Differentialkvotienter - eksprimentelt bestemt

Så blev det tid til at introducere min 2g-klasse for den mere formelle matematik hørende til differentialregning. I stedet for at indføre tretrinsreglen fra starten har jeg i stedet for ladet eleverne bestemme differentialkvotienter for x², x³, xⁿ, k*xⁿ og xⁿ+x^m eksperimentelt i Geogebra.
Vi benyttede samme metode som beskrevet under indlægget Komplekse matematiske problemer, så eleverne var fortrolige med metoden.
Når først eleverne har fundet differentialkvotienten for x², så er det blot et spørgsmål om at udskifte funktionerne.

Eleverne arbejdede med dette arbejdsark Link
Min oplevelse her efter introduktionen er, at eleverne ved at selv at finde regnereglerne nemmere husker reglerne. Sådan opleves det i hvert fald lige nu.
Nu er det tid til at få introduceret sekant, tangent og tretrinsregel mere formelt - det vil jeg gøre på samme måde som sidste år. Der står lidt om metoden i disse to indlæg:
Differentialregning - intro
Tretrinsreglen

Komplekse matematiske problemer

Det er svært at løse mere komplekse matematiske problemer, hvor løsningsmetoden måske ikke er helt tydelig, når man læser opgaveteksten. Det er jo ikke fordi vi har mange af denne type opgaver i gymnasiet, men opstilling af funktionsudtryk hørende til optimeringsopgaver falder i den kategori.
Som introduktion til teorien bag differentialregning (eleverne er bekendte med f '(x), hvad differentialkvotienten benyttes til i forbindelse med optimering og hvordan man benytter Geogebra/Maple til at løse sådanne optimeringsopgaver) har jeg valgt at starte skoleåret for min 2g-klasse med træning i opstilling af funktionsudtryk og optimering af disse.
Jeg har introduceret eleverne til følgende 7 trin, som kan være med til at skabe lidt struktur på opstillingen af funktionsudtryk:
1) Forståelse
Hvad handler opgaven om? Hvad skal bestemmes?

2) Visualisering
Skitser situationen hvis det er muligt.
Lav situationen i virkeligheden, hvis det er muligt.

3) Sortering
Sorter evt. irrelevante informationer fra og sorter de relevante informationer
Hvilken type matematik kan anvendes? Hvilke kendte formler kan anvendes?

4) Symboler og eksempel
Indfør passende symboler og udregn/konstruer evt. eksempler.
Kan situationen eventuelt konstrueres i Geogebra (se evt. tips nedenfor)?

5) Formel
Opstil en formel til løsning af problemet

6) Beregning
Beregn løsningen

7) Konklusion
Sørg for at få konkluderet på udregninger i relation til det emne opgaven handler om

Specielt delen med konstruktion af fysisk model, udregning af eksempler og løsning i Geogebra lægger jeg vægt på. Alle disse dele er med til at give eleverne inputs til, hvordan selve funktionsforskriften opstilles.
Det er klart at når eleverne bliver mere rutinerede til at opstille funktionsudtryk, så er flere af ovenstående punkter ikke så nødvendige.

Løsningen i Geogebra kan typisk laves med en skyder, opsamling i regneark og efterfølgende regression. Jeg viste kort eleverne metoden med punkterne på grafen for f(x) = x² som eksempel og gav efterfølgende eleverne metoden på papir (Link). Det var dog ikke nødvendigt for eleverne at søge hjælp i arket efterfølgende.
Vi startede forløbet med at løse en tidligere eksamensopgave, hvor vi gennemløbe de enkelte trin på tavlen med små arbejdspauser i par ved hvert punkt. Herefter blev eleverne inddelt i grupper, som fik hver deres optimeringsproblem. Når eleverne havde løst "deres problem" kunne de gå videre til et af de andre problemer.
I slutningen af modulet præsenterede eleverne problemer og løsningsmetoder for hinanden i matrixgrupper. Formålet med dette var at eleverne skulle konstatere, at løsningsmetoden for sådanne opgaver er den samme.
Eleverne fik udleveret disse opgaver - Link.

