Jeg foretrækker oftest, at eleverne selv arbejder sig frem gennem f.eks. beviser i stedet for at læse beviserne i en bog. Men det er selvfølgelig også vigtigt, at eleverne lærer at læse matematik.
Vi har tidligere talt en del om læsning af matematiske tekster og hvad der f.eks. forventes, når man læser beviser i matematik. Det handler om "tænk med en blyant", lave figurer, lave ekstra mellemregninger, skrive kommentarer til mellemregninger...
Jeg ville teste om eleverne også gør, som vi har talt om, så de fik udleveret beviset for differentiation af f(x) = ax2 + bx + c. Lektien var at de skulle "læse rigtigt", og at de skulle kunne gennemføre beviset for en kammerat.
Jeg havde blot "glemt" (udeladt er vist et mere korrekt ord) at fortælle eleverne, at det udleverede bevis var fyldt med fejl (Link).
Heldigvis havde mange af eleverne opdaget i hvert fald nogle af fejlene.
Det gav anledning til en diskussion af, hvornår et bevis er "læst". Og at det også er vigtigt, at man noterer de ting, man ikke forstår!
For at få den korrekte version af beviset har eleverne efterfølgende afleveret beviset som en del af en hjemmeopgave. Fokus her er selvfølgelig, hvilke elementer som indgår i et bevis og hvordan man gør et bevis personligt og ikke bare en kopi af et bevis fra en bog - en vigtig kompetence at mestre, når der skal skrives SRP.
onsdag den 30. september 2015
mandag den 28. september 2015
Tretrinsreglen
Ved tidligere gennemgange af emnet differentialregning har jeg i starten af forløbet været meget stringent med at indføre f.eks. definitionen på differentiabilitet i et punkt, differenskvotient, differentialkvotient, ...
I år har jeg har jeg fokuseret på metoden i selve tretrinsreglen (som for øvrigt i min version har 4 trin - der skal konkluderes til sidst). Ved at bruge en del tid på at tale om metoden (læs evt. indlægget Differentialregning Intro) og udregne specifikke differentialkvotienter har jeg en fornemmelse af at eleverne har fuldstændig styr på metoden.
Inden vi beviste regnereglerne for differentiation af sum, subtraktion og multiplikation med konstant introducerede jeg den formelle definition. Og den accepterede eleverne overraskende let - "det er jo bare det vi har gjort hele tiden..."
Eleverne lavede selv meget hurtigt beviserne for sum og multiplikation med konstant, mens differentiation med subtraktion lidt voldte de sædvanlige problemer med minusset.
At det gik så godt, tror jeg også skyldes, at vi i de tidligere beviser også har fokuseret på de kendte regneregler, som anvendes undervejs i tretrinsreglen. Det har været med til at spore eleverne ind på, hvilke regneregler som er anvendelige, når der reduceres. Og det hjælper når eleverne selv skal lave beviserne uden hjælp. De gode elever kunne lave beviserne selv, mens de svagere elever fik hjælp af mig eller udleveret beviset på papir - dog ikke i den korrekte rækkefølge. Beviset for multiplikation med konstant ligger her (Link).
Jeg har stadig et lille hængeparti omkring grænseværdier og uendelighedsbegrebet, men det vil vi samle op på senere. Det er ikke så centralt nu.
I år har jeg har jeg fokuseret på metoden i selve tretrinsreglen (som for øvrigt i min version har 4 trin - der skal konkluderes til sidst). Ved at bruge en del tid på at tale om metoden (læs evt. indlægget Differentialregning Intro) og udregne specifikke differentialkvotienter har jeg en fornemmelse af at eleverne har fuldstændig styr på metoden.
Inden vi beviste regnereglerne for differentiation af sum, subtraktion og multiplikation med konstant introducerede jeg den formelle definition. Og den accepterede eleverne overraskende let - "det er jo bare det vi har gjort hele tiden..."
Eleverne lavede selv meget hurtigt beviserne for sum og multiplikation med konstant, mens differentiation med subtraktion lidt voldte de sædvanlige problemer med minusset.
