Goddag - ved du hvad...

Et eksempel på en lidt anderledes repetition:
Jeg har på forhånd på nogle ark skrevet en række repetitionsspørgsmål til et givet emne. I dette tilfælde havde jeg lavet 2 ark hver med 12 spørgsmål til trigonometri.
Hver elev får udleveret et af de to ark.
Den enkelte elev skal nu finde en klassekammerat, som kan besvare et af spørgsmålene. Eleven vælger fra arket, det spørgsmål, der skal besvares. Der må ikke vælges mellem spørgsmålene. Svaret skrives i stikordsform på arket og personen, som kunne svaret, skriver desuden under ud for spørgsmålet.
Eleven finder nu en ny klassekammerat, som stilles et af de øvrige spørgsmål på arket.
Det gælder selvfølgelig om at få udfyldt sit ark hurtigst muligt, dog med følgende regler:
1) Det skal være forskellige klassekammerater, der har svaret på spørgsmålene på arket.
2) Hvis en kammerat ikke kan besvare spørgsmålet, så skal man gå videre til en anden. Det er ikke tilladt at stille kammeraten et andet spørgsmål fra arket.
Ud over repetitionen, kommer eleverne op og stå og får rørt sig lidt - kan evt. kombineres med en Walk-and-Talk. Eller eleverne kan tvinges til lidt mere motion ved at placere dem på nogle poster, der har en vis indbyrdes afstand. Efter udveksling af spørgsmål skal eleven, der har stået længst tid på posten skifte til en anden post. Man kan desuden sige, at det ikke er er tilladt at stille spørgsmål til en på samme post mens der ventes på nye personer til posten.
Her er mine spørgsmål til trigonometri: Link

NB! Ideen har jeg "hugget" fra en deltager på matematiklærerforeningens HF-konference foråret 2015. Tak for ideen. Du kan se mere fra konferencen her: Link.

Introduktion til chi2

I dag er jeg i min 1g-klasse startet på chi2-test. Det bliver en lidt forhastet gennemgang, da vi skal benytte chi2-test i et AT-forløb efter påske.
I det første modul har jeg med klassen arbejdet med, hvordan man kan afgøre, om der er forskel på observerede værdier og forventede værdier. Eleverne arbejder med opgaver, hvor de bl.a. skal komme med forslag til, hvordan man vurdere forskel mellem observerede og forventede værdier.
Opgaverne er også designet, så stikprøvens størrelse kan diskuteres.
Det er selvfølgelig meningen at vi ved fælles hjælp, når frem til formlen for bestemmelse af chi2-teststørrelsen.
Om den fundne teststørrelse så er stor eller lille lader jeg hænge lidt i luften som en lille cliffhanger.

Helt bevist introducerer jeg ikke de smarte kommandoer i Maple til udregning af teststørrelse og p-værdi. Det er vigtigt for mig, at eleverne kan foretage beregningerne "manuelt". Det er med til at give eleverne en bedre forståelse for, hvad der sker. Der kan jo afhængig af antal frihedsgrader være lidt mange beregninger, så det er planen, at eleverne selv skal opbygge et regneark, der kan benyttes til at bestemme teststørrelsen.
Det benyttede arbejdsark ligger her: Link
Selve modulet var struktureret som en vekselvirkning mellem diskussioner i par og opsamling på klassen. Vi nåede næsten at gennemgå hele arbejdsarket.
Nu er det blot spændende om eleverne overhovedet kan huske noget, når vi mødes igen efter påske. Jeg tror lektien bliver, at de skal løse en lignende opgave - sikkert en stilladseret version af en tidligere eksamensopgave.

