Så skal der spilles julebanko

Sidste skoledag og sidste time med matematik - eleverne forventer en anderledes time...
I år bliver det to forskellige spil, som selvfølgelig har et matematisk indhold.
Vi starter med en lille konkurrence, hvor eleverne er inddelt i grupper på 3. Hver gruppe får udleveret et tarsia-puslespil (se evt. en beskrivelse af programmet på hjemmesiden Elevaktivering i matematik udarbejdet af matematiklærerforeningen  Link) med potensregnereglerne. Grupperne konkurrerer om hurtigst muligt at samle figuren korrekt, så udtrykkene på sidefladerne, der lægger op mod hinanden, betyder det samme. Jeg røber ikke for eleverne, at figuren bliver en "diamant".
Der findes 9 eksemplarer i forskellige farver (3 sider til hvert puslespil) i pdf-format her (Link)
Resten af tiden går med julebanko. Hver elev får en spilleplade med 12 svar (Link - de to første sider er spørgsmål og løsninger). Spørgsmålene hører til det gennemgåede stof.
De enkelte spørgsmål "udtrækkes" via en PowerPoint (Link).

Præmier - ja jeg fik jo ikke sagt til eleverne, at de skal medbringe præmier. Så jeg har besluttet, at præmierne skal være KUGLEPENNE/BLYANTER. Eleverne har jo ALDRIG skriveredskaber med til timerne. :-)

God jul til eventuelle læsere af denne blog (man skriver jo lidt i blinde...)

Historisk matematik - logaritmer

Logaritmernes historie og anvendelsesmåder er interessant, så hvorfor ikke prøve at give eleverne et indblik i disse. Og så får jeg samtidig tvunget eleverne til at træne logaritmeregnereglerne.
Jeg har her i december med min 1g brugt lidt tid på at præsentere:
- hvorfor logaritmerne er fantastiske til at foretage multiplikation
- hvordan man konstruerer logaritmetabeller
- hvordan en regnestok fungerer

Det klart mit indtryk, at eleverne bliver lidt imponeret af, hvad logaritmerne kan bruges til. Og fascinationen af matematikernes utrættelige arbejde med konstruktion af logaritmetabeller er også lidt svær at skjulte.
At matematiklæreren desuden medbringer en bog fra 1849 næsten udelukkende fyldt med diverse tabeller, hjælper også med at høre historiens vingesus.

Vi startede forløbet med at undersøge logaritmernes egenskaber med at ændre multiplikation til addition, hvor vi foretog opslag i tabel og løste forskellige opgaver.
Efterfølgende arbejdede vi lidt med de principper, som ligger bag konstruktionen af logaritmetabellerne. Hvilke logaritmeværdier kan bestemmes ud fra allerede kendte logaritmeværdier? Her blev logaritmeregnereglerne flittigt brugt.
I anden del af forløbet lavede vi vores egen regnestok. Lidt smart at man nu kan gange blot ved at forskyde to logaritmisk akser i forhold til hinanden.
Jeg tror eleverne syntes det var en sjov lidt anderledes form for matematik.
Efter juleferien er det planen, at vi laver vores eget logaritmepapir og får eftervist, at grafen for eksponentielle funktioner tegnet på enkeltlogaritmisk papir giver en ret linje.
De to dokumenter vi har anvendt:
Logaritme som "gange"-maskine (Link - lidt stor fil)
Bedstefars lommeregner (Link)

20 spørgsmål til ...

I onsdags deltog jeg i en konference om Sproget i matematik. Formålet var at udvikle ideer til træning af elevernes matematiksprog.
Der kommer en hjemmeside om emnet inden længe.
Inspireret af en af øvelserne vil jeg inden jul, hvis jeg kan nå det, afprøve følgende lille øvelse til træning af karakteristika ved lineære funktioner:
Alle elever får et tomt koordinatsystem i størrelse som post-it sedler (Link). Herpå skal hver elev indtegne grafen for en lineær funktion med pæne a- og b-værdier.
Herefter leges quiz og byt, hvor eleverne finder en makker og man skal så gætte forskriften på hinandens lineære funktioner.
Min makker og jeg stiller på skift spørgsmål til hinandens graf. Dermed kan vi konkurrere om hurtigst at gætte forskriften for den andens graf. Det er kun tilladt at stille Ja/Nej-spørgsmål.
Når begge funktioner er gættet, byttes papiret med grafen og man finder en ny makker.
Hvis klassen er glad for konkurrencer, kan man lade vinderen i hver "omgang" notere sig et point.

Jeg tænker at selve øvelsen kan benyttes til f.eks. træning af formler, begreber, konstanternes fortegn for parabler, ...
Man kan overveje om der skal sættes begrænsning på hvilken type spørgsmål, der må stilles. Jeg kan forestille mig at nogle af øvelserne hurtigt bliver lidt trivielle, hvis det er de samme spørgsmål man stiller hver gang.

Geogebra - nu med 3D

For et par måneder siden blev rumgeometri endelig tilføjet til den officielle Geogebra.
Jeg har tidligere skrevet om, hvordan netop Geogebra 3D er rigtig god til at få eleverne til bedre at forstå de rumlige figurer (Link). Især fordi det er muligt at rotere koordinatsystemet.
Jeg har netop overstået rumgeometri forløbet i 3g. Og endnu en gang var jeg rigtig glad for den hjælp, som Geogebra giver eleverne.
I denne endelige version er desuden problemerne med vinkelberegning fra Beta-versionen elimineret. Så nu er det muligt at løse alle rumgeometri-opgaver i Geogebra.
Spørgsmålet er så blot, om vi er glade for det... Jeg er selv i tvivl for matematikken kommer til at træde i baggrunden. Der er selvfølgelig matematisk ræsonnement i spil ved løsning af opgaver i Geogebra, men opgaver som tidligere var svære/tidskrævende skifter nu fuldstændig karakter.
Bestem planen indeholdende 3 givne punkter kræver for en traditionel besvarelse, at der bestemmes to vektorer i planen, som krydses for at finde en normalvektor og endelig skal der indsættes i planens ligning.
I Geogebra 3D løses spørgsmålet ved at indtaste de 3 punkter, klikke på ikonen til bestemmelse af plan ud fra 3 punkter og efterfølgende klikke på de 3 punkter. Så klarer Geogebra resten.

 

Jeg vil stadig insistere på, at eleverne også skal lære at løse opgaverne i deres sædvanlige værktøjsprogram, da jeg mener, det også er med til at give eleverne en forståelse af vektorbegrebet. Men Geogebra 3D er absolut er rigtig godt supplement - måske især til de svagere elever.



Her er en lille kort vejledning til Geogebra 3D (Link).

Lineær programmering - i 1g

Så er det ved at være lidt hverdag igen. Jeg har ligget lidt underdrejet med 12 SRP-opgaver. Men nu er der igen tid til at fokusere på selve undervisningen.
I tirsdags havde jeg planlagt en matematikdag (8-14) for mine 1g-ere og 3g-ere. Ud over at arbejde med matematik var formålet at ryste eleverne lidt mere sammen på tværs af årgangene.
Jeg havde valgt, at eleverne skulle arbejde med lineær programmering, da ingen af klasserne kendte til dette emne og samtidig ligger emnet tæt op ad lineære funktioner, som begge klasser er fortrolige med.
Eleverne var sammensat i grupper på 4-5 på tværs af de to klasser. Jeg havde designet et optimeringsproblem til eleverne (Inspireret af et afsnit fra "Hvad er matematik A"-bogen), som skulle løses i løbet af de 6 timer.
Jeg nævnte ikke ordet lineær programmering af frygt for, at eleverne straks ville kaste sig over Google. Det var meningen, at eleverne selv skulle komme med løsningsforslag til problemet.
Først arbejdede eleverne 30 min i deres egen gruppe og derefter fulgte to seancer a 15 min, hvor grupperne udvekslede ideer. Resten af dagen arbejdede man i sin egen gruppe.
Næsten alle grupper startede med udregninger i Excel og siden i Maple. Pga. det lave produktionsantal var eleverne hurtige til at tjekke de mulige kombinationer. Så en anden gang vil jeg nok justere tallene op, så det ikke er praktisk muligt at teste mulighederne.
Men eleverne kom dog også relativt hurtigt på ideen med at opstille ligninger, som så blev løst i Maple. Det viste sig dog delvist at være en blindgyde.
Jeg var desværre nødt til at nævne Geogebra som muligt værktøj. Det fik sat skub i beregningerne.
Det sidste spørgsmål om følsomhedsanalysen fandt eleverne meget svært. Det krævede en del hjælp fra min side. Hvis jeg skal lave projektet en anden gang, vil jeg overveje, hvordan jeg kan hjælpe følsomhedsanalysen på vej.
Det ene af skæringspunkterne mellem grænselinjerne giver ikke heltallige værdier. Jeg havde håbet, at nogle grupper have nået at diskutere, hvilke problemer det giver med følsomhedsanalysen, men så langt nåede ingen af grupperne desværre.
Feedback fra eleverne var overordnet meget positiv - bortset fra sværhedsgraden omkring følsomhedsanalysen.
Min opgaveformulering ligger her (Link).

Animerede beviser

Som oplæg til eksponentielle funktioner har vi i 1g arbejdet med potensregnereglerne med heltallige eksponenter.
Efter en række praktiske opgaver fik vi opstillet potensregnereglerne (formel 10-16 i formelsamlingen til A-niveau).
Som træning sammensatte jeg eleverne i par. De skulle nu bevise alle potensregneregler to og to.
Hvert par fik herefter til opgave at videooptage to af beviserne ved hjælpe af små stykker papir. Hvis et stykke papir symboliserede et a, så ville en mængde lignende stykker svarer til aⁿ.
Eleverne skulle så flytte rundt/samle/forkorte de små stykker papir og dermed sandsynliggøre potensregnereglerne.
Det var ikke imponerende beviser/argumentationer, som eleverne fremkom med, men jeg oplevede det som en god øvelse i at tale matematik. Eleverne fik lært at arbejde med nogle af de begreber og ord, som er knyttet til potensregneregler.
Og så synes eleverne også det var lidt sjovt med en anden form for bevis end blot at nedskrive et bevis på tavlen.
Beviserne blev optaget med elevernes smartphone og lagt ind på klassens fælles Youtube-konto.
Der findes flere af denne type beviser, som jeg måske vil benytte senere. Et par eksempler er kvadratsætningerne og Pythagoras sætning.

