Godt nytår

Så er der atter gået et år - og dermed er også min blog blevet et år ældre.
Det har været et travlt år, hvilket også kan ses på specielt antallet af indlæg, jeg har fået skrevet her i efteråret. Det er desværre ikke blevet til så mange indlæg, som jeg havde håbet på.
Som en lille nytårshilsen har jeg dog ud over dette indlæg skrevet to faglige indlæg i dag.
Jeg kan desværre ikke love, at der bliver mere tid til at skrive indlæg i foråret. Jeg synes allerede, jeg er booket godt op. Hvis det kommer til at knibe for meget med tiden, vil jeg overveje at nedlægge bloggen.
Godt nytår til alle

M.v.h..
Jes

Kvadratsætninger - klip et bevis

Hvordan får man lært sine elever kvadratsætningerne?
Efter mange års forsøg er det ikke rigtig lykkedes mig særligt godt. Når jeg taler med eleverne om kvadratsætningerne, så er de helt med på, at de skal huske det dobbelte produkt, men når jeg så spørger eleverne i den efterfølgende time, er det dobbelte produkt på forunderlig vis forsvundet ud af elevernes hukommelse igen.
I år har jeg forsøgt at synliggøre nødvendigheden af det dobbelte produkt ved at lade eleverne "klippe kvadratsætningerne". Eleverne arbejdede med dette arbejdsark (link).
Vi har således arbejdet med at forstå at to tal ganget med hinanden kan opfattes som et areal.
Efter eleverne havde fået konstrueret og forstået beviset, skulle de som en del af deres hjemmeopgave lave en videooptagelse (deres første), hvor de forklarer sætningen.
Et eksempel på elevernes video kan ses nedenfor:

Flipped learning - med forpligtende lektie

Jeg har tidligere skrevet et indlæg om flipped learning, hvor jeg lidt diskuterer fordele og ulemper ved flipped classroom (se mit indlæg her). Jeg kommenterede bl.a. at det ikke er nok at bede eleverne se et videoklip igennem hjemme. Der skal stilles krav til, hvordan der skal arbejdes med videoklippet.
Jeg er nu faldet over et program, der gør det muligt at indsætte spørgsmål løbende i allerede eksisterende videoer. Det smarte er, at svarene gemmes, så jeg kan se, hvem der har svaret hvad. Altså fuldstændig som en online quiz. Systemet har også en facilitet, som registrerer, hvis eleven overspringer dele af videoklippet.
Hjemmesiden hedder Zaption.
For at oprette en video med spørgsmål på Zaption skal man logge ind (kan f.eks. bruge gmail eller Facebook). Efter login oprettes en Lesson, hvortil man kan indlæse videoklip. Man kan derefter løbende i videoen indsætte tekst, mulitple choice, checkbokxe, tekstfelter mm. Når disse elementer indsættes kan videoen stoppes, indtil der er svaret.
Design-vinduet ser således ud;

 

Til mine 1g-ere har jeg lavet en video knyttet til en læselektie, hvor jeg beder dem læse teksten i mindre dele, hvor der så er nogle spørgsmål efter hver del.

Jeg tænker, at man måske også kan benytte metoden til at indlægge pauser ved f.eks. beviser optaget på video. der findes jo mange beviser på Youtube, man bare kan benytte. Jeg har dog ikke fået afprøvet det endnu.

Jeg har dog lavet et lille eksempel, som blot bruges til at vise forskellige elementer. Der er ikke rigtig nogen sammenhæng mellem video og spørgsmålene - jeg ville blot teste mulighederne. Du skal være velkommen til at prøve eksemplet. Det ligger på http://zapt.io/tffstfae.

Når der er svaret på spørgsmålene kan jeg udtrække en del statistik:

- hvem har svaret hvad?

- hvad er der svaret på de enkelte spørgsmål?

- hvor lang tid har det taget at svare på spørgsmålene?

- hvor mange af spørgsmålene er der svaret på?

- Er der sprunget noget at videoen over?

- ...

I første omgang tester jeg kun freeware-versionen, men der findes også en Pro-version som selvfølgelig har nogle ekstra elementer. F.eks. download af csv-fil med alle svar.



Lineære funktioner

Jeg lader mine 1g-elever arbejde i grupper, når vi skal have gennemgået de teoretiske dele knyttet til lineære funktioner.
Eleverne skal skrive en lille lærebog (temarapport) om lineære funktioner med 9.klasses elever som målgruppe, så de kan vise, hvor meget de har lært her i starten af gymnasiet.
Lærebogen skal laves som en hjemmeside, hvor der er krav om at egen video af f.eks. et bevis og dynamisk Geogebra-animation skal indgå.
Formålet er selvfølgelig at få eleverne til at få trænet små beviser og arbejde med ræsonnement.
Selve oplægget til opgaven består af
 - eksperimentelle øvelser
 - opgaver
 - beviser
Alle tre dele supplerer hinanden og er med til at give eleverne en større forståelse for emnet lineære funktioner. Det er dog ikke nogen tvungen rækkefølge i, hvordan eleverne skal arbejde med emnet.
Vedhæftet det opgaveark som eleverne får udleveret (Link).

Differentialregning - opsamling

Vi er så småt ved at afslutte differentialregning på mit 2g matematik-A hold. Vi har lavet en hel del beviser og også brugt en del energi på at italesætte de matematiske metoder, som anvendes ved opbygning af en matematisk teori.
Ofte har fokus i beviserne været at forstå de enkelte reduktioner og så har der ikke været lagt så meget vægt på bevisstrukturer mm.
Jeg valgte derfor i samråd med eleverne at lave en opsamling på differentialregning, hvor vi repeterer beviserne og i den repetition specielt fokuserer på de mere overordnede argumenter. Hvorfor har vi f.eks. bestemt differentialkvotienten til en given funktion, når vi benytter tretrinsreglen?
Da alle ikke kan nå alle beviser, optages beviserne på video og bliver efterfølgende samlet på en hjemmeside, som alle i klassen kan benytte. Jeg har på forhånd opdelt hjemmesiden i følgende emner:

Introduktion:

Indledende ting omkring differentialregning bl.a. om sekant-tangent, definition på differentiabel funktion

Bevisteknikker:

Beskrivelse af overordnede bevisteknikker, som er blevet anvendt i de forskellige beviser (tretrinsreglen, induktionsbevis samt matematikkens indre struktur)

Basale funktioner:

Beviser for en række af de mere basale funktioner (f.eks. x², ax+b, konstant, ...

Regneregler:

Beviser for hvordan man differentierer funktioner, som er kombinationer af basale funktioner
Tangentligningen

Her bevises formlen for tangentligningen.

Eleverne vælger sig selv ind på beviser efter fagligt niveau - dog stiller jeg krav til at alle elever er med til forskellige typer beviser. Jeg sikrer desuden, at der laves mindst to videoer med hvert bevis, så eleverne kan se forskellige fremstillinger af beviserne.

Eleverne er fortrolige med at arbejde med disse hjemmesider (Google sites), så de lægger selv deres videoer ind på hjemmesiden.
Ud over videoerne stiller jeg krav om at hver hjemmeside også skal indeholder:
- præcis beskrivelse af sætningens ordlyd
- overordnet beskrivelse som forklarer, hvordan beviset er opbygget 
- evt. andre relevante oplysninger.
Der stilles også krav til de elementer som videoerne skal indeholder. Bl.a. er definitionen på differentiabilitet obligatorisk i videoen.

Sammensatte funktioner - differentiation

Jeg synes ofte, der er problemer med at få elever til at forstå og genkende sammensatte funktioner.
I min 2g-klasse har jeg i år forsøgt mig med følgende metoder til træning af sammensatte funktioner:

1. Skema hvor manglende felter skal udfyldes - i nogle rækker er den sammensatte funktion angivet, mens det i andre rækker er elevernes opgave selv at konstruere de sammensatte funktioner (Link)
2. Jeg har lavet en Tarsia (form som diamant), hvor alle sider har simple funktioner. Eleverne har i par dannet en tilfældig korrekt formet diamant. De funktioner, som nu ligger opad hinanden, skal eleverne nu kombinere til en af de to mulige sammensatte funktioner. Disse sammensatte funktioner nedskrives på papir. Når alle nabofunktioner er kombineret, gives alle brikker samt de nedskrevne sammensatte funktioner til en anden gruppe, som så skal genskabe figuren ud fra de sammensatte funktioner (Link)
3. Jeg har i en del timer givet eleverne få opgaver med sammensatte funktioner - både med at skille funktioner ad og hvor eleverne selv skal sammensætte funktioner.

Som opstart til differentiation af sammensatte funktioner skulle eleverne ud fra nogle givne funktioner forsøge at gætte sig til formlen for differentiation af sammensatte funktioner. Eleverne differentierede de indre og ydre funktioner i hånden (en del af skemaet under punkt 1. ovenfor). Efterfølgende blev den sammensatte funktion differentieret i Maple, hvor eleverne så ledte efter et system i forhold de differentialkvotienterne for den indre og ydre funktion. De sammensatte funktioner skal vælges lidt smart - ellers laver Maple forkortninger, så formlen ikke kan gættes.
Formlen for differentiation af sammensat funktion er en af de formler i gymnasiet, som jeg oplever, de svage elever har sværest ved at forstå. Heldigvis er der ingen grund til at prøve at huske formlen, for det er meget nemmere at huske metoden:
Jeg beder mine elever opskrive y=g(x) (indre funktion), f(y) (ydre funktion) samt de tilhørende afledede funktioner i en tabel.
Differentialkvotienten er så blot de to differentierede funktioner ganget sammen. Det er meget nemmere at huske.



Her efter arbejdet med at forstå sammensatte funktioner i relation til differentiation er jeg kommet til at tænke over, om det måske er smartere at introducere sammensatte funktioner, når man arbejder med elevernes forståelse af funktionsbegrebet i 1g.
Vi kender alle til problemerne med at forstå betydningen af f.eks. f(2) i forhold til f(x) = 2 osv. Jeg tror, jeg allerede i år vil forsøge mig med introducere sammensatte funktioner i min 1g-klasse.

