Innovation i matematik

Kan man arbejde innovativt i matematik? Tja - det kommer lidt an på, hvilken definition man vælger for begrebet innovation.
Jeg er dog ikke i tvivl om, at vi i matematik kan fremme elevernes innovative kompetencer, og at det vil være med til at stille eleverne bedre til den skriftlige eksamen.
Jeg tænker her primært på evner som vedholdenhed (ikke give op ved problemer) og kreativitet (kunne afsøge løsningsmuligheder, når løsningsmetoden ikke umiddelbart er givet).
Fagkonsulenten i Matematik Bodil Bruun nedsatte sidste skoleår en arbejdsgruppe, som skulle komme med eksempler på, hvordan der kan arbejdes med innovation i og med matematik. Resultatet af dette arbejde kan ses på EMU'en (Link). Materialerne er både af overordnet karakter men indeholder også eksempler på forløb både i matematik alene og i samarbejde med andre fag (AT).
Matematiklærerforeningen har i dette skoleår nedsat en større arbejdsgruppe (støttet af undervisningsministeriet), som skal arbejde videre med innovation, hvor formålet hovedsagelig er at udvikle flere eksempler, der kan inspirere matematiklærere.
Jeg kan godt lide at udfordre eleverne, så jeg har netop stillet både min 1g- og 2g-klasse nedenstående opgave. Rigtig innovation kan man nok ikke kalde det, men eleverne får i hvert fald mulighed for at diskutere og afprøve forskellige løsningsforslag.

I skal bestemme placeringen af et system af vandledninger, som skal forsyne 8 huse med vand. Der findes to typer vandledninger: Hovedledningen til 822.000 kr. pr. km. og stikledninger til 556.000 kr. pr. km. Stikledninger kan kun transportere vand til ét hus.

Husenes placering er fastlagt med koordinater og er alle placeret i et kvadrat med en sidelængde på 10 km.

Vandledningen skal starte i punktet (0,1). Derudover skal hovedledningen slutte et eller andet sted mellem punkterne (10,8) og (10,10).

Ovenfor ses en illustration af et problem der svarer til ovenstående beskrivelse. Husene er de sorte prikker og starten på hovedledningen er det røde kvadrat placeret i (0, 1). Den stiplede røde linje øverst til højre markerer det område, hvor hovedledningen skal stoppe.

Jeg aner ikke selv, hvad svaret på problemet er. Så jeg er lidt spændt på, hvordan eleverne griber opgaven an.
Er det matematik? Tja - ikke nødvendigvis, så jeg har stillet krav om matematiske elementer i besvarelse.
Jeg laver lige en cliffhanger.
I et senere indlæg vil jeg beskrive, hvordan jeg helt konkret har tilrettelagt forløbet og hvordan det gik.

Regneregler for differentiation

I stedet for at starte forløbet om differentialregning med at fokusere på teorien bag de forskellige formler for funktioners differentialkvotient, så har jeg valgt at introducere alle formler tidligt.
Som beskrevet i indlægget Differentialregning - intro, indledte jeg forløbet med at give eleverne en fornemmelse for tretrinsreglen og den vigtige forskel på tangent og sekant.
Disse principper vil jeg løbende bruge i de kommende timer så eleverne opnår en fortrolighed med begreberne inden tretrinsreglen behandles formelt teoretisk.
Jeg er nu begyndt at træne eleverne i reglerne for differentiation i hånden. Vi startede med, at eleverne skulle gætte differentialkvotienten for de typiske standardfunktioner. Eleverne brugte Maple til bestemme konkrete stamfunktioner og ud fra Maples svar kom eleverne med et bud på den tilhørende differentialkvotient. Nogle elever brugte et arbejdsark (Link), men andre mere matematikstærke elever valgte selv at gå på jagt blandt allerede kendte funktioner og sammensætning af sådanne.
Eleverne fandt også selv reglerne for sum, subtraktion og multiplikation med konstant. De tre sidste generelle regler har jeg udskudt lidt.
Jeg kunne selvfølgelig have serveret alle reglerne for eleverne, men jeg har en ide om, at når eleverne selv finder reglerne, så er de også nemmere at huske.
Nu er det blot spændende at se i morgen, hvor gode eleverne er blevet til at differentiere funktioner, som lektien til i morgen.

