Powerpoint i matematiktimen

Powerpoint og lignende præsentationsprogrammer er gode værktøjer til oplæg mm. Men præsentationsprogrammer synes jeg også kan benyttes til at fremme elevernes forståelse for matematik.
Vi har en række beviser/begreber ,som kræver en graf med tilhørende indtegning af punkter, funktioner, hjælpelinjer, ... I bogen ses kun den endelige figur, og derfor har eleverne ofte svært ved at forstå rækkefølgen hvorpå, de enkelte elementer er tilføjet figuren. Eksempler på sådanne kan være
- bevis for a ud fra to punkter, når ensvinklede trekanter benyttes
- bevis for fordobling-/halveringskonstant ved eksponentielle funktioner
- forklaring af sammenhæng mellem sekant og tangent
- mange beviser i forbindelse med vektorer
De fleste elever kan allerede tilføje animationer til powerpoint, så det kræver ikke megen instruktion før eleverne er i gang med at konstruere præsentationerne.
Mine elever i 1g har netop afleveret sådan en præsentation med udledning af formlen for fordoblings-/halveringskonstant.
Jeg ville gerne have forklaringer med i elevernes aflevering, så eleverne blev bedt om at aflevere en screencast (www.screencast-o-matic.com), hvor de forklarer de enkelte led i deres præsentation.
Her er et skærmbillede fra en af præsentationerne (grafen blev lavet i Geogebra og så kopieret ind i Powerpoint):

En alternativ måde at benytte Powerpoint på er, at læreren laver præsentationen, og eleverne så skal forstå, hvad præsentationen viser. Jeg har lavet et sådant eksempel til cosinusrelationen (Link). Også her kan man lade eleverne afslutte med at lave en Screencast.

Hvem husker det først... ?

Jeg havde behov for lidt afveksling til at træne 1g-ernes forståelse af diverse begreber. Konkret i relation til lineære og eksponentielle funktioner.
Eleverne blev inddelt i grupper på helst 4 personer og helst på samme faglige niveau. Grupperne placerede sig omkring hver sit et bord, hvor alle kunne nå den genstand, som lå midt på bordet. Det kan f.eks. være et viskelæder, en tusch... Vælg ikke noget der kan gå i stykker (mobiltelefon) eller noget der er skarpt (blyant). I enkelte grupper kan det gå lidt vildt til.
Jeg havde lavet en række spørgsmål, som hver gruppe fik udleveret. Spørgsmålene havde jeg limet op på gamle spillekort. Tykt papir eller laminering er selvfølgelig også en mulighed.
Der trækkes lod om, hvem der skal læse første spørgsmål op, da den der læser op ikke må svare på spørgsmålet.
Når spørgsmålet er læst op, tager man genstanden på bordet, hvis man kender svaret. Den der er hurtigst får lov til at svare. Svares der forkert, straffes man med at skulle læste næste spørgsmål op (så må man nemlig ikke svare). Spørgsmålet, der ikke blev besvaret korrekt, lægges nederst i bunken med spørgsmål.
Ved korrekt svar (de andre i gruppen skal godkende svaret) får man et point og skal samtidig læse næste spørgsmål op.
Dokumentet med spørgsmålene ligger her (Link).
Jeg tror dokumentet overholder Sidsels regler (Et lærervenligt layout). Hvis ikke beklager jeg selvfølgelig, men det er et dokument, jeg har lavet for nogle år siden :-).

Eksperimenter med Maple

Normalt foretrækker jeg at benytte Geogebra som program, når jeg laver eksperimenterende øvelser til mine elever. Det skyldes primært, at det er nemt at gå til, og at jeg ikke nødvendigvis behøver at lave skabelonerne for eleverne. Oftest kan eleverne selv konstruere eksemplerne.
Maple indeholder også nogle muligheder for eksperimenter, som er af lidt mere avanceret art. Men det betyder også nogle lidt mere smarte eksperimenter. Jeg har dog ikke turde kaste eleverne ud i at konstruere sådanne sider selv, da det kræver lidt programmering.
Maple har en række komponenter, som kan tilknyttes almindelige Maple-sider

I nedenstående eksempel viser Maple-siden logistisk vækst y' = ay(M-y), hvor der kan ændres på parametrene a og M, samt at der kan ændres på det punkt, som løsningsfunktionen skal gå igennem.
Dermed vil eleverne både kunne analysere betydningen af konstanterne i ligningen og få de forskellige typer løsningsfunktioner frem ved at ændre på punktet.