Introduktion til Maple

Der har været temmelig stille på min blog den seneste måned. Jeg har været ramt af en række ekstra arbejdsopgaver, så tiden har ikke været til at skrive indlæg her.
Jeg vil i den kommende tid prøve at få skrevet nogle af de indlæg, som jeg ikke lige har overskud til at skrive tidligere.
I dette indlæg vil jeg skrive lidt om, hvordan jeg har introduceret min 1g-klasse til Maple.
Som tidligere beskrevet, har vi i starten arbejdet en del med Geogebra, da langt de fleste elever i forvejen kender programmet fra folkeskolen og fordi det er et nemmere program at gå til.
Fro 14 dage siden begyndte eleverne så småt at spørge til Maple: "Hvornår skal vi starte på det program?". Nu var det tid...
Jeg valgte i starten at gentage de samme opgaver, som vi allerede har lavet en gang i Geogebra. Det gjorde jeg for at eleverne ikke både skal udfordres af matematikken og indlæring af Maple. Jeg vil gerne have fokus på Maple. Samtidig fik vi også løbende talt om de to programmers styrker og svagheder.
I første omgang arbejdede eleverne med følgende basale faciliteter:
1) Grundlæggende egenskaber (layout, indtastning, format, ...)
2) Grafer
3) Ligninger
4) Funktioner
Jeg har med vilje set bort fra en del parametre, som kan bruges i kommandoerne. I første omgang kigger vi kun på de mest brugte parametre.
Eleverne fik udleveret det vedhæftede dokument (Link) som kort beskriver ovenstående faciliteter. Til hver facilitet hører også en lille screencast. Min erfaring er at mange elever foretrækker en screencast frem for en skreven forklaring.
Ofte har eleverne problemer med syntaksen og at huske kommandoerne. Derfor giver jeg i hver time eleverne en række små opgaver, som er indtastet forkert i Maple. Opgaven er nu at kunne finde fejlen(-e). Opgaverne kan f.eks. være designet som et diasshow, hvor der er 30 sekunder til at finde fejlene. Dermed tvinges eleverne til at tænke hurtigt.

Regression - hvordan findes bedste funktion

Men min 1g har vi nu i lidt tid lavet regressioner for de sædvanlige funktioner lineær, eksponentiel og potens.
Men hvordan er det lige vores matematikprogram bestemmer den bedste funktion. Vi benytter lige nu Geogebra.
I morgen vil jeg give eleverne 3 punkter: (1; 2), (4; 5) og (10; 5).

Jeg har tænkt mig at eleverne skal arbejde med følgende spørgsmål:
1) Bestem ved hjælp af skydere den lineære funktion, du mener er den "bedste".
2) Hvilke kriterier har du anvendt for at kunne kalde din funktion for den "bedst mulige"?
3) Kan du finde et tal, der kan benyttes som mål for, hvor godt en funktion passer til de opgivne punkter?
4) Lad Geogebra bestemme den bedste lineære funktion - Er I enige?
5) Lad desuden Geogebra finde den bedste eksponentielle funktion og potensfunktion.
6) Hvilken af Geogebras 3 funktioner er bedst?
Kommandoen Rkvadreret[{<liste af punkter>},<given funktion>] (skrives som R² i de fleste andre matematikprogrammer) er et mål for, hvor godt funktionen passer til punkterne. Jo tættere R² ligger på 1, jo bedre passer regressionsfunktionen.
7) Bestem R² for de tre funktioner og undersøge om Geogebra er enig med dig i, hvilken funktion der er bedst.
Som du nok har konstateret, så bestemmer Geogebra ikke helt på samme måde som dig, hvor godt en funktion ligger i forhold til de opgivne punkter. Der skal lidt mere matematik til - det springer vi over i denne omgang. Den nysgerrige kan dog se følgende video fundet på Youtube:

Jeg forventer selvfølgelig ikke, at eleverne kan arbejde sig frem til den korrekt metode, men jeg har et håb om, at de vil kigge på den lodrette eller vinkelrette afstand mellem punkterne og funktionen, når de skal afgøre, hvor godt funktionerne passer med punkterne.

Kan vi stole på avisartikler - lineære funktioner

Det er altid et hit, at vise eleverne, at man ikke nødvendigvis altid kan stole på den måde grafer og talmateriale præsenteres og behandles i dagligpressen.
I min 1g-klasse har jeg netop givet klassen følgende graf, som er fra artiklen "Elever siver fra folkeskolen" i Berlingske Tidende 22/9 2012:

Bemærk den voldsomme stigning til sidst... - hov der er ændret på akseenhederne :-)
Hvordan har de mon fremskrevet udviklingen? Tja- regression er ikke brugt og der er også byttet rundt på teksten hørende til fremskrivningerne.
Jeg udleverer et arbejdsdokument til eleverne (Link) og de får så efterfølgende artiklen fra Berlingske Tidende(Link).
Jeg benytter artiklen som oplæg til et AT-forløb om manipulation med tal, som klassen efter efterårsferien skal have i matematik og samfundsfag.
Desuden er talmaterialet også fint til at diskutere, hvilke data som skal medtages, når der opstilles modeller. Vi taler selvfølgelig også om de kriterier, der indflydelse på hvor brugbare en model er.
Og så får eleverne også trænet regression og lineære funktioner.

Differentialregning - læse/skrive beviser

Jeg foretrækker oftest, at eleverne selv arbejder sig frem gennem f.eks. beviser i stedet for at læse beviserne i en bog. Men det er selvfølgelig også vigtigt, at eleverne lærer at læse matematik.
Vi har tidligere talt en del om læsning af matematiske tekster og hvad der f.eks. forventes, når man læser beviser i matematik. Det handler om "tænk med en blyant", lave figurer, lave ekstra mellemregninger, skrive kommentarer til mellemregninger...
Jeg ville teste om eleverne også gør, som vi har talt om, så de fik udleveret beviset for differentiation af f(x) = ax² + bx + c. Lektien var at de skulle "læse rigtigt", og at de skulle kunne gennemføre beviset for en kammerat.
Jeg havde blot "glemt" (udeladt er vist et mere korrekt ord) at fortælle eleverne, at det udleverede bevis var fyldt med fejl (Link).
Heldigvis havde mange af eleverne opdaget i hvert fald nogle af fejlene.
Det gav anledning til en diskussion af, hvornår et bevis er "læst". Og at det også er vigtigt, at man noterer de ting, man ikke forstår!
For at få den korrekte version af beviset har eleverne efterfølgende afleveret beviset som en del af en hjemmeopgave. Fokus her er selvfølgelig, hvilke elementer som indgår i et bevis og hvordan man gør et bevis personligt og ikke bare en kopi af et bevis fra en bog - en vigtig kompetence at mestre, når der skal skrives SRP.

Tretrinsreglen

Ved tidligere gennemgange af emnet differentialregning har jeg i starten af forløbet været meget stringent med at indføre f.eks. definitionen på differentiabilitet i et punkt, differenskvotient, differentialkvotient, ...
I år har jeg har jeg fokuseret på metoden i selve tretrinsreglen (som for øvrigt i min version har 4 trin - der skal konkluderes til sidst). Ved at bruge en del tid på at tale om metoden (læs evt. indlægget Differentialregning Intro) og udregne specifikke differentialkvotienter har jeg en fornemmelse af at eleverne har fuldstændig styr på metoden.
Inden vi beviste regnereglerne for differentiation af sum, subtraktion og multiplikation med konstant introducerede jeg den formelle definition. Og den accepterede eleverne overraskende let - "det er jo bare det vi har gjort hele tiden..."
Eleverne lavede selv meget hurtigt beviserne for sum og multiplikation med konstant, mens differentiation med subtraktion lidt voldte de sædvanlige problemer med minusset.
At det gik så godt, tror jeg også skyldes, at vi i de tidligere beviser også har fokuseret på de kendte regneregler, som anvendes undervejs i tretrinsreglen. Det har været med til at spore eleverne ind på, hvilke regneregler som er anvendelige, når der reduceres. Og det hjælper når eleverne selv skal lave beviserne uden hjælp. De gode elever kunne lave beviserne selv, mens de svagere elever fik hjælp af mig eller udleveret beviset på papir - dog ikke i den korrekte rækkefølge. Beviset for multiplikation med konstant ligger her (Link).
Jeg har stadig et lille hængeparti omkring grænseværdier og uendelighedsbegrebet, men det vil vi samle op på senere. Det er ikke så centralt nu.

Innovativt forløb med matematik

Jeg har tidligere i indlægget "Innovation i matematik" (Link) beskrevet, hvordan jeg mener, vi kan have glæde af den innovative tankegang i matematik.
Jeg har nu gennemført vandledningsprojektet, som jeg præsenterede i ovenstående indlæg.
Da fokus bl.a. var på innovative processer, havde jeg valgt en relativ stram styring af første del af projektet, hvor eleverne løbende fik en række små diskussionspunkter. Det hele styrede jeg via denne PowerPoint (Link). Via præsentation arbejdede vi specielt med fase 1 og 2 i den model, som er udviklet af en gruppe af matematiklærere nedsat af fagkonsulenten i matematik (Link til materialet).
Det var lidt hårdt for eleverne at bevare koncentrationen under den styrede del, så næste gang jeg vil lave et lignende projekt, vil jeg behandle de to faser i to forskellige matematiktimer. Og måske ikke være lige grundig med begge faser.
Specielt delen med at få matematik i spil, ville jeg godt have brugt mere tid på - altså ved hjælp af matematiske begrebskort at tvinge eleverne til at benytte en speciel metode. For en uddybning af metoden henvises til side 11 i arbejdsgruppens dokument, som jeg linker til ovenfor.
Et eksempel på en af gruppernes løsning:

Det er mit indtryk, at eleverne fik rigtig meget ud af projektet. Det kan selvfølgelig diskuteres, hvor meget matematik der er i ovenstående løsning, men jeg hørte eleverne diskutere:

lineære, eksponentielle og potensfunktioner, regression, korteste vej fra et hus til en hovedledning, forskellige løsningsforslag, om løsningsforslag kan/skal forbedres eller forkastes.

Derudover fik eleverne også trænet en hel del i brugen af Geogebra.

Så alt i alt et godt projekt, som også optog og interesserede eleverne.

Jeg brugte 4-5 moduler (a 90 min) på projektet, men der kan nok skæres lidt i det. Eleverne afleverede både en rapport og fremlagde deres konklusioner via en planche.

Her er mit oplæg til eleverne (Link). Jeg vedhæfter også lige et Geogebra-dokument, der kan benyttes til at generere tilfældige placeringer på de 8 huse (Link).

