Første skoledag - med "julegave"

Så blev det første skoledag i hvert fald for os lærere.
I år med en glædelig overraskelse:
Stort set alle vores klasselokaler er blevet installeret med tavler på alle vægge. Det er næste som juleaften. Sådan ser vores sædvanlige klasseværelser ud:

 Foto taget bagerst i lokalet fra vinduessiden

Foto taget ved tavlen i vinduessiden

Jeg har i flere år efterspurgt flere tavler i lokalerne og i fællesområder, så det var en stor dag i dag.
Jeg har sat mig som princip, at eleverne skal op og stå ved tavlerne i alle mine timer.
Det er min erfaring at aktivitetsniveauet og eleverne kommunikation vokser en hel del, når der arbejdes i små grupper ved tavlen. På ICME13 konferencen var der et oplæg fra Canada, der beskrev et forsøg, som også var nået frem til samme konklusion.
Jeg kan se mange fordele ved brug af disse tavler:
1) Gruppearbejde bliver nemmere, da alle i gruppen nemt kan følge med
2) Jeg kan hurtigt se hvad eleverne har lavet - er der behov for at jeg skal blande mig
3) Jeg får langt lettere ved at få de svage elever i tale, når vi i fællesskab i en mindre gruppe diskuterer matematisk teori eller opgaveløsning.
4) Eleverne kan nemmere tjekke hinandens udregninger ved at skifte tavle, hvis der f.eks. regnes forskellige opgaver
5) Alle er ved tavlen - dermed kommer der ekstra fokus på træning af mundtlighed.
Og så håber jeg selvfølgelig at også andre fordele dukker op, når jeg kommer i gang med arbejdet.

Integral - arealer - eksperimentielt

Mine 3g-elever har siden 1g vidst at integralet under en positiv funktion giver det tilhørende areal. De er ligeledes vant til at bruge integraltegnet i Maple til at løse sådanne opgaver.
Nu er det tid til at få teorien hørende til integralregning på plads.
I stedet for den traditionelle indføring via stamfunktioner og sammenhængen med differentialregning vil jeg i år tage udgangspunkt i netop arealer og så eksperimentelt finde frem til stamfunktioner for udvalgte funktioner.
Jeg starter forløbet med at eleverne skal udregne givne arealer under linjer (vandrette linjer og skrå voksende linjer gennem (0,0)). Hertil benyttes blot kendte arealformler. Ud fra eksemplerne skal eleverne opstille formler til bestemmelse af arealer under funktionerne f(x)=k og f(x) = kx.
Efterfølgende benyttes Geogebra til at bestemme arealer under f(x) = x² for så at eksperimentere sig frem til arealfunktionen. Proceduren er som følger:
1) Opret skyder k (fra x=0 til x=5) samt funktionen f(x) = x².
2) Definer variabel, der angiver arealet under f(x) fra x=0 til x=k.
3) I regneark opsamles nu værdier for k samt de tilhørende arealer
4) Der laves nu regression over de opsamlede punkter og så fås forhåbentlig den korrekte stamfunktion.
Eleverne skal til slut ved hjælp af eksperimenter i deres Geogebra regneark komme med bud på stamfunktioner hørende til xⁿ, kxⁿ og xⁿ + x^m.
Arbejdsarket eleverne skal arbejde med ligger her: Link

Når dette er på plads, har jeg tænkt mig at lade eleverne arbejde med sætningen, som beviser sammenhængen mellem integral og areal. Men vil dog overveje om dette bevis er for svært at introducere så tidligt i forløbet.

Nyt skoleår nærmer sig

Så nærmer skolestart sig og dermed også forberedelserne til det kommende skoleår.
Jeg var ikke specielt flittig med at skrive på bloggen i foråret, så jeg vil prøve her i starten af skoleåret at få skrevet lidt flere indlæg.
Jeg har i ferien deltaget i ICME13-konferencen  (www.icme13.org) i Hamborg. ICME er en verdensomspændende konference om undervisning i matematik, som afholdes hvert 4 år. I år deltog ca. 3400 personer fra 105 lande.
Det er en speciel oplevelse at deltage i en så stor konference, hvor man løber ind i fremragende oplæg og desværre også totalt intetsigende oplæg.
Jeg har fået en del ideer, der skal følges op på, og en række hjemmesider som skal undersøges nærmere.
Jeg vil senere skrive om nogle af de ideer og materialer fra konferencen, jeg har tænkt mig at benytte i min undervisning.

