Stationstræning

Det var tid til at få afsluttet vektorer i rummet med mit 3g-hold. Vi manglede lige at få kigget nærmere på krydsproduktet. Eleverne havde i sidste modul og hjemme forberedt lidt småbeviser i relation til krydsproduktet. Vi definerer krydsproduktet ved hjælp af dets koordinater, så ortogonalitet i forhold til de oprindelige vektorer, arealformlen for parallelogram i rummet samt parallelle vektorer krævede lidt argumenter og beviser.
Jeg delte klassen op i 4 hold som på skift skulle komme ind i lokalet og være med til at gennemgå beviserne.
Vi har allerede perifært berørt begrebet differentialligninger, så til de hold, der ikke gennemgår beviser havde jeg "oprettet tre stationer", eleverne skulle cirkulere mellem. På disse stationer var tanken at give eleverne en bedre forståelse af differentialligninger og hvad de kan anvendes til. Jeg havde følgende stationer:
1) gæt hvordan ændringen i temperatur teoretisk udvikler sig for en kop kaffe - ledsaget med lidt hjælpespørgsmål.
2) Opfind en lille realistisk historie som passer med nogle opgivne differentialligninger - f.eks. y' = 0,4y
3) Tidligere eksamensopgaver uden hjælpemidler, hvor differentialligninger indgår. Det er vigtigt, at eleverne er helt med på betydningen af y' samt hvad den størrelse kan bruges til og hvad den siger noget om.
Selve timen var struktureret således at hvert hold havde 20 minutter på hver station, hvorefter de skulle videre til næste station. Stationerne var placeret i hvert sit lokale (opgaveformuleringerne var undtagelsesvis printet ud på papir), så eleverne fik også rørt sig lidt. Eleverne nedskrev deres løsninger på papir, så næste gruppe kan sammenligne resultaterne.
Jeg var jo bundet i lokalet med gennemgang af krydsprodukt, så på de andre stationer var eleverne overladt til sig selv. Det gav lidt frustrationer blandt eleverne, da de specielt i stationen med kaffekoppen havde problemer. Men jeg tror de fik diskuteret problemstillingen godt og ikke bare kastede håndklædet i ringen. Og det var også lidt min intension.
Jeg nåede desværre ikke  specifikt at høre eleverne om hvad de syntes om stationsmodellen. Det vil jeg gøre i næste modul, hvor jeg selvfølgelig vil forsøge at få skabt mere overblik over differentialligningerne.
Det gik fint med gennemgangen af krydsproduktet - alle eleverne kom på banen, netop fordi de kun var 8 deltagere ved hver gennemgang.
NB! Stationsmodellen er beskrevet nærmere på inspirationssiden fra matematikkurset "Elevaktivering i matematik".

Opsamling på beviser

I sidste modul i min 2g-klasse arbejdede eleverne i grupper med forskellige trigonometriske beviser (Se indlægget Bevisgennemgang), hvor de bl.a. lavede videoer med beviserne.
I dag var det så tid til at få erfaringsudvekslet beviserne. Lektien til i dag var at træne eget bevis, samt at se og forberede en af de andre bevisvideoer.
Eleverne blev opdelt i matrixgrupper, så der var en ekspert på hvert bevis i hver gruppe. Eleverne gennemgik nu beviserne for hinanden og søgte hjælp i videoerne, hvis der var problemer med et bevis, og jeg ikke lige var i nærheden.
Jeg cirkulerede mellem grupperne og fik set en hel del flotte bevisgennemgange.
Timen sluttede med dynamisk konstruktion af de forskellige trekanttilfælde i Geogebra - disse konstruktioner er det planen at optage med screencast i næste modul.
Eleverne feedback fra timen var, at de havde lært en del om ræsonnement (ikke lige elevernes ord :-) ), og at de havde fået en god forståelse for cosinus- og sinusrelationerne.

"Skattejagt" på skolen

Hvis jeg i et modul synes der er behov for et break, sender jeg af og til eleverne på en lille "skattejagt" på (en begrænset del af) skolen.
Jeg har på forhånd nedskrevet 7-10 opgaver (løses uden hjælpemidler) på papir og hængt dem op rundt på skolen.
Eleverne skal nu to og to finde alle opgaver og selvfølgelig løse dem.
Svarene på opgaverne har jeg evt. angivet på et stykke papir, der ligger i klassen. Svarene er typisk ikke angivet i rækkefølge.
Ofte deler jeg seancen op i to for at undgå trængsel. Mens halvdelen af klassen er på skattejagt, har jeg bedre tid til at snakke med de resterende elever i klassen.
Skattejagten behøver ikke tage mere end 10 minutter.
I dette konkrete tilfælde har jeg på 8 stykker papir tegnet forskellige trekanter med udvalgte sidelængder og vinkler. Elevernes opgave er så, at opskrive den formel med indsatte tal, der skal benyttes til at bestemme den efterspurgte side/vinkel.