Innovation i matematik

Kan man arbejde innovativt i matematik? Tja - det kommer lidt an på, hvilken definition man vælger for begrebet innovation.
Jeg er dog ikke i tvivl om, at vi i matematik kan fremme elevernes innovative kompetencer, og at det vil være med til at stille eleverne bedre til den skriftlige eksamen.
Jeg tænker her primært på evner som vedholdenhed (ikke give op ved problemer) og kreativitet (kunne afsøge løsningsmuligheder, når løsningsmetoden ikke umiddelbart er givet).
Fagkonsulenten i Matematik Bodil Bruun nedsatte sidste skoleår en arbejdsgruppe, som skulle komme med eksempler på, hvordan der kan arbejdes med innovation i og med matematik. Resultatet af dette arbejde kan ses på EMU'en (Link). Materialerne er både af overordnet karakter men indeholder også eksempler på forløb både i matematik alene og i samarbejde med andre fag (AT).
Matematiklærerforeningen har i dette skoleår nedsat en større arbejdsgruppe (støttet af undervisningsministeriet), som skal arbejde videre med innovation, hvor formålet hovedsagelig er at udvikle flere eksempler, der kan inspirere matematiklærere.
Jeg kan godt lide at udfordre eleverne, så jeg har netop stillet både min 1g- og 2g-klasse nedenstående opgave. Rigtig innovation kan man nok ikke kalde det, men eleverne får i hvert fald mulighed for at diskutere og afprøve forskellige løsningsforslag.

I skal bestemme placeringen af et system af vandledninger, som skal forsyne 8 huse med vand. Der findes to typer vandledninger: Hovedledningen til 822.000 kr. pr. km. og stikledninger til 556.000 kr. pr. km. Stikledninger kan kun transportere vand til ét hus.

Husenes placering er fastlagt med koordinater og er alle placeret i et kvadrat med en sidelængde på 10 km.

Vandledningen skal starte i punktet (0,1). Derudover skal hovedledningen slutte et eller andet sted mellem punkterne (10,8) og (10,10).

Ovenfor ses en illustration af et problem der svarer til ovenstående beskrivelse. Husene er de sorte prikker og starten på hovedledningen er det røde kvadrat placeret i (0, 1). Den stiplede røde linje øverst til højre markerer det område, hvor hovedledningen skal stoppe.

Jeg aner ikke selv, hvad svaret på problemet er. Så jeg er lidt spændt på, hvordan eleverne griber opgaven an.
Er det matematik? Tja - ikke nødvendigvis, så jeg har stillet krav om matematiske elementer i besvarelse.
Jeg laver lige en cliffhanger.
I et senere indlæg vil jeg beskrive, hvordan jeg helt konkret har tilrettelagt forløbet og hvordan det gik.

Regneregler for differentiation

I stedet for at starte forløbet om differentialregning med at fokusere på teorien bag de forskellige formler for funktioners differentialkvotient, så har jeg valgt at introducere alle formler tidligt.
Som beskrevet i indlægget Differentialregning - intro, indledte jeg forløbet med at give eleverne en fornemmelse for tretrinsreglen og den vigtige forskel på tangent og sekant.
Disse principper vil jeg løbende bruge i de kommende timer så eleverne opnår en fortrolighed med begreberne inden tretrinsreglen behandles formelt teoretisk.
Jeg er nu begyndt at træne eleverne i reglerne for differentiation i hånden. Vi startede med, at eleverne skulle gætte differentialkvotienten for de typiske standardfunktioner. Eleverne brugte Maple til bestemme konkrete stamfunktioner og ud fra Maples svar kom eleverne med et bud på den tilhørende differentialkvotient. Nogle elever brugte et arbejdsark (Link), men andre mere matematikstærke elever valgte selv at gå på jagt blandt allerede kendte funktioner og sammensætning af sådanne.
Eleverne fandt også selv reglerne for sum, subtraktion og multiplikation med konstant. De tre sidste generelle regler har jeg udskudt lidt.
Jeg kunne selvfølgelig have serveret alle reglerne for eleverne, men jeg har en ide om, at når eleverne selv finder reglerne, så er de også nemmere at huske.
Nu er det blot spændende at se i morgen, hvor gode eleverne er blevet til at differentiere funktioner, som lektien til i morgen.

Differentialregning - intro

I 2g starter jeg som så mange andre med differentialregning.
I 1g har vi allerede arbejdet en del med tangent, bestemmelse af vendepunkter mm. så eleverne er allerede nogenlunde fortrolige med begrebet f '(x).
Vi startede derfor med at kigge på x² og tangentens hældning i (1,1).
Jeg forsøgte lidt at tilrettelægge arbejdet med at bestemme tangentens i den innovative ånd.
Eleverne arbejdede i klassen i mindre grupper med forskellige ideer til bestemmelse af tangenten. I første omgang bad jeg eleverne gennemløbe de forskellige kendte matematikemner fra 1g for at indsnævre, hvilken matematik som måske kunne bringes i spil.
Når eleverne havde arbejdet 10-15 min, stoppede jeg alle grupper og ideer til løsningen blev skrevet på tavlen. Alle ideer fik lov til at svæve i luften uden kommentarer fra min side. Herefter arbejdede eleverne igen videre med egne eller nye ideer. Denne proces fortsatte et par "runder".
Formålet med de korte runder er at holde alle til ilden. Nogle grupper kan have tendens til at give hurtigt op, men så får de lidt inspiration fra andre grupper.
Det er selvfølgelig ikke rigtig "innovation" for jeg ved jo godt, hvor vi ender, men processen med at stå overfor et problem, hvor eleverne ikke umiddelbart kan genkende en løsningsmetode fordrer nogle innovative kompetencer.
Jeg synes, vi på en god måde fin introduceret sekanten, og hvorfor den er vigtig. Det virkede som om at denne tilgang fik eleverne til at få den ønskede forståelse af sekant-tangent sammenhængen.
Da sekanten var blevet introduceret havde eleverne ikke svært ved at finde sekanternes hældning - hvordan det andet punkt blev valgt varierede lidt. Nogle valgte blot et andet "fysisk" punkt på grafen mens andre indsatte et bogstav som tilvæksten.
De skrappe elever generaliserede yderligere til en tilfældig x-værdi.
Som en del af den kommende hjemmeopgaver skulle eleverne i par aflevere en video, hvor de netop finder hældningskoefficienten for en tangent hørende til f '(x). Det blev nogle fine videoer, synes jeg.
Jeg har endnu ikke kastet alle de fine ord og begreber i spil. Så tretrinsreglen må vente lidt endnu.
Næste skridt er at finde formlerne hørende til differentialregning - i første omgang vil vi ikke bevise dem, men prøve at gætte og eksperimentere os til formlerne.

Træning af funktionsbegreber

Her i opstarten i 1g har jeg arbejdet med funktioner og deres tilhørende grafer. Jeg kan godt lide at have begreberne på plads, så jeg kan referere til dem, når vi kigger mere specifikt på de enkelte funktionstyper.
Eleverne synes det er lidt svært at huske begreberne, så det træner vi selvfølgelig en hel del på forskellige vis.
Langt det meste af træningen foregår i grupper på 2 og jeg sørger for hyppige skift i grupperne, så eleverne bliver vant til at arbejde sammen med alle i klassen. Og så bliver de vænnet sig til at matematik også er et mundtligt fag, og det er eleverne ikke særlig vant til fra folkeskolen har jeg indtryk af.
Et par ideer til en sådan træning kan være:
1) Eleverne har forskellige grafer. På skift beskriver eleverne deres figur, mens den anden skal tegne figuren selvfølgelig uden at se den oprindelige figur. Hvis der haves en del figurer, så kan eleverne blot finde en ny makker, de kan beskrive grafen for, når de har forklaret og tegnet figur med den første makker.
2) Giv eleverne nogle funktionskarakteristika ud fra hvilke, funktionen skal tegnes. Der må gerne være nogle fælder, som ikke kan tegnes. Det plejer at give nogle gode diskussioner.
3) Eleverne indtaler beskrivelse af grafen for en funktion. De andre elever prøver så at gentegne grafen ud fra beskrivelsen (Har jeg beskrevet nærmere i indlægget Mundlig træning som lektie)

Jeg er tidligere stødt på begrebet Pecha Kucha, men har aldrig rigtig fået det prøvet. Pecha Kucha er typisk en Powerpoint med en række dias. Hver dias vises kun 20-30 sekunder, så det gælder om at være hurtig i opgaven, der skal løses på den pågældende dias. Jeg vil prøve Pecha Kucha-princippet på netop beskrivelse af grafer. Så jeg har lavet en dias med 10 figurer. Eleverne sættes sammen to og to. Herefter skal de på skift beskrive graferne med de gennemgåede begreber. Efter 4 grafer (dias) beder jeg eleverne vælge ny makker. Min Pecha Kucha kan du finde her: Link.
Jeg havde egentlig glemt Pecha Kucha, men Eva Pors fik mig til at genhuske metode i sit blogindlæg PechaFlickr: Få mundtøjet i gang.

Et eksempel med linjer (analytisk).

Geogebra - nyheder (i hvert fald for mig)

I sommerferien var jeg på en Geogebra-konference, hvor jeg fik øjnene op for nogle Geogebra-faciliteter jeg slet ikke kendte og fik derudover også et indblik i nye faciliteter, som er ved at blive udviklet.
Geogebrabooks var en af de faciliteter, jeg ikke kendte. I det system har man mulighed for at lave sine egne elektroniske bøger, der er en blanding af tekst og dynamiske Geogebra-figurer.
Det eneste som kræves for at kunne oprette Geogebrabooks er, at man opretter en Geogebra-konto.
Jeg er stadig selv på det eksperimenterende stadie, så jeg har endnu ikke rigtig fået lavet nogle bøger, som jeg vil anvende i min undervisning. I steder for har jeg på Geogebras hjemmeside kigget lidt i offentliggjorte Geogebrabooks. F.eks. faldt jeg over denne danske Geogebrabook der omhandler differentialregning - Link. Denne Geogebrabook viser på en fin måde mulighederne.
Af nye faciliteter på vej er muligheden for at oprette sine klasser og tilknytte dem til egne quizzer/prøver lavet i Geogebra - kaldes GeogebraGroups. Om alt går vel skulle den del blive offentliggjort omkring 1. september. GeogebraGroups findes i en beta-version her - Link.
Det blev desuden annonceret, at offline versionen af Geogebra nok forsvinder i løbet af et par år.
Til sidst et lille tip, hvis man demonstrerer noget i Geogebra på projektor. Ctrl+2 forstørrer al tekst. Kommandoen kan gentages flere gange. Ctrl+1 hopper tilbage til standard skriftstørrelse.

Første skoledag - navnelege

Jeg skal være klasselærer/teamleder/klasseleder ("kært barn" har mange navne) for en ny 1g-klasse, så der skal findes forskellige navnelege frem fra gemmerne.
Jeg faldt over et dokument, som jeg vist nok har "hugget" fra skolekomkonferencen for matematiklærere i folkeskolen. Dokumentet er en form for domino med regnearternes hierarki, som jeg vil inddrage første skoledag på følgende måde:
Alle elever får en dominobrik, der i venstre side har et regnestykke og i højre side et tal, som er resultatet på en af de andre dominobrikkers regnestykke.

