Beviser på smartpen

I stedet for at lade eleverne læse beviser i bogen, bruger jeg nogle gange en smartpen-præsentation(http://www.livescribe.com/ eller http://www.smartpen.dk/) som lektie.
Fordelen ved sådanne præsentationer er, at der knyttes mundtlige kommentarer til teksten.
Smartpen fungerer ved, at der skrives med en speciel pen på et specielt type papir. Pennen indeholder mikrofon og kamera, således at pennen bl.a. husker, hvor og hvornår der skrives på papiret, hvilket kobles med det som indtales. Alt dette kan nu gemmes i pdf-format, som kan afspilles dynamisk med Acrobat Reader version X eller senere. Acrobat Reader er gratis - programmet kan hentes her (husk at fravælge det valgfrie tilbud!).
I dette konkrete tilfælde skulle eleverne arbejdet med projektion af vektor på vektor - præsentationen ligger her. Filen skal downloades og åbnes i Acrobat Reader for at få det optimale udbytte - klik på teksten.
Jeg bad eleverne gennemhøre beviset for projektion af vektor a på vektor b. Lektien til dagens time var så, at de skulle kunne gennemgå beviset for projektion af vektor b på vektor a. Det var med vilje, at jeg byttede rundt på vektorerne. Det skulle få eleverne til at være mere opmærksomme og så ville de være nødt til at skrive noter.
Jeg syntes det fungerede godt - eleverne havde forstået langt det meste af beviset.
Skærmbillede af et lille udsnit af smartpen-præsentationen:

Feedback på hjemmeopgaver

Vi matematiklærere bruger rigtig mange timer på at rette hjemmeopgaver. Jeg tænker ofte over om den tid jeg bruger på at rette opgaverne også er noget, som kommer eleverne til gode. Hvor meget tid bruger de på at gennemse og overvejer vores rettelser. Og lærer de af rettelserne?
Jeg har tidligere skrevet om mundtlig feedback på hjemmeopgaver for at skærpe elevernes arbejde med rettelser.
En anden mulighed er at lade eleverne genaflevere (dele af) hjemmeopgaver. Det kan være fint ved typiske eksamensopgaver. Ved genaflevering er det vigtigt, at eleverne som ved første aflevering havde lavet gode besvarelser, får andre opgaver. En genaflevering skal ikke være en straf for svage elever. Alternativt kunne man i kommende hjemmeopgave lade eleverne vælge om de vil genaflevere en given central opgave eller regne en ny opgave.
For at holde lidt øje med om eleverne tager mine rettelser til sig, skriver jeg til hver aflevering nogle generelle kommentarer om besvarelsen. Disse gemmes i elevens kommentarark, så jeg og eleven kan se tidligere givne kommentarer.
Det giver mig mulighed for at se om eleven bliver bedre. Og eleven kan nemt få et overblik over tidligere overordnede kommentarer. Eleven behøver ikke kigge i alle tidligere besvarelser for at finde kommentarerne.
Et eksempel på et kommentarark ses nedenfor:

Ved nogle hjemmeopgaver beder jeg eleverne kigge deres kommentarark igennem, hvorefter de som det første af afleveringen skal angive 5 fokuspunkter, de har i denne besvarelse. Det plejer at fungere efter hensigten.

Trafiklys ved hjemmeopgaver

 Vi har jo følgende 5 pinde, der skal tages hensyn til ved bedømmelse af skriftlige opgavers stil:

Det kan være svært at få eleverne til at medtage relevante ledsagende kommentarer i deres hjemmeopgaver. Jeg har derfor indført et trafiklys, hvor jeg netop vurderer kvaliteten af de 5 pinde i elevernes afleveringer. Et eksempel ses nedenfor:

Farverne betyder: dårligt (rød), nogenlunde (gul) og fint (grøn). Den grå farve benyttes, hvis pinden ikke har været i spil i den aktuelle besvarelse.

Jeg udfylder ikke trafiklyset ved hver aflevering (tager lidt tid), men gør det en gang i mellem.