Quizlet - brug af quiz

I sidste uge havde jeg lavet en quiz til min 1g-klasse med træning af potensregneregler. Hertil anvendte jeg hjemmesiden Quizlet (Link).
På hjemmesiden kan læreren (login kræves for lærer) indtaste en række af sammenhørende spørgsmål og svar.
Det gode ved siden er, at disse spørgsmål/svar kan bruges i 6 forskellige quizzer. Nogle af disse appellerer til elever, der kan lide at konkurrere (på tid/flest point), mens andre er simple træningsopgaver.

Eleverne skulle som lektie udvælge nogle af quizzerne, så de fik trænet potensregnereglerne. Der gik ikke længe før jeg fik en mail fra en af drengene. Han ville bare lige gøre opmærksom på, at nu havde han slået min rekord.
Hvis du vil prøve quizzen med potensregneregler, så har jeg oprettet en test-quiztil fri afbenyttelse (Link). Som det fremgår har jeg sat en adgangskode på siden - koden er TEST.
Jeg har præsenteret Quizlet på en pædagogisk dag og har derfor udarbejder et par korte vejledninger - en til lærere (Link) og en til elever (Link).
NB! Quizlet kan også læse spørgsmål op på en række forskellige sprog. Så måske Quizlet også er anvendelig i sprogfag.

24 elever til tavlen

I 3g kæmper jeg i disse dage med at få lært eleverne substitutionsmetoden ved integration. Jeg synes, jeg gennem årene har prøvet rigtig mange forskellige tilgange/metoder, men lige lidt hjælper det. Eleverne har åbenbart bare meget svært ved substitution.
Lektien til i dag var løsning af 4 integraler med substitution - de var samlet i par. De to funktioner skulle integreres henholdsvis med og uden grænser.
Da jeg kort før timen skulle finde ud af, i hvilket lokale timen foregik, viste det sig, at vi skulle være i et af "HF-lokalerne" (HF-elevernes stamlokale). Disse lokaler (vi har to af dem) er lidt specielle, da der er glastavler på side- og bagvæg.
Jeg udnyttede straks situationen til at sætte eleverne sammen to og to for derefter at tildele hvert par et tavleområde. Så skulle lektierne regnes - selvfølgelig uden at kigge på det forberedte.
Jeg skulle godkende alle udregninger, inden det var tilladt at gå videre til næste opgave. Det fungerede rigtig godt og eleverne var desuden gode til at hjælpe hinanden.
Dagens program indeholdt også beviset for substitutionsmetoden (var ikke forberedt). Efter en kort introduktion skulle eleverne genskabe beviset fra udleverede noter. Når beviset var lavet, måtte eleverne fortsætte med ugemat. Dog var det et krav, at alle skulle gennemgå beviset for mig i løbet af timen.
Hold da op for en aktiv time - alle eleverne var deltagende og jeg tror nogle blev rykket.
Jeg har længe kæmpet med ledelsen og skolens kunstudvalg om at få opsat tavler i gangarealer og arbejdsområder, men det er godt nok op af bakke. Det er mig en gåde, at det skal være så forfærdeligt med tavler i fællesarealer. Jeg synes netop sådanne tavler er med til at skabe liv på skolen.
Efter dagens succes overvejer jeg at skifte strategi og i stedet for foreslå at nogle flere klasselokaler "dekoreres" med tavler. For "HF-lokalerne" er desværre alt for ofte optaget.

Lineært projekt: Udbud-efterspørgsel

I 1e har vi i denne uge arbejdet med udbud og efterspørgsel i matematiktimerne. Ved at generalisere kurverne til lineære funktioner, skulle eleverne undersøge udbud og efterspørgsel for et fiktivt produkt.
Opgaven var, at eleverne for en virksomhed skulle undersøge udbud og efterspørgsel og så efterfølgende aflevere en rapport, der beskriver deres undersøgelser. Projektet var styret af en række spørgsmål, men elevernes skulle sammenskrive svarene til en sammenhængende rapport i stedet for en traditionel spørgsmål-svar besvarelse.
Eleverne læste indledningsvis om udbud og efterspørgsel. Hertil brugte vi 3 sider fra "Økonomi - principper, praksis og perspektiv" af Kåre Clemmensen og Per Henriksen fra forlaget Columbus 1. udgave, 3. oplag 2008.
Uheldigvis byttes i samfundsfagsbøger rundt på akserne i forhold til, hvad vi normalt gør i matematik. Derfor justerede jeg teksten og ændrede figurerne, så notation blev korrekt i forhold til normal matematisk notation (Link).
Selve opgaven er vedhæftet her (Link).
Som sædvanlig når man laver en ny opgave, er der altid plads til forbedring. Og det opdager man desværre ofte først, når eleverne arbejder med opgaverne. I dette tilfælde bør opgave 4 løses før opgave 3 og i opgave 4 skal ændringen være i forhold til den oprindelige supply-funktion.

Hurra for AT...

Jeg har i denne uge haft AT i 3g.
Fagene var matematik og samfundsfag (begge på A-niveau) og vi havde valgt Finanspolitik som emne.
I matematik beskæftigede vi os primært med multiplikatoreffekten og forskellige måder at bestemme den på. Vi konstruerede både et regneark og en matematisk formel til bestemmelse af multiplikatoreffekten. Til den matematiske formel havde vi brug for et lille bevis for den type række, som fremkommer.
De to fag fungerede rigtig godt sammen og eleverne fik demonstreret en del centrale matematiske metoder:
1) Axiomatisk-deduktiv metode kunne eleverne tale om ved den teoretiske udledning af formlen til bestemmelse af multiplikatoreffekt
2) Formlen blev benyttet til at lave forskellige modeller over udsving i multiplikatoreffekt, når der ændres i parametrene (hertil blev Geogebra med skydere anvendt - imponerede samfundsfagslæreren en del)
3) Forskellen på teoretiske modeller og vækstmodeller med regression blev berørt af nogle grupper
4) Og så havde eleverne god mulighed for at diskutere problemer ved beregningerne, når vi tolker dem i den virkelige verden. Vi fandt bl.a. ud af at både regneark og formel havde det problem, at de forudsætter at importkvote, skattesats samt opsparingskvote er uændret. Det er i hvert fald ikke korrekt, hvis de ekstra penge som staten "giver ud" til øget forbrug er målrettet en bestemt befolkningsgruppe som f.eks. arbejdsløse eller personer der betaler topskat. Det lykkedes faktisk de bedste af grupperne at justere deres regneark, så parametrene i 1. runde adskilte sig fra parametrene i de øvrige runder.

Om 3 uger er det så AT i 1g, der står på programmet. Vi har diskuteret en del, hvordan vi kan få forklaret de nye elever, hvad det der AT er for noget. Vi lærere bruger jo altid en del tid på at få forklaret eleverne, hvad AT handler om. Men ikke desto mindre hører man igen og igen fra elever at det først i 3g, de rigtig forstår, hvad det går ud på.
Derfor havde vi, i den 1g-klasse jeg har, besluttet at prøve noget nyt, nemlig at lade 3g-eleverne forklare 1g-eleverne, hvad AT er, og hvordan de arbejdet med det.
Helt konkret fik hver af vores 3g-grupper i denne uge besøg af 3-4 1g-elever. Der var afsat 30 min til at 3g-eleverne forklarede AT for 1g-eleverne - både generelt men også deres konkrete emne.
Derudover var hver 1g-elev inde og høre en 3g-gruppes fremlæggelse af deres AT-projekt.
3g-eleverne var lidt skeptiske i starten, især over at 1g-elever skulle overvære deres fremlæggelse. Men det gik forbløffende godt og de umiddelbare kommentarer fra 1g-eleverne var meget positive. De fik både en fornemmelse af hvad AT handler om, men fik også oplevet, hvordan lærer/censor agerer under en sådan eksamen.
Så nu glæder jeg mig til AT1 med 1e - emnet er for øvrigt manipulation af tal, hvor eleverne i grupper skal lave en valgvideo for et givet politisk parti.

Quizprogrammet Socrative

Jeg syntes, jeg havde et behov for at få testet mine 1g-elever i forhold til de ting vi har gennemgået frem til efterårsferien.
Jeg oprettede derfor en quiz via hjemmesiden Socrative (Link). Læreren skal oprettes som bruger, mens eleverne blot bliver bedt om at indtaste lærerens "Room number", når de skal gennemføre quizzen.
Det er muligt at oprettet 3 typer spørgsmål:
 - sand/falsk med mulighed for angivelse af korrekt svar
- multiple choice med mulighed for angivelse af korrekt svar
- spørgsmål, hvor der skal svares med tekst.

Jeg kan løbende følge hvem der har udfyldt quizzen og jeg kan hurtigt tjekke de enkelte svar.



De grønne felter er korrekte svar, mens de røde er forkerte svar. De blå felter er tekstfelter, hvor jeg ikke har angivet noget korrekt svar.
Statistikken for hvert spørgsmål kan jeg desuden se ved at klikke på de enkelte spørgsmål.



Vi arbejdede efterfølgende med spørgsmålene i timen, hvor vi tog spørgsmålene et af gangen. Ved hvert spørgsmål diskuterede eleverne to og to, hvad det korrekte svar var.
I tekstspørgsmålene viste jeg eleverne alle indtastede svar (uden navne selvfølgelig) og jeg bad så eleverne finde de korrekte/forkerte svar samt finde det bedste svar.