Først vil jeg sætte eleverne sammen to og to, hvor de skal blive enige om resultatet på deres to regnestykker.
Herefter gælder det om at finde resultatet på sit regnestykke blandt de andre elever. Hver gang man møder en ny person, siger begge først "Goddag <navn>" eller spørger om navnet på personen, hvis man ikke kan huske det. Først derefter må der spørges til tallet.
Det gælder nu om at få dannet en kæde, hvor enderne "hænger sammen". I den version af dominoen, jeg vil bruge, er der 32 brikker og de skulle gerne give 6 kæder af varierende længde. Det har jeg dog ikke tænkt mig at fortælle eleverne.
Der ligger link til mit dokument her (Link).

Nye skoleår nærmer sig med lynets hast

Det var den sommer - håber alle har fået ladet batterierne op igen.
I løbet er ferien har min blog i følge systemets statistik rundet 10.000 sideopslag. Der er åbenbart nogen, der følger det jeg skriver...
MEN...
Når jeg dykker lidt mere ned i statistikken begynder jeg lidt at tvivle på tallene. Statistikken viser nemlig, at godt hvert 4 besøg på bloggen kommer fra USA. Det har jeg lidt svært ved at tro på.

Så mange kan ikke være kommet ind på bloggen ved et uheld. Og der er næppe så mange i USA, som er interesseret i en blog på dansk om matematik i gymnasiet.
Samtidig har jeg skrevet knapt 100 indlæg og det betyder at hvert indlæg i gennemsnit skal være læst ca. 100 gange. Det passer heller ikke med besøgsstatistikken på de enkelte sider.
Statistikken betyder nu ikke så meget for mig - det er snarere en lille sjov detalje. Jeg benytter alligevel mest bloggen til at reflektere over min undervisning. Og hvis nogen så kan have glæde af det jeg skriver, så er det en fin sideeffekt.

Ferietid

Så blev det ferietid...
Der er brug for at få ladet batterierne op og måske også behov for lidt tid til at tænke lidt over næste års undervisning. Hvad kan gøres bedre end i år?
Mine erfaringer som skriftlig censor og fra mine egne elevers resultater fra de skriftlige matematikeksamener har endnu en gang fået mig til at spekulere over, hvordan jeg gør eleverne endnu bedre til at tænke og forstå matematik.
Det var noget overraskende, at når de skriftlige opgaver har en lille variation i forhold til "standardopgaver", så volder det eleverne problemer.
Det er rigtig godt, at opgavekommissionen stiller "skæve opgaver", så skabelonbesvarelser ikke bliver så brugbare, men så skal der skæres i mængden af svære spørgsmål. Det tager tid for eleverne at afkode anderledes spørgsmål og den tid mener jeg ikke, eleverne i tilstrækkelig omfang har haft til rådighed ved dette års skriftlige eksamen.
Ikke nok med at man skal tænke over selve opgaven og mulige løsningsmetoder - man skal også gøre det hurtigt.
Hvordan lærer vi eleverne det?
Det vil jeg nok tænke noget over i løbet af sommerferien.
God ferie

Brugbart indlæg ?

Jeg kunne godt tænke mig at få lidt feedback på mine indlæg. Jeg modtager som altid gerne kommentarer til indlæggene, men er også godt klar over, at det er der ikke mange (ingen), der gider.
I et sidste lille forsøg på at få blot en anelse feedback, har jeg nu i bunden af hvert indlæg tilføjet en mulighed for afkrydse holdning til indlægget. Klik blot på den mulighed som passer bedst med din holdning til indlægget.
Hvert indlæg afsluttes på følgende måde:

Det er i rækken Kommenter indlæg, du kan sætte kryds.
Jeg håber, at jeg får lokket nogle af jer til at sætte et kryds en gang i mellem.

Jeg forstår det ikke...

Som så mange andre matematiklærere sidder jeg i disse dage og retter opgaver fra den skriftlige eksamen i matematik. Og endnu en gang undrer jeg mig over elevernes manglende reflektioner over egne udregninger.
I år retter jeg STX A-sæt (både almindelige og NET-forsøg).
Hvorfor kan eleverne ikke se nogen sammenhæng mellem matematikopgaverne, de skal løse, og (pseudo-)virkeligheden?
Når en opgave er regnet, så gælder det åbenbart om at komme videre hurtigst muligt uden at reflektere over resultatet. Hvorfor undrer eleverne sig ikke over:
1) at ligevægtsbestanden på en population af laks bliver 0,43 ?
2) at når man har lavet regression over en aftagende følge punkter, så fås højere tal end startværdien, når der laves fremskrivning
3) at vinklen mellem to planer bliver 1 grad.
4) at indtjeningen på en film bliver 347384720378 mill $.
5) at udregningen ikke stemmer overens med tegningen
6) at når man skal vise noget gælder, så kommenterer man det slet ikke, hvis man får noget andet.
7) at et areal bliver negativt
8) at ...

Det kan selvfølgelig være, at eleven ikke kan finde fejlen, men så forventer jeg i det mindste, at eleven skriver, at resultatet sandsynligvis er forkert.

Jeg håber ikke, mine egne elever glemmer disse reflektioner over resultatet, men jeg er absolut ikke sikker. Jeg prøver at lære eleverne lige at bruge bare lidt tid på at overveje, om det fundne resultat lyder rimeligt - og hvor det er muligt også at tjekke resultatet.
Jeg har dog ikke fundet nogen god måde at træne denne evne på. Lige nu sidder jeg og overvejer følgende måder at træne reflektionen på:
1) ved aflevering at lade eleverne argumentere for, hvorfor deres svar lyder rimeligt
2) give eleverne en besvarelse med både korrekte og forkerte svar, hvor der skal argumenteres for svarenes rimelighed - altså uden nogen for form for udregning.

Hvad gør I der ude i matematik-landet? Nogle gode ideer?

Repetition af begreber

Sidste matematiktime i 1g nærmer sig. Eleverne er sikkert ikke voldsomt motiverede for at lave matematik, så der må en quiz på banen. Selvfølgelig med matematik...
Vi har i år gennemgået 7 emner, så jeg har klippet sedler ud i 7 forskellige farver. Hver elev får en seddel, hvorpå der er angivet et af årets emner. Hver elev skal nu på den udleverede seddel nedskrive 6 centrale begreber/formler/egenskaber hørende til emnet.
Når det er gjort, sammenligner elever med samme emne, hvad de har skrevet for at få udryddet eventuelle fejl.
Eleverne placeres nu i grupper på 4-5 personer med forskellige emner (da emnerne er angivet på papir med forskellig farve, det er nemt at se, hvem der har samme emne). Jeg gør et stopur klar på storskærmen. Første elev i hver gruppe fortæller nu sit emne og de andre i gruppen får nu 1 minut til at nedskrive alt (på papir), de kan huske om emnet.
Når tiden er gået, læser eleverne på skift op, hvad de har skrevet, og hver elev får så point for de ting som er identiske med punkterne på sedlen for eleven med dette emne. Husk at bede gruppemedlemmer holde øje med, at der ikke snydes ved at tilføje ekstra ting efter tiden er gået. Man kan evt. lægge blyanterne midt på bordet.
Efter pointgivning læser næste elev sit emne op og de øvrige i gruppen har igen 1 minut til at nedskrive, hvad man kan huske.
Når alle gruppens emner har været testet, skal eleverne finde nye grupper. Kravet til de nye grupper er, at de emner, man endnu ikke er testet i, skal være repræsenteret i den nye gruppe. Der vil selvfølgelig også være emner som gentages, men da eleverne ikke har skrevet deres punkter i fællesskab, kan man ikke være sikker på at punkterne er identiske.
Ideen til quizzen har jeg fået via Eva Pors blog (Link). På den blog finder jeg ofte nogle gode overordnede ideer til aktiviteter, som dog skal bearbejdes lidt, da Eva underviser i dansk og engelsk. En af de lidt mere skøre ideer at lade eleverne rappe mod hinanden - f.eks. lineære funktioner mod eksponentielle funktioner. Jeg nåede det desværre ikke i dette skoleår, men ideen er lagt i "banken". Ideen er beskrevet her: Link.

Mundtlig årsprøve i matematik

Min 1g-klasse (A-niveau) skal til mundtlig årsprøve i matematik.
Jeg vil gerne benytte lejligheden til at træne elevernes evne til at læse matematik, til at arbejde selvstændigt med matematik og så selvfølgelig at fremlægge matematik. Og så skal eleverne gerne have en god oplevelse med årsprøven.
Jeg lader eleverne være sammen i par. Det styrker efter min mening både elevernes motivation og så er det godt at have nogen at udveksle ideer med. Fremlæggelsen foregår derfor også i par.
I stedet for en traditionel årsprøve, skal eleverne arbejde med et nyt matematiske emne. Vi har ikke gennemgået potensfunktioner endnu, så det bliver emnet.
Jeg har i forskellige matematikbøger fundet deres præsentation af potensfunktioner. Eleverne skal ud fra disse materialer selv vælge det stof, de vil gennemgå under eksaminationen.
Ud over den teoretiske præsentation, skal der også inddrages en anvendelse af potensfunktioner. Eleverne får udleveret en række eksempler, hvorfra de selv skal udvælge et. Eksemplerne handler om:
Vindmøllers effekt, Foucaults pendul, effekt ved cykling, sammenhæng mellem antal rygere og på pris på cigaretter, sammenhæng mellem dyrs vægt og overfladeareal, sammenhæng mellem vanddybde og hastighed på tsunami samt Cobb-Douglas funktionen (økonomisk model).
Jeg ved selvfølgelig godt, det er svært for eleverne at arbejde selvstændigt med nyt stof. Derfor har klassen en tvungen arbejdsdag på skolen to dage før selve årsprøven. Jeg vil være på skolen hele dagen for at hjælpe eleverne. Desuden har jeg stillet som krav, at jeg i løbet af dagen skal godkende alle pars disposition for fremlæggelsen.
Jeg har tidligere haft gode erfaringer med denne model for mundtlig eksamen, så jeg håber det også bliver en succes denne gang. Specielt arbejdsdagen på skolen, har eleverne været glade for. Både fordi jeg er i nærheden til at hjælpe, men også det at hele klassen arbejder om et fælles projekt, hvor man hjælper hinanden med at lære mest muligt.
Eleverne har altid taget denne form for årsprøve seriøst, og det er meget vigtigt for, at årsprøven ikke bliver spild af tid. Det at eleverne er sammen i par, tror jeg styrker seriøsiteten, og så betyder det nok også noget, at jeg kraftigt signalerer, at dette emne er relevant til eksamen og ikke gennemgås på et senere tidspunkt.
I forbindelse med selve eksaminationen er det desuden et krav at alle overværer én anden gruppes fremlæggelse. Det er vigtigt at se andres gennemgang både mht. form og indhold.