Maple-arket gør således brug af komponenterne Skyder og Graftegning. Den aktuelle værdi for hver af parametrene er desuden gemt i "Label" (område med tekst).
I hver skyder er placeret følgende kode:

Do(%p1=DEplot(diff(y(x), x) = %a*y(x)*(%M-y(x)), y(x), x = -100 .. 300, y(x) = -200 .. 1100,color=y(x),[y(%sx)=%sy],linecolor=[blue]));

I linjen bruges DEplot (tegner linjeelement og løsningen gennem givet punkt) som gemmes i Graftegningen med navnet p1. Derfor skrives %p1= først i linjen.
Skyderne hørende til a og M hedder a og M mens punktet er gemt i (sx, sy)
Dette betyder, at når der ændres på skyderen, så ændres der ligeledes i figuren.
Hvis du benytter Maple, kan du hente Maple-filen her (Link - dokumentet ser meget underligt ud, men hvis du vælger download, så kan filen åbnes i Maple).

Enkeltlogaritmisk papir

Selvom enkeltlogaritmisk papir ikke længere optræder til den skriftlige eksamen, så er dette papir godt til at forklare karakteristika ved eksponentielle funktioner.
Efter juleferien har jeg derfor i min 1g-klasse indledt med et lille forløb om konstruktion og brug af enkeltlogaritmisk papir. Det hænger fint sammen med konstruktion af regnestok, som vi afsluttede med inden juleferien (Se indlægget Historisk matematik - logaritmer).
Eleverne arbejdede 2 og 2, hvor halvdelen af grupperne fik et arbejdsark hørende til en voksende eksponentiel funktion, men den anden halvdel arbejdede med en aftagende eksponentiel funktion.
Jeg opdeler i to hold for i løbet af forløbet at lade eleverne sammenligne principperne i det, de har gjort. De skulle gerne konkludere, at metoderne gælder for alle typer eksponentielle funktioner og ikke kun deres eksempel. Derfor lader jeg også eleverne selv vælge en passende funktion, som de skal benytte som eksempel.
Først konstruerede eleverne en logaritmisk akse på et almindeligt millimeterpapir. Herpå skulle efterfølgende afsættes punkter hørende til en given funktion. Heldigvis lykkedes det de fleste af eleverne at få punkterne til at følge en ret linje.
Vi undersøgte nu på det autoriserede enkeltlogaritmiske papir og eleverne sammenlignede med deres eget papir.
Vi kiggede på logaritmiske akser i Maple og sluttede af med at argumentere for, hvorfor en logaritmisk y-akse gør, at eksponentielle funktioner får en lineær graf. Og hvorfor må vi gerne puste log-aksen op til p*log + q for at opnå større spredning mellem værdierne. Hvad sker der med en ret linje, hvis y-værdierne ganges med et tal og derefter adderes med et tal?
Arbejdsarket til den voksende eksponentielle ligger her (Link). Opgave 2. blev til en lektie, hvorfor jeg konstruerede dette lille hjælpeark (Link), så jeg var sikker på alle kunne forstå lektien.
At logaritmisk skala har stor betydning vil senere blive illustreret med en projektrapport om jordskælv.

Linjeelementer - Differentialligninger

Jeg har sidste år (4/2 2014 og 23/3 2014) skrevet om de udfordringer, som differentialligninger giver i matematikundervisningen. Mange elever har rigtig svært ved at forstå, hvad en differentialligning er for noget.
Med min 3g-hold i år har jeg brugt en del tid på at forstå begrebet differentialligning. Vi har kigget på de forskellige opgaver med differentialligninger, der optræder til eksamen. Og så har vi arbejdet en del med forståelsen af disse ligninger.
I den forbindelse har linjeelementer og plots af disse haft en fremtrædende position. Vi benytter Maple og her er det nemt med kommandoen DEplot at få tegnet figurer med linjeelementer. Det er endog muligt at tilføje specifikke løsningsfunktioner til figurerne ved at tilføje et punkt som løsningsfunktionen skal gå gennem. Et eksempel ses nedenfor (differentialligningen y' = y + e^x med 3 specifikke løsningsfunktioner indtegnet):

 

Eleverne har i grupper på 3-5 arbejdet med det vedhæftede dokument (Link), hvor jeg har så har gået rundt og assisteret/testet gruppernes læring om differentialligninger. Det har været vigtigt at have tid til at få snakket grundigt med grupperne, så de både får testet/opdateret deres viden og samtidig træner i at tale om differentialligninger (begreberne). Specielt vellykket var det at vise et plot med linjeelementer på projekter og så lade eleverne i gruppen på skift  "gætte" løsningsfunktion gennem et givent punkt. Det virkede som om det hjalp voldsomt på forståelsen. Så selvom linjeelementer ikke er en del af kernestoffet, så synes jeg de er svære at undvære i forståelsen af differentialligninger. De bidrager med rigtig meget forståelsesmæssigt.

