Mundtlig træning som lektie

Jeg er nu kommet så langt med funktioner i min 1g-klasse, at de fleste centrale begreber er blevet præsenteret og trænet.
Jeg gav derfor hver elev en graf (havde 10 forskellige grafer) med hjem. Lektien var, at hver elev skulle beskrive funktionens udseende ved hjælp af de  matematiske begreber, vi har arbejdet med, således at klassekammeraterne kunne tegne den beskrevne graf.
Selv beskrivelse skulle eleverne indtale med programmet Vocaroo (link). Jeg kan godt lide Vocaroo, da det ikke kræver eleverne logger ind og så er det meget enkelt at gå til. Når indtalingen er overstået, gemmes lydklippet på en unik hjemmeside. Man kan også gemme lokale på computeren.
Bemærk at lydklip kun bliver liggende på Vocaroos hjemmeside et par måneder, så man skal benytte et andet program eller gemme optagelsen lokalt, hvis lydoptagelserne skal opbevares længere tid.
I mit Google Drev havde jeg desuden oprettet et dokument med redigeringsrettighed for alle, der kender linket. Dokumentet havde teksten Figur 1, Figur 2, ...
Eleverne fik linket til dokumentet og skulle så i dokumentet indsætte linket til deres beskrivelse under deres figur.

Eleverne havde kun fået en meget kort beskrivelse af, hvad de skulle gøre. Der var enkelte, som ikke kunne få det til at virke, men de langt hovedparten havde ikke haft tekniske problemer.
Brugen af dokumenter, alle kan skrive i, appellerer desværre også lidt til de barnlige sjæle. Der blev selvfølgelig også skrevet "sjove" (sjofle) kommentarer. Så jeg blev lige nødt til at fortælle eleverne, at de er startet i gymnasiet :-). Det havde nogle glemt.
I den efterfølgende time udvalgte eleverne 3 figurer som de ud fra lydklippene tegne. Herefter blev grafen sammenlignes med det korrekte udseende.
Var der mangler i beskrivelsen, skulle det noteres.

Mundtlig eksamen - kan det gøres bedre ?

Diskussionen om vores mundtlige eksamen i matematik på rimelig vis afspejler undervisningen dukker jævnligt op.
Vi skal i undervisningen træne elevernes problemløsningskompetence, men ved eksamen (skriftlig såvel som mundtlig) har denne kompetence en meget lille plads. Det synes jeg er synd.
Ved mundtlig eksamen i fysik (B- og A-niveau) haves en model, hvor eleverne først i grupper udfører eksperimenter (ca. 5 grupper arbejder samtidig), mens lærer og censor går rundt mellem grupperne og hører om deres eksperiment. Efterfølgende er eleverne til en traditionel individuel mundtlig eksamen.
Kan vi gøre noget lignende i matematik?
Jeg havde besluttet mig for at lade mine 3g'ere afprøve modellen med pararbejde omkring et projekt som deres første hjemmeopgave.
Jeg inddelte eleverne i to hold, hvor eleverne skulle danne grupper på 2 personer. Jeg havde så omlagt dele af den skriftlige opgave, således at hvert hold skulle være 90 min på skolen sammen med mig.
Som forberedelse til det omlagte modul skulle eleverne læse opgaveformuleringen igennem og tænke lidt over løsningsmetoder. Det var forbudt at starte på selve løsningen.
Opgaven gik ud på at designe et dige, hvor der var en nogle forskellige design krav. Det betød, at eleverne kom rundt om lineære funktioner, parabler, differentialregning samt integralregning.

Opgaven har jeg "hugget" fra en kollega - tak for ideen. Det ser således ud (Link).
I de 90 minutter var det planen, at eleverne i par arbejdede med opgaven, som skulle afleveres. Der var sat tid af til at få skrevet teksten ordentlig efterfølgende. Der skulle fokuseres på opgaveløsningerne i de 90 minutter.
De 90 minutter gik rigtig godt og jeg fik snakket en masse matematik med eleverne. I og med at mange emner kommer i spil i opgaven, så havde jeg også mulighed for at tale med de enkelte elever på deres niveau. Måske manglede der lidt ekstra udfordringer til de gode elever.
Det er selvfølgelig en balancegang, hvor meget man skal hjælpe eleverne, hvis det er i en eksamenssituation, men med små vink var det muligt også at få de svagere elever gennem opgaven. Specielt bestemmelsen af parablens konstanter drillede. Vi har nu heller ikke brugt megen tid på løsning af flere ligninger med flere ubekendte.
Jeg fik nok hjulpet mere end man bør gøre i en eksamenssituation, men nu var det første gang med en sådan "eksamen" for både mig og mine elever.
Jeg spurgte eleverne på første hold, om de kunne forestille sig en sådan eksamensform. Det var de meget positive over - de syntes det var sjovt at arbejde mere praktisk med matematikken. Så man også kan se det kan bruges til noget.
Jeg er ret sikker på, at jeg vil prøve denne form for aflevering flere gange i løbet af skoleåret. Det kræver blot at man finder nogle gode tværfaglige projekter.
I morgen møder hold 2 :-).

