Metodetræning og bevisførelse (skalarprodukt)

Jeg er stor tilhænger af den eksperimentelle tilgang til nyt stof - som f.eks. er beskrevet under Vektorer opstart, hvor vi har beskæftiget os med indledende vektorregning samt karakteristika ved skalarprodukt.
I dag diskuterede jeg med klassen, hvilken metode som benyttes ved en sådan eksperimentel udledning af karakteristika og formler.
Heldigvis forslog eleverne den naturvidenskabelige metode som f.eks. anvendes i fysik. Det gav anledning til en snak om forskelle på matematiske og naturvidenskabelige metoder.
Konklusionen blev hurtigt, at matematiklæreren og -eleven ikke ville være tilfreds. Vi må have fat i definition samt sætning med tilhørende beviser.
Jeg har tilrettelagt et sådant forløb med skalarproduktet for formelt at få bevist de karakteristika som tidligere øvelser har tydet på.
Eleverne opdeles i hold på 2-3 personer, som får en opgaveformulering der enten tager udgangspunkt i den analytiske eller den geometriske definition af skalarproduktet.
Eleverne skal herefter arbejde med beviser, hvor deres definition anvendes. Det er tanken, at eleverne skal lære, at det ikke altid er entydigt, hvad man skal vælge som definition. Samtidig skal eleverne se, at bevis for sætninger kan have varierende sværhedsgrad alt efter valg af definition.
Eleverne laver en lille lærebog om skalarproduktet - afleveres som hjemmeside.
Til sidst i forløbet dannes grupper bestående af elever som har arbejdet med geometrisk henholdsvis analytisk definition. Eleverne gennemgår nu "deres" beviser for hinanden.
De udleverede opgaveformuleringer: Analytisk, Geometrisk.

Fælles opgaveregning

Jeg har tidligere beskrevet, hvordan jeg i par lader eleverne regne forskellige opgaver og parrene så efter et vist antal minutter sender deres opgave med del af bevarelse videre til næste par (Link). Denne metode kan fint benyttes ved regning af opgaver uden hjælpemidler, hvor opgaverne så regnes i på papir.
I går ville jer gerne træne mine 3g-elevers færdigheder i forbindelse med løsning af differentialligninger. Det kræver brug af Maple, så jeg var nødt til at strukturere opgaveregningen lidt anderledes.
Jeg havde oprettet en ny hjemmeside til emnet differentialligninger (vil senere bruge den til andre ting). På hjemmesiden havde jeg oprettet 7 undermenuer hver indeholdende én tidligere eksamensopgave.
Eleverne blev inddelt i par og hvert par fik tildelt en opgave, de skulle løse i Maple. Efter 5 minutter skulle alle par vedhæfte deres Maple-dokument til den pågældende opgave og alle par fik så en anden opgave, de skulle regne videre på. Parrene downloader det oprettede Maple-dokument hørende til opgaven, gennemgår det der allerede er lavet på opgaven og fortsætter herefter løsningen af opgaven.
Sådan fortsatte arbejdet ca. 30 min med hyppige skift, så alle par fik set en række forskellige opgavetyper.
Jeg havde lidt ekstra opgaver med, så man kunne få en ny opgave, når en opgave var regnet færdig.
Det fungerede fint, lige bortset fra at nogle computere ikke var meget for at uploade Maple-dokumenterne til hjemmesiden.
Når en opgave var løst, blev løsningen ud over at være vedhæftet menupunktet også kopieret ind som billede, så det er nemt at finde løsningsmetoden uden at skulle åbne det vedhæftede dokument. Et eksempel ses nedenfor

Vektorer opstart

Jeg prøvede for første gang sidste år at gennemgå plangeometrien i 2g. Det havde jeg gode erfaringer med, så det vil jeg gentage med min 2g i år.
Det indledende om vektorer er jo mest en forståelse for begrebet vektorer samt hvordan man kan regne med disse - både algebraisk og geometrisk.
Jeg foretrækker, at eleverne selv arbejder med stoffet, så de forhåbentlig selv kan erkende karakteristika ved vektorer.
Eleverne arbejder i par med en række eksperimenterende opgaver, som løses ved hjælp af Geogebra. Det er vigtigt, at elevernes fokus er på matematik. De skal således nedskrive deres erkendelser, så disse senere kan udveksles og diskuteres. Det er vigtigt at elevernes konklusioner bruger forskellige repræsentationer: grafisk, algebraisk og de opfordres desuden til at komme med bud på gyldige formler.
Jeg udleverer følgende to dokumenter til eleverne:
1) Introduktion til vektorer (Link)
2) Introduktion til skalarprodukt (Link)