Eksamensopgaver - anderledes aflevering

Når eksamen nærmer sig, regner vores hold typisk rigtig mange eksamensopgaver. Jeg tror godt, vi kan få mere ud af elevtiden ved ikke kun at bede eleverne regne en masse eksamensopgaver, som de skal kunne ved den skriftlige eksemen.
Nedenfor er lidt forskellige ideer til, hvordan man kan arbejde lidt anderledes med f.eks. eksamensopgaver (nogle af ideerne har jeg beskrevet tidligere) :
1) Fokus på kommentarer i besvarelsen
Jeg har regnet alle opgaver. Elevernes opgave er nu at skrive de ledsagende kommentarer, så besvarelsen opfylder de "5 pinde" til layout.
En lille sidegevinst er, at jeg f.eks. kan vise eleverne smarte løsningsmetoder i matematikprogrammet.
2) Fokus på udregninger
Jeg har skrevet de ledsagende kommentarer og eleverne skal så udfylde med beregninger. Alternativt kan man bede eleverne alene fokusere på beregninger, så de ikke behøver bruge så meget tid på skrivning af tekst.
3) Specielt fokus i besvarelsen
Jeg angiver en række fokuspunkter, som eleverne skal væres specielt opmærksomme på i besvarelse. Det kunne f.eks. være at medtage ledsagende grafer og at markere beregnede løsninger på grafen. Eller det kunne være at der skal opstilles og argumenteres for ligninger, inden der indsættes i solve.
Man kunne også bede eleverne selv finde 5 fokuspunkter fra feedback, de har fået i tidligere hjemmeopgaver.
Bed altid eleverne angive fokuspunkterne i starten af deres besvarelse. Det skærper forhåbentlig deres opmærksomhed på punkterne.
4) Fokus på metoden
I stedet for at regne alle opgaver i et eksamenssæt, så kunne man i nogle af opgaverne bede eleverne forklare den metode, der skal benyttes til at løse opgaven.
5) Flere om et eksamenssæt
Lad eleverne være sammen 2 og 2 om at regne et eksamenssæt. I et modul med omlagt undervisning gennemgår eleverne i par alle opgaver og nedskriver metoder. Herefter uddeler eleverne opgaverne og regner individuelt.
Lige før aflevering (f.eks. i en matematiktime) får parrene tid til at sammensætte deres besvarelse og til at gennemgå hele besvarelsen, så begge synes hele besvarelsen er tilfredsstillende.
Alternativt kan eleverne indledningsvis blot fordele opgaverne som de hver i sær skal regne. Der er så afsat et modul med omlagt skriftlighed lige inden aflevering, hvor eleverne finpudser den samlede besvarelse. Det er vigtigt her, at eleverne bruger tid på at gennemgå alle opgaveløsninger.
6) Hele klassen indleder i fællesskab
Alle elever i klassen har et blankt stykke papir og en blyant.
Første spørgsmål i hjemmeopgaven vises på storskærm og eleverne har nu 1 minut til at nedskrive ideer/løsningsmetode til spørgsmålet.
Efter 1 minut rækkes papir til sidemanden og alle har nu 1 minut til at kommentere 2. spørgsmål.
Processen fortsætter gennem hele opgavesættet.
Dermed får alle stikord, der kan bruges ved løsning af hjemmeopgaven.
Det er nok de svageste elever, som får mest ud af stikordene, men de gode elever får fin træning i hurtigt at spotte løsningmetoder.
7) Fokus på tjek af løsninger
Find en gammel hjemmeopgave frem - evt. den eleverne lige har fået tilbage. Elevernes skal nu finde på måder at tjekke resultaterne på.

Arbejde med eksamensopgaver

Jeg starter meget tidligt med at lade mine elever løse eksamensopgaver fra tidligere skriftlige eksamener.
Mange eksamensspørgsmål er formuleret på et relativt højt taksonomisk niveau, hvis man f.eks. prøver at placere spørgsmålene i relation til SOLO-taksonomien. Eksempler på sådanne spørgsmål kunne være bestemmelse af tangent, monotoniforhold, areal mellem to funktioner, sidelængde/vinkel i trekanter, regression, optimering, ... 
Spørgsmål som disse er typisk formuleret på multi-strukturelt niveau eller højere.

