Trigonometriske funktioner
Jeg plejer altid at introducerer sinus og cosinus i forbindelse med trigonometri. Min 1g-klasses fysiklærer vil arbejde med harmoniske svingninger, så det vil jo være naturligt, at vi laver et samarbejde. Klassen har imidlertid ikke arbejdet med trigonometri endnu, så jeg valgte derfor at indføre sinus og cosinus som funktioner i stedet for nyttige kommandoer til trigonometri.
Jeg tilrettelagte forløbet eksperimenterende så eleverne i nævnte rækkefølge skulle:
- Konstruere enhedscirkel og til udvalgte vinkler mellem 0 og 90 grader aflæse x- og y-værdi for det tilhørende retningspunkt.
- Sprogligt opstille regler for bestemmelse af x- og y-værdi for alle tænkelige retningspunkter ud fra de aflæste værdier mellem 0 og 90 grader.
- Vi definerer nu sinus og cosinus (det er jo blot nogle navne!) og eleverne skal opstille de fundne regler matematisk
- Brug reglerne til at tegne funktionerne sin(x) og cos(x) på millimeterpapir i intervallet 0 til 800 grader.
- Radianer indføres og der arbejdes med sammenhængen mellem grader og radianer samt forskelle på de tilhørende funktioner for sinus og cosinus..
- Endelig undersøger eleverne den trigonometriske funktion f(x) = A Sin(bx + c) + d
ved hjælp af skydere.
De tre arbejdsark, som eleverne arbejdede med ligger her (Link).
Jeg blev positivt overrasket over, hvor hurtigt eleverne fangede begreberne. De var rigtig gode til selv at konkludere ud fra deres eksperimenter.
Nu er det blot spændende at se, hvor meget der hænger fast efter påske, når de trigonometriske funktioner skal bruges i fysik, og de dukker op i hjemmeopgaver i matematik.
Jeg tilrettelagte forløbet eksperimenterende så eleverne i nævnte rækkefølge skulle:
- Konstruere enhedscirkel og til udvalgte vinkler mellem 0 og 90 grader aflæse x- og y-værdi for det tilhørende retningspunkt.
- Sprogligt opstille regler for bestemmelse af x- og y-værdi for alle tænkelige retningspunkter ud fra de aflæste værdier mellem 0 og 90 grader.
- Vi definerer nu sinus og cosinus (det er jo blot nogle navne!) og eleverne skal opstille de fundne regler matematisk
- Brug reglerne til at tegne funktionerne sin(x) og cos(x) på millimeterpapir i intervallet 0 til 800 grader.
- Radianer indføres og der arbejdes med sammenhængen mellem grader og radianer samt forskelle på de tilhørende funktioner for sinus og cosinus..
- Endelig undersøger eleverne den trigonometriske funktion f(x) = A Sin(bx + c) + d
Jeg blev positivt overrasket over, hvor hurtigt eleverne fangede begreberne. De var rigtig gode til selv at konkludere ud fra deres eksperimenter.
Nu er det blot spændende at se, hvor meget der hænger fast efter påske, når de trigonometriske funktioner skal bruges i fysik, og de dukker op i hjemmeopgaver i matematik.
søndag den 13. marts 2016
Eksperimenter i Maple - ligninger
Maple bliver bedre og bedre til at komme med forslag til de operationer,som kan/skal udføres i relation til et indtastet udtryk. Det kan der selvfølgelig sige både godt og dårligt om, men måske nedenstående kan benyttes ved træning af ligningsløsning. Jeg har ikke selv prøvet det med en klasse, så jeg ved ikke,hvor godt det fungerer.
Den facilitet i Maple, som jeg udnytter, er markering af et Maple resultat. I nedenstående eksempel har jeg indtastet en ligning og efterfølgende trykket på Retur-tasten, så ligningen fremstår som et resultat. Herefter har jeg markeret hele Maples resultat og ventet lidt (musen skal være placeret over det fremhævede område). Så viser Maple følgende muligheder:
Jeg kan altså hurtigt får tegnet, løst eller bytter rundt på siderne.
Det smarte er nu, at man også kan fremhæve enkelte udtryk/tal i ligningen, og så vil Maple vise, hvilken effekt det vil have. Her er et par eksempler, hvor forskellige dele er af ligningen er fremhævet:
Den facilitet i Maple, som jeg udnytter, er markering af et Maple resultat. I nedenstående eksempel har jeg indtastet en ligning og efterfølgende trykket på Retur-tasten, så ligningen fremstår som et resultat. Herefter har jeg markeret hele Maples resultat og ventet lidt (musen skal være placeret over det fremhævede område). Så viser Maple følgende muligheder:
Jeg kan altså hurtigt får tegnet, løst eller bytter rundt på siderne.