At det gik så godt, tror jeg også skyldes, at vi i de tidligere beviser også har fokuseret på de kendte regneregler, som anvendes undervejs i tretrinsreglen. Det har været med til at spore eleverne ind på, hvilke regneregler som er anvendelige, når der reduceres. Og det hjælper når eleverne selv skal lave beviserne uden hjælp. De gode elever kunne lave beviserne selv, mens de svagere elever fik hjælp af mig eller udleveret beviset på papir - dog ikke i den korrekte rækkefølge. Beviset for multiplikation med konstant ligger her (Link).
Jeg har stadig et lille hængeparti omkring grænseværdier og uendelighedsbegrebet, men det vil vi samle op på senere. Det er ikke så centralt nu.
søndag den 27. september 2015
Innovativt forløb med matematik
Jeg har tidligere i indlægget "Innovation i matematik" (Link) beskrevet, hvordan jeg mener, vi kan have glæde af den innovative tankegang i matematik.
Jeg har nu gennemført vandledningsprojektet, som jeg præsenterede i ovenstående indlæg.
Da fokus bl.a. var på innovative processer, havde jeg valgt en relativ stram styring af første del af projektet, hvor eleverne løbende fik en række små diskussionspunkter. Det hele styrede jeg via denne PowerPoint (Link). Via præsentation arbejdede vi specielt med fase 1 og 2 i den model, som er udviklet af en gruppe af matematiklærere nedsat af fagkonsulenten i matematik (Link til materialet).
Det var lidt hårdt for eleverne at bevare koncentrationen under den styrede del, så næste gang jeg vil lave et lignende projekt, vil jeg behandle de to faser i to forskellige matematiktimer. Og måske ikke være lige grundig med begge faser.
Specielt delen med at få matematik i spil, ville jeg godt have brugt mere tid på - altså ved hjælp af matematiske begrebskort at tvinge eleverne til at benytte en speciel metode. For en uddybning af metoden henvises til side 11 i arbejdsgruppens dokument, som jeg linker til ovenfor.
Et eksempel på en af gruppernes løsning:
Jeg har nu gennemført vandledningsprojektet, som jeg præsenterede i ovenstående indlæg.
Da fokus bl.a. var på innovative processer, havde jeg valgt en relativ stram styring af første del af projektet, hvor eleverne løbende fik en række små diskussionspunkter. Det hele styrede jeg via denne PowerPoint (Link). Via præsentation arbejdede vi specielt med fase 1 og 2 i den model, som er udviklet af en gruppe af matematiklærere nedsat af fagkonsulenten i matematik (Link til materialet).
Det var lidt hårdt for eleverne at bevare koncentrationen under den styrede del, så næste gang jeg vil lave et lignende projekt, vil jeg behandle de to faser i to forskellige matematiktimer. Og måske ikke være lige grundig med begge faser.
Specielt delen med at få matematik i spil, ville jeg godt have brugt mere tid på - altså ved hjælp af matematiske begrebskort at tvinge eleverne til at benytte en speciel metode. For en uddybning af metoden henvises til side 11 i arbejdsgruppens dokument, som jeg linker til ovenfor.
Et eksempel på en af gruppernes løsning:
Det er mit indtryk, at eleverne fik rigtig meget ud af projektet. Det kan selvfølgelig diskuteres, hvor meget matematik der er i ovenstående løsning, men jeg hørte eleverne diskutere:
lineære, eksponentielle og potensfunktioner, regression, korteste vej fra et hus til en hovedledning, forskellige løsningsforslag, om løsningsforslag kan/skal forbedres eller forkastes.
Derudover fik eleverne også trænet en hel del i brugen af Geogebra.
Så alt i alt et godt projekt, som også optog og interesserede eleverne.
Jeg brugte 4-5 moduler (a 90 min) på projektet, men der kan nok skæres lidt i det. Eleverne afleverede både en rapport og fremlagde deres konklusioner via en planche.
onsdag den 9. september 2015
Innovation i matematik
Kan man arbejde innovativt i matematik? Tja - det kommer lidt an på, hvilken definition man vælger for begrebet innovation.
