Regression - hvordan findes bedste funktion

Men min 1g har vi nu i lidt tid lavet regressioner for de sædvanlige funktioner lineær, eksponentiel og potens.
Men hvordan er det lige vores matematikprogram bestemmer den bedste funktion. Vi benytter lige nu Geogebra.
I morgen vil jeg give eleverne 3 punkter: (1; 2), (4; 5) og (10; 5).

Jeg har tænkt mig at eleverne skal arbejde med følgende spørgsmål:
1) Bestem ved hjælp af skydere den lineære funktion, du mener er den "bedste".
2) Hvilke kriterier har du anvendt for at kunne kalde din funktion for den "bedst mulige"?
3) Kan du finde et tal, der kan benyttes som mål for, hvor godt en funktion passer til de opgivne punkter?
4) Lad Geogebra bestemme den bedste lineære funktion - Er I enige?
5) Lad desuden Geogebra finde den bedste eksponentielle funktion og potensfunktion.
6) Hvilken af Geogebras 3 funktioner er bedst?
Kommandoen Rkvadreret[{<liste af punkter>},<given funktion>] (skrives som R² i de fleste andre matematikprogrammer) er et mål for, hvor godt funktionen passer til punkterne. Jo tættere R² ligger på 1, jo bedre passer regressionsfunktionen.
7) Bestem R² for de tre funktioner og undersøge om Geogebra er enig med dig i, hvilken funktion der er bedst.
Som du nok har konstateret, så bestemmer Geogebra ikke helt på samme måde som dig, hvor godt en funktion ligger i forhold til de opgivne punkter. Der skal lidt mere matematik til - det springer vi over i denne omgang. Den nysgerrige kan dog se følgende video fundet på Youtube:

Jeg forventer selvfølgelig ikke, at eleverne kan arbejde sig frem til den korrekt metode, men jeg har et håb om, at de vil kigge på den lodrette eller vinkelrette afstand mellem punkterne og funktionen, når de skal afgøre, hvor godt funktionerne passer med punkterne.

Kan vi stole på avisartikler - lineære funktioner

Det er altid et hit, at vise eleverne, at man ikke nødvendigvis altid kan stole på den måde grafer og talmateriale præsenteres og behandles i dagligpressen.
I min 1g-klasse har jeg netop givet klassen følgende graf, som er fra artiklen "Elever siver fra folkeskolen" i Berlingske Tidende 22/9 2012:

Bemærk den voldsomme stigning til sidst... - hov der er ændret på akseenhederne :-)
Hvordan har de mon fremskrevet udviklingen? Tja- regression er ikke brugt og der er også byttet rundt på teksten hørende til fremskrivningerne.
Jeg udleverer et arbejdsdokument til eleverne (Link) og de får så efterfølgende artiklen fra Berlingske Tidende(Link).
Jeg benytter artiklen som oplæg til et AT-forløb om manipulation med tal, som klassen efter efterårsferien skal have i matematik og samfundsfag.
Desuden er talmaterialet også fint til at diskutere, hvilke data som skal medtages, når der opstilles modeller. Vi taler selvfølgelig også om de kriterier, der indflydelse på hvor brugbare en model er.
Og så får eleverne også trænet regression og lineære funktioner.

Differentialregning - læse/skrive beviser

Jeg foretrækker oftest, at eleverne selv arbejder sig frem gennem f.eks. beviser i stedet for at læse beviserne i en bog. Men det er selvfølgelig også vigtigt, at eleverne lærer at læse matematik.
Vi har tidligere talt en del om læsning af matematiske tekster og hvad der f.eks. forventes, når man læser beviser i matematik. Det handler om "tænk med en blyant", lave figurer, lave ekstra mellemregninger, skrive kommentarer til mellemregninger...
Jeg ville teste om eleverne også gør, som vi har talt om, så de fik udleveret beviset for differentiation af f(x) = ax² + bx + c. Lektien var at de skulle "læse rigtigt", og at de skulle kunne gennemføre beviset for en kammerat.
Jeg havde blot "glemt" (udeladt er vist et mere korrekt ord) at fortælle eleverne, at det udleverede bevis var fyldt med fejl (Link).
Heldigvis havde mange af eleverne opdaget i hvert fald nogle af fejlene.
Det gav anledning til en diskussion af, hvornår et bevis er "læst". Og at det også er vigtigt, at man noterer de ting, man ikke forstår!
For at få den korrekte version af beviset har eleverne efterfølgende afleveret beviset som en del af en hjemmeopgave. Fokus her er selvfølgelig, hvilke elementer som indgår i et bevis og hvordan man gør et bevis personligt og ikke bare en kopi af et bevis fra en bog - en vigtig kompetence at mestre, når der skal skrives SRP.