Den første hjemmeopgave for eleverne bliver et projekt med optimering af én henholdsvis to kegler, hvor fokus også vil være ovenstående 7 punkter (Link).
Min dynamiske løsning i Geogebra ses nedenfor (Link).

Første skoledag - med "julegave"

Så blev det første skoledag i hvert fald for os lærere.
I år med en glædelig overraskelse:
Stort set alle vores klasselokaler er blevet installeret med tavler på alle vægge. Det er næste som juleaften. Sådan ser vores sædvanlige klasseværelser ud:

 Foto taget bagerst i lokalet fra vinduessiden

Foto taget ved tavlen i vinduessiden

Jeg har i flere år efterspurgt flere tavler i lokalerne og i fællesområder, så det var en stor dag i dag.
Jeg har sat mig som princip, at eleverne skal op og stå ved tavlerne i alle mine timer.
Det er min erfaring at aktivitetsniveauet og eleverne kommunikation vokser en hel del, når der arbejdes i små grupper ved tavlen. På ICME13 konferencen var der et oplæg fra Canada, der beskrev et forsøg, som også var nået frem til samme konklusion.
Jeg kan se mange fordele ved brug af disse tavler:
1) Gruppearbejde bliver nemmere, da alle i gruppen nemt kan følge med
2) Jeg kan hurtigt se hvad eleverne har lavet - er der behov for at jeg skal blande mig
3) Jeg får langt lettere ved at få de svage elever i tale, når vi i fællesskab i en mindre gruppe diskuterer matematisk teori eller opgaveløsning.
4) Eleverne kan nemmere tjekke hinandens udregninger ved at skifte tavle, hvis der f.eks. regnes forskellige opgaver
5) Alle er ved tavlen - dermed kommer der ekstra fokus på træning af mundtlighed.
Og så håber jeg selvfølgelig at også andre fordele dukker op, når jeg kommer i gang med arbejdet.

Integral - arealer - eksperimentielt

Mine 3g-elever har siden 1g vidst at integralet under en positiv funktion giver det tilhørende areal. De er ligeledes vant til at bruge integraltegnet i Maple til at løse sådanne opgaver.
Nu er det tid til at få teorien hørende til integralregning på plads.
I stedet for den traditionelle indføring via stamfunktioner og sammenhængen med differentialregning vil jeg i år tage udgangspunkt i netop arealer og så eksperimentelt finde frem til stamfunktioner for udvalgte funktioner.
Jeg starter forløbet med at eleverne skal udregne givne arealer under linjer (vandrette linjer og skrå voksende linjer gennem (0,0)). Hertil benyttes blot kendte arealformler. Ud fra eksemplerne skal eleverne opstille formler til bestemmelse af arealer under funktionerne f(x)=k og f(x) = kx.
Efterfølgende benyttes Geogebra til at bestemme arealer under f(x) = x² for så at eksperimentere sig frem til arealfunktionen. Proceduren er som følger:
1) Opret skyder k (fra x=0 til x=5) samt funktionen f(x) = x².
2) Definer variabel, der angiver arealet under f(x) fra x=0 til x=k.
3) I regneark opsamles nu værdier for k samt de tilhørende arealer
4) Der laves nu regression over de opsamlede punkter og så fås forhåbentlig den korrekte stamfunktion.
Eleverne skal til slut ved hjælp af eksperimenter i deres Geogebra regneark komme med bud på stamfunktioner hørende til xⁿ, kxⁿ og xⁿ + x^m.
Arbejdsarket eleverne skal arbejde med ligger her: Link

Når dette er på plads, har jeg tænkt mig at lade eleverne arbejde med sætningen, som beviser sammenhængen mellem integral og areal. Men vil dog overveje om dette bevis er for svært at introducere så tidligt i forløbet.

