Repetition til skiftlig eksamen - hvem hjælper det?

Vi er sikkert alle i gang med at repetere på vores afsluttende hold. men hvordan foregår vores repetition?
Min repetition i relation til skriftlig eksamen handler meget om at tale om og træne de typiske opgavetyper, der optræder til eksamen med og uden hjælpemidler. Og det sker oftest på et lidt mere overordnet plan.
Så var det lige jeg kom til at tænke over, hvilken type elever denne form for repetition henvender sig til. Jeg tror, at elever som i forvejen har et nogenlunde solidt matematiskkendskab vil have et fint udbytte af en sådan repetition. Men jeg er desværre bange for, at de gode elever vil finde denne repetition kedelig og unødvendig, og samtidig er jeg bange for at en sådan repetition foregår henover hovedet på de svage elever.
Vi er nødt til at tilrette lægge repetitionen, så alle elevgrupper tilgodeses.
Den overordnede strukturering af mulige spørgsmålstyper kommer alle elever til gode, men det er vigtigt, at de mindre stærke matematikelever også får en ekstra konkret behandling af struktureringen. Det er ikke nok med en mere overordnet snak om opgavetyper. Heldigvis har vi på min skole mulighed for at få ekstra timer til svage matematikelever. Jeg har derfor fået bevilliget ekstra timer til mine svage elever. Disse timer skal bruges netop på at konkretisere de ting, jeg har diskuteret med hele klassen i matematiktimerne. Disse ekstra timer håber jeg på, vil hjælpe de svage elever så meget på vej, at de ikke dumper.
Omvendt skal vi også tage hensyn til de gode elever. De vil typisk mene, at meget af repetitionen er spild af tid, da de har styr på standardopgaver. Det er derfor vigtigt at udfordre de gode elever med de mere utraditionelle opgaver. Så lad dem regne på de sidste opgaver i udvalgte sæt, hvor der jo normalt stilles lidt ekstra krav.
Så mit budskab er:
HUSK der er forskel på eleverne også i repetitionsfasen. Sørg for at tilrettelægge repetitionen, så alle elevtyper får noget ud af repetitionen.

Eksamenstræning - delen uden hjælpemidler

Med mit 3g-hold har vi i den seneste tid startet hvert modul med at tale om prøven uden hjælpemidler i relation til et givet emne.
Eleverne brainstormer på centrale formler og mulige spørgsmålstyper. Hvis jeg finder det nødvendigt, regner vi også enkelte opgaver.
Det er mit indtryk, at eleverne er glade for at få diskuteret mulige spørgsmål - det afdramatiserer lidt prøven uden hjælpemidler.
Nogle elever er noget forskrækkede over alle de formler det forventes, de kan huske uden ad. Jeg fokuserer på, at eleverne ikke nødvendigvis skal huske alle formlerne på "formelsprog". Ofte er det nok at kunne metoden. Der er f.eks. ingen grund til at huske formlen for differentiation/integration af sammensatte funktoner - det er nok, at man ved, hvordan man skal gøre.
Ligeledes er nogle formler slet ikke nødvendige. Der er f.eks. ingen grund til at huske tangentligningen, når man ved, hvordan forskrift for en linje bestemmes. Og hvorfor huske toppunktsformlen, når toppunkt kan bestemmes ved hjælp af differentiation.
Her kort tid før eksamen tror jeg, det vigtigste er, at eleverne får trænet en masse opgaver, og at de får struktur på mulige opgavetyper (se evt. "Forberedelse til skriftlig eksamen - fra skolestart"). Jeg sætter desuden min lid til, at eleverne nu er helt med på, hvordan man "overholder" reglerne for korrekt løsning af eksamensopgaver (de 5 pinde - se evt. "Skriftlig eksamen - opgaveregning"). Derfor har jeg besluttet at omlægge elevtiden for de sidste par afleveringer, så vi har nogle ekstra timer, hvor vi kan fokusere på udvalgte dele af det skriftlige pensum.
Vi har en sådan time i dag, hvor fokus netop er delen uden hjælpemidler. Jeg har taget et print af delen uden hjælpemidler fra alle eksamenssæt siden 2008. Planen er nu at eleverne i par skal arbejde med disse opgaver. I første omgang skal opgaverne sorteres i emner (alle medbringer saks).
Samtidig har jeg oprettet et fælles dokument (Office 365), som alle kan skrive i. Her er det meningen at spørgsmålstyperne hørende til de enkelte opgavetyper indskrives. Til hver type spørgsmål angives det desuden få stikord til, hvordan opgaver af denne type løses, samt hvor man kan finde en opgave omhandlende spørgsmålet. Dermed får eleverne et godt dokument, de kan bruge, når de hjemme skal forbedrede sig til delen uden hjælpemidler til den skriftlige eksamen.