Eleverne syntes det var en god lektie, idet de heldigvis også opfattede quizzen som en lille selvtest. Jeg synes quizzen fungerede godt som en forpligtende lektie, hvor alle elever også havde mulighed for at blive aktiveret ved selve gennemgangen af quizzen.
Det var intet problem at have quizzen kørende i 5 dage.
Når quizzen afsluttes, kan resultatet gemmes i f.eks. en Excel-fil eller jeg kan blot hente resultatet frem senere.
Socrative kan en del mere en beskrevet her - så opret dig som bruger og prøv dig frem. Siden er meget nem at gå til og har fornylig fået et flot layout. I forhold til mit tidligere indlæg "Quiz som lektielæsning" (Link), så er Socrative blevet forbedret en del.
På bloggen "Digital dannelse i Gymnasiet" har der også lige været et indlæg om Socrative, som beskriver en anden facilitet i programmet (Link)

Eksperimentarium, træningstelt, bevisbod og undervisningsstation

I min undervisning forsøger jeg at vise eleverne, hvordan en "matematiker arbejder". Derfor opererer jeg med følgende 4 stationer:
Eksperimentarium :
Det er her vi eksperimenterer f.eks. med computer og efterfølgende forsøger at opstille teorier/sætninger omkring det givne emne.
Træningstelt:
Her regner vi opgaver knyttet til emnet
Bevisbod:
Her arbejder vi mere deduktivt med at bevise påstande hørende til emnet
Undervisningsstation:
I denne station handler det om at formidle sin viden videre. Det kan være at forklare mere overordnet hvad man har lært, men det kan også være mere formel bevisførelse.

Jeg gør det klart for eleverne, at de første 3 stationer alle er med til at give dem en større kendskab til emnet. Eksperimentariet, træningsteltet og bevisboden supplerer således hinanden:

 

I 1g plejer jeg at tilrettelægge nogle af forløbene, således at eleverne selv kan bestemme på hvilken station, de vil starte deres indlæring om emnet. Jeg introducerer første gang denne arbejdsform, når vi går lidt mere bag om lineære funktioner.

Jeg starter altid med at forklare eleverne de forskellige stationer - jeg bruger den vedhæftede Powerpoint (Link)

Her er et eksempel på et arbejdsark, jeg har brugt til lineære funktioner (Link). Arket er konstrueret, så det er lige gyldigt, om man starter med Eksperimentariet, træningsteltet eller bevisboden.

Det er selvfølgelig meningen, at eleverne kommer rundt på alle stationer, men rækkefølgen kan eleverne selv vælge. Der kan også springes mellem stationerne - det kan måske hjælpe, hvis man går i stå i en given opgave.

Normalt er det ikke meningen at eleverne skal regne alle opgaver hørende til alle stationer. Det er op til eleverne, men der vil selvfølgelig være obligatoriske dele, så jeg er sikker på at eleverne har opnået den ønskede viden om emnet.

Det "sjove" er, at eleverne fordeler sig i tre næsten lige grupper, når man spørger dem, hvilken station de helst vil starte på, når der skal arbejdes med et nyt emne.

Det er selvfølgelig ikke altid, at jeg tilrettelægger timerne, så eleverne selv kan bestemme, hvilken station de vil arbejde på. Men at eleverne er så uenige om foretrukken station, gør, at jeg er meget bevist om IKKE at gennemgå stof på samme måde ved alle (del-)emner. Hvis jeg gjorde det, ville jeg forfordele de elever, som foretrækker samme arbejdsmetode som mig. Så derfor sørger jeg for at variere måden, hvorpå jeg arbejder med de enkelte (del-)emner. Nogle gange starter vi med at eksperimentere os frem til en række påstande, nogle gange starter vi med at regne opgaver, hvor jeg blot giver eleverne de relevante formler, hvis de ikke selv kan ræsonnere sig frem til dem og andre gange starter vi med den traditionelle teoretiske tilgang til emnet.

 

Formidling af matematik

For at eleverne ikke skal køre træt i den samme type skriftlige opgaver uge efter uge, kan formidlingsopgaver være en god afveksling.
Lad f.eks. eleverne skrive en artikel om et gennemgået emne, hvor målgruppen er personer, der ikke kender til emnet.
Prøv evt. at få dansklæreren til også at være med. I dansk skal eleverne bl.a. arbejde med formidling og artikelskrivning.
Mine 3g-ere har netop afleveret en sådan formidlingsopgave. Sammen med dansklæreren bad vi eleverne skrive en artikel til Illustreret Videnskab, som skulle omhandle et matematisk emne, de tidligere havde fået gennemgået. Det var et krav at en praktisk anvendelse af det matematiske emne skulle indgå og at der skulle være en faktaboks med et relevant bevis.
Vi ville i lille skala demonstrere for eleverne, hvordan man kan skrive SRP i fagene matematik og dansk.
I stedet for at vælge blandt gennemgåede emner kan eleverne også udfordre med selv at skulle sætte sig ind i et lille emne. Evt. kan eleverne beskæftige sig med en række forskellige emner. Dermed kan målgruppens være klassekammerater, der ikke kender emnet.
Ideer til sådanne emner kunne være:
     Gyldne snit, Fibonaccital, uendelighed, tallet Pi, vektorfunktioner, komplekse tal, ...

Mundtlig skriftlighed...

Mine 1g-ere har til i dag løst nogle opgaver omkring tangenter for at få det begreb bedre på plads og for at få trænet vores to matematikprogrammer Maple og Geogebra.
I stedet for at gennemgå lektien på tavlen, som de fleste elever vil opfatte som spild af tid og temmelig kedeligt, sætter jeg eleverne sammen to og to.
Lektien til eleverne var, at de skulle regne flest mulige opgaver på 20 minutter. Derfor vil jeg sammensætte eleverne i forhold til, hvor langt de er kommet på opgavearket.
Hver elev får et par minutter til at gennemlæse de regnede opgaver, hvor der specielt skal fokuseres på metoden.
Herefter skal eleverne i par regne spørgsmålene igen. På skift skal eleverne gennemgå et spørgsmål. Det gøres ved at elev 1 forklarer, hvordan spørgsmål 1 besvares og samtidig er elev 2 sekretær. Elev 2 må gerne stille spørgsmål men må kun nedskrive det som dikteres. Der skal skrives det som elev 1 siger - også selvom det er forkert.
Kun hvis elev 1 løber ind i problemer, må elev 2 hjælpe med selve løsningen.
I spørgsmål 2 skiftes der selvfølgelig, så det er elev 2 der forklarer og elev 1 er sekretær.
Tanken med denne øvelse er, at eleverne skal træne sproglig matematisk formidling og selvfølgelig også hvordan forskellige opgavetyper løses. Hvis en opgaveløsning italesættes, så er det min formodning, at eleverne bedre huske metoden. At eleverne arbejder sammen to og to betyder, at eleverne måske ser andre løsningsforslag og at de får trænet evnen til både at lytte til, forstå samt at formulere matematiksprog.

Flipped Learning - et nyt vidundermiddel?

Næsten uanset hvor man lige nu kigger hen i undervisningsverdenen, så tales der meget rosende om Flipped Classroom eller Flipped Learning. I sin stramme form handler det om at flytte lærergennemgang fra klasseværelset hjem til eleverne, således at undervisningstiden kan benyttes på at hjælpe eleverne med at arbejde videre med emnet. Det er meningen, at læreren optager sin gennemgang på video f.eks. som en screencast. Eleverne skal så hjemme se videoen inden næste time.
Sådanne videoer har selvfølgelig nogle åbenlyse fordele, idet eleverne igen og igen kan konsultere videoerne for at få hjælp. Og eleverne synes også det er en god form for lektie. Samtidig er det rart som lærer at kunne bruge mere tid på at hjælpe eleverne end ved at stå ved tavlen.
Jeg bruger selv metoden en gang i mellem - typisk ved introduktion til nye elementer i vores matematikprogram eller ved mere omfangsrige beviser, som er svære for eleverne at læse i en bog.
Men jeg synes ikke ubetinget det er en succes. Eleverne ser godt nok videoerne, men har de hovedet med? Det er dejlig nemt at se en video for så kan man sige, at man har lavet lektier. Min erfaring er at sådanne videoer kun kan bruges, hvis eleverne efterfølgende selv skal arbejde. Det er den eneste måde hvorpå de kan konstatere om stoffet er forstået. Så jeg mener ikke at man kan nøjes med at give eleverne en video for - den skal suppleres med spørgsmål som aktiverer/tjekker eleverne.
Måske kan man indlægge tænkepauser i videoerne. Det har jeg ikke selv prøvet, men det er da en overvejelse værd.
En anden fare ved for voldsom brug af flipped learning er, så vidt jeg kan se, at denne undervisningsform er endnu en lille brik i vores nursing af eleverne. Vi brokker os over at eleverne ikke er gode nok til at læse (faglige) tekster. Det bliver jo ikke bedre af, at vi omlægger forberedelsen og undervisningen, så mængden af læsning reduceres markant.
Så jeg mener ikke flipped learning er det nye store vidundermiddel som ukritisk skal implementeres i undervisningen.
Når det er sagt, så frigørelse af tid fra lærergennemgang i undervisningstiden absolut en positiv ting. Der findes dog andre måder at flytte fokus fra klasseundervisning til elevaktiverende undervisning, hvor det at få eleverne til at arbejde aktivt er i centrum.
Og så er der selvfølgelig lærerens arbejdstid. Det tager tid at optage videoer. I starten ville jeg gerne gøre videoerne perfekte, så optagelser hvor jeg ikke er klar nok i formuleringerne blev forkastet. Nu forsøger jeg med "one take". Det er ok, at eleverne ser, at jeg også kan formulere mig kludret.
Der findes utallige videoer på Youtube, som beskriver Flipped Learning/Classroom. I USA har Jessica Myxters netop afleveret Masterspeciale i pædagogik om Flipped Classroom i Matematik. Læs mere på bloggen IT i Gymnasiet (Link).