En lille sjov opgave fra konferencens, som jeg har tænkt mig at starte op med i min 3g-klasse er følgende:
Tegn i funktionen f(x)=x².
Placer to punkter på parablen, hvor det ene skal have negativ x-værdi og det andet skal have positiv x-værdi. Forbind de to punkter med en ret linje.
Hvilken sammenhæng er der mellem de to punkter på parablen og linjens skæring med y-aksen?
Kan du bevise din teori?

Skriftlig eksamen - censurerfaringer

I år har jeg været skriftlig censor udelukkende på opgavebesvarelser fra netforsøget (A-niveau).
På netforsøget har eleverne to timer uden hjælpemidler (dog med formelsamling) efterfulgt af 3 timer med hjælpemidler. I delen med hjælpemidler stilles 3-5 spørgsmål i et forberedelsesmateriale, som eleverne modtager op til 3 uger før eksamen. Der skal så afsættes 6 klokketimer af matematiktimerne til elevernes arbejde med materialet. Lærerne må ikke undervise i materialet, men skal hjælpe eleverne, hvis de løber ind i problemer. Du kan finde de tidligere års forberedelsesmaterialer (fint som supplerende stof) samt eksamenssæt her - link.
I år handlede forberedelsesmaterialet om sfærisk geometri.
Jeg lærer altid en del af at rette en masse opgaver af samme type. Der er en del fejltyper som går igen og igen og igen og ... Nogle fejl skyldes selvfølgelig at opgaven er svær, men ofte undres jeg noget over elevernes svar. Det giver mig en fornemmelse af, hvilke elementer jeg skal lægge ekstra vægt på.
Jeg har en 3g-klasse til næste år og her er listen over ting, jeg vil arbejde ihærdigt på, at eleverne får styr på:
1) Overspring ikke mellemregninger - det går galt
2) Karakteristika ved de forskellige funktionstyper, så de kan genkendes og beskrives
3) Monotoniundersøgelse i hånden! Man behøver ikke kunne udregne hældning i bestemte punkter. Det er nok at bestemme fortegnet.
4) Foretag kun en udregning ad gangen, når der reduceres - og husk at beholde parenteser indtil udregningen med at hæve parentes udføres
5) Tegn de to ensvinklede trekanter ved siden af hinanden, så de ligger på samme måde
6) Funktionsværdier for specielle funktioner: ln(e), ln(1), log(1), log(100). e⁰, ...
7) Betydningen af konstanterne a og b i standardfunktioner skal beskrives i relation til opgavens praktiske indhold.
8) Nulreglen og at sætte værdi uden for parentes.

De svage elever skal være bedre til at dokumentere, hvad de gør. Mit generelle indtryk at de opgaver, de svage elever kan løse, sjældent indeholder nok ledsagende kommentarer, og det koster dyrebare point.

Min kommende 3g-klasse har til årsprøven i år prøvet eksamensformen for netforsøget, og deres tilbagemeldinger har været overvejende positive. Så det ender nok med, at vi vælger den eksamensform.
Hvis det bliver tilfældet, så skal vi træne en masse i brugen af formelsamlingen. Jeg var meget forundret over, hvor lidt eleverne havde anvendt formelsamlingen - f.eks. til at få differentieret eller integreret korrekt.