Jeg er dog ikke i tvivl om, at vi i matematik kan fremme elevernes innovative kompetencer, og at det vil være med til at stille eleverne bedre til den skriftlige eksamen.
Jeg tænker her primært på evner som vedholdenhed (ikke give op ved problemer) og kreativitet (kunne afsøge løsningsmuligheder, når løsningsmetoden ikke umiddelbart er givet).
Fagkonsulenten i Matematik Bodil Bruun nedsatte sidste skoleår en arbejdsgruppe, som skulle komme med eksempler på, hvordan der kan arbejdes med innovation i og med matematik. Resultatet af dette arbejde kan ses på EMU'en (Link). Materialerne er både af overordnet karakter men indeholder også eksempler på forløb både i matematik alene og i samarbejde med andre fag (AT).
Matematiklærerforeningen har i dette skoleår nedsat en større arbejdsgruppe (støttet af undervisningsministeriet), som skal arbejde videre med innovation, hvor formålet hovedsagelig er at udvikle flere eksempler, der kan inspirere matematiklærere.
Jeg kan godt lide at udfordre eleverne, så jeg har netop stillet både min 1g- og 2g-klasse nedenstående opgave. Rigtig innovation kan man nok ikke kalde det, men eleverne får i hvert fald mulighed for at diskutere og afprøve forskellige løsningsforslag.
Ovenfor ses en illustration af et
problem der svarer til ovenstående beskrivelse. Husene er de sorte prikker og
starten på hovedledningen er det røde kvadrat placeret i (0, 1). Den stiplede
røde linje øverst til højre markerer det område, hvor hovedledningen skal
stoppe.
Jeg aner ikke selv, hvad svaret på problemet er. Så jeg er lidt spændt på, hvordan eleverne griber opgaven an.
Er det matematik? Tja - ikke nødvendigvis, så jeg har stillet krav om matematiske elementer i besvarelse.
Jeg laver lige en cliffhanger.
I et senere indlæg vil jeg beskrive, hvordan jeg helt konkret har tilrettelagt forløbet og hvordan det gik.
Jeg er dog ikke i tvivl om, at vi i matematik kan fremme elevernes innovative kompetencer, og at det vil være med til at stille eleverne bedre til den skriftlige eksamen.
Jeg tænker her primært på evner som vedholdenhed (ikke give op ved problemer) og kreativitet (kunne afsøge løsningsmuligheder, når løsningsmetoden ikke umiddelbart er givet).
Fagkonsulenten i Matematik Bodil Bruun nedsatte sidste skoleår en arbejdsgruppe, som skulle komme med eksempler på, hvordan der kan arbejdes med innovation i og med matematik. Resultatet af dette arbejde kan ses på EMU'en (Link). Materialerne er både af overordnet karakter men indeholder også eksempler på forløb både i matematik alene og i samarbejde med andre fag (AT).
Matematiklærerforeningen har i dette skoleår nedsat en større arbejdsgruppe (støttet af undervisningsministeriet), som skal arbejde videre med innovation, hvor formålet hovedsagelig er at udvikle flere eksempler, der kan inspirere matematiklærere.
Jeg kan godt lide at udfordre eleverne, så jeg har netop stillet både min 1g- og 2g-klasse nedenstående opgave. Rigtig innovation kan man nok ikke kalde det, men eleverne får i hvert fald mulighed for at diskutere og afprøve forskellige løsningsforslag.
I skal bestemme placeringen af et
system af vandledninger, som skal forsyne 8 huse med vand. Der findes to typer
vandledninger: Hovedledningen til 822.000 kr. pr. km. og stikledninger til
556.000 kr. pr. km. Stikledninger kan kun transportere vand til ét hus.
Husenes placering er fastlagt med koordinater og er alle
placeret i et kvadrat med en sidelængde på 10 km.
Vandledningen skal starte i punktet (0,1). Derudover skal
hovedledningen slutte et eller andet sted mellem punkterne (10,8) og (10,10).
Jeg aner ikke selv, hvad svaret på problemet er. Så jeg er lidt spændt på, hvordan eleverne griber opgaven an.