Forberedelse til skriftlig eksamen - fra skolestart

Som matematiklærere har vi et godt kendskab til opgavetyper, der sædvanligvis stilles til de skriftlige eksamener. Men den viden har eleverne ikke.
I år vil jeg derfor, når jeg giver mine 3g-ere hjemmeopgaver for, markere de opgaver, som er specielt relevante i relation til den skriftlige eksamen. Jeg angiver desuden det relevante emne opgaven hører til.
Jeg har derudover bedt eleverne om at oprette et Maple-dokument, hvor de skal samle deres disse opgaver i relation til de enkelte emner. Det er nemt i Maple, når sektioner benyttes.
Det bliver elevernes eget ansvar at opdatere dokumentet og jeg har ikke tænkt mig at kontrollere dokumentet. Opgaven skal først placeres i Maple-dokumentet, når de har fået mine rettelser retur.
Her i starten vil jeg  give eleverne lidt elevtid til at indarbejde mine kommentarer til deres besvarelse, så eventuelle fejl er fjernet inden opgaven lægges ind i Maple-dokumentet.
Det er vigtigt, at det er elevernes egne besvarelser, som placeres i Maple-dokumentet. Jeg vil under ingen omstændigheder udlevere skabeloner, der kan benyttes til løsning af opgaverne.
I dokumentet vil vi kun placere opgaver, der er relevante for delen med hjælpemidler. Det er ved denne del af eksamen, at et sådant dokument kan hjælpe eleverne.
Ideen er selvfølgelig også, at eleverne selv tilføjer opgaver/gode råd/... til deres dokument. Det skal være deres personlige dokument, som kan hjælpe dem ved den skriftlige eksamen.

Begrebsbanko

Jeg har lige været på hyttetur med min nye 1g-klasser.
Da vi inden turen talte om mulige aktiviteter, foreslog en elev brøkregning for sjov. Det gør man ikke ustraffet...
Jeg synes brøkregning er dybt uinteressant om end det jo er temmelig vigtigt ved løsning af opgaver og i beviser. Jeg satte mig derfor for at finde på en leg, hvor brøkregning trænes. Det endte med en brøkbanko:
Eleverne blev inddelt i grupper på 4-5 personer, hvor hver gruppe fik en bankoplade, hvorpå der stod 9 tal mellem 1 og 50.
Jeg havde desuden på sedler nedskrevet 50 opgaver med brøker. Disse sedler var nummereret A1, A2, A3, ... A50.
Jeg ville gerne have lidt aktivitet i legen, så svarene på de 50 opgaver blev tapet fast på 50 musemåtter, som jeg havde placeret lidt væk fra eleverne.
Princippet i legen var, at hver gruppe hentede en opgave, som de så løste. Jeg havde lavet et ark, hvorpå opgave og mellemregninger skulle angives. Formen var således:

Opgnr	Opgave og løsning	Bankonr
A1
A2
...

Når eleverne havde løst en opgave, skulle de finde musemåtten med det korrekte svar. På bagsiden af hver løsning, havde jeg så skrevet det tilhørende nummer til bankopladen.
Eleverne "bringer", så bankonummeret tilbage og håber det er med på deres bankoplade.
Nu hentes afleveres sedlen med den regnede opgave og en ny opgave vælges. Fremgangsmåden fortsætter indtil en gruppe har fået alle numre på deres spilleplade.
Eleverne gik meget op i spillet (måske fordi der er mange drenge i klassen), og de fik regnet/diskuteret en del brøkregning.
Det var dog lidt svært at holde dampen oppe mere end 15 min, så jeg stoppede spillet og vi var nødt til at tælle, hvem der havde flest "rigtige". Derfor vil jeg en anden gang vælge færre opgaver - sandsynligvis 30.
Jeg kan sagtens forestille mig at bruge spillet til andre "emner". Det kunne f.eks. være begreber, simple ligninger, potensregneregler, ...
Det er i hvert fald ikke sidste gang, jeg laver et spil af den type.

Tangent i starten af 1g

Som tidligere nævnt starter jeg normalt i mine nye klasser med funktioner og deres karakteristika. Og her er monotoniforhold et væsentligt begreb til at beskrive funktioners forløb.
Når eleverne er blevet fortrolige med monotoni-begrebet, introducerer jeg tangenter. I første omgang arbejder vi med tangenter i Geogebra, hvor det er nemt at få sådanne konstrueret. Samtidig kan eleverne undersøge tangenternes egenskaber ved at trække i punkterne på grafen, hvor tangenterne er placeret.
Koblingen til monotoniforhold og til  lineære funktioner, som eleverne har et vist kendskab til fra folkeskolen, fanger eleverne hurtigt. I hvert fald på det mere overordnede plan.
Når jeg inden længe introducerer Maple, så vil f '(x) ligeledes blive præsenteret. Jeg går ikke i dybden men forklarer blot eleverne, at Maple kan bestemme hældningen i x=2 ved at udregne f '(2). De finder selv hurtigt ud af at bestemme ekstremumspunkter ved at løse f '(x)=0 med solve.
Fordelen ved at introducere begrebet tangent og tilhørende opgaver gør, at eleverne er fortrolige med tangentbegrebet, når vi kommer til differentialregning. Differentialregning er jo svært nok i sig selv. Hvis eleverne allerede kender f '(x) og dens betydning, er de godt på vej. Emnet virker knapt så overvældende og underligt. Og så er der selvfølgelig også et fint pædagogisk argument i, at eleverne efter en del tid at have arbejdet med f '(x) som en "sort boks", lærer selv at bestemme f ' (x).
Den tidlige introduktion af f '(x) giver mig desuden mulighed for at stille langt flere interessante hjemmeopgaver til eleverne, idet optimeringsopgaver jo er i spil. Dermed har jeg også større mulighed for at give eleverne mere virkelighedsnære opgaver knyttet til deres studieretning..

Mundtlig træning som lektie

Jeg er nu kommet så langt med funktioner i min 1g-klasse, at de fleste centrale begreber er blevet præsenteret og trænet.
Jeg gav derfor hver elev en graf (havde 10 forskellige grafer) med hjem. Lektien var, at hver elev skulle beskrive funktionens udseende ved hjælp af de  matematiske begreber, vi har arbejdet med, således at klassekammeraterne kunne tegne den beskrevne graf.
Selv beskrivelse skulle eleverne indtale med programmet Vocaroo (link). Jeg kan godt lide Vocaroo, da det ikke kræver eleverne logger ind og så er det meget enkelt at gå til. Når indtalingen er overstået, gemmes lydklippet på en unik hjemmeside. Man kan også gemme lokale på computeren.
Bemærk at lydklip kun bliver liggende på Vocaroos hjemmeside et par måneder, så man skal benytte et andet program eller gemme optagelsen lokalt, hvis lydoptagelserne skal opbevares længere tid.
I mit Google Drev havde jeg desuden oprettet et dokument med redigeringsrettighed for alle, der kender linket. Dokumentet havde teksten Figur 1, Figur 2, ...
Eleverne fik linket til dokumentet og skulle så i dokumentet indsætte linket til deres beskrivelse under deres figur.

Eleverne havde kun fået en meget kort beskrivelse af, hvad de skulle gøre. Der var enkelte, som ikke kunne få det til at virke, men de langt hovedparten havde ikke haft tekniske problemer.
Brugen af dokumenter, alle kan skrive i, appellerer desværre også lidt til de barnlige sjæle. Der blev selvfølgelig også skrevet "sjove" (sjofle) kommentarer. Så jeg blev lige nødt til at fortælle eleverne, at de er startet i gymnasiet :-). Det havde nogle glemt.
I den efterfølgende time udvalgte eleverne 3 figurer som de ud fra lydklippene tegne. Herefter blev grafen sammenlignes med det korrekte udseende.
Var der mangler i beskrivelsen, skulle det noteres.

Mundtlig eksamen - kan det gøres bedre ?

Diskussionen om vores mundtlige eksamen i matematik på rimelig vis afspejler undervisningen dukker jævnligt op.
Vi skal i undervisningen træne elevernes problemløsningskompetence, men ved eksamen (skriftlig såvel som mundtlig) har denne kompetence en meget lille plads. Det synes jeg er synd.
Ved mundtlig eksamen i fysik (B- og A-niveau) haves en model, hvor eleverne først i grupper udfører eksperimenter (ca. 5 grupper arbejder samtidig), mens lærer og censor går rundt mellem grupperne og hører om deres eksperiment. Efterfølgende er eleverne til en traditionel individuel mundtlig eksamen.
Kan vi gøre noget lignende i matematik?
Jeg havde besluttet mig for at lade mine 3g'ere afprøve modellen med pararbejde omkring et projekt som deres første hjemmeopgave.
Jeg inddelte eleverne i to hold, hvor eleverne skulle danne grupper på 2 personer. Jeg havde så omlagt dele af den skriftlige opgave, således at hvert hold skulle være 90 min på skolen sammen med mig.
Som forberedelse til det omlagte modul skulle eleverne læse opgaveformuleringen igennem og tænke lidt over løsningsmetoder. Det var forbudt at starte på selve løsningen.
Opgaven gik ud på at designe et dige, hvor der var en nogle forskellige design krav. Det betød, at eleverne kom rundt om lineære funktioner, parabler, differentialregning samt integralregning.

Opgaven har jeg "hugget" fra en kollega - tak for ideen. Det ser således ud (Link).
I de 90 minutter var det planen, at eleverne i par arbejdede med opgaven, som skulle afleveres. Der var sat tid af til at få skrevet teksten ordentlig efterfølgende. Der skulle fokuseres på opgaveløsningerne i de 90 minutter.
De 90 minutter gik rigtig godt og jeg fik snakket en masse matematik med eleverne. I og med at mange emner kommer i spil i opgaven, så havde jeg også mulighed for at tale med de enkelte elever på deres niveau. Måske manglede der lidt ekstra udfordringer til de gode elever.
Det er selvfølgelig en balancegang, hvor meget man skal hjælpe eleverne, hvis det er i en eksamenssituation, men med små vink var det muligt også at få de svagere elever gennem opgaven. Specielt bestemmelsen af parablens konstanter drillede. Vi har nu heller ikke brugt megen tid på løsning af flere ligninger med flere ubekendte.
Jeg fik nok hjulpet mere end man bør gøre i en eksamenssituation, men nu var det første gang med en sådan "eksamen" for både mig og mine elever.
Jeg spurgte eleverne på første hold, om de kunne forestille sig en sådan eksamensform. Det var de meget positive over - de syntes det var sjovt at arbejde mere praktisk med matematikken. Så man også kan se det kan bruges til noget.
Jeg er ret sikker på, at jeg vil prøve denne form for aflevering flere gange i løbet af skoleåret. Det kræver blot at man finder nogle gode tværfaglige projekter.
I morgen møder hold 2 :-).