Nyt skoleår nærmer sig

Så nærmer skolestart sig og dermed også forberedelserne til det kommende skoleår.
Jeg var ikke specielt flittig med at skrive på bloggen i foråret, så jeg vil prøve her i starten af skoleåret at få skrevet lidt flere indlæg.
Jeg har i ferien deltaget i ICME13-konferencen  (www.icme13.org) i Hamborg. ICME er en verdensomspændende konference om undervisning i matematik, som afholdes hvert 4 år. I år deltog ca. 3400 personer fra 105 lande.
Det er en speciel oplevelse at deltage i en så stor konference, hvor man løber ind i fremragende oplæg og desværre også totalt intetsigende oplæg.
Jeg har fået en del ideer, der skal følges op på, og en række hjemmesider som skal undersøges nærmere.
Jeg vil senere skrive om nogle af de ideer og materialer fra konferencen, jeg har tænkt mig at benytte i min undervisning.

En lille sjov opgave fra konferencens, som jeg har tænkt mig at starte op med i min 3g-klasse er følgende:
Tegn i funktionen f(x)=x².
Placer to punkter på parablen, hvor det ene skal have negativ x-værdi og det andet skal have positiv x-værdi. Forbind de to punkter med en ret linje.
Hvilken sammenhæng er der mellem de to punkter på parablen og linjens skæring med y-aksen?
Kan du bevise din teori?

Skriftlig eksamen - censurerfaringer

I år har jeg været skriftlig censor udelukkende på opgavebesvarelser fra netforsøget (A-niveau).
På netforsøget har eleverne to timer uden hjælpemidler (dog med formelsamling) efterfulgt af 3 timer med hjælpemidler. I delen med hjælpemidler stilles 3-5 spørgsmål i et forberedelsesmateriale, som eleverne modtager op til 3 uger før eksamen. Der skal så afsættes 6 klokketimer af matematiktimerne til elevernes arbejde med materialet. Lærerne må ikke undervise i materialet, men skal hjælpe eleverne, hvis de løber ind i problemer. Du kan finde de tidligere års forberedelsesmaterialer (fint som supplerende stof) samt eksamenssæt her - link.
I år handlede forberedelsesmaterialet om sfærisk geometri.
Jeg lærer altid en del af at rette en masse opgaver af samme type. Der er en del fejltyper som går igen og igen og igen og ... Nogle fejl skyldes selvfølgelig at opgaven er svær, men ofte undres jeg noget over elevernes svar. Det giver mig en fornemmelse af, hvilke elementer jeg skal lægge ekstra vægt på.
Jeg har en 3g-klasse til næste år og her er listen over ting, jeg vil arbejde ihærdigt på, at eleverne får styr på:
1) Overspring ikke mellemregninger - det går galt
2) Karakteristika ved de forskellige funktionstyper, så de kan genkendes og beskrives
3) Monotoniundersøgelse i hånden! Man behøver ikke kunne udregne hældning i bestemte punkter. Det er nok at bestemme fortegnet.
4) Foretag kun en udregning ad gangen, når der reduceres - og husk at beholde parenteser indtil udregningen med at hæve parentes udføres
5) Tegn de to ensvinklede trekanter ved siden af hinanden, så de ligger på samme måde
6) Funktionsværdier for specielle funktioner: ln(e), ln(1), log(1), log(100). e⁰, ...
7) Betydningen af konstanterne a og b i standardfunktioner skal beskrives i relation til opgavens praktiske indhold.
8) Nulreglen og at sætte værdi uden for parentes.

De svage elever skal være bedre til at dokumentere, hvad de gør. Mit generelle indtryk at de opgaver, de svage elever kan løse, sjældent indeholder nok ledsagende kommentarer, og det koster dyrebare point.