Det smarte er nu, at man også kan fremhæve enkelte udtryk/tal i ligningen, og så vil Maple vise, hvilken effekt det vil have. Her er et par eksempler, hvor forskellige dele er af ligningen er fremhævet:
Når man så har fundet den operation, som giver mest mening, klikkes blot på det foreslåede, hvorefter Maple klarer resten - se nedenfor.
Der kan nu fortsættes. Hvis en side skal reduceres, så markeres blot den pågældende side.
Jeg tænker, at denne facilitet måske kan benyttes med elever, som har svært ved at gennemskue, hvad næste skridt i en ligningsløsning. Det er umiddelbart synligt, hvad der sker ved de forskellige operationer.
torsdag den 10. marts 2016
Eksperimenter i Maple
Normalt foretrækker jeg at eksperimentere i matematikprogrammet Geogebra, selvom jeg også anvender Maple. Jeg synes ikke Maple er god nok til at understøtte eksperimenter og specielt ikke den grafiske del.
Maple har dog nogle elementer, som kan benyttes til eksperimenter. Et af disse elementer er Explore:
Jeg har netop arbejdet med logaritmer i min 1g-klasse, hvor vi undersøgte de forskellige logaritmer. Eleverne undersøgte bl.a.. forskelle og ligheder på graferne.
I Maple indtastes logaritmen med grundtallet b som logb(x).
Jeg ville undersøge betydningen af grafen, når grundtallet ændres, så jeg indtaster følgende plot-kommando:
Jeg synes stadig ikke, det er lige så illustrativt, som når jeg bruger skyder i Geogebra, men det er muligt. Og desværre er der også lidt uhensigtsmæssigheder:
1) Man kan ikke definere funktionen først og så blot angive funktionsnavnet i plot-kommandoen.
2) Man skal huske at sætte begrænsninger på vinduet for ellers ændres vinduets akser, når der trækkes i skyderen.
3) Ved genberegning glemmer Maple at det var kommandoen Explore, som var anvendt.
Maple har dog nogle elementer, som kan benyttes til eksperimenter. Et af disse elementer er Explore:
Jeg har netop arbejdet med logaritmer i min 1g-klasse, hvor vi undersøgte de forskellige logaritmer. Eleverne undersøgte bl.a.. forskelle og ligheder på graferne.
I Maple indtastes logaritmen med grundtallet b som logb(x).
Jeg ville undersøge betydningen af grafen, når grundtallet ændres, så jeg indtaster følgende plot-kommando:
Hvis jeg nu højreklikker på kommandoen og vælger Explore, får jeg mulighed for at vælge parameteren b som skyder, hvor jeg også kan indstille området skyderen løber imellem. Når det er gjort får jeg følgende billede, hvor jeg kan trække i skyderne nederst i vinduet:
1) Man kan ikke definere funktionen først og så blot angive funktionsnavnet i plot-kommandoen.
2) Man skal huske at sætte begrænsninger på vinduet for ellers ændres vinduets akser, når der trækkes i skyderen.
3) Ved genberegning glemmer Maple at det var kommandoen Explore, som var anvendt.
onsdag den 9. marts 2016
Hurtig walk and talk
Walk and talk er en kendt øvelse, som benyttes af mange lærere: Hver elev udstyres med en seddel med begreb/spørgsmål eller lignende. Man går så en lille tur, hvor eleverne går sammen to og to og forklarer hinandens sedler. Efter forklaring byttes sedler og man finde en ny kammerat at tale med.
I går var mine elever temmelig trætte, så jeg besluttede mig for en lille gåtur med Walk and talk.
Det var en hurtig indskydelse, så jeg havde ikke forberedt sedler til eleverne.
I stedet for fik alle elever udleveret et blankt stykke papir. Eleverne blev inddelt i grupper, hvor hver gruppe fik et matematisk emne. lineær funktion, potensregneregler, ligninger, ...
Hver elev skulle så lave en opgave/angive begreb/... knyttet til deres emne. Hvis der blev lavet en opgave, så var kravet selvfølgelig at opgaven skulle kunne løses uden at foretage udregninger.
Så var vi klar til en Walk and talk...
I går var mine elever temmelig trætte, så jeg besluttede mig for en lille gåtur med Walk and talk.
Det var en hurtig indskydelse, så jeg havde ikke forberedt sedler til eleverne.
I stedet for fik alle elever udleveret et blankt stykke papir. Eleverne blev inddelt i grupper, hvor hver gruppe fik et matematisk emne. lineær funktion, potensregneregler, ligninger, ...
Hver elev skulle så lave en opgave/angive begreb/... knyttet til deres emne. Hvis der blev lavet en opgave, så var kravet selvfølgelig at opgaven skulle kunne løses uden at foretage udregninger.
Så var vi klar til en Walk and talk...
Abonner på:
Opslag (Atom)