Differentialregning repetition - stamfunktion opstart

Integralregning står på programmet i 3g, så vi starter selvfølgelig med stamfunktioner og sammenhængen med differentialregning.
Til dagens time skulle eleverne repetere differentationsreglerne, samt lave 5 differentiationsopgaver der også skulle regnes.
I timen satte jeg eleverne sammen to og to. Første elev stillede den anden elev en af sine opgaver. Elev nr. to skulle nu differentiere funktionen og samtidig forklare hvilke regneregler, som anvendes. Dermed får jeg også mundtlighed på banen. Når opgaven er regnet sammenlignes de svar som elev 1 og 2 har fået og der "forhandles" om en entydig løsning, hvis der er uoverensstemmelse. Herefter byttede eleverne rolle.
Hvert par fik desuden udleveret 6 stykker papir, hvorpå de skulle angive opgaven på den ene side og svaret på den anden side. Jeg havde klippet et hjørne af i den ene side. Eleverne SKULLE så skrive funktionen, som skulle differentieret på den side af arket, hvor de afklippede hjørne er øverst til højre og svaret på den anden side. Dermed kan jeg nemt sortere arkene, så de oprindelige funktioner er på samme side.
Da opgavearkene var færdige, trænede eleverne lidt mere differentiation ved at trække forskellige opgaver.
Vi tog nu en kort snak om begrebet stamfunktioner og forsøgte at gætte nogle stamfunktioner hørende til funktioner, jeg havde skrevet til tavlen.
Efter lidt træning på tavlen blev eleverne igen sluppet løs med de konstruerede opgaveark. Denne gang skulle de gætte stamfunktion. Dvs. eleverne skulle tage udgangspunkt i funktionen på siden, hvor det afklippede hjørne var øverst til venstre.
Alt i alt en god time, hvor vi fik repeteret en hel del differentiation.
I næste modul vil vi give os i kast med at bevise regnereglerne for stamfunktioner.

Stationstræning

Nu har jeg snart fået skrevet så mange indlæg, at jeg ikke helt kan huske, hvad jeg tidligere har skrevet. Så undskyld mig hvis dette indlæg er en gentagelse...
Sidste år sluttede vi 2g af med at arbejde med parabler, så jeg tænkte at første time her efter ferien passende kunne bruges til at genopfriske de centrale elementer.
Vi arbejdede med andengradspolynomiets 3 former (Link):
f(x) = ax² + bx + c
f(x) = a(x - r₁)(x - r₂)
f(x) = a(x - p)² + q

Eleverne har som lektie repeteret de 3 former.
Vi starter timen med at eleverne individuelt nedskriver, hvad de kan huske til hver form. Når det er gjort udveksles karakteristika med en kammerat. Fokus er at eleverne på skift skal overbevise hinanden om de karakteristika, de har skrevet. Det er ikke nok blot at sige, hvad man har skrevet.
Klassen deles nu op i 6 grupper, som bliver placeret ved hvert deres bord. Til hver gruppe har jeg lavet nogle opgaver, som knytter sig til en af de 3 typer.
Hver gruppe nedskriver deres svar inkl. argument på et blank stykke papir.
Efter 10 min skifter alle grupper bord mens opgaveark og løsning blive liggende. Når der er løsningforslag tilgængelige, tjekker grupperne selvfølgelig deres svar med løsningsforslaget.
For at tvinge alle elever på banen, så vil jeg lade de første 3 minutter ved hvert bord være individuelle, hvor den enkelte elev selv skal forsøge at løse opgaverne. Mit håb er, at den indledende brainstorm kan hjælpe de svagere elever på sporet. Herefter arbejder hele gruppen sammen om den endelige besvarelse.
På hvert bord har jeg desuden lagt et ark med ekstraopgaver, som grupperne kan give sig i kast med, hvis de bliver færdige før tiden.
Du kan læse lidt mere om stationstræning på hjemmesiden Elevaktivering i matematik (Link)

Opstart i matematik - funktioner og samfundsfag

I min nye 1g-klasse (MA A, SA A, EØ C) vil jeg starte med generelle egenskaber ved funktioner. Det er vigtigt at få de centrale begreber hurtigst muligt på plads.
Da klassen har samfundsfag på A-niveau har jeg på statistikbanken (Link) fundet data for diverse nøgletal fra 1990 til 2013. Jeg har fundet data for BNP, import, eksport, indvandrere, inflation, udgifter til folkepension/kontanthjælp/SU, antal personer i Danmark, arbejdsløshed, beskæftigede samt antal fødsler (Link).
For hver af disse nøgletal har jeg grafisk illustreret udviklingen (funktion) dog uden at fortælle hvad grafen beskriver.
Hver elev får 3-4 forskellige figurer, hvis forløb de hjemme skal øve sig på at beskrive. Jeg vil også bede eleverne overveje, hvordan grafen fortsætter (vil jeg senere vende tilbage til, når regression kommer på banen).
I næste matematiktime skal eleverne for hinanden beskrive grafernes forløb - en forklarer og en anden tegner.
Efter de matematiske beskrivelser af figurerne får eleverne listen over figurernes betydning og de skal nu overveje om der kan være sammenhæng mellem nogle af figurerne.
Til sidst skal eleverne ved at kigge på de udleverede figurer undersøge om deres forslag til sammenhænge passer og måske finder eleverne nye sammenhænge.
Det er selvfølgelig meningen, at der bliver sneget lidt samfundsfag ind i diskussionerne.
Formålet med en sådan start er selvfølgelig at vise eleverne et eksempel på fagenes samspil, men også forsøge at illustrere forskelle. Hvad er forskellen på en graf i den matematiske verden og så en graf fra den virkelige verden, som vi forsøger at analysere matematisk.
Rent matematisk vil jeg vise eleverne, at vi har brug for præcise matematiske begreber til at beskrive funktioners opførsel - det er nemmere når vi "taler samme sprog".
I de kommende moduler skal eleverne beskrive mere komplekse funktioner og efterfølgende indføres centrale matematiske begreber.

En god skolestart - lektielæsning

I år starter jeg med en 1g-klasse i matematik på A-niveau. Studieretningen består af Samfundsfag A, matematik A og erhvervsøkonomi C.
Hvordan får jeg givet disse elever en god skolestart og en god matematikstart?
Min intro til matematik beskriver jeg i et andet indlæg - her vil jeg fokusere lidt på opbygning af gode arbejdsvaner primært lektielæsning..
Flere undersøgelser viser, at vi i matematikundervisningen taber drengene - også drenge som egentlig ikke er dårlige til matematik, når de starter i gymnasiet. Det er der en del forklaringer på. Se f.eks. rapporten "Gymnasiets drenge - matematikfagets drenge" fra 2011 (Link).
To vigtige faktorer i den forbindelse er motivation og lektielæsning:
Drenge er knapt som "autoritetstro" som pigerne. Hvis emnet ikke er interessant, har drengene en større tendens til at melde sig ud. Derfor fokuserer jeg i hvert fald i opstartsfasen meget på at gøre undervisningen relevant - gerne realistiske eksempler fra hverdagen - og helst i tilknytning til elevernes valgte studieretning. MEN jeg gør det også klart for eleverne, at alt ikke er lige sjovt og at man er nødt til at acceptere, at der også er noget hårdt arbejde, som ikke altid er lige sjovt. Man må yde før man kan nyde...
Jeg tror, det er specielt vigtigt, at eleverne får gode erfaringer med lektielæsningen. Det skal ikke kunne betale sig at springe lektierne over. Derfor er jeg meget omhyggelig med at give lektier for, som eleverne på en eller anden måde stilles til ansvar for i den efterfølgende time - nogle vil kalde det kontrol.
Det er også vigtigt at få forklaret eleverne, hvorfor lektierne er centrale. Og at selvom man ikke kan finde ud af hele lektien, så har man også lavet lektier, når blot man har givet det et ordentligt forsøg. Det skal selvfølgelig ikke være en snydevej at sige, at man ikke kunne finde ud af lektien. Så  ved problemer med en lektie, forventer jeg at man har nedskrevet, hvad man ikke kan finde ud af. Nogle gange beder jeg også eleverne nedskrive, hvor de har søgt hjælp.
Et par ideer til forpligtende lektier kan være:
1) Eleverne skal besvare en online quiz hjemme (f.eks. i Socrative (www.socrative.com) eller en oprettet Google formular).
2) Eleverne konstruerer selv relevante opgaver hørende til det gennemgåede - egne opgaver regnes også hjemme. Opgaverne udveksles i den kommende time.
3) Eleverne skal regne forskellige opgaver, som så udveksles i den kommende time
4) Bed eleverne skrive noget ned - gerne på papir. Så er det nemt at konstatere, hvem der ikke har læst lektier.

Ved mere traditionelle lektier kan man ved timens start sætte eleverne sammen to og to, hvor de skal arbejde med lektien - f.eks. forklare hinanden, hvordan opgaven løses. Eller man kan starte timen med at lade eleverne individuelt nedskrive hovedkonklusionerne på lektien.

Det er vigtigt at eleverne hurtigt finder ud af, at det ikke er sjovt, hvis man ikke har lavet sit hjemmearbejde.