Differentialregning repetition - stamfunktion opstart

Integralregning står på programmet i 3g, så vi starter selvfølgelig med stamfunktioner og sammenhængen med differentialregning.
Til dagens time skulle eleverne repetere differentationsreglerne, samt lave 5 differentiationsopgaver der også skulle regnes.
I timen satte jeg eleverne sammen to og to. Første elev stillede den anden elev en af sine opgaver. Elev nr. to skulle nu differentiere funktionen og samtidig forklare hvilke regneregler, som anvendes. Dermed får jeg også mundtlighed på banen. Når opgaven er regnet sammenlignes de svar som elev 1 og 2 har fået og der "forhandles" om en entydig løsning, hvis der er uoverensstemmelse. Herefter byttede eleverne rolle.
Hvert par fik desuden udleveret 6 stykker papir, hvorpå de skulle angive opgaven på den ene side og svaret på den anden side. Jeg havde klippet et hjørne af i den ene side. Eleverne SKULLE så skrive funktionen, som skulle differentieret på den side af arket, hvor de afklippede hjørne er øverst til højre og svaret på den anden side. Dermed kan jeg nemt sortere arkene, så de oprindelige funktioner er på samme side.
Da opgavearkene var færdige, trænede eleverne lidt mere differentiation ved at trække forskellige opgaver.
Vi tog nu en kort snak om begrebet stamfunktioner og forsøgte at gætte nogle stamfunktioner hørende til funktioner, jeg havde skrevet til tavlen.
Efter lidt træning på tavlen blev eleverne igen sluppet løs med de konstruerede opgaveark. Denne gang skulle de gætte stamfunktion. Dvs. eleverne skulle tage udgangspunkt i funktionen på siden, hvor det afklippede hjørne var øverst til venstre.
Alt i alt en god time, hvor vi fik repeteret en hel del differentiation.
I næste modul vil vi give os i kast med at bevise regnereglerne for stamfunktioner.

Stationstræning

Nu har jeg snart fået skrevet så mange indlæg, at jeg ikke helt kan huske, hvad jeg tidligere har skrevet. Så undskyld mig hvis dette indlæg er en gentagelse...
Sidste år sluttede vi 2g af med at arbejde med parabler, så jeg tænkte at første time her efter ferien passende kunne bruges til at genopfriske de centrale elementer.
Vi arbejdede med andengradspolynomiets 3 former (Link):
f(x) = ax² + bx + c
f(x) = a(x - r₁)(x - r₂)
f(x) = a(x - p)² + q

Eleverne har som lektie repeteret de 3 former.
Vi starter timen med at eleverne individuelt nedskriver, hvad de kan huske til hver form. Når det er gjort udveksles karakteristika med en kammerat. Fokus er at eleverne på skift skal overbevise hinanden om de karakteristika, de har skrevet. Det er ikke nok blot at sige, hvad man har skrevet.
Klassen deles nu op i 6 grupper, som bliver placeret ved hvert deres bord. Til hver gruppe har jeg lavet nogle opgaver, som knytter sig til en af de 3 typer.
Hver gruppe nedskriver deres svar inkl. argument på et blank stykke papir.
Efter 10 min skifter alle grupper bord mens opgaveark og løsning blive liggende. Når der er løsningforslag tilgængelige, tjekker grupperne selvfølgelig deres svar med løsningsforslaget.
For at tvinge alle elever på banen, så vil jeg lade de første 3 minutter ved hvert bord være individuelle, hvor den enkelte elev selv skal forsøge at løse opgaverne. Mit håb er, at den indledende brainstorm kan hjælpe de svagere elever på sporet. Herefter arbejder hele gruppen sammen om den endelige besvarelse.
På hvert bord har jeg desuden lagt et ark med ekstraopgaver, som grupperne kan give sig i kast med, hvis de bliver færdige før tiden.
Du kan læse lidt mere om stationstræning på hjemmesiden Elevaktivering i matematik (Link)