Hjemmeopgaver - mundtlig feedback

I denne uge har jeg givet mine 2g-elever mundtlig feedback på deres skriftlige aflevering. Hertil brugte jeg programmet Screencast-o-Matic, som optager aktivitet på skærmen og hvad der bliver sagt.
Jeg åbnede elevens aflevering og startede herefter Screencast-o-Matic. Jeg scrollede ned gennem besvarelsen, mens jeg kommenterede elevens udregninger mm. Jeg havde ikke læst opgaven på forhånd men kørte direkte på. Jeg fik selvfølgelig sagt lidt fejl undervejs, men det havde jeg besluttet ikke at tage mig af.
Ved længere tekststykker pausede jeg dog optagelsen, da der ellers ville komme for lang pause, mens jeg læste teksten.
Jeg synes, det gik rigtig fint og det var ikke så svært, som jeg havde forestillet mig.
Hver screencast tog mellem 3 og 5 minutter - en passende længde synes jeg.
Jeg uploadede hver screencast til min private Youtube-konto og gjorde her videoerne skjulte. Eleverne fik så tilsendt linket med mine kommentarer.
Screencast-o-Matic drillede lidt, idet den nogle gange anvendte videoen fra forrige elev men med den nye indtalte lyd. Jeg forstår ikke helt, hvordan det kunne ske. Med de sidste elever startede jeg derfor med at optage ca. 10 sekunder, som jeg så afspillede for at tjekke om alt var ok. Hvis det var tilfældet fortsatte jeg retningen.
Elevernes feedback på denne form for rettelse var meget positiv. De syntes, de fik en bedre feedback (jeg synes ellers jeg skriver meget til dem). Jeg kommenterede jo alt jeg så i besvarelsen, så jeg tror jeg var meget bedre til at fremhæve de gode ting i besvarelserne.
Eneste lille problem er at det er lidt svært at gå tilbage til mine rettelser i en specifik opgave. Derfor havde jeg også valgt, at eleverne efterfølgende skulle forbedre deres besvarelse og så aflevere den rettede version (jeg retter den ikke).
Flere elever nævnte også at de tog mine rettelser mere seriøst end skrevne kommentarer i selve besvarelsen. Men om det er "nyhedens interesse" er lidt svært at afgøre.
Eleverne syntes det var en god alternativ måde at få feedback på, men det skal ikke være hver gang.

Træning - uden hjælpemidler

Hvis jeg føler eleverne i et modul har arbejdet længe med den samme ting og jeg fornemmer at koncentrationen svigter, holder vi af og til en "pause" med at træne lidt til prøven uden hjælpemidler.
Ofte vil jeg her benytte puslespil lavet i programmet Tarsia. Programmet er nemt at bruge og har en rigtig god formeleditor. Tarsia er beskrevet nærmere på hjemmesiden hørende til Elevaktivering i matematik, hvor der også ligge en række eksempler på puslespil, som direkte kan bruges i matematikundervisningen.
I går (fredag før vinterferien) var der temmelig meget feriestemning, så det var svært at motivere eleverne til seriøst arbejde. Jeg havde medbragt en stak forskellige Tarsia-puslespil med forskellige emner. Eleverne valgte næsten alle puslespil, der repeterede nogle af de begreber, som vi arbejdede med i 1g. Så på den måde fik jeg alligevel noget fornuftigt ud af timen.
NB! Eleverne synes også det er sjovt selv at lave puslespillene. Lad eleverne forberede nogle opgaver til et givet emne hjemmefra. I grupper konstruerer eleverne så selv deres puslespil i Tarsia. Alternativt kan man på forhånd fra Tarsia have printet tomme brikker ud, som eleverne så blot udfylder i hånden.
Ekstra NB! Tarsia virker ikke på Mac-computere.