Tretrinsreglen

Ved tidligere gennemgange af emnet differentialregning har jeg i starten af forløbet været meget stringent med at indføre f.eks. definitionen på differentiabilitet i et punkt, differenskvotient, differentialkvotient, ...
I år har jeg har jeg fokuseret på metoden i selve tretrinsreglen (som for øvrigt i min version har 4 trin - der skal konkluderes til sidst). Ved at bruge en del tid på at tale om metoden (læs evt. indlægget Differentialregning Intro) og udregne specifikke differentialkvotienter har jeg en fornemmelse af at eleverne har fuldstændig styr på metoden.
Inden vi beviste regnereglerne for differentiation af sum, subtraktion og multiplikation med konstant introducerede jeg den formelle definition. Og den accepterede eleverne overraskende let - "det er jo bare det vi har gjort hele tiden..."
Eleverne lavede selv meget hurtigt beviserne for sum og multiplikation med konstant, mens differentiation med subtraktion lidt voldte de sædvanlige problemer med minusset.
At det gik så godt, tror jeg også skyldes, at vi i de tidligere beviser også har fokuseret på de kendte regneregler, som anvendes undervejs i tretrinsreglen. Det har været med til at spore eleverne ind på, hvilke regneregler som er anvendelige, når der reduceres. Og det hjælper når eleverne selv skal lave beviserne uden hjælp. De gode elever kunne lave beviserne selv, mens de svagere elever fik hjælp af mig eller udleveret beviset på papir - dog ikke i den korrekte rækkefølge. Beviset for multiplikation med konstant ligger her (Link).
Jeg har stadig et lille hængeparti omkring grænseværdier og uendelighedsbegrebet, men det vil vi samle op på senere. Det er ikke så centralt nu.

Innovativt forløb med matematik

Jeg har tidligere i indlægget "Innovation i matematik" (Link) beskrevet, hvordan jeg mener, vi kan have glæde af den innovative tankegang i matematik.
Jeg har nu gennemført vandledningsprojektet, som jeg præsenterede i ovenstående indlæg.
Da fokus bl.a. var på innovative processer, havde jeg valgt en relativ stram styring af første del af projektet, hvor eleverne løbende fik en række små diskussionspunkter. Det hele styrede jeg via denne PowerPoint (Link). Via præsentation arbejdede vi specielt med fase 1 og 2 i den model, som er udviklet af en gruppe af matematiklærere nedsat af fagkonsulenten i matematik (Link til materialet).
Det var lidt hårdt for eleverne at bevare koncentrationen under den styrede del, så næste gang jeg vil lave et lignende projekt, vil jeg behandle de to faser i to forskellige matematiktimer. Og måske ikke være lige grundig med begge faser.
Specielt delen med at få matematik i spil, ville jeg godt have brugt mere tid på - altså ved hjælp af matematiske begrebskort at tvinge eleverne til at benytte en speciel metode. For en uddybning af metoden henvises til side 11 i arbejdsgruppens dokument, som jeg linker til ovenfor.
Et eksempel på en af gruppernes løsning:

Det er mit indtryk, at eleverne fik rigtig meget ud af projektet. Det kan selvfølgelig diskuteres, hvor meget matematik der er i ovenstående løsning, men jeg hørte eleverne diskutere:

lineære, eksponentielle og potensfunktioner, regression, korteste vej fra et hus til en hovedledning, forskellige løsningsforslag, om løsningsforslag kan/skal forbedres eller forkastes.

Derudover fik eleverne også trænet en hel del i brugen af Geogebra.

Så alt i alt et godt projekt, som også optog og interesserede eleverne.

Jeg brugte 4-5 moduler (a 90 min) på projektet, men der kan nok skæres lidt i det. Eleverne afleverede både en rapport og fremlagde deres konklusioner via en planche.

Her er mit oplæg til eleverne (Link). Jeg vedhæfter også lige et Geogebra-dokument, der kan benyttes til at generere tilfældige placeringer på de 8 huse (Link).