Opstart i matematik - funktioner og samfundsfag

I min nye 1g-klasse (MA A, SA A, EØ C) vil jeg starte med generelle egenskaber ved funktioner. Det er vigtigt at få de centrale begreber hurtigst muligt på plads.
Da klassen har samfundsfag på A-niveau har jeg på statistikbanken (Link) fundet data for diverse nøgletal fra 1990 til 2013. Jeg har fundet data for BNP, import, eksport, indvandrere, inflation, udgifter til folkepension/kontanthjælp/SU, antal personer i Danmark, arbejdsløshed, beskæftigede samt antal fødsler (Link).
For hver af disse nøgletal har jeg grafisk illustreret udviklingen (funktion) dog uden at fortælle hvad grafen beskriver.
Hver elev får 3-4 forskellige figurer, hvis forløb de hjemme skal øve sig på at beskrive. Jeg vil også bede eleverne overveje, hvordan grafen fortsætter (vil jeg senere vende tilbage til, når regression kommer på banen).
I næste matematiktime skal eleverne for hinanden beskrive grafernes forløb - en forklarer og en anden tegner.
Efter de matematiske beskrivelser af figurerne får eleverne listen over figurernes betydning og de skal nu overveje om der kan være sammenhæng mellem nogle af figurerne.
Til sidst skal eleverne ved at kigge på de udleverede figurer undersøge om deres forslag til sammenhænge passer og måske finder eleverne nye sammenhænge.
Det er selvfølgelig meningen, at der bliver sneget lidt samfundsfag ind i diskussionerne.
Formålet med en sådan start er selvfølgelig at vise eleverne et eksempel på fagenes samspil, men også forsøge at illustrere forskelle. Hvad er forskellen på en graf i den matematiske verden og så en graf fra den virkelige verden, som vi forsøger at analysere matematisk.
Rent matematisk vil jeg vise eleverne, at vi har brug for præcise matematiske begreber til at beskrive funktioners opførsel - det er nemmere når vi "taler samme sprog".
I de kommende moduler skal eleverne beskrive mere komplekse funktioner og efterfølgende indføres centrale matematiske begreber.

En god skolestart - lektielæsning

I år starter jeg med en 1g-klasse i matematik på A-niveau. Studieretningen består af Samfundsfag A, matematik A og erhvervsøkonomi C.
Hvordan får jeg givet disse elever en god skolestart og en god matematikstart?
Min intro til matematik beskriver jeg i et andet indlæg - her vil jeg fokusere lidt på opbygning af gode arbejdsvaner primært lektielæsning..
Flere undersøgelser viser, at vi i matematikundervisningen taber drengene - også drenge som egentlig ikke er dårlige til matematik, når de starter i gymnasiet. Det er der en del forklaringer på. Se f.eks. rapporten "Gymnasiets drenge - matematikfagets drenge" fra 2011 (Link).
To vigtige faktorer i den forbindelse er motivation og lektielæsning:
Drenge er knapt som "autoritetstro" som pigerne. Hvis emnet ikke er interessant, har drengene en større tendens til at melde sig ud. Derfor fokuserer jeg i hvert fald i opstartsfasen meget på at gøre undervisningen relevant - gerne realistiske eksempler fra hverdagen - og helst i tilknytning til elevernes valgte studieretning. MEN jeg gør det også klart for eleverne, at alt ikke er lige sjovt og at man er nødt til at acceptere, at der også er noget hårdt arbejde, som ikke altid er lige sjovt. Man må yde før man kan nyde...
Jeg tror, det er specielt vigtigt, at eleverne får gode erfaringer med lektielæsningen. Det skal ikke kunne betale sig at springe lektierne over. Derfor er jeg meget omhyggelig med at give lektier for, som eleverne på en eller anden måde stilles til ansvar for i den efterfølgende time - nogle vil kalde det kontrol.
Det er også vigtigt at få forklaret eleverne, hvorfor lektierne er centrale. Og at selvom man ikke kan finde ud af hele lektien, så har man også lavet lektier, når blot man har givet det et ordentligt forsøg. Det skal selvfølgelig ikke være en snydevej at sige, at man ikke kunne finde ud af lektien. Så  ved problemer med en lektie, forventer jeg at man har nedskrevet, hvad man ikke kan finde ud af. Nogle gange beder jeg også eleverne nedskrive, hvor de har søgt hjælp.
Et par ideer til forpligtende lektier kan være:
1) Eleverne skal besvare en online quiz hjemme (f.eks. i Socrative (www.socrative.com) eller en oprettet Google formular).
2) Eleverne konstruerer selv relevante opgaver hørende til det gennemgåede - egne opgaver regnes også hjemme. Opgaverne udveksles i den kommende time.
3) Eleverne skal regne forskellige opgaver, som så udveksles i den kommende time
4) Bed eleverne skrive noget ned - gerne på papir. Så er det nemt at konstatere, hvem der ikke har læst lektier.

Ved mere traditionelle lektier kan man ved timens start sætte eleverne sammen to og to, hvor de skal arbejde med lektien - f.eks. forklare hinanden, hvordan opgaven løses. Eller man kan starte timen med at lade eleverne individuelt nedskrive hovedkonklusionerne på lektien.

Det er vigtigt at eleverne hurtigt finder ud af, at det ikke er sjovt, hvis man ikke har lavet sit hjemmearbejde.

