Hjemmeopgaver - Ikke kun en løsningsmetode og tjek af løsning

Eleverne skal have et beredskab, de kan benytte, hvis de har problemer med at løse en opgave. Problemet kan skyldes, at de ikke kan finde ud af at løse opgaven eller at matematikprogrammet driller.
Jeg gør en del ud af at træne forskellige løsningstyper, så eleverne ikke altid er bundet til en bestemt løsningsmetode.
Det er selvfølgelig ikke altid, det er muligt at konstruere en alternativ løsning, der giver fuldt point, men få point er bedre end ingen.
De stærke matematikelever får også noget ud at arbejdet med alternative løsningsmetoder, da disse kan benyttes som tjek.
Når eleverne har arbejdet med forskellige løsningsstrategier, så oplever jeg, at eleverne i fremtidige besvarelser vælger forskellige metoder. Eleverne er altså ikke enige om, hvilke metoder de foretrækker. Det gør det også vigtigt, at vise forskellige strategier og metoder, da det er med til at stille den enkelte elev bedre til eksamen.
Mine elever afleverer i denne uge bl.a. følgende opgave - inspireret af en tidligere eksamensopgave:

Det er et krav, at opgaven løses i Maple.

 

I næste uge skal eleverne aflevere samme opgave, men denne gang skal løsningerne bestemmes i Geogebra.

Det er svært at få hele dokumentationen og centrale kommentarer med ved løsning af opgaver i Geogebra . Derfor får eleverne følgende huskeregler til løsning af opgaver med Geogebra:

 

Det er svært at få vænnet eleverne til at tjekke om resultatet på et spørgsmål er rimeligt/korrekt. Jeg vil derfor inden længe give eleverne en hjemmeopgave, hvor svarene er angivet.

Eleverne skal så i stedet for at løse opgaverne tjekke om svarene er korrekte - det vil de selvfølgelig ikke være alle sammen.

Differentialkvotienter - eksprimentelt bestemt

Så blev det tid til at introducere min 2g-klasse for den mere formelle matematik hørende til differentialregning. I stedet for at indføre tretrinsreglen fra starten har jeg i stedet for ladet eleverne bestemme differentialkvotienter for x², x³, xⁿ, k*xⁿ og xⁿ+x^m eksperimentelt i Geogebra.
Vi benyttede samme metode som beskrevet under indlægget Komplekse matematiske problemer, så eleverne var fortrolige med metoden.
Når først eleverne har fundet differentialkvotienten for x², så er det blot et spørgsmål om at udskifte funktionerne.

Eleverne arbejdede med dette arbejdsark Link
Min oplevelse her efter introduktionen er, at eleverne ved at selv at finde regnereglerne nemmere husker reglerne. Sådan opleves det i hvert fald lige nu.
Nu er det tid til at få introduceret sekant, tangent og tretrinsregel mere formelt - det vil jeg gøre på samme måde som sidste år. Der står lidt om metoden i disse to indlæg:
Differentialregning - intro
Tretrinsreglen

Komplekse matematiske problemer

Det er svært at løse mere komplekse matematiske problemer, hvor løsningsmetoden måske ikke er helt tydelig, når man læser opgaveteksten. Det er jo ikke fordi vi har mange af denne type opgaver i gymnasiet, men opstilling af funktionsudtryk hørende til optimeringsopgaver falder i den kategori.
Som introduktion til teorien bag differentialregning (eleverne er bekendte med f '(x), hvad differentialkvotienten benyttes til i forbindelse med optimering og hvordan man benytter Geogebra/Maple til at løse sådanne optimeringsopgaver) har jeg valgt at starte skoleåret for min 2g-klasse med træning i opstilling af funktionsudtryk og optimering af disse.
Jeg har introduceret eleverne til følgende 7 trin, som kan være med til at skabe lidt struktur på opstillingen af funktionsudtryk:
1) Forståelse
Hvad handler opgaven om? Hvad skal bestemmes?

2) Visualisering
Skitser situationen hvis det er muligt.
Lav situationen i virkeligheden, hvis det er muligt.

3) Sortering
Sorter evt. irrelevante informationer fra og sorter de relevante informationer
Hvilken type matematik kan anvendes? Hvilke kendte formler kan anvendes?

4) Symboler og eksempel
Indfør passende symboler og udregn/konstruer evt. eksempler.
Kan situationen eventuelt konstrueres i Geogebra (se evt. tips nedenfor)?

5) Formel
Opstil en formel til løsning af problemet

6) Beregning
Beregn løsningen

7) Konklusion
Sørg for at få konkluderet på udregninger i relation til det emne opgaven handler om

Specielt delen med konstruktion af fysisk model, udregning af eksempler og løsning i Geogebra lægger jeg vægt på. Alle disse dele er med til at give eleverne inputs til, hvordan selve funktionsforskriften opstilles.
Det er klart at når eleverne bliver mere rutinerede til at opstille funktionsudtryk, så er flere af ovenstående punkter ikke så nødvendige.

Løsningen i Geogebra kan typisk laves med en skyder, opsamling i regneark og efterfølgende regression. Jeg viste kort eleverne metoden med punkterne på grafen for f(x) = x² som eksempel og gav efterfølgende eleverne metoden på papir (Link). Det var dog ikke nødvendigt for eleverne at søge hjælp i arket efterfølgende.
Vi startede forløbet med at løse en tidligere eksamensopgave, hvor vi gennemløbe de enkelte trin på tavlen med små arbejdspauser i par ved hvert punkt. Herefter blev eleverne inddelt i grupper, som fik hver deres optimeringsproblem. Når eleverne havde løst "deres problem" kunne de gå videre til et af de andre problemer.
I slutningen af modulet præsenterede eleverne problemer og løsningsmetoder for hinanden i matrixgrupper. Formålet med dette var at eleverne skulle konstatere, at løsningsmetoden for sådanne opgaver er den samme.
Eleverne fik udleveret disse opgaver - Link.