Simulering af chi2-test

Hvorfor ligger den kritiske værdi, hvor den ligger, når vi laver en chi2-test? Det er uhyre svært at få forklaret eleverne.
Jeg har forsøgt at gøre det synligt for mine 1g-elever ved hjælp af to typer simulationer:
- en i Geogebra, der viser histogram af mange chi2-simuleringer med 1 frihedsgrad, hvor nulhypotesen er sand.
- en i Maple, der viser histogram af mange chi2-simuleringer med valgfrit antal frihedsgrader, hvor nulhypotesen er sand..
I Geogebra-dokumentet vises foretages en chi2-simulation af gangen, hvor hele metoden er synlig i Geogebras regneark. Teststørrelserne for hver chi2-simulation indtegnes løbende i et histogram.
Denne simulation skulle gerne give eleverne en fornemmelse af fordelingen af teststørrelserne, når nulhypotesen er sand - specielt at der kan være store variationer. Grafisk skal eleverne give et bud på placeringen og betydningen af den kritiske værdi.
På nedenstående skærmbilleder har jeg simuleret 500 chi2-test, hvor det vides at 25% i populationen svarer Ja, mens populationen består af 60% mænd og 40% kvinder.

Vejledningen til elevernes arbejde med Geogebra-dokumentet er beskrevet i dette dokument (Link) og Geogebra-dokumentet ligger her (Link).
Efter gennemgangen af/arbejdet med ovenstående ark, inddeler jeg eleverne i par, som så skal lave de samme simulationer dog med nye procenter for Ja/Nej og Mænd/Kvinder. Forhåbentlig kan vi konkludere, at den kritiske værdi ikke afhænger af procenterne.
I Maple er det muligt at lav langt flere simuleringer af gangen (kommandoen Sample). Nedenstående Maple-dokument skal eleverne benytte til at få en fornemmelse af histogrammerne over teststørrelsernes fordeling ved forskellige chi2-simulation igen under forudsætningen af at nulhypotesen er korrekt..
Eksperimenterne med forskellige frihedsgrader skulle også gerne resultere i, at eleverne konstaterer, at den kritiske værdi afhænger af frihedsgraden.
Maple-figuren nedenfor viser 10000 simuleringer af chi2-test med 4 frihedsgrader.

Maple-dokumentet som også indeholder vejledning til eleverne ligger her (Link).
Fortsættelsen på arbejdet med chi2 er, at vi vil arbejde med funktionerne hørende til de forskellige frihedsgrader og i den forbindelse undersøge krav til sådanne funktioner (sandsynlighedsfordelinger).

Samtaledelen ved den mundtlige eksamen

Jeg har en 3g-klasse, der jo kan komme til mundtlig eksamen i matematik. Ud over grundigt at overveje konstruktionen af spørgsmålene, så de passer til alle elevernes niveauer, har jeg også tænkt en del over, hvordan jeg bedst forbereder eleverne til samtaledelen under den mundtlige eksamen. Den skal jo i følge læreplanen fylde en betydelig del. Min melding til eleverne, at de skal forberede sig på, at de har ca. 15 minutter til deres fremlæggelse, mens resten af tiden skal være en dialog mellem mig (og censor). Nøjagtig som de kender fra AT-eksamen.
Men hvordan rustes eleverne til samtaledelen , og hvordan kan de forberede sig på den?
En måde kunne være at udarbejde bilag til de enkelte spørgsmål, som eleverne så skal kommentere. Inden for differentialligningerne kunne et sådant bilag f.eks. være en plot af linjeelementer:

Her får eleven så mulighed for at tale om linjeelementer, løsningsfunktioner, løsningsintervaller, ... Jeg overvejer at medbringe sådanne eksempler til eksaminationen, hvis eleverne ender med at skulle op i mundtlig matematik. Jeg vil selvfølgelig aftale det med eleverne, men der er så vidt jeg kan se ikke noget i læreplanen, der forhindrer inddragelse af bilag under eksaminationen. Den metode er også allerede benyttet ved den mundtlige eksamen i fysik. Bilaget skal først udleveres under selv eksaminationen, og har blot som formål at støtte samtaledelen.