Er det matematik? Tja - ikke nødvendigvis, så jeg har stillet krav om matematiske elementer i besvarelse.
Jeg laver lige en cliffhanger.
I et senere indlæg vil jeg beskrive, hvordan jeg helt konkret har tilrettelagt forløbet og hvordan det gik.
mandag den 7. september 2015
Regneregler for differentiation
I stedet for at starte forløbet om differentialregning med at fokusere på teorien bag de forskellige formler for funktioners differentialkvotient, så har jeg valgt at introducere alle formler tidligt.
Som beskrevet i indlægget Differentialregning - intro, indledte jeg forløbet med at give eleverne en fornemmelse for tretrinsreglen og den vigtige forskel på tangent og sekant.
Disse principper vil jeg løbende bruge i de kommende timer så eleverne opnår en fortrolighed med begreberne inden tretrinsreglen behandles formelt teoretisk.
Jeg er nu begyndt at træne eleverne i reglerne for differentiation i hånden. Vi startede med, at eleverne skulle gætte differentialkvotienten for de typiske standardfunktioner. Eleverne brugte Maple til bestemme konkrete stamfunktioner og ud fra Maples svar kom eleverne med et bud på den tilhørende differentialkvotient. Nogle elever brugte et arbejdsark (Link), men andre mere matematikstærke elever valgte selv at gå på jagt blandt allerede kendte funktioner og sammensætning af sådanne.
Eleverne fandt også selv reglerne for sum, subtraktion og multiplikation med konstant. De tre sidste generelle regler har jeg udskudt lidt.
Jeg kunne selvfølgelig have serveret alle reglerne for eleverne, men jeg har en ide om, at når eleverne selv finder reglerne, så er de også nemmere at huske.
Nu er det blot spændende at se i morgen, hvor gode eleverne er blevet til at differentiere funktioner, som lektien til i morgen.
Som beskrevet i indlægget Differentialregning - intro, indledte jeg forløbet med at give eleverne en fornemmelse for tretrinsreglen og den vigtige forskel på tangent og sekant.
Disse principper vil jeg løbende bruge i de kommende timer så eleverne opnår en fortrolighed med begreberne inden tretrinsreglen behandles formelt teoretisk.
Jeg er nu begyndt at træne eleverne i reglerne for differentiation i hånden. Vi startede med, at eleverne skulle gætte differentialkvotienten for de typiske standardfunktioner. Eleverne brugte Maple til bestemme konkrete stamfunktioner og ud fra Maples svar kom eleverne med et bud på den tilhørende differentialkvotient. Nogle elever brugte et arbejdsark (Link), men andre mere matematikstærke elever valgte selv at gå på jagt blandt allerede kendte funktioner og sammensætning af sådanne.
Eleverne fandt også selv reglerne for sum, subtraktion og multiplikation med konstant. De tre sidste generelle regler har jeg udskudt lidt.
Jeg kunne selvfølgelig have serveret alle reglerne for eleverne, men jeg har en ide om, at når eleverne selv finder reglerne, så er de også nemmere at huske.
Nu er det blot spændende at se i morgen, hvor gode eleverne er blevet til at differentiere funktioner, som lektien til i morgen.
onsdag den 2. september 2015
Differentialregning - intro
I 2g starter jeg som så mange andre med differentialregning.
I 1g har vi allerede arbejdet en del med tangent, bestemmelse af vendepunkter mm. så eleverne er allerede nogenlunde fortrolige med begrebet f '(x).
Vi startede derfor med at kigge på x2 og tangentens hældning i (1,1).
Jeg forsøgte lidt at tilrettelægge arbejdet med at bestemme tangentens i den innovative ånd.
Eleverne arbejdede i klassen i mindre grupper med forskellige ideer til bestemmelse af tangenten. I første omgang bad jeg eleverne gennemløbe de forskellige kendte matematikemner fra 1g for at indsnævre, hvilken matematik som måske kunne bringes i spil.
Når eleverne havde arbejdet 10-15 min, stoppede jeg alle grupper og ideer til løsningen blev skrevet på tavlen. Alle ideer fik lov til at svæve i luften uden kommentarer fra min side. Herefter arbejdede eleverne igen videre med egne eller nye ideer. Denne proces fortsatte et par "runder".