Den første hjemmeopgave for eleverne bliver et projekt med optimering af én henholdsvis to kegler, hvor fokus også vil være ovenstående 7 punkter (Link).
Min dynamiske løsning i Geogebra ses nedenfor (Link).

Første skoledag - med "julegave"

Så blev det første skoledag i hvert fald for os lærere.
I år med en glædelig overraskelse:
Stort set alle vores klasselokaler er blevet installeret med tavler på alle vægge. Det er næste som juleaften. Sådan ser vores sædvanlige klasseværelser ud:

 Foto taget bagerst i lokalet fra vinduessiden

Foto taget ved tavlen i vinduessiden

Jeg har i flere år efterspurgt flere tavler i lokalerne og i fællesområder, så det var en stor dag i dag.
Jeg har sat mig som princip, at eleverne skal op og stå ved tavlerne i alle mine timer.
Det er min erfaring at aktivitetsniveauet og eleverne kommunikation vokser en hel del, når der arbejdes i små grupper ved tavlen. På ICME13 konferencen var der et oplæg fra Canada, der beskrev et forsøg, som også var nået frem til samme konklusion.
Jeg kan se mange fordele ved brug af disse tavler:
1) Gruppearbejde bliver nemmere, da alle i gruppen nemt kan følge med
2) Jeg kan hurtigt se hvad eleverne har lavet - er der behov for at jeg skal blande mig
3) Jeg får langt lettere ved at få de svage elever i tale, når vi i fællesskab i en mindre gruppe diskuterer matematisk teori eller opgaveløsning.
4) Eleverne kan nemmere tjekke hinandens udregninger ved at skifte tavle, hvis der f.eks. regnes forskellige opgaver
5) Alle er ved tavlen - dermed kommer der ekstra fokus på træning af mundtlighed.
Og så håber jeg selvfølgelig at også andre fordele dukker op, når jeg kommer i gang med arbejdet.

Integral - arealer - eksperimentielt

Mine 3g-elever har siden 1g vidst at integralet under en positiv funktion giver det tilhørende areal. De er ligeledes vant til at bruge integraltegnet i Maple til at løse sådanne opgaver.
Nu er det tid til at få teorien hørende til integralregning på plads.
I stedet for den traditionelle indføring via stamfunktioner og sammenhængen med differentialregning vil jeg i år tage udgangspunkt i netop arealer og så eksperimentelt finde frem til stamfunktioner for udvalgte funktioner.
Jeg starter forløbet med at eleverne skal udregne givne arealer under linjer (vandrette linjer og skrå voksende linjer gennem (0,0)). Hertil benyttes blot kendte arealformler. Ud fra eksemplerne skal eleverne opstille formler til bestemmelse af arealer under funktionerne f(x)=k og f(x) = kx.
Efterfølgende benyttes Geogebra til at bestemme arealer under f(x) = x² for så at eksperimentere sig frem til arealfunktionen. Proceduren er som følger:
1) Opret skyder k (fra x=0 til x=5) samt funktionen f(x) = x².
2) Definer variabel, der angiver arealet under f(x) fra x=0 til x=k.
3) I regneark opsamles nu værdier for k samt de tilhørende arealer
4) Der laves nu regression over de opsamlede punkter og så fås forhåbentlig den korrekte stamfunktion.
Eleverne skal til slut ved hjælp af eksperimenter i deres Geogebra regneark komme med bud på stamfunktioner hørende til xⁿ, kxⁿ og xⁿ + x^m.
Arbejdsarket eleverne skal arbejde med ligger her: Link

Når dette er på plads, har jeg tænkt mig at lade eleverne arbejde med sætningen, som beviser sammenhængen mellem integral og areal. Men vil dog overveje om dette bevis er for svært at introducere så tidligt i forløbet.

Nyt skoleår nærmer sig

Så nærmer skolestart sig og dermed også forberedelserne til det kommende skoleår.
Jeg var ikke specielt flittig med at skrive på bloggen i foråret, så jeg vil prøve her i starten af skoleåret at få skrevet lidt flere indlæg.
Jeg har i ferien deltaget i ICME13-konferencen  (www.icme13.org) i Hamborg. ICME er en verdensomspændende konference om undervisning i matematik, som afholdes hvert 4 år. I år deltog ca. 3400 personer fra 105 lande.
Det er en speciel oplevelse at deltage i en så stor konference, hvor man løber ind i fremragende oplæg og desværre også totalt intetsigende oplæg.
Jeg har fået en del ideer, der skal følges op på, og en række hjemmesider som skal undersøges nærmere.
Jeg vil senere skrive om nogle af de ideer og materialer fra konferencen, jeg har tænkt mig at benytte i min undervisning.

En lille sjov opgave fra konferencens, som jeg har tænkt mig at starte op med i min 3g-klasse er følgende:
Tegn i funktionen f(x)=x².
Placer to punkter på parablen, hvor det ene skal have negativ x-værdi og det andet skal have positiv x-værdi. Forbind de to punkter med en ret linje.
Hvilken sammenhæng er der mellem de to punkter på parablen og linjens skæring med y-aksen?
Kan du bevise din teori?