Fagdidaktisk kursus i matematik

I går holdt jeg oplæg om anvendelse af IT i matematikundervisningen på fagdidaktisk kursus for matematik (matematiklærere i gymnasiet som er på pædagogikum).
Ud over præsentation af forskellige IT-værktøjer (video, screencast, quizzer mm) forsøgte jeg også at give lidt ideer til at få eleverne aktiveret i undervisning, så læreren ikke står for meget ved tavlen.
Det er altid interessant at diskutere fordele og ulemper ved en sådan mindre lærerstyret undervisning. Oftest mødes jeg med spørgsmålet: Hvordan tjekker du om eleverne har læst stoffet? Mit modspørgsmål er altid: Er du sikker på, at eleverne har lært stoffet, når det er blevet gennemgået af læreren i klasselokalet? Det tror jeg ikke.
Det kan godt være, at eleverne ikke får fat i alle detaljer, når de f.eks. selv arbejder med beviserne, men jeg er sikker på, at eleverne ved det aktive arbejde lærer langt mere end ved at overvære en traditionel lærerstyret gennemgang for hele klassen.
Lærerstyret gennemgang kan være fint, men det skal være til elever på samme niveau. Så derfor er jeg ikke fortaler for lærergennemgang foran en hel klasse - niveauforskellene er for store. Nej så hellere opdele klassen i 2-3 grupper, hvor jeg kan bruge lang tid på gennemgang med fagligt svage elever (detaljer ikke så vigtige), mens gennemgang med de gode matematikelever kan fokusere mere på matematisk præcision. Så opdel klassen i mindre grupper, der på skift gennemgår stoffet i klassen, men resten af klassen på samme tidspunkt uden for lokalet laver noget andet - f.eks. regner tilhørende opgaver.

Intro til differentialligninger

Det er rigtig svært for eleverne at forstå, hvad en differentialligning er og hvilke informationer, der kan læses ud af en sådan ligning.
Jeg besluttet at bruge lidt tid på forståelsen inden vi går i gang med den mere avancerede løsning. Lektien til dagens time bestod derfor af en analyse af, hvad der sker med temperaturen i en kop kaffe samt nogle simple forståelsesopgaver, der illustrerer hvad der kan læses ud af en differentialligning (Link til lektien).
Jeg havde forsøgt at oprette et tråd på todaysmeet.com, hvor jeg gerne ville have eleverne til at diskutere problemet med kaffekoppen. Der kom nogen diskussion men absolut ikke i den grad, jeg havde forestillet mig. Jeg har ikke opgivet håbet - tror stadig på ideen.
I timen fik vi først diskuteret os frem til en differentialligning, der kunne passe på kaffens temperaturudvikling.
Opgaverne blev eleverne sat til at regne to og to. Hvert 10 minut blev eleverne bedt om at skifte makker. Ved hvert skift af makker skulle der startes forfra med at gennemgå de opgaver, som allerede er regnet.
Opgaverne var en god måde at få trænet i det matematiske sprog. Hvilke matematiske kendeord indeholder opgaverne og hvordan passer det sammen med den differentialligning, som står i opgaveteksten?

Udveksling af beviser

Lektien til dagens time i 2g var 4 små trigonometri-beviser. Eleverne var på forhånd delt op så eleverne hver skulle forberede et bevis grundigt samt et bevis mindre grundigt.
Jeg havde fundet beviserne på Youtube - ikke alle var eksemplariske men det var blot med til at gøre eleverne mere opmærksomme ved forberedelsen.
I starten af timen blev eleverne samlet i grupper, hvor alle havde forberedt sig grundigt på samme bevis. Disse grupper skulle nu på 20 minutter få fuldstændig styr på beviset samt optage en eksemplarisk fremlæggelse af beviset på video. Videoen blev straks uploadet til Youtube og vores trigonometri-hjemmeside. Der var 6 elever i hver gruppe.
Eleverne var blevet bedt om specielt at være opmærksomme på at præcisere, hvad sætningen siger samt selve starten på bevist (se tidligere indlæg: Start på bevis...).
Resten af modulet var opdelt i sekevenser på 15 minutter efter følgende princip:
2 elever bliver i lokalet mens de 4 øvrige elever går videre til næste lokale for at se et af de andre beviser. De samme to elever må ikke blive under to seancer i samme lokale. Det burde skærpe tilhørernes opmærksomhed, da de kan blive de næste som skal fremlægge beviset.
Jeg ved ikke om det var fordi eleverne gik døde (det virkede ikke sådan), men eleverne blev hurtigere og hurtigere til at gennemgå beviserne.
På 95 minutter fik vi gennemgået 4 beviser oven i købet optaget på video og alle elever nåede at fremlægge mindst et bevis. Det var en god og effektiv time, hvilket også eleverne gav udtryk for.
Vedhæftet lektien til dagens time: Link.