Når eleverne ikke har en dybdeforståelse af et emne, kræves en bearbejdning af de oprindelige eksamensspørgsmål. Jeg udvider således opgaven med flere delspørgsmål (stilladsering), der fungerer som en guide for eleverne.
Udvidelsen kan have flere forskellige formål:
1) Hjælpespørgsmål til løsning af spørgsmålet
2) Synliggøre metoden der skal benyttes
2) Tvinge eleverne til at benytte en specifik løsningsmetode (beregning, konstruktion, grafisk, eksperimenterende, uden hjælpemidler)

En typisk opgave kunne være følgende:

Eksempel på brug af ekstra hjælpespørgsmål:
1) Bestem f(2) - forklar betydningen
2) Bestem f '(x) - forklar betydningen
3) Bestem f '(2) - forklar betydningen
4) Angiv formlen for tangentligningen (hvad betyder x₀?)
5) Indsæt de kendte værdier i tangentligning og forkort

Eksempel på metodeløsning:
1) Du skal benytte tangentligningen - hvordan ser den ud?
2) Hvilke oplysninger benyttes i tangentligningen? Hvordan bestemmes de?
3) Bestem de manglende værdier, der skal indsættes i tangentligningen?
4) Bestem tangentens ligning.

Eksempel på krav til given løsningsmetode (grafisk):
1) Indtegn funktionen
2) Afsæt punktet (2, f(2))
3) Indsæt tangent i punktet (2, f(2))
4) Beskriv den metode du har benyttet
5) Placer værdier for indtastede og bestemte oplysninger i grafvinduet og juster akserne, så de interessante dele af grafen er tydelige.
6) Angiv en passende konklusion.

Jo bedre eleverne er til løsning af en given type opgave, jo mindre behøver man at stilladsere opgaven. Ovenstående eksempel benyttes f.eks. første gang eleverne afleverer opgave med tangentbestemmelse. Opgaverne kan evt. stilladseres mere eller mindre (differentieres), så eleverne kan vælge opgaver hørende til deres faglige niveau.
I de tilfælde er det nemmeste at lave stilladsering til de svageste elever først. Oftest skal der blot slettes nogle stilladseringspunkter, når dokumentet til de bedre elever udarbejdes.
Alternativt kan hjælp til opgaverne placeres i et særskilt dokument, hvori eleverne kan søge hjælp, hvis de har brug for det.

Begrebsindlæring med matematikprogram (Geogebra)

I disse uger holder jeg en række oplæg om brugen af matematikprogram til bl.a. styrkelse af elevernes begrebsindlæring og træning af ræsonnementskomptence.
Det er min erfaring, at hvis eleverne selv eksperimenterer sig frem til erkendelser, så er det også nemmere at huske frem for, at læreren står ved tavlen og forklarer f.eks. begrebers betydning. Og til dette kan vi med fordel benytte matematikprogrammerne.
Vi kan gøre brug af skyder, spor, regression, trække i objekter, funktionsundersøgelse ... Muligheder er der nok af. Det er nok mere et spørgsmål om at se mulighederne.
Vedhæftet min powerpointpræsentation med ledsagende materiale, der giver eksempler på, hvordan Geogebra kan benyttes til sådanne eksperimenter. Hvis du bruger nSpire, er jeg sikker på, det er nemt at overføre eksemplerne dertil.
Til hvert eksempel har jeg lavet en lille screencast, der demonstrerer, hvordan eksemplet et konstrueret. For de fleste dias er der også tilknyttet en Geogebrafil hørende til eksemplet.
Det vedhæftede dokument er en zippet-fil. Pak filen ud og start powerpointfilen Geogebra præsentation (Link).