Min kommende 3g-klasse har til årsprøven i år prøvet eksamensformen for netforsøget, og deres tilbagemeldinger har været overvejende positive. Så det ender nok med, at vi vælger den eksamensform.
Hvis det bliver tilfældet, så skal vi træne en masse i brugen af formelsamlingen. Jeg var meget forundret over, hvor lidt eleverne havde anvendt formelsamlingen - f.eks. til at få differentieret eller integreret korrekt.

Træning frem mod SRP - skrivning af SRO

Som skriftlig censor i SRP undrer jeg mig tit over hvor dårlige eleverne er til at skrive matematik. Det må skyldes, at vi ikke træner det nok og ikke har nok fokus på den disciplin af matematikken.
Jeg laver en del projektrapporter og temaforløb, hvor jeg synes eleverne får trænet disse dele, men ruster det dem godt nok til at skrive en SRP med matematik? Det er jeg ikke helt sikker på.
Jeg har i år en 2g, som skal skrive SRO i matematik og samfundsfag. På min skole har vi efter min mening ikke været gode nok til at udnytte SRO til at give eleverne træning frem mod SRP. Træningen har typisk bestået i lidt introduktion til opgaveformuleringen og så 3 dage fri til at skrive opgaven. Det tror jeg altså ikke, man lærer meget af.
Derfor besluttet jeg med samfundsfagslæreren, at vi her i foråret vil arbejde med forskellige aspekter af opgaveskrivningen med eleverne (Vores elever skriver SRO i starten af eksamensperioden).
I matematik har jeg således lavet:
1) et forløb om andengradspolynomier, hvor eleverne selv skal arbejde med relevante matematiske tekster. Efterfølgende skal hver elev skrive et lille teoretisk afsnit 2-3 sider. Inden jeg retter elevernes afsnit, sættes eleverne sammen i par, hvor de kommenterer hinandens tekst. Teksten rettes så inden den afleveres endeligt. Jeg vil beskrive selve forløbet lidt grundigere i et indlæg en af dagene.
I relation til at skrive en matematisk tekst har vi talt meget om at udvælge materiale fra forskellige kilder og at ensarte notationen. Vi har talt om at gøre matematikteksten til ens egen, så det ikke bare bliver en "afskrift" fra bogen. Dvs. tilføje ekstra kommentarer og mellemregninger samt at bogen ikke skal være åben, når teksten skrives. Teksten skrives ud fra de noter, man har skrevet, da man læste kilden.
2) Normalt stiller vi jo en masse spørgsmål, når eleverne skal løse en opgave i matematik. Men i SRP/SRO skal eleverne jo ofte selv "finde på" den matematik, de anvender. Det har vi forsøgt at træne ved at give eleverne en tabel, som de skal skrive et afsnit om. Her var opgaven blot at skrive et afsnit der behandler tabellen, hvor både matematik og samfundsfag inddrages - træning i at binde fagene sammen. Eleverne afleverede først opgaven i matematik og genafleverede efterfølgende i samfundsfag ugen efter.
3) Træning i søgning - vi vil målrette elevernes evne til at søge efter relevante materialer. Så de får til opgave at finde materialer af følgende typer: bog, matematikteoretisk tekst, samfundsteoretisk tekst, aktuel samfundsmæssig artikel, statistisk materiale. De fundne materialer samles, så alle elever kan få glæde af linkene.
4) Kort tid inden selve skrivningen vil vi bede eleverne udarbejde en indholdsfortegnelse/disposition for deres SRO, som diskuteres med lærere/klassekammerater.
5) På 2. skrivedag vil vi indlægge et tvunget møde med vejlederne, hvor eleverne skal fremlægge disposition mm. Samtidig vil der være krav om at noget af det skrevne skal læses og kommenteres af en klassekammerat.
6) Og så er der lige layout-delen. Her vil vi fokusere på, at gøre eleverne fortrolige med de vigtigste layout-elementer. Det vil vi gøre ved at opstille nogle layoutkrav til besvarelsen.