Bevisgennemgang

Efter eleverne nu har fået gennemgået de centrale beviser hørende til trigonometri, så skal vi i dag træne beviser. Jeg vil bl.a. bede eleverne fokusere på starten af beviset (se evt. indlægget Start på bevis).
Det er vigtigt for mig, at eleverne aktives også under bevisgennemgangen. Så derfor har eleverne til dagens time fået ét bevis, som de skal forberede hjemme, så beviset kan gennemgås i klassen. Jeg har fordelt beviserne (cosinusrelation (2 forskellige beviser, cosinusrelation i stumpvinklet trekant, samt arealformel og sinusrelation), så de bedste elever får de sværeste beviser (cosinusrelationen i stumpvinklet trekant - de skal selv lave beviset).
På en tavle gennemgår eleverne nu i grupper på 6 gennemgå eleverne nu i fællesskab deres forberedte bevis. Jeg har sørget for et klasselokale til hver gruppe. Herefter opdeles hver 6-mands gruppe i 2 undergrupper på hver 3 medlemmer. I disse mindre grupper skal beviset optages på video og efterfølgende uploades til vores trigonometri-hjemmeside. Vi får således hvert bevis gennemgået i to videoer.
Hver elev får selvfølgelig kun repeteret ét bevis, men videoerne vil bliver brugt som forberedelse til næste modul, hvor vi vil lege "Kom og lær et bevis".
Vi  bruger ikke hele modulet på beviserne - resten af modulet benyttes til træning i at gennemskue hvilken trekantformel, der skal bruges i hvilken situation.

Kuvertopgaver

Jeg har uden på en række kuverter sat nogle forskellige opgaver fast.
Eleverne skal i grupper på to tage en kuvert og nedskrive løsningen på "deres" opgave på et stykke blankt papir. Når opgaven er løst, lægges løsningen i kuverten og eleverne henter en ny kuvert.
I slutningen af timen eller i næste time får hver gruppe ansvaret for at lave en god besvarelse af en af opgaverne. Der kan søges inspiration i alle de svar, som ligger i den pågældende kuvert.
Det kunne evt. være lektien til næste time at få lavet en eksemplarisk besvarelse.
Der skal selvfølgelig være så mange kuverter, at alle grupper kan få en kuvert. Det fungerer lidt mere flydende, hvis der er et par kuverter i overskud, så der altid er en opgave tilgængelig.
Man kan desuden bede eleverne skrive deres navne på bagsiden af kuverten, når opgaven er regnet. Så kan der også være lidt konkurrence om at nå flest opgaver.
Jeg vil bruge denne form til at træne eleverne i at benytte de korrekte formler i trigonometri-opgaver. Denne gang vil jeg derfor ikke have eleverne skal regne opgaverne, men vil blot bede dem angive, hvilken formel som skal benyttes til de enkelte spørgsmål. Der skal selvfølgelig argumenteres for valget.
Jeg benytter følgende tidligere eksamensopgaver - link.
Jeg har tidligere benyttet samme metode til træning af opgaver uden hjælpemidler.

Start på bevis...

Så fik eleverne afleveret deres hjemmeside, som skulle handle om ens- og retvinklede trekanter. Bl.a. med fokus på formlerne med sinus, cosinus og tangens, som de fleste have valgt at optage på video ved tavlen. Se evt. indlægget Trigonometri fra 2/1 2014.
Det gik fint med selve beviserne men starten på de enkelte beviser havde eleverne ikke styr på.
F.eks. valgte langt de fleste grupper ved beviserne for sinus- og cosinus-formlerne at starte med standardtrekanten.
Herudover var eleverne ikke gode nok til at præcisere hvor, hvornår og hvilke definitioner der blev brugt i de enkelte beviser.
I morgendagens time vil jeg fokusere på starten af beviser. Jeg vil bede eleverne lave en skriftlig indledning til  beviserne for:
1) sinus- og cosinus- formlerne i retvinklede trekanter
2) tangens-formlen i retvinklede trekanter
3) cosinus-relationen
4) sinus-relationen
Først vil jeg lade eleverne arbejde to og to. Efterfølgende vil jeg sætte eleverne sammen 4 og 4, hvor de så skal gennemgå starten på beviserne for hinanden - og for mig.
Jeg har indtastet formler og figurer i et dokument, hvor eleverne så blot skal skrive teksten (link).
Når eleverne er færdige med deres indledninger skal de træne løsning af trigonometriopgaver - i første omgang genkendelse af hvilken formel, der kan anvendes i aktuelle opgaver.
Mere herom i mit indlæg Kuvertopgaver fra 20/1 2014.