Innovation i matematik

Kan man arbejde innovativt i matematik? Tja - det kommer lidt an på, hvilken definition man vælger for begrebet innovation.
Jeg er dog ikke i tvivl om, at vi i matematik kan fremme elevernes innovative kompetencer, og at det vil være med til at stille eleverne bedre til den skriftlige eksamen.
Jeg tænker her primært på evner som vedholdenhed (ikke give op ved problemer) og kreativitet (kunne afsøge løsningsmuligheder, når løsningsmetoden ikke umiddelbart er givet).
Fagkonsulenten i Matematik Bodil Bruun nedsatte sidste skoleår en arbejdsgruppe, som skulle komme med eksempler på, hvordan der kan arbejdes med innovation i og med matematik. Resultatet af dette arbejde kan ses på EMU'en (Link). Materialerne er både af overordnet karakter men indeholder også eksempler på forløb både i matematik alene og i samarbejde med andre fag (AT).
Matematiklærerforeningen har i dette skoleår nedsat en større arbejdsgruppe (støttet af undervisningsministeriet), som skal arbejde videre med innovation, hvor formålet hovedsagelig er at udvikle flere eksempler, der kan inspirere matematiklærere.
Jeg kan godt lide at udfordre eleverne, så jeg har netop stillet både min 1g- og 2g-klasse nedenstående opgave. Rigtig innovation kan man nok ikke kalde det, men eleverne får i hvert fald mulighed for at diskutere og afprøve forskellige løsningsforslag.

I skal bestemme placeringen af et system af vandledninger, som skal forsyne 8 huse med vand. Der findes to typer vandledninger: Hovedledningen til 822.000 kr. pr. km. og stikledninger til 556.000 kr. pr. km. Stikledninger kan kun transportere vand til ét hus.

Husenes placering er fastlagt med koordinater og er alle placeret i et kvadrat med en sidelængde på 10 km.

Vandledningen skal starte i punktet (0,1). Derudover skal hovedledningen slutte et eller andet sted mellem punkterne (10,8) og (10,10).

Ovenfor ses en illustration af et problem der svarer til ovenstående beskrivelse. Husene er de sorte prikker og starten på hovedledningen er det røde kvadrat placeret i (0, 1). Den stiplede røde linje øverst til højre markerer det område, hvor hovedledningen skal stoppe.

Jeg aner ikke selv, hvad svaret på problemet er. Så jeg er lidt spændt på, hvordan eleverne griber opgaven an.
Er det matematik? Tja - ikke nødvendigvis, så jeg har stillet krav om matematiske elementer i besvarelse.
Jeg laver lige en cliffhanger.
I et senere indlæg vil jeg beskrive, hvordan jeg helt konkret har tilrettelagt forløbet og hvordan det gik.

Regneregler for differentiation

I stedet for at starte forløbet om differentialregning med at fokusere på teorien bag de forskellige formler for funktioners differentialkvotient, så har jeg valgt at introducere alle formler tidligt.
Som beskrevet i indlægget Differentialregning - intro, indledte jeg forløbet med at give eleverne en fornemmelse for tretrinsreglen og den vigtige forskel på tangent og sekant.
Disse principper vil jeg løbende bruge i de kommende timer så eleverne opnår en fortrolighed med begreberne inden tretrinsreglen behandles formelt teoretisk.
Jeg er nu begyndt at træne eleverne i reglerne for differentiation i hånden. Vi startede med, at eleverne skulle gætte differentialkvotienten for de typiske standardfunktioner. Eleverne brugte Maple til bestemme konkrete stamfunktioner og ud fra Maples svar kom eleverne med et bud på den tilhørende differentialkvotient. Nogle elever brugte et arbejdsark (Link), men andre mere matematikstærke elever valgte selv at gå på jagt blandt allerede kendte funktioner og sammensætning af sådanne.
Eleverne fandt også selv reglerne for sum, subtraktion og multiplikation med konstant. De tre sidste generelle regler har jeg udskudt lidt.
Jeg kunne selvfølgelig have serveret alle reglerne for eleverne, men jeg har en ide om, at når eleverne selv finder reglerne, så er de også nemmere at huske.
Nu er det blot spændende at se i morgen, hvor gode eleverne er blevet til at differentiere funktioner, som lektien til i morgen.