Den grafiske fremstilling er med til at give eleverne større fokus på pindene og samtidig har både de og jeg en nem mulighed for at se, om der er sket en forbedring.

Skolens afleveringssystem har indbygget trafiklys, så det er temmelig nemt og hurtigt at anvende. Jeg skal blot oprette de kategorier, jeg vil anvende i trafiklyset. Det kræver selvfølgelig lidt mere arbejde at bruge trafiklys, hvis man selv skal håndtere systemet.

Dokumentdeling som lektie

I 2g er vi i gang med vektorer og er nået frem til de forskellige måder at opskrive linjer på. Min erfaring er, at eleverne ofte i hvert fald i starten har svært ved at huske hvilke informationer, som kan trækkes ud af linjens ligning og linjens parameterfremstilling. Og det er jo centralt, når der skal løses opgaver, hvor linjer indgår.
Jeg har derfor oprettet et dokument, som jeg har placeret i klassens Google Drev. Dermed har alle elever adgang til at indtaste i dokumentet - oven i købet samtidig. I dokumentet har jeg placeret en række generelle spørgsmål, der hører til linjer. Spørgsmålene står nederst i dette indlæg.
Lektien er nu, at eleverne skal beskrive løsningsmetoden for et af punkterne samt tjekke/forbedre to af de øvrige indtastede løsningsmetoder.
Eleverne skal skrive navn på både den løsningmetode de har indtastet, samt de løsningsmetoder de har tjekket.
Jeg synes desuden, det er vigtigt at træne eleverne i at forklare løsningsmetoder til hinanden. Hvis man kan forklare en metode generelt, så er det en indikation på, at man har forstået opgaven.
Igen en metode til at holde eleverne fast på at de altså skal lave lektier. Og at jeg nemt kan se, hvis det ikke er tilfældet.
Det er så planen, at eleverne skal arbejde med de indtastede løsningsforslag i den kommende matematiktime.

Spørgsmålene i dokumentet:

Opskrivning af ligning og parameterfremstilling

1.       Opskriv parameterfremstilling for linjen, når to punkter er kendte.
2.       Opskriv ligningen for linjen, når to punkter er kendte
3.       Omskriv parameterfremstilling for linjen til ligning for linje.
4.       Omskriv ligning for linje til parameterfremstilling for linje (gæt nødvendigt)

Vinkel mellem to linjer:

5.       Linjerne er givet på parameterfremstillingsform
6.       Linjerne er angivet med ligninger.
7.       Den ene ligning er på parameterfremstillingsform, mens den anden er givet ved en ligning.

Vinkelrette linjer:

8.       Linjer opskrevet som ligning (ax + by + c = 0 eller lignende).
9.       Linjer opskrevet som parameterfremstilling.
10.   Ligninger opskrevet som henholdsvis parameterfremstilling og ligning.
11.   Bestem den manglende koordinat (a eller b) for at to linjer bliver vinkelrette på hinanden.
12.   Bestem forskrift for linjen gennem givet punkt og vinkelret på anden kendt linje

Parallelle linjer

13.   Linjer opskrevet som ligning (ax + by + c = 0 eller lignende).
14.   Linjer opskrevet som parameterfremstilling.
15.   Ligninger opskrevet som henholdsvis parameterfremstilling og ligning.
16.   Bestem den manglende koordinat for at to linjer bliver parallelle
17.   Bestem forskrift for linjen gennem givet punkt og parallel med anden kendt linje

Eksamensspørgsmål som projekt

Med mit 3g-hold er vi nået frem til logistisk vækst. Vi har tidligere kigget på generelle karakteristika ved differentialligninger, arbejdet med y' =ky samt bevist separation af variable.
Gennemgangen af logistisk vækst har jeg besluttet mig for at vende lidt på hovedet, idet jeg vil starte med at give eleverne det spørgsmål om logistisk vækst, jeg planlægger at bruge til holdets mundtlige eksamen.
Eleverne skal nu i par ud fra deres nuværende viden om differentialligninger samt via en række opgaver og eksperimenter konstruere en hjemmeside (Google sites), der skal indeholde de dele som hører til en fremlæggelse af eksamensspørgsmålet.
På hjemmesiden må eleverne selvfølgelig gerne placere videoer, de selv har optaget.
Oplægget til eleverne ligger her: Link
Elevernes hjemmesider afleveres som en hjemmeopgave.