Eleverne laver opgaver til hinanden

Jeg kan godt lide at lade eleverne lave opgaver - og meget gerne til hinanden. Hvis eleverne selv skal konstruere opgaver, så kræver det at de forstår emnet. Så det er med til at få eleverne til at forstå emnerne.
Og så synes mange elever det er rigtig sjovt at konstruere opgaver til klassekammeraterne.
Det bør dog pointeres, at man selv skal kunne regne de opgaver man giver videre til klassekammeraterne. Der skal selvfølgelig også stå navn på opgaverne, så man har mulighed for at søge hjælp, hvis man har problemer med at løse en opgave.
I dag har vi arbejdet med cosinusrelationen.
Jeg bad eleverne konstruere opgaver med ikke retvinklede trekanter, hvor 3 oplysninger om sider/vinkler skulle være kendt.
Kravet til de kendte oplysninger er, at de resterende sider/vinkler SKAL kunne bestemmes ved hjælp af cosinusrelationen.
Ideen med dagens opgaver var selvfølgelig, at eleverne skulle få en forståelse af, hvilke type informationer i trekanten, der skal være kendt for at cosinusrelationen kan anvendes. Jeg tror på at eleverne lærer dette nemmere ved selv at konstruere opgaver, end ved at regne en masse præfabrikerede opgaver.
To drenge havde problemer med solve i Maple - resultaterne var imaginære. Så fik vi os en lille snak om deres valgte kendte oplysninger overhovedet ville give en trekant - det var nemlig ikke tilfældet.

Forskellige beviser

Jeg bryder mig ikke om at gennemgå beviser på tavlen, da det stort set er umuligt at ramme et niveau i gennemgangen, som passer til de fleste elever:
- de gode elever synes ofte gennemgangen går for langsomt
- de svage elever har svært ved at følge med og er med til at trække tempoet i gennemgangen ned. Og dermed kommer de gode elever til at kede sige endnu mere
- middeleleverne derimod er glade for fælles gennemgang i klassen, da tempo passer til deres niveau.

Dette synes jeg giver alt for meget spildtid. Så fælles tavlegennemgang forsøger jeg at undgå. I dag gjorde vi følgende:

Til dagens time havdew eleverne i min 2g-klasse forberedt to forskellige beviser på cosinusrelationen - det ene bevis lavet som Powerpoint-præsentation uden forklaringer og det andet bevis skulle laves ved hjælp af en "opskrift".
Link til beskrivelse af opgaven, powerpoint-præsentationen (vælg download).

Jeg opdelte eleverne i grupper på 4, således at alle elever i hver gruppe havde forberedt sig på det samme bevis. Grupperne blev fordelt i forskellige lokaler, hvor de så i fællesskab skulle gennemgå "deres" bevis ved tavlen. De hurtige grupper regner efterfølgende opgaver.
Den sidste halve time af modulet blev grupperne splittet op, således at de nye grupper består af 4 elever, hvor 2 personer er eksperter på hvert deres bevis. Eleverne gennemgår nu "deres" bevis for hinanden.
Jeg bruger forskellige beviser for at skærpe elevernes koncentration ved gennemgang. Det er for nemt at melde sig ud, hvis man allerede selv har arbejdet med beviset. Og så synes jeg også eleverne skal se, at der ikke nødvendigvis findes ét bevis.
At beviset bliver gennemgået i små grupper gør også, at eleverne diskuterer og erfaringsudveksler langt mere. Og så gør det ikke noget at eleverne har forskelligt fagligt niveau. Nogle gange laver jeg dog grupper, hvor der tages hensyn til elevernes niveau. Det vil jeg typisk gøre, hvis vi skal gennemgå beviser af forskellige sværhedsgrad.

Beviser der ligner

I stedet for at gennemgå beviser på tavlen, så benytter jeg nogle gange princippet "beviser der ligner". Med mine 3g'ere skal vi bevise formlerne for linjens parameterfremstilling og planens ligning.
Lektien til eleverne har været at genlæse beviserne for linjens parameterfremstilling og linjens ligning hørende til plangeometri.
Eleverne bliver nu bedt om at kopiere disse to beviser for at bestemme linjens parameterfremstilling og planens ligning i rumgeometri.
Det er vigtigt at eleverne lærer at se systemer - og at det også gælder i beviser, hvor de samme teknikker ofte anvendes.
Jeg opdeler eleverne i grupper på 4 personer, hvor de 2 skal starte med parameterfremstillingen mens de 2 andre starter med ligningen.
Herefter gennemgår gruppen i fællesskab de to beviser - forhåbentlig kan der findes lokaler/tavler på skolen, så der kan arbejdes stående.
Metoden er inspireret af konferencen elevaktivering i matematik.