Jeg er desuden meget opmærksom på, at lektielæsningen ikke bliver for svær og for omfangsrig. Eleverne skal også have gode erfaringer med lektierne. Derfor forventer jeg også kun, at eleverne bruger 20 minutter intensivt på lektielæsningen. Det er ok, hvis de ikke når hele lektien på 20 minutter, men der skal bruges 20 minutter!
Lektien kan f.eks. differentieres ved: "Regn flest mulige af opgaverne på 20 min"

På bloggen 111 variationer til undervisningen ligger indlægget Gør lektielæsningen autentisk (Link), hvor nogle af de samme tanker omkring lektielæsning diskuteres.

Matematiklyftet

Sverige har som i Danmark sammenlignet med mange andre lande svært ved at opnå tilfredsstillende resultater i Pisa-undersøgelserne - i hvert fald set fra et politikersynspunkt.
Derfor har man i Sverige iværksat et stort efteruddannelsesprogram for lærere i folkeskolen, gymnasiet og for voksenundervisning.
Kurset knyttet til matematik kaldes Matematiklyftet og dets hjemmeside er matematiklyftet.skolverket.se/.
Kurset er opbygget omkring en række moduler, som lærerne arbejder med på deres egen skole - typisk i små grupper hvor erfaringer-, ideer, projektforslag, ... udveksles. Til hver af disse grupper er tilknyttet en matematikvejleder, som gruppen sparrer med i løbet af skoleåret. Hvert modul består af nogle artikler samt ideer til aktiviteter, der kan afprøves på egne hold.
Kompetencebegrebet, som vi også kender fra Danmark, er i fokus i kursets moduler. Derudover er elevaktivering og kommunikation som læringsmiddel centralt.
Artiklerne er oftest noget overordnede og beskriver i generelle vendinger, de ting man skal være opmærksom på i undervisningen. Nogle artikler har dog eksempler på specifikke opgaver til eleverne, hvor udvalgte kompetencer kan trænes. Jeg kunne godt have tænkt mig at artiklerne var langt mere konkrete i relation til, hvordan de gode råd konkret kan implementeres i undervisningen.
En ting har jeg dog taget med mig. Vi skal passe på med kun at stille opgaver til eleverne, hvor metoden er givet på forhånd. Vi er nødt til at udfordre eleverne med opgaver/projekter, hvor løsningsmetoden ikke er oplagt.
Artiklerne synes jeg dog for det meste er gode til at sætte gang i mine tanker omkring min undervisning og det er jo altid en god ting.
Et eksempel fra artiklerne er at eleverne skal bestemme arealet af spild mælk (se figur nedenfor). Her kan mange strategier anvendes - trigonometri, summer, regression og derefter integral, ...
Jeg har ikke helt fundet ud af hvordan jeg vil benytte opgaven endnu. Mere herom senere.

Et nyt skoleår "truer"

Så nærmer hverdagen sig så småt. Som sædvanlig her op mod skolestart er mit hoved fyldt med tanker om, hvordan jeg vil tilrette undervisningen i dette skoleår. I første omgang selvfølgelig hvordan skoleåret skal indledes. Specielt når jeg skal starte med en ny klasse, er starten vigtigt.
Hvordan får jeg hurtigst muligt "lært" nye klasser, at (min) matematik handler om:
- at (sam-)arbejde
- at være åben
- at eksperimentere
- at søge hjælp
- at være aktivt deltagende i timerne
- ikke at give op
- at lave sine lektier
...
Som det fremgår af tidligere indlæg, er mit store mantra, at eleverne skal kommunikere matematik mest muligt. Derfor går mine overvejelser i planlægningen i høj grad på, hvordan jeg får aktiveret eleverne, så kommunikation kommer i centrum.
Jeg har i ferien læst artiklerne knyttet til Sveriges store efteruddannelsesløft af matematiklærere (Link - eller mit indlæg Matematiklyftet). I en af artiklerne angives det, at vi som matematiklærere har været alt for fokuseret på hvordan - altså hvordan løser vi f.eks. en opgave af given type. Artiklens forfattere opfordrer til, at der bruges meget mere tid på hvorfor. Dermed kommer argumentation meget mere i spil.
Min erfaring er, at vi bruger hvorfor rigtig meget i forbindelse med bevisførelse og argumentationstræning. Men hvorfor kan også bruges ved opgaveregning. hvorfor bruger du denne formel? Hvorfor bruger du denne metode? Hvorfor er f'(4) = 2? Ved at tvinge eleverne til at argumentere vil deres matematiske forståelse blive yderligere udfordret, så f.eks. opgaveregning ikke blot bliver at følge en opskrift.
Så i år vil jeg i endnu højere grad i matematikundervisningen bruge hvorfor.

Skriftig eksamen - opgaveretning

Så blev det tid til censur af skriftlige opgaver. Når jeg censurerer disse opgaver, får det mig altid til at tænke over, om jeg har forberedt mine elever godt nok til den skriftlige eksamen.
Jeg undrer mig ofte over de besvarelser, jeg modtager. Kunne vi som lærere have forberedt eleverne bedre til den skriftlige eksamen.
Jeg ser rigtig mange opgaver hvor formalia ikke er i orden og det koster eleverne mange point. Bliver eleverne trænet nok i "de 5 pinde"?

Jeg har tidligere skrevet om, hvordan jeg træner og evaluerer disse pinde, når eleverne afleverer opgaver i løbet af skoleåret (Link til Trafiklys ved hjemmeopgaver).
En anden ting der slår mig, når jeg censurerer, er mange elevers manglende overordnet matematisk viden. I dette års HF B sæt er der i delen uden hjælpemidler en graf med en funktion, som tydeligvis ikke er lineær. Alligevel er der foruroligende mange elever, som parrer grafen med den lineære forskrift, der er angivet i opgaveteksten.
Hvad er det som går galt her?
Måske bruger vi for meget energi på at regne opgaver i stedet for at arbejde med matematik. Jeg vil i hvert fald forsøge at inddrage mere "overordnet" matematik i min undervisning.
Vi skal efter min mening have eleverne til at tale matematik i langt højere grad - også omkring noget som traditionelt opfattes som skriftligt pensum. På den måde tror jeg eleverne får en større overordnet matematisk forståelse, og det er jeg sikker på vil hjælpe til den skriftlige eksamen.
Jeg vil til næste år fokusere væsentlig mere på "overordnet matematik", som f.eks. karakteristika ved funktioner, hvad betyder...? men også at træne eleverne i at se mere teoretiske sammenhænge.
Traditionelt er vi meget fokuseret på detaljer i forbindelse med bevisførelse. Dermed er der fare for at eleverne mister overblikket over strukturen i beviset. En fokus på bevisernes mere overordnede struktur sammen med detaljerne selvfølgelig, tror jeg også, kan være med til at styrke elevernes overordnede matematikviden.
Nå - jeg må vist hellere tilbage til opgaveretningen.

Matematiklyftet - når jeg får tid

I hele Norden er der fokus på bl.a. elevernes manglende matematikkundskaber. Lige som i Danmark har Sverige og Norge også iværksat ekstra tiltag for at styrke elevernes matematiske evner.
Jeg har netop været til en konference, hvor de 3 landes tiltag blev præsenteret.
I Sverige er der bl.a. lavet en stor læringsportal (Link) med både pædagogiske og mere specifikke tips til enkelte emner. Den direkte indgang til materialet hørende til gymnasieskolen er her - link.
Desuden kan lærerne få tid til at deltage i erfaringsudviklingsgrupper på skolerne (typisk 4-8 personer)  med en form for matematikvejleder som konsulent. Der er afsat 1½ time om ugen til møde i disse udviklingsgrupper.
Modul A, B, C og D som beskrives på hjemmesiden er i relation til disse grupper.
Der er en del materiale, som jeg desværre ikke har tid til at kigge på nu, men i en ledig stund vil jeg helt sikkert løbe dokumenterne igennem. Måske er der ikke så meget nyt, men der vil sikkert være nogle gode ideer, som jeg har glemt. Repetition er en god ting.
Som inspiration har er her linket til alt materiale om problemløsning (Link). Under hvert modul findes i højre side et link til en samlet pdf med alt indhold i modulet.

2. grads polynomier

Jeg har netop som årets sidste emne i 2.g gennemgået andengradspolynomier.
Forløbet har så vidt muligt været tilrettelagt eksperimenterende bl.a. ved hjælp af Geogebra, hvor eleverne skulle eksperimentere sig frem til karakteristika, som så efterfølgende skulle bevises.
Ud over de sædvanlige beviser for konstanternes betydning, toppunktsformlen og formlen til løsning af andengradsligningen har vi også kigget på symmetri, faktorisering, forskydning af ax² samt hvad der sker med toppunktet, når der kun varieres på henholdsvis a og b.
Alle har selvfølgelig arbejdet grundigt med de "obligatoriske dele", mens de bedre elever har haft mulighed for at fordybe sig i nogle af de lidt mere specielle karakteristika.
Eleverne har 2 og 2 arbejdet med dokumentet Andengradspolynomier. Undervejs har eleverne erfaringsudvekslet og arbejdet med beviser på tværs af grupperne.
Vi afsluttede forløbet med at lave en hjemmeside om andengradspolynomier, hvor eleverne valgte sig ind på emnerne karakteristika, toppunkt og monotoni, rødder, faktorisering og specielle egenskaber.
Desværre er eleverne ikke helt så aktive/deltagende i timerne her sidst på året, så hjemmesiden blev ikke helt så god som forventet. Måske jeg skal starte her til i 3g.