Brug af bilag er jo ikke så meget anderledes end, at vi tegner figurer på tavlen. Det er dog muligt at benytte bilag, som ikke er helt så nemme lige at tegne på en tavle - f.eks. ovenstående plot med linjeelementer.

Men under alle omstændigheder vil jeg lave sådanne figurer, når stoffet repeteres og eleverne laver dispositioner mm til eksamensspørgsmålene. Jeg vil lade eleverne holde små oplæg for hinanden knyttet til bilagene. På den måde får de også trænet deres mundtlige formuleringsevne.

En anden mulighed er at lade eleverne lave en lille opsamlingsrapport, hvor eleverne kommer gennem emnets centrale dele. Vi er ved at afslutte emnet binomialfordeling og binomialtest. Der har været en række begreber mm i spil, så jeg har lavet en lille opsamling i form af to opgaver. Den første opgave handler om salg af flysæder og er temmelig styret, mens den anden opgave (meningsmåling i forbindelse med valg) er lidt mere åben formuleret.

Jeg vil gerne tydeliggøre for eleverne, at stikprøvens størrelser har en betydning for resultaterne og konklusionerne, så eleverne inddeles i 4 grupper med forskellige stikprøvestørrelser. Til sidst dannes matrixgrupper, som skal undersøge forskelle i relation til stikprøvens størrelse.

Dokumentet med opgaverne er skrevet i Maple, men ser her i en pdf-version (Link).



Jeopardy - den hjemmelavede version

Fra 1995-2005 var Jeopardy, som de fleste nok kan huske, et fast ugentligt program på TV2. Jeopardy er senest genoplivet at TV3.
Jeg lader nogle gange mine elever lave Jeopardy-quizzer til hinanden. Første gang er jeg dog nødt til først forklare eleverne, hvad Jeopardy er for noget :-). Jeg plejer at droppe kravet om, at svaret skal stilles som et spørgsmål.
Når vi skal lave en Jeopardy, så beder jeg eleverne hjemme forberede 5 spørgsmål og svar i stigende sværhedsgrad til et givet emne. Jeg har delt en række forskellige emner ud blandt eleverne, så der kommer forskellige kategorier. Det er vigtigt at sige til eleverne, at svarene på spørgsmålene skal kunne "regnes" uden hjælpemidler, og at der ikke kan indgå formler.
I den efterfølgende time sættes eleverne sammen i grupper på 5 fordelt på en sådan måde, at eleverne i gruppen har forberedt sig på forskellige kategorier.
Hver gruppe tjekker nu alle spørgsmål og tilhørende svar, samtidig med at det kontrolleres, om spørgsmålene i samme kategori har stigende sværhedsgrad.
De udarbejdede Jeopardy's indtastes på hjemmesiden JeopardyLabs (https://jeopardylabs.com/).

Der klikkes blot på "Start Building"-knappen og Jeopardy'en kan konstrueres. Det er ikke nødvendigt at oprette en bruger. Man bliver bedt om at vælge en adgangskode. Sørg for at eleverne vælger en kode de kan huske. Den er vigtig, hvis der skal rettes i Jeopardy'en. Og det skal der nok, for eleverne laver sikkert fejl.
Selve indtastningerne foregår blot ved at klikke på de felter, hvortil der skal indtastes.

Når quizzen er færdig, gemmes den via Save-knappen nederst på siden, hvorefter quizzen får tildelt en hjemmeside - sørg for at du får linket af eleverne..
Det er selvfølgelig meningen, at eleverne skal prøve hinandens quizzer. Lad eleverne sidde sammen to og to om en computer, hvor de selvfølgelig skal spille mod hinanden.
Man går blot ind på Jeopardy'ens hjemmeside, vælger antal spillere og spillet kan starte. Eleverne holder selv styr på pointgivningen.