Differentialregning - intro

I 2g starter jeg som så mange andre med differentialregning.
I 1g har vi allerede arbejdet en del med tangent, bestemmelse af vendepunkter mm. så eleverne er allerede nogenlunde fortrolige med begrebet f '(x).
Vi startede derfor med at kigge på x² og tangentens hældning i (1,1).
Jeg forsøgte lidt at tilrettelægge arbejdet med at bestemme tangentens i den innovative ånd.
Eleverne arbejdede i klassen i mindre grupper med forskellige ideer til bestemmelse af tangenten. I første omgang bad jeg eleverne gennemløbe de forskellige kendte matematikemner fra 1g for at indsnævre, hvilken matematik som måske kunne bringes i spil.
Når eleverne havde arbejdet 10-15 min, stoppede jeg alle grupper og ideer til løsningen blev skrevet på tavlen. Alle ideer fik lov til at svæve i luften uden kommentarer fra min side. Herefter arbejdede eleverne igen videre med egne eller nye ideer. Denne proces fortsatte et par "runder".
Formålet med de korte runder er at holde alle til ilden. Nogle grupper kan have tendens til at give hurtigt op, men så får de lidt inspiration fra andre grupper.
Det er selvfølgelig ikke rigtig "innovation" for jeg ved jo godt, hvor vi ender, men processen med at stå overfor et problem, hvor eleverne ikke umiddelbart kan genkende en løsningsmetode fordrer nogle innovative kompetencer.
Jeg synes, vi på en god måde fin introduceret sekanten, og hvorfor den er vigtig. Det virkede som om at denne tilgang fik eleverne til at få den ønskede forståelse af sekant-tangent sammenhængen.
Da sekanten var blevet introduceret havde eleverne ikke svært ved at finde sekanternes hældning - hvordan det andet punkt blev valgt varierede lidt. Nogle valgte blot et andet "fysisk" punkt på grafen mens andre indsatte et bogstav som tilvæksten.
De skrappe elever generaliserede yderligere til en tilfældig x-værdi.
Som en del af den kommende hjemmeopgaver skulle eleverne i par aflevere en video, hvor de netop finder hældningskoefficienten for en tangent hørende til f '(x). Det blev nogle fine videoer, synes jeg.
Jeg har endnu ikke kastet alle de fine ord og begreber i spil. Så tretrinsreglen må vente lidt endnu.
Næste skridt er at finde formlerne hørende til differentialregning - i første omgang vil vi ikke bevise dem, men prøve at gætte og eksperimentere os til formlerne.

Træning af funktionsbegreber

Her i opstarten i 1g har jeg arbejdet med funktioner og deres tilhørende grafer. Jeg kan godt lide at have begreberne på plads, så jeg kan referere til dem, når vi kigger mere specifikt på de enkelte funktionstyper.
Eleverne synes det er lidt svært at huske begreberne, så det træner vi selvfølgelig en hel del på forskellige vis.
Langt det meste af træningen foregår i grupper på 2 og jeg sørger for hyppige skift i grupperne, så eleverne bliver vant til at arbejde sammen med alle i klassen. Og så bliver de vænnet sig til at matematik også er et mundtligt fag, og det er eleverne ikke særlig vant til fra folkeskolen har jeg indtryk af.
Et par ideer til en sådan træning kan være:
1) Eleverne har forskellige grafer. På skift beskriver eleverne deres figur, mens den anden skal tegne figuren selvfølgelig uden at se den oprindelige figur. Hvis der haves en del figurer, så kan eleverne blot finde en ny makker, de kan beskrive grafen for, når de har forklaret og tegnet figur med den første makker.
2) Giv eleverne nogle funktionskarakteristika ud fra hvilke, funktionen skal tegnes. Der må gerne være nogle fælder, som ikke kan tegnes. Det plejer at give nogle gode diskussioner.
3) Eleverne indtaler beskrivelse af grafen for en funktion. De andre elever prøver så at gentegne grafen ud fra beskrivelsen (Har jeg beskrevet nærmere i indlægget Mundlig træning som lektie)

Jeg er tidligere stødt på begrebet Pecha Kucha, men har aldrig rigtig fået det prøvet. Pecha Kucha er typisk en Powerpoint med en række dias. Hver dias vises kun 20-30 sekunder, så det gælder om at være hurtig i opgaven, der skal løses på den pågældende dias. Jeg vil prøve Pecha Kucha-princippet på netop beskrivelse af grafer. Så jeg har lavet en dias med 10 figurer. Eleverne sættes sammen to og to. Herefter skal de på skift beskrive graferne med de gennemgåede begreber. Efter 4 grafer (dias) beder jeg eleverne vælge ny makker. Min Pecha Kucha kan du finde her: Link.
Jeg havde egentlig glemt Pecha Kucha, men Eva Pors fik mig til at genhuske metode i sit blogindlæg PechaFlickr: Få mundtøjet i gang.