Slå først-Quiz

I forbindelse med træning til skriftlig eksamen uden hjælpemidler, oplever jeg at mange elever har problemer med at huske værdierne på log(10), a⁰, ln(e), ...
Jeg besluttede mig derfor for at lave en lille quiz, hvor svarene på spørgsmålene skulle være 0, 1 eller "Noget andet" (brugtes jeg til fælder). Jeg fik ideen til quizzen fra Sidsel Nonnemanns indlæg Slå-først Quiz.
Jeg gjorde på følgende måde:
Quizzen kører på storskærm, hvor jeg styrer hastigheden på spørgsmålene. Jeg har lavet følgende Powerpoint-præsentation - Link.
Eleverne dyster mod hinanden 2 og 2 - lad eleverne gå sammen med en de gerne vil udfordre (samme matematiske niveau). Foran sig har de et A4-papir, hvor der står 0, 1 samt ”andet”.
Når første opgave vises skal man hurtigste muligt placere sin hånd på det korrekte svar.
Hurtigste mand får to point for korrekt svar
Anden mand får et point for korrekt svar
Tilsvarende er der 2 minuspoint forkert svar.
Efter hvert spørgsmål snakkede vi om det korrekte resultat.
Langt de fleste af elevernes syntes det var en sjov quiz, men det var for nogle lidt svært at bevare koncentrationen til sidst, så næste gang vil jeg nok kun lave 15 spørgsmål. Et tidsforbrug på ca. 15 min vil jeg mene er passende.
Et eksempel på et spørgsmål (vi havde lige talt om andengradspolynomier):

 

 

Quizzen kan selvfølgelig også lave, så eleverne på deres ark skrive 1, X og 2. Til de enkelte spørgsmål laver man så 3 valgmuligheder.

Forberedelse til mundtlig eksamen

De sidste par gange, hvor jeg har afsluttet matematikhold, har holdet i fællesskab lavet en hjemmeside med ideer til dispositioner til de enkelte eksamensspørgsmål. Dermed har alle i klasse adgang til forslagene til disponering af de enkelte eksamensspørgsmål.
Typisk vil eleverne blive inddelt i hold på 2-3 personer, som så skal arbejde med et givet spørgsmål. På hjemmesiden skal hvert hold indtaste:
- Pensum: Hvor er det relevante materiale?
- Indledning: Hvad kan en god indledning indeholder?
- Beviserne: Hvilke skal med og hvilke kan inddrages? Og hvor findes beviserne?
- Evt. perspektivering:
- Hvad kan den generelle samtale i den sidste del af eksaminationen handle om?
Derudover opfordres eleverne til at "vedlægge" dokumenter, videoer og andre relevante materialer til hvert emne.
Hjemmesiden laves i Google Sites, hvor vi i tidligere har oprettet fagspecifikke hjemmesider, så eleverne er allerede fortrolige med mediet.
Jeg laver skabelonen til hjemmesiden, som blot består af et menupunkt til hvert spørgsmål.
Hjemmesiden for mine 3g'ere ser således ud:

Leg og matematik med samfundsfag/erhvervsøkonomi

Jeg har med min 2g-klasse kørt et lille forløb om prisoptimering i forbindelse med måde monopol og duopol.
Matematikken bag handler om sammensætning af funktioner og optimering. Bl.a. optræder andengradspolynomiet. Så jeg har brugt dette lille forløb som optakt til mere detaljeret arbejde med andengradspolynomier.
I forbindelse med konferencen om Matematik B i gymnasiet, som blev afholdt på Mulernes legatskole, har jeg lavet det denne version af projektet: Link
Som opstart til delen med duopol lavede vi et lille "spil":
Eleverne fik opgivet funktionen S_E = 50 - 0,5p_E + 0,5p_H , hvor S_E er deres salg, p_E er deres pris, mens p_H er konkurrenten Hugos formodede pris. Samtidig fik de af vide, at omkostningen pr. enhed er 0,8 kr.
Eleverne skulle nu i par gætte på Hugos pris og ud fra det bestemme deres egen optimale pris.
Eleverne fik så en modstandergruppe, som de udvekslede priser med. Ud fra disse faktiske priser skulle hver gruppe udregne deres salg, aktuelle indtjening samt hvilken pris der havde været optimal at vælge.
Grupperne foretager nu et nyt gæt på Hugos pris (modstandergruppen) og bestemmer igen sin egen optimale pris i relation hermed. Grupperne udveksler priser og gentager beregninger - husk det skal være de samme grupper som er parret i hele spillet.
Denne proces fortsætter et vist antal omgange og håbet er selvfølgelig, at eleverne får eksperimenteret sig tættere og tættere på ligevægtsprisen.
Det er vigtigt, at eleverne har fokus på optimal indtjening, så de ikke bare gætter priser i blinde.
Eleverne syntes det var en sjov leg, men vær opmærksom på at det tager en del tid. Jeg havde afsat 90 min og det var ikke rigtig nok. Beregningerne tog noget tid.
Måske vil det være smart at lade eleverne lave en skabelon f.eks. i form af et regneark, så beregningerne klares hurtigere.

Så blev der lidt tid...

Der har godt nok været temmelig travlt på det sidste, så jeg har ikke rigtig fået skrevet noget her inde.
Nu har jeg fået lidt mere tid, så jeg vil prøve at samle lidt op på, hvad jeg har lavet med mine klasser den seneste tid.

Beviser på smartpen

I stedet for at lade eleverne læse beviser i bogen, bruger jeg nogle gange en smartpen-præsentation(http://www.livescribe.com/ eller http://www.smartpen.dk/) som lektie.
Fordelen ved sådanne præsentationer er, at der knyttes mundtlige kommentarer til teksten.
Smartpen fungerer ved, at der skrives med en speciel pen på et specielt type papir. Pennen indeholder mikrofon og kamera, således at pennen bl.a. husker, hvor og hvornår der skrives på papiret, hvilket kobles med det som indtales. Alt dette kan nu gemmes i pdf-format, som kan afspilles dynamisk med Acrobat Reader version X eller senere. Acrobat Reader er gratis - programmet kan hentes her (husk at fravælge det valgfrie tilbud!).
I dette konkrete tilfælde skulle eleverne arbejdet med projektion af vektor på vektor - præsentationen ligger her. Filen skal downloades og åbnes i Acrobat Reader for at få det optimale udbytte - klik på teksten.
Jeg bad eleverne gennemhøre beviset for projektion af vektor a på vektor b. Lektien til dagens time var så, at de skulle kunne gennemgå beviset for projektion af vektor b på vektor a. Det var med vilje, at jeg byttede rundt på vektorerne. Det skulle få eleverne til at være mere opmærksomme og så ville de være nødt til at skrive noter.
Jeg syntes det fungerede godt - eleverne havde forstået langt det meste af beviset.
Skærmbillede af et lille udsnit af smartpen-præsentationen:

Feedback på hjemmeopgaver

Vi matematiklærere bruger rigtig mange timer på at rette hjemmeopgaver. Jeg tænker ofte over om den tid jeg bruger på at rette opgaverne også er noget, som kommer eleverne til gode. Hvor meget tid bruger de på at gennemse og overvejer vores rettelser. Og lærer de af rettelserne?
Jeg har tidligere skrevet om mundtlig feedback på hjemmeopgaver for at skærpe elevernes arbejde med rettelser.
En anden mulighed er at lade eleverne genaflevere (dele af) hjemmeopgaver. Det kan være fint ved typiske eksamensopgaver. Ved genaflevering er det vigtigt, at eleverne som ved første aflevering havde lavet gode besvarelser, får andre opgaver. En genaflevering skal ikke være en straf for svage elever. Alternativt kunne man i kommende hjemmeopgave lade eleverne vælge om de vil genaflevere en given central opgave eller regne en ny opgave.
For at holde lidt øje med om eleverne tager mine rettelser til sig, skriver jeg til hver aflevering nogle generelle kommentarer om besvarelsen. Disse gemmes i elevens kommentarark, så jeg og eleven kan se tidligere givne kommentarer.
Det giver mig mulighed for at se om eleven bliver bedre. Og eleven kan nemt få et overblik over tidligere overordnede kommentarer. Eleven behøver ikke kigge i alle tidligere besvarelser for at finde kommentarerne.
Et eksempel på et kommentarark ses nedenfor:

Ved nogle hjemmeopgaver beder jeg eleverne kigge deres kommentarark igennem, hvorefter de som det første af afleveringen skal angive 5 fokuspunkter, de har i denne besvarelse. Det plejer at fungere efter hensigten.

Trafiklys ved hjemmeopgaver

 Vi har jo følgende 5 pinde, der skal tages hensyn til ved bedømmelse af skriftlige opgavers stil:

Det kan være svært at få eleverne til at medtage relevante ledsagende kommentarer i deres hjemmeopgaver. Jeg har derfor indført et trafiklys, hvor jeg netop vurderer kvaliteten af de 5 pinde i elevernes afleveringer. Et eksempel ses nedenfor:

Farverne betyder: dårligt (rød), nogenlunde (gul) og fint (grøn). Den grå farve benyttes, hvis pinden ikke har været i spil i den aktuelle besvarelse.

Jeg udfylder ikke trafiklyset ved hver aflevering (tager lidt tid), men gør det en gang i mellem.

Den grafiske fremstilling er med til at give eleverne større fokus på pindene og samtidig har både de og jeg en nem mulighed for at se, om der er sket en forbedring.

Skolens afleveringssystem har indbygget trafiklys, så det er temmelig nemt og hurtigt at anvende. Jeg skal blot oprette de kategorier, jeg vil anvende i trafiklyset. Det kræver selvfølgelig lidt mere arbejde at bruge trafiklys, hvis man selv skal håndtere systemet.

Dokumentdeling som lektie

I 2g er vi i gang med vektorer og er nået frem til de forskellige måder at opskrive linjer på. Min erfaring er, at eleverne ofte i hvert fald i starten har svært ved at huske hvilke informationer, som kan trækkes ud af linjens ligning og linjens parameterfremstilling. Og det er jo centralt, når der skal løses opgaver, hvor linjer indgår.
Jeg har derfor oprettet et dokument, som jeg har placeret i klassens Google Drev. Dermed har alle elever adgang til at indtaste i dokumentet - oven i købet samtidig. I dokumentet har jeg placeret en række generelle spørgsmål, der hører til linjer. Spørgsmålene står nederst i dette indlæg.
Lektien er nu, at eleverne skal beskrive løsningsmetoden for et af punkterne samt tjekke/forbedre to af de øvrige indtastede løsningsmetoder.
Eleverne skal skrive navn på både den løsningmetode de har indtastet, samt de løsningsmetoder de har tjekket.
Jeg synes desuden, det er vigtigt at træne eleverne i at forklare løsningsmetoder til hinanden. Hvis man kan forklare en metode generelt, så er det en indikation på, at man har forstået opgaven.
Igen en metode til at holde eleverne fast på at de altså skal lave lektier. Og at jeg nemt kan se, hvis det ikke er tilfældet.
Det er så planen, at eleverne skal arbejde med de indtastede løsningsforslag i den kommende matematiktime.