Jeg er desuden meget opmærksom på, at lektielæsningen ikke bliver for svær og for omfangsrig. Eleverne skal også have gode erfaringer med lektierne. Derfor forventer jeg også kun, at eleverne bruger 20 minutter intensivt på lektielæsningen. Det er ok, hvis de ikke når hele lektien på 20 minutter, men der skal bruges 20 minutter!
Lektien kan f.eks. differentieres ved: "Regn flest mulige af opgaverne på 20 min"

På bloggen 111 variationer til undervisningen ligger indlægget Gør lektielæsningen autentisk (Link), hvor nogle af de samme tanker omkring lektielæsning diskuteres.

Matematiklyftet

Sverige har som i Danmark sammenlignet med mange andre lande svært ved at opnå tilfredsstillende resultater i Pisa-undersøgelserne - i hvert fald set fra et politikersynspunkt.
Derfor har man i Sverige iværksat et stort efteruddannelsesprogram for lærere i folkeskolen, gymnasiet og for voksenundervisning.
Kurset knyttet til matematik kaldes Matematiklyftet og dets hjemmeside er matematiklyftet.skolverket.se/.
Kurset er opbygget omkring en række moduler, som lærerne arbejder med på deres egen skole - typisk i små grupper hvor erfaringer-, ideer, projektforslag, ... udveksles. Til hver af disse grupper er tilknyttet en matematikvejleder, som gruppen sparrer med i løbet af skoleåret. Hvert modul består af nogle artikler samt ideer til aktiviteter, der kan afprøves på egne hold.
Kompetencebegrebet, som vi også kender fra Danmark, er i fokus i kursets moduler. Derudover er elevaktivering og kommunikation som læringsmiddel centralt.
Artiklerne er oftest noget overordnede og beskriver i generelle vendinger, de ting man skal være opmærksom på i undervisningen. Nogle artikler har dog eksempler på specifikke opgaver til eleverne, hvor udvalgte kompetencer kan trænes. Jeg kunne godt have tænkt mig at artiklerne var langt mere konkrete i relation til, hvordan de gode råd konkret kan implementeres i undervisningen.
En ting har jeg dog taget med mig. Vi skal passe på med kun at stille opgaver til eleverne, hvor metoden er givet på forhånd. Vi er nødt til at udfordre eleverne med opgaver/projekter, hvor løsningsmetoden ikke er oplagt.
Artiklerne synes jeg dog for det meste er gode til at sætte gang i mine tanker omkring min undervisning og det er jo altid en god ting.
Et eksempel fra artiklerne er at eleverne skal bestemme arealet af spild mælk (se figur nedenfor). Her kan mange strategier anvendes - trigonometri, summer, regression og derefter integral, ...
Jeg har ikke helt fundet ud af hvordan jeg vil benytte opgaven endnu. Mere herom senere.

Et nyt skoleår "truer"

Så nærmer hverdagen sig så småt. Som sædvanlig her op mod skolestart er mit hoved fyldt med tanker om, hvordan jeg vil tilrette undervisningen i dette skoleår. I første omgang selvfølgelig hvordan skoleåret skal indledes. Specielt når jeg skal starte med en ny klasse, er starten vigtigt.
Hvordan får jeg hurtigst muligt "lært" nye klasser, at (min) matematik handler om:
- at (sam-)arbejde
- at være åben
- at eksperimentere
- at søge hjælp
- at være aktivt deltagende i timerne
- ikke at give op
- at lave sine lektier
...
Som det fremgår af tidligere indlæg, er mit store mantra, at eleverne skal kommunikere matematik mest muligt. Derfor går mine overvejelser i planlægningen i høj grad på, hvordan jeg får aktiveret eleverne, så kommunikation kommer i centrum.
Jeg har i ferien læst artiklerne knyttet til Sveriges store efteruddannelsesløft af matematiklærere (Link - eller mit indlæg Matematiklyftet). I en af artiklerne angives det, at vi som matematiklærere har været alt for fokuseret på hvordan - altså hvordan løser vi f.eks. en opgave af given type. Artiklens forfattere opfordrer til, at der bruges meget mere tid på hvorfor. Dermed kommer argumentation meget mere i spil.
Min erfaring er, at vi bruger hvorfor rigtig meget i forbindelse med bevisførelse og argumentationstræning. Men hvorfor kan også bruges ved opgaveregning. hvorfor bruger du denne formel? Hvorfor bruger du denne metode? Hvorfor er f'(4) = 2? Ved at tvinge eleverne til at argumentere vil deres matematiske forståelse blive yderligere udfordret, så f.eks. opgaveregning ikke blot bliver at følge en opskrift.
Så i år vil jeg i endnu højere grad i matematikundervisningen bruge hvorfor.