Portfolio som aflevering

I min 1g er vi så småt ved at afslutte arbejdet med chi²-test og de tilhørende funktioner.
Vi har lavet chi²-test i Excel, har lavet små videoer hvor principperne ved chi²-test forklares, har arbejdet med chi²-funktionerne, har simuleret stikprøver og sammenlignet med chi²-funktionerne samt har regnet opgaver i Maple.
Vi har altså arbejdet med chi²-test ud fra en række forskellige indgangsvinkler.
I denne uges hjemmeopgave har jeg besluttet mig for, at eleverne skal aflevere en form for portfolio, der indeholder de mest centrale ting, vi har arbejdet med knyttet til chi².
Jeg har derfor bedt eleverne om at samle følgende til en aflevering:
- deres video om chi²-test
- beskrivelse af chi²-funktionerne set i relation til chi²-test (hvordan bestemmes f.eks. kritisk værdi og p-værdi)
- sammenhæng mellem chi²-funktioner og chi²-test
- eksemplarisk besvarelse af opgave med henholdsvis uafhængighedstest og goodness of fit.

Jeg har omlagt et undervisningsmodul, så eleverne i par kan arbejde sammen om opgaven. Det er vigtigt for mig, at eleverne får diskuteret opgaverne, og at jeg får mulighed for at hjælpe elever, hvor det stadig kniber med forståelsen. Derfor vil jeg også i løbet af modulet tjekke, hvad eleverne har tænkt sig at aflevere. Det er også med til at reducere mit rettearbejde.
Som lektie til timen har jeg bedt eleverne løse en lille diktatopgave (link).

"Diktat" i matematik

Hvad man dog kan finde på sin harddisk!
Jeg har et samlergen mht. muligt materiale, som jeg kan benytte i min undervisning. Nogle gange falder jeg så over noget, som jeg fuldstændig havde glemt.
Jeg skulle bruge nogle chi²-opgaver til min 1g, så jeg gennemsøgte min tilhørende mappe på computeren. Der faldt mine øjne på dokumentnavnet DiktatChiKvadrat. Hvad pokker er det?
Det viste sig at være en lille diktat om chi², hvor forskellige nøgleord var fjernet fra teksten. Elevernes opgave er nu at indsætte de manglende ord/begreber blandt de ord, som er listet nederst på arket.
En sjov lille opgave synes jeg, så den har jeg givet eleverne for som lektie til det modul, hvor vi alligevel skal samle op på chi².
Dokumentet har jeg ikke selv lavet, og hvor det kommer fra, er det ikke lykkedes mig at finde ud af. Jeg tror, det er fra et af matematiklærerforeningens kurser, men kan ikke finde det.
Min lidt ændrede version af dokumentet ligger her: Link
Et lille udsnit af dokumentet:

1089 - skæbnen... ?

Så er april måned gået og eksamen nærmer sig med hastige skridt.
For første gang har der i en måned været mere end 1000 opslag af indlæg på min blog - helt præcist har der været 1089 opslag.
Top 5 over mest læste indlæg på bloggen er jeg lidt ked af, for 3 af indlæggene handler om skriftlig eksamen. Jeg ville være langt gladere, hvis der var størst interesse for indlæg om undervisning. Indlæggene om skriftlig eksamen handler dog om andre måder at træne skriftlighed på, så måske jeg ikke skal være så ked af det alligevel.
Top 5 er:

 



De 1089 opslag for april måned har for øvrigt en sjov lille egenskab:
1) Vælg et tre-cifret tal, hvor første ciffer er større end det sidste ciffer (f.eks. 521)
2) Byt rundt på første og sidste ciffer i det valgte tal (dvs. 125)
3) Træk tallet i 2) fra det valgte tal (521 - 125 = 396)
4) Hvis resultatet fra 3) giver et to-cifret tal, sættes et 0 forrest.
5) Byt rundt på første og sidste ciffer i tallet fra 4) (dvs. 693)
6) Læg tallene fra 4) og 5) sammen (396 + 693 = 1089)
Uanset starttal bliver resultatet altid 1089 - hvis der vel at mærke er regnet rigtigt :-)

Hvis nu alle eleverne i klassen vælger hvert deres tal og ikke viser hinanden det endelige resultat, så har du en oplagt mulighed for over for hver elev at forudsige, hvilket resultat de har fået.
Det plejer at imponere eleverne en hel del.
Bagefter kan man udfordre eleverne til at prøve at vise, at det altid går godt.

En lille hjælpeøvelse kan i den forbindelse være at argumentere for, at der gælder følgende for to-cifrede tal (forskellige cifre):
1) Vælg to-cifret tal, hvor første tal er størst (f.eks. 62)
2) Byt på cifrene og træk det sidst tal fra det første (dvs. 62 - 26 = 36)
Resultatet er altid et tal fra 9-tabellen - hvorfor?

Repetition til skiftlig eksamen - hvem hjælper det?

Vi er sikkert alle i gang med at repetere på vores afsluttende hold. men hvordan foregår vores repetition?
Min repetition i relation til skriftlig eksamen handler meget om at tale om og træne de typiske opgavetyper, der optræder til eksamen med og uden hjælpemidler. Og det sker oftest på et lidt mere overordnet plan.
Så var det lige jeg kom til at tænke over, hvilken type elever denne form for repetition henvender sig til. Jeg tror, at elever som i forvejen har et nogenlunde solidt matematiskkendskab vil have et fint udbytte af en sådan repetition. Men jeg er desværre bange for, at de gode elever vil finde denne repetition kedelig og unødvendig, og samtidig er jeg bange for at en sådan repetition foregår henover hovedet på de svage elever.
Vi er nødt til at tilrette lægge repetitionen, så alle elevgrupper tilgodeses.
Den overordnede strukturering af mulige spørgsmålstyper kommer alle elever til gode, men det er vigtigt, at de mindre stærke matematikelever også får en ekstra konkret behandling af struktureringen. Det er ikke nok med en mere overordnet snak om opgavetyper. Heldigvis har vi på min skole mulighed for at få ekstra timer til svage matematikelever. Jeg har derfor fået bevilliget ekstra timer til mine svage elever. Disse timer skal bruges netop på at konkretisere de ting, jeg har diskuteret med hele klassen i matematiktimerne. Disse ekstra timer håber jeg på, vil hjælpe de svage elever så meget på vej, at de ikke dumper.
Omvendt skal vi også tage hensyn til de gode elever. De vil typisk mene, at meget af repetitionen er spild af tid, da de har styr på standardopgaver. Det er derfor vigtigt at udfordre de gode elever med de mere utraditionelle opgaver. Så lad dem regne på de sidste opgaver i udvalgte sæt, hvor der jo normalt stilles lidt ekstra krav.
Så mit budskab er:
HUSK der er forskel på eleverne også i repetitionsfasen. Sørg for at tilrettelægge repetitionen, så alle elevtyper får noget ud af repetitionen.

Eksamenstræning - delen uden hjælpemidler

Med mit 3g-hold har vi i den seneste tid startet hvert modul med at tale om prøven uden hjælpemidler i relation til et givet emne.
Eleverne brainstormer på centrale formler og mulige spørgsmålstyper. Hvis jeg finder det nødvendigt, regner vi også enkelte opgaver.
Det er mit indtryk, at eleverne er glade for at få diskuteret mulige spørgsmål - det afdramatiserer lidt prøven uden hjælpemidler.
Nogle elever er noget forskrækkede over alle de formler det forventes, de kan huske uden ad. Jeg fokuserer på, at eleverne ikke nødvendigvis skal huske alle formlerne på "formelsprog". Ofte er det nok at kunne metoden. Der er f.eks. ingen grund til at huske formlen for differentiation/integration af sammensatte funktoner - det er nok, at man ved, hvordan man skal gøre.
Ligeledes er nogle formler slet ikke nødvendige. Der er f.eks. ingen grund til at huske tangentligningen, når man ved, hvordan forskrift for en linje bestemmes. Og hvorfor huske toppunktsformlen, når toppunkt kan bestemmes ved hjælp af differentiation.
Her kort tid før eksamen tror jeg, det vigtigste er, at eleverne får trænet en masse opgaver, og at de får struktur på mulige opgavetyper (se evt. "Forberedelse til skriftlig eksamen - fra skolestart"). Jeg sætter desuden min lid til, at eleverne nu er helt med på, hvordan man "overholder" reglerne for korrekt løsning af eksamensopgaver (de 5 pinde - se evt. "Skriftlig eksamen - opgaveregning"). Derfor har jeg besluttet at omlægge elevtiden for de sidste par afleveringer, så vi har nogle ekstra timer, hvor vi kan fokusere på udvalgte dele af det skriftlige pensum.
Vi har en sådan time i dag, hvor fokus netop er delen uden hjælpemidler. Jeg har taget et print af delen uden hjælpemidler fra alle eksamenssæt siden 2008. Planen er nu at eleverne i par skal arbejde med disse opgaver. I første omgang skal opgaverne sorteres i emner (alle medbringer saks).
Samtidig har jeg oprettet et fælles dokument (Office 365), som alle kan skrive i. Her er det meningen at spørgsmålstyperne hørende til de enkelte opgavetyper indskrives. Til hver type spørgsmål angives det desuden få stikord til, hvordan opgaver af denne type løses, samt hvor man kan finde en opgave omhandlende spørgsmålet. Dermed får eleverne et godt dokument, de kan bruge, når de hjemme skal forbedrede sig til delen uden hjælpemidler til den skriftlige eksamen.

Simulering af chi2-test

Hvorfor ligger den kritiske værdi, hvor den ligger, når vi laver en chi2-test? Det er uhyre svært at få forklaret eleverne.
Jeg har forsøgt at gøre det synligt for mine 1g-elever ved hjælp af to typer simulationer:
- en i Geogebra, der viser histogram af mange chi2-simuleringer med 1 frihedsgrad, hvor nulhypotesen er sand.
- en i Maple, der viser histogram af mange chi2-simuleringer med valgfrit antal frihedsgrader, hvor nulhypotesen er sand..
I Geogebra-dokumentet vises foretages en chi2-simulation af gangen, hvor hele metoden er synlig i Geogebras regneark. Teststørrelserne for hver chi2-simulation indtegnes løbende i et histogram.
Denne simulation skulle gerne give eleverne en fornemmelse af fordelingen af teststørrelserne, når nulhypotesen er sand - specielt at der kan være store variationer. Grafisk skal eleverne give et bud på placeringen og betydningen af den kritiske værdi.
På nedenstående skærmbilleder har jeg simuleret 500 chi2-test, hvor det vides at 25% i populationen svarer Ja, mens populationen består af 60% mænd og 40% kvinder.