Formålet med de korte runder er at holde alle til ilden. Nogle grupper kan have tendens til at give hurtigt op, men så får de lidt inspiration fra andre grupper.
Det er selvfølgelig ikke rigtig "innovation" for jeg ved jo godt, hvor vi ender, men processen med at stå overfor et problem, hvor eleverne ikke umiddelbart kan genkende en løsningsmetode fordrer nogle innovative kompetencer.
Jeg synes, vi på en god måde fin introduceret sekanten, og hvorfor den er vigtig. Det virkede som om at denne tilgang fik eleverne til at få den ønskede forståelse af sekant-tangent sammenhængen.
Da sekanten var blevet introduceret havde eleverne ikke svært ved at finde sekanternes hældning - hvordan det andet punkt blev valgt varierede lidt. Nogle valgte blot et andet "fysisk" punkt på grafen mens andre indsatte et bogstav som tilvæksten.
De skrappe elever generaliserede yderligere til en tilfældig x-værdi.
Som en del af den kommende hjemmeopgaver skulle eleverne i par aflevere en video, hvor de netop finder hældningskoefficienten for en tangent hørende til f '(x). Det blev nogle fine videoer, synes jeg.
Jeg har endnu ikke kastet alle de fine ord og begreber i spil. Så tretrinsreglen må vente lidt endnu.
Næste skridt er at finde formlerne hørende til differentialregning - i første omgang vil vi ikke bevise dem, men prøve at gætte og eksperimentere os til formlerne.
I 1g har vi allerede arbejdet en del med tangent, bestemmelse af vendepunkter mm. så eleverne er allerede nogenlunde fortrolige med begrebet f '(x).
Vi startede derfor med at kigge på x2 og tangentens hældning i (1,1).
Jeg forsøgte lidt at tilrettelægge arbejdet med at bestemme tangentens i den innovative ånd.
Eleverne arbejdede i klassen i mindre grupper med forskellige ideer til bestemmelse af tangenten. I første omgang bad jeg eleverne gennemløbe de forskellige kendte matematikemner fra 1g for at indsnævre, hvilken matematik som måske kunne bringes i spil.
Når eleverne havde arbejdet 10-15 min, stoppede jeg alle grupper og ideer til løsningen blev skrevet på tavlen. Alle ideer fik lov til at svæve i luften uden kommentarer fra min side. Herefter arbejdede eleverne igen videre med egne eller nye ideer. Denne proces fortsatte et par "runder".
Formålet med de korte runder er at holde alle til ilden. Nogle grupper kan have tendens til at give hurtigt op, men så får de lidt inspiration fra andre grupper.
Det er selvfølgelig ikke rigtig "innovation" for jeg ved jo godt, hvor vi ender, men processen med at stå overfor et problem, hvor eleverne ikke umiddelbart kan genkende en løsningsmetode fordrer nogle innovative kompetencer.
Jeg synes, vi på en god måde fin introduceret sekanten, og hvorfor den er vigtig. Det virkede som om at denne tilgang fik eleverne til at få den ønskede forståelse af sekant-tangent sammenhængen.
Da sekanten var blevet introduceret havde eleverne ikke svært ved at finde sekanternes hældning - hvordan det andet punkt blev valgt varierede lidt. Nogle valgte blot et andet "fysisk" punkt på grafen mens andre indsatte et bogstav som tilvæksten.
De skrappe elever generaliserede yderligere til en tilfældig x-værdi.
Som en del af den kommende hjemmeopgaver skulle eleverne i par aflevere en video, hvor de netop finder hældningskoefficienten for en tangent hørende til f '(x). Det blev nogle fine videoer, synes jeg.
Jeg har endnu ikke kastet alle de fine ord og begreber i spil. Så tretrinsreglen må vente lidt endnu.
Næste skridt er at finde formlerne hørende til differentialregning - i første omgang vil vi ikke bevise dem, men prøve at gætte og eksperimentere os til formlerne.
Abonner på:
Opslag (Atom)