Et eksempel med linjer (analytisk).

Geogebra - nyheder (i hvert fald for mig)

I sommerferien var jeg på en Geogebra-konference, hvor jeg fik øjnene op for nogle Geogebra-faciliteter jeg slet ikke kendte og fik derudover også et indblik i nye faciliteter, som er ved at blive udviklet.
Geogebrabooks var en af de faciliteter, jeg ikke kendte. I det system har man mulighed for at lave sine egne elektroniske bøger, der er en blanding af tekst og dynamiske Geogebra-figurer.
Det eneste som kræves for at kunne oprette Geogebrabooks er, at man opretter en Geogebra-konto.
Jeg er stadig selv på det eksperimenterende stadie, så jeg har endnu ikke rigtig fået lavet nogle bøger, som jeg vil anvende i min undervisning. I steder for har jeg på Geogebras hjemmeside kigget lidt i offentliggjorte Geogebrabooks. F.eks. faldt jeg over denne danske Geogebrabook der omhandler differentialregning - Link. Denne Geogebrabook viser på en fin måde mulighederne.
Af nye faciliteter på vej er muligheden for at oprette sine klasser og tilknytte dem til egne quizzer/prøver lavet i Geogebra - kaldes GeogebraGroups. Om alt går vel skulle den del blive offentliggjort omkring 1. september. GeogebraGroups findes i en beta-version her - Link.
Det blev desuden annonceret, at offline versionen af Geogebra nok forsvinder i løbet af et par år.
Til sidst et lille tip, hvis man demonstrerer noget i Geogebra på projektor. Ctrl+2 forstørrer al tekst. Kommandoen kan gentages flere gange. Ctrl+1 hopper tilbage til standard skriftstørrelse.

Første skoledag - navnelege

Jeg skal være klasselærer/teamleder/klasseleder ("kært barn" har mange navne) for en ny 1g-klasse, så der skal findes forskellige navnelege frem fra gemmerne.
Jeg faldt over et dokument, som jeg vist nok har "hugget" fra skolekomkonferencen for matematiklærere i folkeskolen. Dokumentet er en form for domino med regnearternes hierarki, som jeg vil inddrage første skoledag på følgende måde:
Alle elever får en dominobrik, der i venstre side har et regnestykke og i højre side et tal, som er resultatet på en af de andre dominobrikkers regnestykke.

Først vil jeg sætte eleverne sammen to og to, hvor de skal blive enige om resultatet på deres to regnestykker.
Herefter gælder det om at finde resultatet på sit regnestykke blandt de andre elever. Hver gang man møder en ny person, siger begge først "Goddag <navn>" eller spørger om navnet på personen, hvis man ikke kan huske det. Først derefter må der spørges til tallet.
Det gælder nu om at få dannet en kæde, hvor enderne "hænger sammen". I den version af dominoen, jeg vil bruge, er der 32 brikker og de skulle gerne give 6 kæder af varierende længde. Det har jeg dog ikke tænkt mig at fortælle eleverne.
Der ligger link til mit dokument her (Link).

Nye skoleår nærmer sig med lynets hast

Det var den sommer - håber alle har fået ladet batterierne op igen.
I løbet er ferien har min blog i følge systemets statistik rundet 10.000 sideopslag. Der er åbenbart nogen, der følger det jeg skriver...
MEN...
Når jeg dykker lidt mere ned i statistikken begynder jeg lidt at tvivle på tallene. Statistikken viser nemlig, at godt hvert 4 besøg på bloggen kommer fra USA. Det har jeg lidt svært ved at tro på.

Så mange kan ikke være kommet ind på bloggen ved et uheld. Og der er næppe så mange i USA, som er interesseret i en blog på dansk om matematik i gymnasiet.
Samtidig har jeg skrevet knapt 100 indlæg og det betyder at hvert indlæg i gennemsnit skal være læst ca. 100 gange. Det passer heller ikke med besøgsstatistikken på de enkelte sider.
Statistikken betyder nu ikke så meget for mig - det er snarere en lille sjov detalje. Jeg benytter alligevel mest bloggen til at reflektere over min undervisning. Og hvis nogen så kan have glæde af det jeg skriver, så er det en fin sideeffekt.