Vejledningen til elevernes arbejde med Geogebra-dokumentet er beskrevet i dette dokument (Link) og Geogebra-dokumentet ligger her (Link).
Efter gennemgangen af/arbejdet med ovenstående ark, inddeler jeg eleverne i par, som så skal lave de samme simulationer dog med nye procenter for Ja/Nej og Mænd/Kvinder. Forhåbentlig kan vi konkludere, at den kritiske værdi ikke afhænger af procenterne.
I Maple er det muligt at lav langt flere simuleringer af gangen (kommandoen Sample). Nedenstående Maple-dokument skal eleverne benytte til at få en fornemmelse af histogrammerne over teststørrelsernes fordeling ved forskellige chi2-simulation igen under forudsætningen af at nulhypotesen er korrekt..
Eksperimenterne med forskellige frihedsgrader skulle også gerne resultere i, at eleverne konstaterer, at den kritiske værdi afhænger af frihedsgraden.
Maple-figuren nedenfor viser 10000 simuleringer af chi2-test med 4 frihedsgrader.

Maple-dokumentet som også indeholder vejledning til eleverne ligger her (Link).
Fortsættelsen på arbejdet med chi2 er, at vi vil arbejde med funktionerne hørende til de forskellige frihedsgrader og i den forbindelse undersøge krav til sådanne funktioner (sandsynlighedsfordelinger).

Samtaledelen ved den mundtlige eksamen

Jeg har en 3g-klasse, der jo kan komme til mundtlig eksamen i matematik. Ud over grundigt at overveje konstruktionen af spørgsmålene, så de passer til alle elevernes niveauer, har jeg også tænkt en del over, hvordan jeg bedst forbereder eleverne til samtaledelen under den mundtlige eksamen. Den skal jo i følge læreplanen fylde en betydelig del. Min melding til eleverne, at de skal forberede sig på, at de har ca. 15 minutter til deres fremlæggelse, mens resten af tiden skal være en dialog mellem mig (og censor). Nøjagtig som de kender fra AT-eksamen.
Men hvordan rustes eleverne til samtaledelen , og hvordan kan de forberede sig på den?
En måde kunne være at udarbejde bilag til de enkelte spørgsmål, som eleverne så skal kommentere. Inden for differentialligningerne kunne et sådant bilag f.eks. være en plot af linjeelementer:

Her får eleven så mulighed for at tale om linjeelementer, løsningsfunktioner, løsningsintervaller, ... Jeg overvejer at medbringe sådanne eksempler til eksaminationen, hvis eleverne ender med at skulle op i mundtlig matematik. Jeg vil selvfølgelig aftale det med eleverne, men der er så vidt jeg kan se ikke noget i læreplanen, der forhindrer inddragelse af bilag under eksaminationen. Den metode er også allerede benyttet ved den mundtlige eksamen i fysik. Bilaget skal først udleveres under selv eksaminationen, og har blot som formål at støtte samtaledelen.

Brug af bilag er jo ikke så meget anderledes end, at vi tegner figurer på tavlen. Det er dog muligt at benytte bilag, som ikke er helt så nemme lige at tegne på en tavle - f.eks. ovenstående plot med linjeelementer.

Men under alle omstændigheder vil jeg lave sådanne figurer, når stoffet repeteres og eleverne laver dispositioner mm til eksamensspørgsmålene. Jeg vil lade eleverne holde små oplæg for hinanden knyttet til bilagene. På den måde får de også trænet deres mundtlige formuleringsevne.

En anden mulighed er at lade eleverne lave en lille opsamlingsrapport, hvor eleverne kommer gennem emnets centrale dele. Vi er ved at afslutte emnet binomialfordeling og binomialtest. Der har været en række begreber mm i spil, så jeg har lavet en lille opsamling i form af to opgaver. Den første opgave handler om salg af flysæder og er temmelig styret, mens den anden opgave (meningsmåling i forbindelse med valg) er lidt mere åben formuleret.

Jeg vil gerne tydeliggøre for eleverne, at stikprøvens størrelser har en betydning for resultaterne og konklusionerne, så eleverne inddeles i 4 grupper med forskellige stikprøvestørrelser. Til sidst dannes matrixgrupper, som skal undersøge forskelle i relation til stikprøvens størrelse.

Dokumentet med opgaverne er skrevet i Maple, men ser her i en pdf-version (Link).



Jeopardy - den hjemmelavede version

Fra 1995-2005 var Jeopardy, som de fleste nok kan huske, et fast ugentligt program på TV2. Jeopardy er senest genoplivet at TV3.
Jeg lader nogle gange mine elever lave Jeopardy-quizzer til hinanden. Første gang er jeg dog nødt til først forklare eleverne, hvad Jeopardy er for noget :-). Jeg plejer at droppe kravet om, at svaret skal stilles som et spørgsmål.
Når vi skal lave en Jeopardy, så beder jeg eleverne hjemme forberede 5 spørgsmål og svar i stigende sværhedsgrad til et givet emne. Jeg har delt en række forskellige emner ud blandt eleverne, så der kommer forskellige kategorier. Det er vigtigt at sige til eleverne, at svarene på spørgsmålene skal kunne "regnes" uden hjælpemidler, og at der ikke kan indgå formler.
I den efterfølgende time sættes eleverne sammen i grupper på 5 fordelt på en sådan måde, at eleverne i gruppen har forberedt sig på forskellige kategorier.
Hver gruppe tjekker nu alle spørgsmål og tilhørende svar, samtidig med at det kontrolleres, om spørgsmålene i samme kategori har stigende sværhedsgrad.
De udarbejdede Jeopardy's indtastes på hjemmesiden JeopardyLabs (https://jeopardylabs.com/).

Der klikkes blot på "Start Building"-knappen og Jeopardy'en kan konstrueres. Det er ikke nødvendigt at oprette en bruger. Man bliver bedt om at vælge en adgangskode. Sørg for at eleverne vælger en kode de kan huske. Den er vigtig, hvis der skal rettes i Jeopardy'en. Og det skal der nok, for eleverne laver sikkert fejl.
Selve indtastningerne foregår blot ved at klikke på de felter, hvortil der skal indtastes.

Når quizzen er færdig, gemmes den via Save-knappen nederst på siden, hvorefter quizzen får tildelt en hjemmeside - sørg for at du får linket af eleverne..
Det er selvfølgelig meningen, at eleverne skal prøve hinandens quizzer. Lad eleverne sidde sammen to og to om en computer, hvor de selvfølgelig skal spille mod hinanden.
Man går blot ind på Jeopardy'ens hjemmeside, vælger antal spillere og spillet kan starte. Eleverne holder selv styr på pointgivningen.

Goddag - ved du hvad...

Et eksempel på en lidt anderledes repetition:
Jeg har på forhånd på nogle ark skrevet en række repetitionsspørgsmål til et givet emne. I dette tilfælde havde jeg lavet 2 ark hver med 12 spørgsmål til trigonometri.
Hver elev får udleveret et af de to ark.
Den enkelte elev skal nu finde en klassekammerat, som kan besvare et af spørgsmålene. Eleven vælger fra arket, det spørgsmål, der skal besvares. Der må ikke vælges mellem spørgsmålene. Svaret skrives i stikordsform på arket og personen, som kunne svaret, skriver desuden under ud for spørgsmålet.
Eleven finder nu en ny klassekammerat, som stilles et af de øvrige spørgsmål på arket.
Det gælder selvfølgelig om at få udfyldt sit ark hurtigst muligt, dog med følgende regler:
1) Det skal være forskellige klassekammerater, der har svaret på spørgsmålene på arket.
2) Hvis en kammerat ikke kan besvare spørgsmålet, så skal man gå videre til en anden. Det er ikke tilladt at stille kammeraten et andet spørgsmål fra arket.
Ud over repetitionen, kommer eleverne op og stå og får rørt sig lidt - kan evt. kombineres med en Walk-and-Talk. Eller eleverne kan tvinges til lidt mere motion ved at placere dem på nogle poster, der har en vis indbyrdes afstand. Efter udveksling af spørgsmål skal eleven, der har stået længst tid på posten skifte til en anden post. Man kan desuden sige, at det ikke er er tilladt at stille spørgsmål til en på samme post mens der ventes på nye personer til posten.
Her er mine spørgsmål til trigonometri: Link

NB! Ideen har jeg "hugget" fra en deltager på matematiklærerforeningens HF-konference foråret 2015. Tak for ideen. Du kan se mere fra konferencen her: Link.

Introduktion til chi2

I dag er jeg i min 1g-klasse startet på chi2-test. Det bliver en lidt forhastet gennemgang, da vi skal benytte chi2-test i et AT-forløb efter påske.
I det første modul har jeg med klassen arbejdet med, hvordan man kan afgøre, om der er forskel på observerede værdier og forventede værdier. Eleverne arbejder med opgaver, hvor de bl.a. skal komme med forslag til, hvordan man vurdere forskel mellem observerede og forventede værdier.
Opgaverne er også designet, så stikprøvens størrelse kan diskuteres.
Det er selvfølgelig meningen at vi ved fælles hjælp, når frem til formlen for bestemmelse af chi2-teststørrelsen.
Om den fundne teststørrelse så er stor eller lille lader jeg hænge lidt i luften som en lille cliffhanger.

Helt bevist introducerer jeg ikke de smarte kommandoer i Maple til udregning af teststørrelse og p-værdi. Det er vigtigt for mig, at eleverne kan foretage beregningerne "manuelt". Det er med til at give eleverne en bedre forståelse for, hvad der sker. Der kan jo afhængig af antal frihedsgrader være lidt mange beregninger, så det er planen, at eleverne selv skal opbygge et regneark, der kan benyttes til at bestemme teststørrelsen.
Det benyttede arbejdsark ligger her: Link
Selve modulet var struktureret som en vekselvirkning mellem diskussioner i par og opsamling på klassen. Vi nåede næsten at gennemgå hele arbejdsarket.
Nu er det blot spændende om eleverne overhovedet kan huske noget, når vi mødes igen efter påske. Jeg tror lektien bliver, at de skal løse en lignende opgave - sikkert en stilladseret version af en tidligere eksamensopgave.