Hjemmeopgaver til de gode elever

Jeg oplever tit, at de gode elever synes hjemmeopgaverne er meget kedelige, og at der er alt for mange gentagelser. Det synes jeg er synd, for det kan være med til at dræbe disse elevers interesse for matematik. Derfor er det vigtigt, at der også er udfordrende opgaver til de gode elever i hjemmeopgaverne. Det kan gøres på mange måder. Her er et par eksempler:
1) Giv eleverne for mange opgaver i forhold til elevtiden. Lad så eleverne selv vælge, hvilke opgaver de vil regne. Læreren kan evt. markere opgaverne med sværhedsgrader.
2) Lad nogle opgaver være frivillige.
3) Lad nogle opgaver have det prædikat at de kun skal regnes, hvis eleven ikke allerede har brugt den afsatte tid på de regnede opgaver.
De ekstra opgaver kan være svære opgaver fra tidligere eksamenssæt, men det kan også være lidt skæve opgaver, der udfordrer eleverne lidt utraditionelt i forhold til sædvanlige opgaver. Hertil kan man f.eks. bruge gamle Georg Mohr opgaver - ofte får eleverne uden svarmuligheder. Den norske Abelkonkurranse er en anden mulighed for utraditionelle opgaver.
I denne uge har jeg fundet denne lille opgave:
Lad os tage et tre-cifret tal (f.eks. 436)
Skriv tallet to gange efter hinanden, så du får et seks-cifret tal (her 436436)
Der gælder nu at 7, 11 og 13 går op i det nye tal (436436/7=62348, 436436/11=39676 og 436436/13=33572)
Det "underlige" er, at uanset hvilket tre-cifret tal du starter med, så går 7, 11 og 13 altid op i tallet!
HVORFOR?????
Kan man gøre noget tilsvarende med fire-cifrede tal?

Tilsvarende burde man også tilbyde de dårligere elever mulighed for hjælp til løsning af opgaver. Det kunne være i form af hjælpespørgsmål. Det har jeg ikke selv været særlig god til. Hvis jeg giver tips til løsning af opgaver, så har alle eleverne fået tippet. Det er måske igen lidt synd for de gode elever at de får løsningsmetoden foræret.
Et hjælpeark som eleverne kan søge assistance i ved problemer kunne være en mulighed, men det tager jo tid at udarbejde et sådant ark så...

Lav opgaver som lektie

I timen i dag havde jeg planlagt, at eleverne skulle træne bruge af deres IT-program (Maple) til at løse vektoropgaver.
I stedet for at give eleverne nogle opgaver de skulle regne hjemme, så bad jeg eleverne digte nogle opgaver, der benyttede udvalgte kommandoer i Maple. De skulle desuden regne deres egne opgaver hjemmefra - løsning kan passende skjules i en sektion (man kan skjule afsnit i Maple), så den ikke umiddelbart er synlig, når klassekammerater løser opgaverne.
I timen satte jer eleverne samme to og to. To elever havde ikke lavet lektier (den ene havde nu en god forklaring), så de fik lov til at passe sig selv. Jeg tror de følte sig lidt uden for - håber det er med til at fremme lektielæsningen, selvom det nu sjældent er et problem i den klasse.
Eleverne arbejdede i par med deres opgaver på følgende måde:
Den ene elevs opgaver blev åbnet i Maple. Eleven som havde lavet opgaven var sekretær, mens kammeraten dikterede, hvordan opgaverne skulle løses.
Dermed fik vi både trænet elevernes mundtlighed og eleverne fik desuden mulighed for at udveksle forskellige stile ved opgaveløsning.
Elevernes syntes det var sjovt med en lidt anderledes måde at lave lektier på.