Det beskrevne dokument er forholdsvis detaljeret og mest rettet mod de knapt så gode matematikelever. For at udfordre de gode elever, som også typisk fanger emnet differentialligninger hurtigt, havde jeg lavet et arbejdsark (Link), der lagde op til langt flere selvstændige eksperimenter. Selvom der var flere udfordringer i dette dokument, blev de gode elever alligevel først færdige.

Når vi skal behandle teorien bag differentialligninger, vil jeg beholde denne opdeling af klassen. De gode elever skal udfordres med lidt flere beviser og arbejdsark, som er ikke er så opskriftsagtige.

Skal, skal ikke - del 2...

Hold da op - 5 kommentarer til mit seneste indlæg. Tak for dem.
Som flere af jer skriver, så er bloggen selvfølgelig en måde at reflektere over undervisningen på. Men jeg har nu altid brugt tid på reflektion - at skrive indlæg om min undervisning er nu en noget mere tidskrævende form for evaluering.
Mit mål med bloggen er ikke at få mange følgere. Den feedback jeg lidt efterlyste i mit sidste indlæg  er kommentarer/feedback fra kollegaer, som har prøvet nogle af ideerne fra mine indlæg. Hvordan gik det? Hvilke forbedringer blev lavet? Skal det prøves igen?
Facebook... Tja - jeg har altid holdt mig langt væk fra Facebook og andre sociale medier (er ikke en gang oprettet som bruger). Det afskærer mig selvfølgelig for nogle muligheder/informationer, men det mener jeg foreløbig godt, jeg kan undvære. Og som sagt så er det ikke et mål for mig at få mange personer til at besøge min blok. Men det er selvfølgelig helt ok, at I deler/poster mine indlæg på diverse medier.
Jeg er langt mere interesseret i erfaringsudveksling blandt færre personer end en masse besøgende.

Efter nøje overvejelser tror jeg godt, jeg stadig kan komme med ideer til matematikundervisningen. Derfor har jeg i første omgang besluttet mig for at forsætte med at skrive indlæg på bloggen.
På den måde forpligter jeg mig også lidt til at prøve nogle flere ting af. Det kan der også være en udfordring i.
Lad mig slutte med en lille opfordring:
Hvis du har afprøvet nogle ideer, du har fået fra blogs (ikke kun min, men også andres), så skriv en lille kommentar til indlægget om, hvordan det gik i din undervisning. En sådan feedback er jeg sikker på alle bloggere vil være taknemmelig for - jeg vil i hvert fald.

Godt nytår - skal, skal ikke... ?

Godt nytår til alle som er faldet over denne blog om matematik.
Så er det 1 år siden, jeg oprettede denne blog. Det er jo noget underligt noget, sådan at skrive uden rigtig at vide, om andre har glæde af endsige overhovedet læser disse indlæg. Der er jo ikke nogen tradition for at kommentere på blogindlæg. Jeg gør det heller ikke selv på de blogs, jeg holder øje med.
Jeg kan selvfølgelig se på sidens besøgsstatistik, at der er nogle, som har fundet frem til min side. Men er det arbejdet værd? Det tager trods alt noget tid at skrive indlæggene.
I det forgangne år skrev jeg 66 indlæg på bloggen - indlæg med pædagogisk indhold eller blot ideer til lidt anderledes forløb.
Men bliver ideerne brugt? Er mine forslag for banale? Og kan jeg overhovedet finde på noget nyt at skrive?
Jeg kunne godt savne lidt mere erfaringsudveksling af ideer mv. Måske skulle jeg ændre bloggen, så andre også får mulighed for at skrive indlæg.
Nå det var lidt tanker her inden aftensmaden.
Jeg vil bruge weekenden til at overveje, om jeg skal nedlægge bloggen.

Nåh ja - og så lige forbedrede mig lidt til næste uge.
I 1g skal vi have afsluttet eksponentielle funktioner - vi starter med at lave vores eget enkeltlogaritmiske papir og undersøger fordele ved det papir.
I 3g står differentialligninger på programmet. Jeg har tænkt mig at gennemgå emnet differentieret, da der er store niveauforskelle i klassen. De bedste får lov til at arbejde meget selvstændigt med stoffet, mens jeg selvfølgelig vil holde de svagere elever mere i hånden. Hvordan det helt konkret skal skrues sammen, har jeg ikke helt besluttet mig for endnu.