Eksamensopgaver - anderledes aflevering

Når eksamen nærmer sig, regner vores hold typisk rigtig mange eksamensopgaver. Jeg tror godt, vi kan få mere ud af elevtiden ved ikke kun at bede eleverne regne en masse eksamensopgaver, som de skal kunne ved den skriftlige eksemen.
Nedenfor er lidt forskellige ideer til, hvordan man kan arbejde lidt anderledes med f.eks. eksamensopgaver (nogle af ideerne har jeg beskrevet tidligere) :
1) Fokus på kommentarer i besvarelsen
Jeg har regnet alle opgaver. Elevernes opgave er nu at skrive de ledsagende kommentarer, så besvarelsen opfylder de "5 pinde" til layout.
En lille sidegevinst er, at jeg f.eks. kan vise eleverne smarte løsningsmetoder i matematikprogrammet.
2) Fokus på udregninger
Jeg har skrevet de ledsagende kommentarer og eleverne skal så udfylde med beregninger. Alternativt kan man bede eleverne alene fokusere på beregninger, så de ikke behøver bruge så meget tid på skrivning af tekst.
3) Specielt fokus i besvarelsen
Jeg angiver en række fokuspunkter, som eleverne skal væres specielt opmærksomme på i besvarelse. Det kunne f.eks. være at medtage ledsagende grafer og at markere beregnede løsninger på grafen. Eller det kunne være at der skal opstilles og argumenteres for ligninger, inden der indsættes i solve.
Man kunne også bede eleverne selv finde 5 fokuspunkter fra feedback, de har fået i tidligere hjemmeopgaver.
Bed altid eleverne angive fokuspunkterne i starten af deres besvarelse. Det skærper forhåbentlig deres opmærksomhed på punkterne.
4) Fokus på metoden
I stedet for at regne alle opgaver i et eksamenssæt, så kunne man i nogle af opgaverne bede eleverne forklare den metode, der skal benyttes til at løse opgaven.
5) Flere om et eksamenssæt
Lad eleverne være sammen 2 og 2 om at regne et eksamenssæt. I et modul med omlagt undervisning gennemgår eleverne i par alle opgaver og nedskriver metoder. Herefter uddeler eleverne opgaverne og regner individuelt.
Lige før aflevering (f.eks. i en matematiktime) får parrene tid til at sammensætte deres besvarelse og til at gennemgå hele besvarelsen, så begge synes hele besvarelsen er tilfredsstillende.
Alternativt kan eleverne indledningsvis blot fordele opgaverne som de hver i sær skal regne. Der er så afsat et modul med omlagt skriftlighed lige inden aflevering, hvor eleverne finpudser den samlede besvarelse. Det er vigtigt her, at eleverne bruger tid på at gennemgå alle opgaveløsninger.
6) Hele klassen indleder i fællesskab
Alle elever i klassen har et blankt stykke papir og en blyant.
Første spørgsmål i hjemmeopgaven vises på storskærm og eleverne har nu 1 minut til at nedskrive ideer/løsningsmetode til spørgsmålet.
Efter 1 minut rækkes papir til sidemanden og alle har nu 1 minut til at kommentere 2. spørgsmål.
Processen fortsætter gennem hele opgavesættet.
Dermed får alle stikord, der kan bruges ved løsning af hjemmeopgaven.
Det er nok de svageste elever, som får mest ud af stikordene, men de gode elever får fin træning i hurtigt at spotte løsningmetoder.
7) Fokus på tjek af løsninger
Find en gammel hjemmeopgave frem - evt. den eleverne lige har fået tilbage. Elevernes skal nu finde på måder at tjekke resultaterne på.

Arbejde med eksamensopgaver

Jeg starter meget tidligt med at lade mine elever løse eksamensopgaver fra tidligere skriftlige eksamener.
Mange eksamensspørgsmål er formuleret på et relativt højt taksonomisk niveau, hvis man f.eks. prøver at placere spørgsmålene i relation til SOLO-taksonomien. Eksempler på sådanne spørgsmål kunne være bestemmelse af tangent, monotoniforhold, areal mellem to funktioner, sidelængde/vinkel i trekanter, regression, optimering, ... 
Spørgsmål som disse er typisk formuleret på multi-strukturelt niveau eller højere.

Når eleverne ikke har en dybdeforståelse af et emne, kræves en bearbejdning af de oprindelige eksamensspørgsmål. Jeg udvider således opgaven med flere delspørgsmål (stilladsering), der fungerer som en guide for eleverne.
Udvidelsen kan have flere forskellige formål:
1) Hjælpespørgsmål til løsning af spørgsmålet
2) Synliggøre metoden der skal benyttes
2) Tvinge eleverne til at benytte en specifik løsningsmetode (beregning, konstruktion, grafisk, eksperimenterende, uden hjælpemidler)

En typisk opgave kunne være følgende:

Eksempel på brug af ekstra hjælpespørgsmål:
1) Bestem f(2) - forklar betydningen
2) Bestem f '(x) - forklar betydningen
3) Bestem f '(2) - forklar betydningen
4) Angiv formlen for tangentligningen (hvad betyder x₀?)
5) Indsæt de kendte værdier i tangentligning og forkort

Eksempel på metodeløsning:
1) Du skal benytte tangentligningen - hvordan ser den ud?
2) Hvilke oplysninger benyttes i tangentligningen? Hvordan bestemmes de?
3) Bestem de manglende værdier, der skal indsættes i tangentligningen?
4) Bestem tangentens ligning.

Eksempel på krav til given løsningsmetode (grafisk):
1) Indtegn funktionen
2) Afsæt punktet (2, f(2))
3) Indsæt tangent i punktet (2, f(2))
4) Beskriv den metode du har benyttet
5) Placer værdier for indtastede og bestemte oplysninger i grafvinduet og juster akserne, så de interessante dele af grafen er tydelige.
6) Angiv en passende konklusion.

Jo bedre eleverne er til løsning af en given type opgave, jo mindre behøver man at stilladsere opgaven. Ovenstående eksempel benyttes f.eks. første gang eleverne afleverer opgave med tangentbestemmelse. Opgaverne kan evt. stilladseres mere eller mindre (differentieres), så eleverne kan vælge opgaver hørende til deres faglige niveau.
I de tilfælde er det nemmeste at lave stilladsering til de svageste elever først. Oftest skal der blot slettes nogle stilladseringspunkter, når dokumentet til de bedre elever udarbejdes.
Alternativt kan hjælp til opgaverne placeres i et særskilt dokument, hvori eleverne kan søge hjælp, hvis de har brug for det.

Begrebsindlæring med matematikprogram (Geogebra)

I disse uger holder jeg en række oplæg om brugen af matematikprogram til bl.a. styrkelse af elevernes begrebsindlæring og træning af ræsonnementskomptence.
Det er min erfaring, at hvis eleverne selv eksperimenterer sig frem til erkendelser, så er det også nemmere at huske frem for, at læreren står ved tavlen og forklarer f.eks. begrebers betydning. Og til dette kan vi med fordel benytte matematikprogrammerne.
Vi kan gøre brug af skyder, spor, regression, trække i objekter, funktionsundersøgelse ... Muligheder er der nok af. Det er nok mere et spørgsmål om at se mulighederne.
Vedhæftet min powerpointpræsentation med ledsagende materiale, der giver eksempler på, hvordan Geogebra kan benyttes til sådanne eksperimenter. Hvis du bruger nSpire, er jeg sikker på, det er nemt at overføre eksemplerne dertil.
Til hvert eksempel har jeg lavet en lille screencast, der demonstrerer, hvordan eksemplet et konstrueret. For de fleste dias er der også tilknyttet en Geogebrafil hørende til eksemplet.
Det vedhæftede dokument er en zippet-fil. Pak filen ud og start powerpointfilen Geogebra præsentation (Link).

Sandsynlighedsfunktioner

I min 3g-klasse mangler vi at beskæftige os med en af de obligatoriske sandsynlighedsfordelinger. Valget er faldet på binomialfordeling, hvilket skyldes, at klassen har samfundsfag på A-niveau, så det vil være oplagt at kigge på meningsmålinger i relation til f.eks. folketingsvalg.
Vi arbejdede med chi²-test i 1.g, så jeg vil desuden benytte lejligheden til at få repeteret det emne og samtidig vil jeg lave en kobling mellem integralregning og sandsynlighedsregning.
I første omgang starter vi forløbet med at kigge på forskellige sandsynlighedsfunktioner.
Jeg vil gerne vise eleverne, at der findes forskellige sandsynlighedsfunktioner afhængig af hvilket type problem man står overfor. Og jeg vil også gerne synliggøre forskellen på kontinuerte og diskrete sandsynlighedsfunktioner.
Jeg har derfor udarbejdet et arbejdsark (Maple-dokument), hvor eleverne undersøger og sammenligner følgende sandsynlighedsfunktioner:
1) Chi²-funktioner
2) Normalfordeling
3) Binomialfordeling
4) Poissonfordeling (medtaget da en af eleverne anvendte det i sin SRP)
Eleverne skal undersøge karakteristika ved funktionstyperne og samtidig repetere begreber fra Chi²-test som signifikansniveau, kritisk værdi, p-værdi, nulhypotese... Og vi vil selvfølgelig diskutere, hvordan test-begreberne kan overføres til de andre fordelingstyper. Bl.a. kommer vi til at tale om en- og to-sidet test.

Det er meningen, at eleverne arbejdet med det udleverede ark, og at jeg så med jævne mellemrum stopper eleverne og tager en snak om de ting, de har fundet ud af. Jeg vil helst have eleverne i mindre grupper ved disse samtaler, så klassen opdeles i mindst 3 hold, hvor jeg taler med holdene hver for sig.
Eleverne skal løbende udfylde Maple-dokumentet med deres konklusioner, således at dokumentet f.eks. kan benyttes til den mundtlige eksamen. Eleverne vil ikke få nogen anden lærebog - det er vigtigt at gøre det klart for eleverne i starten af forløbet.

Skriftlige eksamensopgaver

Jeg har tidligere skrevet om de 5 pinde (Link), der skal tages højde for, når skriftlige eksamensopgaver bedømmes.
Min 1g-klasse er nu fået så meget træning i arbejde med funktioner, at de med få tips kan løse delen med hjælpemidler fra HF-B eksamen. Jeg har allerede introduceret, hvordan man differentierer og integrerer ved hjælp af Maple, så disse opgaver kan også løses, selvom den bagvedliggende teori ikke har været behandlet.
Eleverne har netop løst HF-B sættet fra december 2014. I min retning fokuserede jeg på de 5 pinde og jeg gav eleverne point for hver opgave. I de fleste opgaver angav jeg kun pointtal. Dog forklarede jeg, hvad der var galt, hvis opgaven var løst forkert.
Som forberedelse til timen efter eleverne havde fået deres besvarelse retur, skulle eleverne genlæse de 5 pinde og overveje årsagen til de point jeg havde trukket i deres besvarelse.
I timen talte vi først lidt om kriterierne, hvorefter eleverne 2 og 2 diskuterede deres besvarelser og manglende point.
Jeg tror, det var lidt af en eye-opener for eleverne: "Trækker det virkelig ned, hvis....?"
Indrømmet jeg var lidt hård i mit pointfratræk, men det blev gjort i pædagogikkens navn :-).
I dag afleverer eleverne så et nyt HF-B sæt. Som opgave 0. skal eleverne angive 5 fokuspunkter, som de vil fokusere på i deres aflevering. Disse fokuspunkter skal findes i tidligere afleveringer. Jeg afslutter altid en aflevering med lidt generelle kommentarer til besvarelsen. Det er blandt disse kommentarer eleverne skal udvælge deres fokuspunkter.
Ved retningen af denne opgave vil jeg skrue endnu mere ned for mine kommentarer og stort set kun give point for opgaverne. Planen er så at eleverne i den kommende hjemmeopgave skal forklare manglerne i de opgaver, hvor der ikke er opnået 10 point.
Mit håb er selvfølgelig, at jo før og jo bedre jeg får lært eleverne en god stil, jo mindre skal jeg bruge energi på at kommentere formalia i afleveringerne.