Sandsynlighedsfunktioner

I min 3g-klasse mangler vi at beskæftige os med en af de obligatoriske sandsynlighedsfordelinger. Valget er faldet på binomialfordeling, hvilket skyldes, at klassen har samfundsfag på A-niveau, så det vil være oplagt at kigge på meningsmålinger i relation til f.eks. folketingsvalg.
Vi arbejdede med chi²-test i 1.g, så jeg vil desuden benytte lejligheden til at få repeteret det emne og samtidig vil jeg lave en kobling mellem integralregning og sandsynlighedsregning.
I første omgang starter vi forløbet med at kigge på forskellige sandsynlighedsfunktioner.
Jeg vil gerne vise eleverne, at der findes forskellige sandsynlighedsfunktioner afhængig af hvilket type problem man står overfor. Og jeg vil også gerne synliggøre forskellen på kontinuerte og diskrete sandsynlighedsfunktioner.
Jeg har derfor udarbejdet et arbejdsark (Maple-dokument), hvor eleverne undersøger og sammenligner følgende sandsynlighedsfunktioner:
1) Chi²-funktioner
2) Normalfordeling
3) Binomialfordeling
4) Poissonfordeling (medtaget da en af eleverne anvendte det i sin SRP)
Eleverne skal undersøge karakteristika ved funktionstyperne og samtidig repetere begreber fra Chi²-test som signifikansniveau, kritisk værdi, p-værdi, nulhypotese... Og vi vil selvfølgelig diskutere, hvordan test-begreberne kan overføres til de andre fordelingstyper. Bl.a. kommer vi til at tale om en- og to-sidet test.

Det er meningen, at eleverne arbejdet med det udleverede ark, og at jeg så med jævne mellemrum stopper eleverne og tager en snak om de ting, de har fundet ud af. Jeg vil helst have eleverne i mindre grupper ved disse samtaler, så klassen opdeles i mindst 3 hold, hvor jeg taler med holdene hver for sig.
Eleverne skal løbende udfylde Maple-dokumentet med deres konklusioner, således at dokumentet f.eks. kan benyttes til den mundtlige eksamen. Eleverne vil ikke få nogen anden lærebog - det er vigtigt at gøre det klart for eleverne i starten af forløbet.

Skriftlige eksamensopgaver

Jeg har tidligere skrevet om de 5 pinde (Link), der skal tages højde for, når skriftlige eksamensopgaver bedømmes.
Min 1g-klasse er nu fået så meget træning i arbejde med funktioner, at de med få tips kan løse delen med hjælpemidler fra HF-B eksamen. Jeg har allerede introduceret, hvordan man differentierer og integrerer ved hjælp af Maple, så disse opgaver kan også løses, selvom den bagvedliggende teori ikke har været behandlet.
Eleverne har netop løst HF-B sættet fra december 2014. I min retning fokuserede jeg på de 5 pinde og jeg gav eleverne point for hver opgave. I de fleste opgaver angav jeg kun pointtal. Dog forklarede jeg, hvad der var galt, hvis opgaven var løst forkert.
Som forberedelse til timen efter eleverne havde fået deres besvarelse retur, skulle eleverne genlæse de 5 pinde og overveje årsagen til de point jeg havde trukket i deres besvarelse.
I timen talte vi først lidt om kriterierne, hvorefter eleverne 2 og 2 diskuterede deres besvarelser og manglende point.
Jeg tror, det var lidt af en eye-opener for eleverne: "Trækker det virkelig ned, hvis....?"
Indrømmet jeg var lidt hård i mit pointfratræk, men det blev gjort i pædagogikkens navn :-).
I dag afleverer eleverne så et nyt HF-B sæt. Som opgave 0. skal eleverne angive 5 fokuspunkter, som de vil fokusere på i deres aflevering. Disse fokuspunkter skal findes i tidligere afleveringer. Jeg afslutter altid en aflevering med lidt generelle kommentarer til besvarelsen. Det er blandt disse kommentarer eleverne skal udvælge deres fokuspunkter.
Ved retningen af denne opgave vil jeg skrue endnu mere ned for mine kommentarer og stort set kun give point for opgaverne. Planen er så at eleverne i den kommende hjemmeopgave skal forklare manglerne i de opgaver, hvor der ikke er opnået 10 point.
Mit håb er selvfølgelig, at jo før og jo bedre jeg får lært eleverne en god stil, jo mindre skal jeg bruge energi på at kommentere formalia i afleveringerne.