Træning frem mod SRP - skrivning af SRO

Som skriftlig censor i SRP undrer jeg mig tit over hvor dårlige eleverne er til at skrive matematik. Det må skyldes, at vi ikke træner det nok og ikke har nok fokus på den disciplin af matematikken.
Jeg laver en del projektrapporter og temaforløb, hvor jeg synes eleverne får trænet disse dele, men ruster det dem godt nok til at skrive en SRP med matematik? Det er jeg ikke helt sikker på.
Jeg har i år en 2g, som skal skrive SRO i matematik og samfundsfag. På min skole har vi efter min mening ikke været gode nok til at udnytte SRO til at give eleverne træning frem mod SRP. Træningen har typisk bestået i lidt introduktion til opgaveformuleringen og så 3 dage fri til at skrive opgaven. Det tror jeg altså ikke, man lærer meget af.
Derfor besluttet jeg med samfundsfagslæreren, at vi her i foråret vil arbejde med forskellige aspekter af opgaveskrivningen med eleverne (Vores elever skriver SRO i starten af eksamensperioden).
I matematik har jeg således lavet:
1) et forløb om andengradspolynomier, hvor eleverne selv skal arbejde med relevante matematiske tekster. Efterfølgende skal hver elev skrive et lille teoretisk afsnit 2-3 sider. Inden jeg retter elevernes afsnit, sættes eleverne sammen i par, hvor de kommenterer hinandens tekst. Teksten rettes så inden den afleveres endeligt. Jeg vil beskrive selve forløbet lidt grundigere i et indlæg en af dagene.
I relation til at skrive en matematisk tekst har vi talt meget om at udvælge materiale fra forskellige kilder og at ensarte notationen. Vi har talt om at gøre matematikteksten til ens egen, så det ikke bare bliver en "afskrift" fra bogen. Dvs. tilføje ekstra kommentarer og mellemregninger samt at bogen ikke skal være åben, når teksten skrives. Teksten skrives ud fra de noter, man har skrevet, da man læste kilden.
2) Normalt stiller vi jo en masse spørgsmål, når eleverne skal løse en opgave i matematik. Men i SRP/SRO skal eleverne jo ofte selv "finde på" den matematik, de anvender. Det har vi forsøgt at træne ved at give eleverne en tabel, som de skal skrive et afsnit om. Her var opgaven blot at skrive et afsnit der behandler tabellen, hvor både matematik og samfundsfag inddrages - træning i at binde fagene sammen. Eleverne afleverede først opgaven i matematik og genafleverede efterfølgende i samfundsfag ugen efter.
3) Træning i søgning - vi vil målrette elevernes evne til at søge efter relevante materialer. Så de får til opgave at finde materialer af følgende typer: bog, matematikteoretisk tekst, samfundsteoretisk tekst, aktuel samfundsmæssig artikel, statistisk materiale. De fundne materialer samles, så alle elever kan få glæde af linkene.
4) Kort tid inden selve skrivningen vil vi bede eleverne udarbejde en indholdsfortegnelse/disposition for deres SRO, som diskuteres med lærere/klassekammerater.
5) På 2. skrivedag vil vi indlægge et tvunget møde med vejlederne, hvor eleverne skal fremlægge disposition mm. Samtidig vil der være krav om at noget af det skrevne skal læses og kommenteres af en klassekammerat.
6) Og så er der lige layout-delen. Her vil vi fokusere på, at gøre eleverne fortrolige med de vigtigste layout-elementer. Det vil vi gøre ved at opstille nogle layoutkrav til besvarelsen.

Sandsynlighedsfunktioner - introduktion til chi2-test

I år har jeg besluttet mig for at vende lidt rundt på den måde jeg vil lære eleverne Chi².I stedet for at starte med Chi², har jeg valgt at arbejde med forskellige sandsynlighedsfunktioner. Dermed håber jeg, eleverne får en forståelse af, at disse funktioner kan benyttes til at beskrive sandsynligheder.
Eleverne arbejder via opgaver med forskellige sandsynlighedsfunktioner - først nogle tilfældige funktioner som opfylder kravene til en sandsynlighedsfunktion og efterfølgende normalfordeling og til sidst forskellige Chi²-funktioner.

Dette arbejde skulle gerne munde ud i en forståelse af
- betydningen af areal under sandsynlighedsfunktioner
- sammenhængen mellem sandsynlighedsfunktioner og de tilhørende fordelingsfunktioner
- forskellen på normalfordelingsfunktionerne (hvilken betydning har middelværdi og spredning for grafens udseende og dermed for sandsynlighedsfordelingen under grafen)
- forskellen på Chi²-funktionerne (hvilken betydning har antal frihedsgrader for grafens udseende og sandsynlighedsfordelingen)

I forbindelse med funktionerne hørende til normalfordeling og Chi²-funktionerne, repeterer vi selvfølgelig også de grundlæggende funktionsbegreber.

Jeg benytter to arbejdsark til denne introduktion:
Indledende om sandsynlighedsfunktioner (Link)
Chi²-funktioner (Link)

Beskrivende statistik

Så blev det tid til at introducere den beskrivende statistik i min 1g-klasse, der har matematik på A-niveau.
Et kig i formelsamlingen for 9-10 klasse viser, at der præsenteres kort stort set alle de statistiske begreber, som vi også skal arbejde med i gymnasiet (link).
Eleverne fik disse sider for som lektie, hvor de selvfølgelig skulle fokusere på begrebernes betydning og hvordan de findes ud fra et talmateriale. Heldigvis kunne eleverne huske langt de fleste begreber fra formelsamlingen.
som lille tjek på eleverne, præsenterede jeg dem for følgende citat:

Heldigvis gennemskuede nogle af eleverne, at der nok skulle stå median i stedet for gennemsnit. Det gav en god snak om forskellen på median og middelværdi.

I de kommende timer vil vi repetere begreberne med forskellige lege (f.eks. pecha kucha eller Hvem husker det først?) og ved at regne opgaver.
Når eleverne har styr på begrebernes betydning og tilhørende regnemetoder, præsenteres eleverne for relevante Maple-kommandoer, der kan benyttes i statistikopgaver.