Spørgsmålene i dokumentet:

Opskrivning af ligning og parameterfremstilling

1.       Opskriv parameterfremstilling for linjen, når to punkter er kendte.
2.       Opskriv ligningen for linjen, når to punkter er kendte
3.       Omskriv parameterfremstilling for linjen til ligning for linje.
4.       Omskriv ligning for linje til parameterfremstilling for linje (gæt nødvendigt)

Vinkel mellem to linjer:

5.       Linjerne er givet på parameterfremstillingsform
6.       Linjerne er angivet med ligninger.
7.       Den ene ligning er på parameterfremstillingsform, mens den anden er givet ved en ligning.

Vinkelrette linjer:

8.       Linjer opskrevet som ligning (ax + by + c = 0 eller lignende).
9.       Linjer opskrevet som parameterfremstilling.
10.   Ligninger opskrevet som henholdsvis parameterfremstilling og ligning.
11.   Bestem den manglende koordinat (a eller b) for at to linjer bliver vinkelrette på hinanden.
12.   Bestem forskrift for linjen gennem givet punkt og vinkelret på anden kendt linje

Parallelle linjer

13.   Linjer opskrevet som ligning (ax + by + c = 0 eller lignende).
14.   Linjer opskrevet som parameterfremstilling.
15.   Ligninger opskrevet som henholdsvis parameterfremstilling og ligning.
16.   Bestem den manglende koordinat for at to linjer bliver parallelle
17.   Bestem forskrift for linjen gennem givet punkt og parallel med anden kendt linje

Eksamensspørgsmål som projekt

Med mit 3g-hold er vi nået frem til logistisk vækst. Vi har tidligere kigget på generelle karakteristika ved differentialligninger, arbejdet med y' =ky samt bevist separation af variable.
Gennemgangen af logistisk vækst har jeg besluttet mig for at vende lidt på hovedet, idet jeg vil starte med at give eleverne det spørgsmål om logistisk vækst, jeg planlægger at bruge til holdets mundtlige eksamen.
Eleverne skal nu i par ud fra deres nuværende viden om differentialligninger samt via en række opgaver og eksperimenter konstruere en hjemmeside (Google sites), der skal indeholde de dele som hører til en fremlæggelse af eksamensspørgsmålet.
På hjemmesiden må eleverne selvfølgelig gerne placere videoer, de selv har optaget.
Oplægget til eleverne ligger her: Link
Elevernes hjemmesider afleveres som en hjemmeopgave.

Hjemmeopgaver til de gode elever

Jeg oplever tit, at de gode elever synes hjemmeopgaverne er meget kedelige, og at der er alt for mange gentagelser. Det synes jeg er synd, for det kan være med til at dræbe disse elevers interesse for matematik. Derfor er det vigtigt, at der også er udfordrende opgaver til de gode elever i hjemmeopgaverne. Det kan gøres på mange måder. Her er et par eksempler:
1) Giv eleverne for mange opgaver i forhold til elevtiden. Lad så eleverne selv vælge, hvilke opgaver de vil regne. Læreren kan evt. markere opgaverne med sværhedsgrader.
2) Lad nogle opgaver være frivillige.
3) Lad nogle opgaver have det prædikat at de kun skal regnes, hvis eleven ikke allerede har brugt den afsatte tid på de regnede opgaver.
De ekstra opgaver kan være svære opgaver fra tidligere eksamenssæt, men det kan også være lidt skæve opgaver, der udfordrer eleverne lidt utraditionelt i forhold til sædvanlige opgaver. Hertil kan man f.eks. bruge gamle Georg Mohr opgaver - ofte får eleverne uden svarmuligheder. Den norske Abelkonkurranse er en anden mulighed for utraditionelle opgaver.
I denne uge har jeg fundet denne lille opgave:
Lad os tage et tre-cifret tal (f.eks. 436)
Skriv tallet to gange efter hinanden, så du får et seks-cifret tal (her 436436)
Der gælder nu at 7, 11 og 13 går op i det nye tal (436436/7=62348, 436436/11=39676 og 436436/13=33572)
Det "underlige" er, at uanset hvilket tre-cifret tal du starter med, så går 7, 11 og 13 altid op i tallet!
HVORFOR?????
Kan man gøre noget tilsvarende med fire-cifrede tal?

Tilsvarende burde man også tilbyde de dårligere elever mulighed for hjælp til løsning af opgaver. Det kunne være i form af hjælpespørgsmål. Det har jeg ikke selv været særlig god til. Hvis jeg giver tips til løsning af opgaver, så har alle eleverne fået tippet. Det er måske igen lidt synd for de gode elever at de får løsningsmetoden foræret.
Et hjælpeark som eleverne kan søge assistance i ved problemer kunne være en mulighed, men det tager jo tid at udarbejde et sådant ark så...

Lav opgaver som lektie

I timen i dag havde jeg planlagt, at eleverne skulle træne bruge af deres IT-program (Maple) til at løse vektoropgaver.
I stedet for at give eleverne nogle opgaver de skulle regne hjemme, så bad jeg eleverne digte nogle opgaver, der benyttede udvalgte kommandoer i Maple. De skulle desuden regne deres egne opgaver hjemmefra - løsning kan passende skjules i en sektion (man kan skjule afsnit i Maple), så den ikke umiddelbart er synlig, når klassekammerater løser opgaverne.
I timen satte jer eleverne samme to og to. To elever havde ikke lavet lektier (den ene havde nu en god forklaring), så de fik lov til at passe sig selv. Jeg tror de følte sig lidt uden for - håber det er med til at fremme lektielæsningen, selvom det nu sjældent er et problem i den klasse.
Eleverne arbejdede i par med deres opgaver på følgende måde:
Den ene elevs opgaver blev åbnet i Maple. Eleven som havde lavet opgaven var sekretær, mens kammeraten dikterede, hvordan opgaverne skulle løses.
Dermed fik vi både trænet elevernes mundtlighed og eleverne fik desuden mulighed for at udveksle forskellige stile ved opgaveløsning.
Elevernes syntes det var sjovt med en lidt anderledes måde at lave lektier på.

Diskussion som del af lektie

I 2g. var det efter projekt om skalarprodukt tid til at få introduceret enhedsvektor og tværvektor.
Jeg havde som lektie bedt eleverne om at komme med bud på koordinaterne på disse to vektorer. Som hjælp fik de udleveret det vedhæftede arbejdsark (link).
Det var vigtigt at eleverne selv prøvede at bestemme formlerne men også at de kunne opstille hvilke egenskaber deres bud på koordinater skulle opfylde. I den efterfølgende time undersøgte (beviste) eleverne i grupper, om gættene var korrekte. Det gav nogle gode diskussioner, og jeg tror desuden eleverne fik en bedre fornemmelse for karakteristika ved tværvektor og enhedsvektor.
Som et forsøg havde jeg oprettet to hjemmesider (til enhedsvektor henholdsvis tværvektor) på todaysmeet.com hvor jeg opfordrede eleverne til at udveksle deres ideer mens de forberedte sig. Det resulterede i en del sjove ideer. Jeg blandede mig også lidt i diskussionen.
Ideen var igen at få eleverne til at lave deres lektier. Jeg havde ikke stillet krav om at man skulle skrive noget på hjemmesiderne, men jeg opfordrede eleverne til at skrive deres tanker ned.
Todaysmeet er en simpel hjemmeside, hvor man nemt kan oprette samtaler. Deltagerne i samtalerne skal blot have linket af vide og så kan alle skrive. Beskederne skal være korte - højest 140 tegn.
Et eksempel:

Quiz som lektielæsning

Får eleverne regnet de opgaver, de har fået for hjemme? Jeg er lidt bange for at for mange sidder og gemmer sig i timerne, hvis det er muligt.
Jeg gør meget ud af at eleverne føler sig udenfor, hvis de ikke har læst lektier. Det er vigtigt at få opbygget en kultur i klassen, hvor man laver sine lektier.
En (sjov) måde at tjekke om eleverne laver lektier er at lave en online quiz, som de skal besvare hjemme. Så kan jeg se, hvem der laver lektier og hive fat i de elever, som ikke har besvaret quizzen.
Jeg bruger hjemmesiden Socrative. Når jeg som lærer registrerer mig, får jeg tildelt et Room number. Det er blot dette nummer, jeg skal give eleverne, når jeg vil have dem til at besvare en quiz. Jeg laver blot quizzen (spørgsmålstyper: multiple choice og tekstfelt - det er muligt at indsætte billeder) og starter den. Quizzen kan sagtens være åben over flere dage.
Jeg havde lavet en lille quiz i vektorer til min 2g-klasse, blot for at tjekke om det mest basale var på plads. Det tror jeg, eleverne syntes godt om.
Når quizzen stoppes, kan resultaterne gemmes i et Excel-regneark. Hvis jeg ved oprettelsen af spørgsmålene har angivet de korrekte svar, vil de korrekte svar være markeret med grøn baggrund og "forkerte" svar med rød baggrund. I opgaver, hvor tekstsvar skal indtastes, kan man også indtaste korrekt svar, men så skal det indtastede tegn for tegn være identisk med det korrekte svar. Derfor kan korrekte svar godt være angivet som forkerte - f.eks. hvis der er indsat et ekstra mellemrum.
Ved at vise eleverne alle indtastede svar (selvfølgelig uden elevnavn) kan man sætte eleverne til at diskutere svarene. Hvilke af de forkert-markerede svar er faktisk korrekte? Hvad har eleven tænkt, der hvor svaret er forkert?...