Differentialligninger - sådan gik det...

Det var så emnet differentialligninger - et emne som altid volder eleverne store problemer. I år har jeg struktureret gennemgangen på følgende måde:

• Kort introduktion til hvad en differentialligning er.
• Løsning af opgaver med differentialligninger til prøven uden hjælpemidler
• Løsning af opgaver med differentialligninger til prøven med hjælpemidler
• Grundigt arbejde med hvad en differentialligning er for noget og hvordan løsningerne hørende til differentialligninger ser ud - fokus på linjeelementer og plot af linjeelementer
• To beviser for differentialligningen y' = k*y (eksistens og entydighed samt brug af separationsmetoden) - de fagligt stærke elever fik også lov til at bevise separationsmetodens gyldighed.
• Projekt om logistisk vækst (afleveret som hjemmeopgave), hvor der blev fokuseret på karakteristika og beviser for løsningsformlen.
• I denne uge har vi haft 4 moduler (95 minutter). I de moduler har vi samlet op, holdt oplæg for hinanden (karakteristika og beviser) og indspillet en række videoer:
  mandag: Videoer der generelt beskriver differentialligninger samt video der forklarer karakteristika ved logistisk vækst (indledning til mundtlig eksamen)
  Tirsdag: Videoer med beviser (eksistens/entydighed samt separation) på løsningsformlen for y' = k*y
  Torsdag: Videoer med eksistens og entydighedsbevis for logistisk vækst
  Fredag: Videoer med separationsbevis for logistisk vækst samt arbejde med opstilling af differentialligninger ud fra sproglig forklaring.

De tre første dage skulle der optages to videoer. Jeg strukturerede det således, at eleverne var opdelt i grupper på 4-6. Halvdelen i hver gruppe forberedte grundigt den ene video, mens den anden gruppe forberedte den anden video. Inden videoerne måtte optages skulle gennemgangene vises for mig og den anden halvdel af gruppen.
Den sidste dag var eleverne også opdelt i mindre grupper. Alle forberedte samme bevis. Der blev trukket lod om hvem der skulle vise beviset for mig og hvem der skulle optage beviset på video.
Vi afsluttede forløbet med at evaluere forløbet og jeg blev lidt overrasket over elevernes feedback. Eleverne er langt mindre afskrækket af differentialligninger end min erfaring fra tidligere hold. Og det gælder både i relation til mundtlig og skriftlig eksamen. De fleste synes ikke differentialligninger er et sværere emne end andre emner. Det overrasker mig noget.
Hvorfor gik det tilsyneladende så godt?
Flere nævner at det er rart at starte med at løse opgaver, så man får en fornemmelse for emnet.
Selv tror jeg linjeelementerne er med til at give eleverne en god forståelse for løsningsfunktionerne og så at vi har brugt den sidste uge på at samle op på de relevante ting omkring differentialligninger. Her har eleverne haft tid til at fordybe sig i emnet og har haft mulighed for at arbejde grundigt med stoffet i mindre grupper.
Det var min fornemmelse, at det fungerede godt, at beviserne blev gennemgået to gange med en lille pause imellem. I første omgang arbejdede eleverne lidt mere uforpligtende med beviser - der fokuserede vi mest på bevisstrukturerne. Den grundige behandling af beviserne kom så her i denne sidste uge, da eleverne skulle gennemgå beviserne for hinanden og optage beviserne på video.
Jeg tror, jeg vil afprøve denne metode igen på et senere forløb - altså at afslutte et forløb med at lave en intensiv opsamling med beviser gerne optaget på video.

Repetition af funktionskarakteristika

Som afslutning på lineære og eksponentielle funktioner (potensfunktioner er udskudt - nu skal vi lavet noget andet end funktioner) har eleverne i dag lavet et opsamlingsark, som sammenligner de to vækstformer.
Eleverne var blevet bedt om at repetere stoffet ved at gennemlæse de relevante sider i deres væksthæfte.
I timen blev eleverne sat sammen i grupper på 3, hvor de skulle udfylde felterne i et skabelonskema nedenfor (Link).

Det fungerede fint, at skemaet blev udfyldt på en computer. Efterfølgende udvekslede eleverne, det udfyldte skema.
Jeg oplevede, at eleverne fik rigtig mange gode diskussioner ved udfyldelsen af skemaet.
For at få alle elever til at sige noget, vil jeg en anden gang stille som krav, at eleverne på skift  forklarer, hvad der skal stå i et af felterne. Den elev, som skal forklare et felt, må selv bestemme, hvilket felt der skal udfyldes.

Grupperepetition med lidt bevægelse

I 1g har min kandidat afholdt opsamling på lineære og eksponentielle funktioner i form af en lille konkurrence mellem grupper.
Konkurrencen fungerede fint, men hvis jeg skulle bruge konkurrencen ville jeg nok designe den på følgende måde:
Eleverne opdeles i grupper på 3-4 personer (3 er bedst), hvor det sikres at grupperne er nogenlunde lige gode mht. matematiske evner.
Grupperne placeres lidt spredt fra hinanden og i en vis afstand fra læreren. Jo større afstand jo mere motion.
Der konstrueres en række opgaver (gerne af varierende sværhedsgrad) som klippes i stykker, så der er en stak med opgaver til hver gruppe. Disse stakke placeres på lærerens bord.
Gruppernes opgave er nu at løse så mange af opgaverne som muligt på tid. Vi spillede i ca. 30 min og det var et passende tidsinterval. Ved længere tid tror jeg eleverne vil miste lysten.
Spillet startes ved at en fra hver gruppe henter opgave 1, som så skal løses af gruppen i fællesskab. Når gruppen har et bud på opgavens resultat, bringes svaret til læreren, som skal godkende svaret. Hvis svaret er forkert må eleven returnere til gruppen, som forsøger at bestemme den korrekte løsning. Ved korrekt svar går gruppen gå videre til næste opgave.
Lærerne noterer løbende på tavlen, hvilke grupper der har løst hvilke opgaver. Det fungerer i hvert fald udfordrende i klasser, der kan lide at konkurrere.
Hvis en gruppe ikke kan løse en opgave, så må de gerne fortsætte til næste opgave. Senere kan gruppen, hvis tiden tillader det, vende tilbage til oversprungne opgaver.
Sørg for at opgave1 ikke er for svær. Ellers kan man risikere, at grupper "falder sammen" inden spillet rigtigt er kommet i gang.

Powerpoint i matematiktimen

Powerpoint og lignende præsentationsprogrammer er gode værktøjer til oplæg mm. Men præsentationsprogrammer synes jeg også kan benyttes til at fremme elevernes forståelse for matematik.
Vi har en række beviser/begreber ,som kræver en graf med tilhørende indtegning af punkter, funktioner, hjælpelinjer, ... I bogen ses kun den endelige figur, og derfor har eleverne ofte svært ved at forstå rækkefølgen hvorpå, de enkelte elementer er tilføjet figuren. Eksempler på sådanne kan være
- bevis for a ud fra to punkter, når ensvinklede trekanter benyttes
- bevis for fordobling-/halveringskonstant ved eksponentielle funktioner
- forklaring af sammenhæng mellem sekant og tangent
- mange beviser i forbindelse med vektorer
De fleste elever kan allerede tilføje animationer til powerpoint, så det kræver ikke megen instruktion før eleverne er i gang med at konstruere præsentationerne.
Mine elever i 1g har netop afleveret sådan en præsentation med udledning af formlen for fordoblings-/halveringskonstant.
Jeg ville gerne have forklaringer med i elevernes aflevering, så eleverne blev bedt om at aflevere en screencast (www.screencast-o-matic.com), hvor de forklarer de enkelte led i deres præsentation.
Her er et skærmbillede fra en af præsentationerne (grafen blev lavet i Geogebra og så kopieret ind i Powerpoint):

En alternativ måde at benytte Powerpoint på er, at læreren laver præsentationen, og eleverne så skal forstå, hvad præsentationen viser. Jeg har lavet et sådant eksempel til cosinusrelationen (Link). Også her kan man lade eleverne afslutte med at lave en Screencast.

Hvem husker det først... ?

Jeg havde behov for lidt afveksling til at træne 1g-ernes forståelse af diverse begreber. Konkret i relation til lineære og eksponentielle funktioner.
Eleverne blev inddelt i grupper på helst 4 personer og helst på samme faglige niveau. Grupperne placerede sig omkring hver sit et bord, hvor alle kunne nå den genstand, som lå midt på bordet. Det kan f.eks. være et viskelæder, en tusch... Vælg ikke noget der kan gå i stykker (mobiltelefon) eller noget der er skarpt (blyant). I enkelte grupper kan det gå lidt vildt til.
Jeg havde lavet en række spørgsmål, som hver gruppe fik udleveret. Spørgsmålene havde jeg limet op på gamle spillekort. Tykt papir eller laminering er selvfølgelig også en mulighed.
Der trækkes lod om, hvem der skal læse første spørgsmål op, da den der læser op ikke må svare på spørgsmålet.
Når spørgsmålet er læst op, tager man genstanden på bordet, hvis man kender svaret. Den der er hurtigst får lov til at svare. Svares der forkert, straffes man med at skulle læste næste spørgsmål op (så må man nemlig ikke svare). Spørgsmålet, der ikke blev besvaret korrekt, lægges nederst i bunken med spørgsmål.
Ved korrekt svar (de andre i gruppen skal godkende svaret) får man et point og skal samtidig læse næste spørgsmål op.
Dokumentet med spørgsmålene ligger her (Link).
Jeg tror dokumentet overholder Sidsels regler (Et lærervenligt layout). Hvis ikke beklager jeg selvfølgelig, men det er et dokument, jeg har lavet for nogle år siden :-).