Opgavetræning - mange opgaver

I dag har vi brugt noget at modulet på opgaveregning. I stedet for at alle regner samme opgave har jeg på A4-papir skrevet opgaver, som skal løses 2 og 2. Så antallet af opgaver svarer til halvdelen af klassestørrelsen.
Eleverne begynder nu to og to at løse den opgave de har fået udleveret.
Efter 3-5 minutter stoppes eleverne og de skal nu sende deres ark videre til naboparret.
Når man modtager en ny opgave skal eleverne kontrollere de dele af opgaven, der allerede er lavet og derefter fortsætte løsningen af opgaven.
Det er vigtigt, at eleverne ikke når at regne hele opgaven inden for det afsatte tidsrum.
Efter endnu 3-5 minutter sende opgaverne igen videre.
For at presse eleverne lidt kan man lade et stopur køre på storskærm - Stopwatch kan f.eks. anvendes.
Ideen er fra matematiklærerforeningens konference om elevaktivering i matematik.

Repetition - uden hjælpemidler

Så er det ved at være tid til at få trænet og repeteret opgavetyperne til prøven uden hjælpemidler.
Jeg har aftalt med min 3g klasse at vi i resten af skoleåret starter hver time med at regne en opgave uden hjælpemidler fra tidligere eksamenssæt.
Til hver time er én elev ansvarlig for at få lagt opgaveløsningen ind på klassens hjemmeside (lavet i Google site) således at eleverne kan benytte svarene, når de skal træne til terminsprøve og eksamen.
Jeg har struktureret hjemmesiden i emner, så eleverne hurtigt kan søge efter lignende opgaver.
Det er ikke sikkert, at opgaverne altid vil blive gennemgået. Jeg håber, at den forestående eksamen vil være motivation nok til at i hvert fald de fleste elever får regnet opgaven til hver time.

Reklamer i matematik

I dag har jeg søsat et projekt i min 3g-klasse, hvor eleverne skal efterligne de reklamer, som ofte ligger bag målene i fodboldkampe. Reklamerne har en 3D-effekt, så det ser opretstående ud.
Dette projekt synes jeg er rigtig godt til at eleverne kan arbejde med rumgeometri i praksis og så skader det jo ikke, at eleverne også skal være lidt aktive med opmåling og klipning af figur.
Eleverne skal efter valg af figur og fastsættelse af koordinatsystemets origo og placering af kamera først konstruere løsningen i 2D-versionen af Geogebra.
Der er selvfølgelig udskrevet en konkurrence mellem grupperne om hvem der får lavet den bedste 3D effekt.
Link til projektformuleringen

Geogebra 3D

Rumgeometri synes jeg altid volder eleverne en hel del problemer. Primært fordi de har svært ved at se figurerne for sig - de er ikke vant til at tænke i 3 dimensioner.
Jeg vil i år for første gang bruge Geogebra 5 Beta, som indeholder mulighed for arbejde i 3 dimensioner.
Der mangler lidt faciliteter i forhold til gymnasiepensummet, men langt de fleste gymnasierelevante ting er tilgængelige. Mest irriterer det mig, at den eneste type vinkel, som kan bestemmes, er mellem tre punkter.
Vi brugte første modul på at konstruere os frem til løsningen af en række tidligere eksamensopgaver.
Eleverne var især glade for facilteten, der kunne rotere tegningen. Det hjalp tilsyneladende en hel del på at forstå hvad selve opgaven gik ud på.

Trigonometri

Så blev det hverdag - alt for tidligt....
Med min 2g-klasse skal vi i gang med trigonometri. Jeg skyder altid dette emne til 2g, da beviserne er så simple at eleverne faktisk selv kan udlede dem, hvis de får lidt hjælp (stikord).
Eleverne skal i første omgang eksperimentere med Geogebra (www.geogebra.org), som er et fantastisk program til at "prøv dig frem og konkluder".
Jeg har aftalt med eleverne, at de i grupper skal lave en interaktive lærebog i form af en hjemmeside (Google sites), der bl.a. skal indeholde video (gemt på YouTube) samt en Screencast (www.screencast-o-matic.com).

Link til elevernes arbejdsdokument: Ensvinklede og retvinklede trekanter

Så kom jeg i gang

Jeg har længe overvejet at oprette en blog, hvor jeg vil skrive lidt om min undervisning - både for mig selv men forhåbentlig også til glæde for andre.
Jeg er nybegynder på blog-fronten, så jeg vil prøve mig lidt frem i starten. Så derfor modtager jeg også meget gerne tips til at gøre siden endnu bedre.